Окружность эллипс радиус дуга парабола что лишнее ответ

«Кривые второго порядка: эллипс, окружность, парабола, гипербола»

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Южно-Уральский государственный университет.

Кафедра «Товароведение и экспертиза потребительских товаров»

«Кривые второго порядка: эллипс, окружность, парабола, гипербола»

По дисциплине Высшая математика.

студент группы 131

Кривые второго порядка: эллипс, окружность, парабола, гипербола.

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс, при пересечении образующих обеих полостей – гипербола, а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола.

Кривая второго порядка на плоскости в прямоугольной системе координат описывается уравнением:

Множество всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 есть заданная постоянная величина, называется эллипсом.

Каноническое уравнение эллипса.

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

,где

Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат. Число a называют большой полуосью эллипса, а число b – его малой полуосью.

Фокальное свойство. Если F1 и F2 — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой (F1X) равен углу между этой касательной и прямой (F2X). Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы. Эволютой эллипса является астроида. Эксцентриситетом эллипса называется отношение . Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

Эллипс также можно описать как

фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование ортогональную проекцию окружность на плоскость. Пересечение плоскости и кругового цилиндра.

Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой её центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.

Каноническое уравнение окружности.

Общее уравнение окружности записывается как:

Точка — центр окружности, R — её радиус.

Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат:

Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая). Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, один из концов которого является точкой касания. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры. Длину окружности с радиусом R можно вычислить по формуле C = 2πR. Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°.
Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности равен 90°.

Угол между двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности равен полуразности мер дуг, лежащих между секущими. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме мер дуги лежащей в угле и дуги напротив нее. Угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой. Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. При пересечении двух хорд произведение отрезков, на которые делится одна из них точкой пересечения, равно произведению отрезков другой. Произведение длин расстояний от выбранной точки до двух точек пересечения окружности и секущей проходящей через выбранную точку не зависит от выбора секущей и равно абсолютной величине степени точки относительно окружности.

Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей и равен абсолютной величине степени точки относительно окружности.

Окружность является простой плоской кривой второго порядка. Окружность является коническим сечением и частным случаем эллипса.

Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

(или , если поменять местами оси)

Парабола — кривая второго порядка. Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе. Пучок лучей параллельных оси, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. Для параболы с вершиной в начале координат (0; 0) и положительным направлением ветвей фокус находится в точке (0; 0,25). Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе. Парабола является антиподерой прямой. Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб. При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

· Прямая пересекает параболу не более чем в двух точках.

· Эксцентриситет параболы е=1.

Геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек есть величина постоянная, называют гиперболой.

Для любой гиперболы можно найти декартову систему координат такую, что гипербола будет описываться уравнением:

Числа и называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

· Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

· Каждая гипербола имеет пару асимптот: и .

· Расстояние от начала координат до одного из фокусов гиперболы называют фокусным расстоянием гиперболы .

· Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а. Эксцентриситет гиперболы e > 1

· Расстояние от вершины гиперболы до асимптоты вдоль направления параллельного оси ординат называется малой или мнимой полуосью гиперболы .

· Расстояние от фокуса до гиперболы вдоль прямой, параллельной оси ординат называется фокальным параметром ..

Источник

Помогите пожалуйста убрать лишнее слово: (с объяснением) 1. узкий угловатый короткий высокий широкий 2. отражение эхо деятел

Помогите пожалуйста убрать лишнее слово: (с объяснением) 1. узкий угловатый короткий высокий широкий 2. отражение эхо деятел

Помогите пожалуйста убрать лишнее слово:
(с объяснением)
1. узкий угловатый короткий высокий широкий
2. отражение эхо деятельность отзвук подражание
3. велосипед мотоцикл поезд трамвай автобус
4. добрый верный отзывчивый грустный честный
5. обилие избыток пышность роскошь титул
6. баланс прибыль польза доход выгода
7. тонкий низкий мелкий короткий легкий
8. видеть осязать говорить нюхать слушать
9. профессионал ассистент мастер специалист знаток
10. писать рубить шить читать ковать
11. азимут курс направление маршрут путешествие
12. окружность эллипс радиус дуга парабола
13. матрос плотник шофер велосипедист парикмахер
14. прилечь прислониться приподняться присесть привстать
15. зависть подозрительность обжорство жадность лживость ​

Answers ( No )

Ответ:

1. узкий угловатый короткий высокий широкий (угловатый – неровный, с выступами и углами; остальные – характеристики по размеру)

2. отражение эхо деятельность отзвук подражание (деятельность – любой процесс; остальные – то, в чём отражено, воспроизведено что-нибудь)

3. велосипед мотоцикл поезд трамвай автобус (велосипед – транспорт, движущийся за счёт работы человека; остальные – механические)

4. добрый верный отзывчивый грустный честный (грустный – сосстояние; остальные – черты характера)

5. обилие избыток пышность роскошь титул (титул – звание; остальные – излишек чего-либо)

6. баланс прибыль польза доход выгода (баланс – равновесие; остальные – обогащение)

7. тонкий низкий мелкий короткий легкий (лёгкий – характеристика по весу; остальные – характеристики по размеру)

8. видеть осязать говорить нюхать слушать (говорить – осуществлять действие; остальные – воспринимать)

9. профессионал ассистент мастер специалист знаток (ассистент – помощник; остальные – высококлассные специалисты)

10. писать рубить шить читать ковать (рубить – 2 спряжение; остальные – 1 спряжение)

11. азимут курс направление маршрут путешествие (путешествие – движение; остальные – направление движения)

12. окружность эллипс радиус дуга парабола (радиус – отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности; остальные – разновидности округлых кривых)

13. матрос плотник шофер велосипедист парикмахер (велосипедист – человек на велосипеде; остальные – профессии)

14. прилечь прислониться приподняться присесть привстать (прислониться – приблизиться; остальные – неполнота тействия)

15. зависть подозрительность обжорство жадность лживость ​(подозрительность – черта; остальные – смертные грехи)

Источник

Тест с ответами прикладная геометрия

Прикладная геометрия
Ответы:

1. Какие из параметров, определяющих свойства окружности в узлах являются фиксированными характеристиками нулевого порядка?

а. координаты узлов окружности;

б. координаты начальной и конечной точек окружности;

в. значения радиусов кривизны окружности в узловых точкам;

2. Чему равна параметрическое число эллипса?

3. Что такое природные координаты плоской кривой лини?

а. угол кручения и длина соответствующего отрезка дуги кривой линии;

б. угол смежности и кривизна кривой линии.

в. угол смежности и длина соответствующего отрезка дуги кривой линии;

4. Чему равна порядок участков кривой, полученных в результате подразделения сплайна по методу Кокса ди Бура?

а. порядок участков на единицу больше порядка исходной криво;

б. порядок участков на единицу меньше порядка исходной кривой;

в. порядок участков вдвое больше порядка исходной кривой. г. порядок участков равна порядка исходной кривой;

5. Какое й определений кривой линии неверное?

а. траектория непрерывного перемещения точки в пространстве; б. пиния пересечения двух поверхностей. в. непрерывная множество точек;

6. С какой целью применяется рекурсивный подразделение сплайнов?

а. для точного определения свойств сплайна;

б. для получения аналитического выражения, описывает данную кривую.

в. для получения задающих многоугольников, более близко аппроксимирующих сплайнов кривую;

7. Указать правильное значение графического дискриминанта, что определяет гиперболу.

8. Что такое вершина составляющей кривой линии?

а. точки стыка отрезков разных кривых линий, определяющих составляющую кривую;

б. точки стыка выпуклых и вогнутых участков составляющей кривой ЛИНЫ.

в. точки стыка отрезков плавных кривых линий, определяющих составляющую кривую;

г. точки стыка отрезков монотонных кривых линий, определяющих составляющую кривую;

9. Что такое соприкасающаяся плоскость к пространственной кривой линии?

а. плоскость, которая включает в себя прямую, касательную к пространственной кривой пинии;

б. плоскость, перпендикулярная главной нормали пространственной кривой линии.

в. плоскость, определяемая как предельное положение плоскости, проходящей через три бесконечно близкие точки кривой;

10. Что называют пространственным окружностью поверхностей?

а. совокупность отсеков поверхностей с гладкими стыковыми линиями, определяющие общие полосы касательных плоскостей;

б. поверхность, образованная непрерывным движением составляющей кривой линии.

в. совокупность кусков (отсеков) поверхностей, соприкасающихся попарно по линиям;

г. совокупность отсеков поверхностей, соприкасающихся по гладким стыковых линиях;

11. Что такое центр кривизны кривой линии «в данной точке?

а. центр соответствующего соприкасающегося круга; б. вершина угла смежности;

в. точка пересечения главной нормали и бинормали кривой линии.

г. центр круга, имеет с кривой линией общую касательную;

12. Какие пространственные одномерные обводы имеют второй порядок гладкости?

а. если об бед в точках «тыка имеет общие касательные, одинаковые кривизны и уровня скорости изменения кривизны;

б. если обвод в точках стыка имеет общие касательные, общие главные нормали, одинаковые радиусы кривизны

в. если обвод в точках стыка имеет общие касательные и одинаковые радиусы кривизны;

г. если обвод в точках стыка имеет общие касательные, но разные радиусы кривизны;

а. точки, расположенные на линии, вдоль которой касательная плоскость касается поверхности;

б. точки, в которых касательная плоскость к поверхности не может быть определена.

в. точки, в которых касательная плоскость касается поверхности и эта точка касания является единственного в указанной области поверхности;

г. точки, расположенные на линии, по которой касательная плоскость пересекает поверхность;

14. Что такое составляющие кривые пинии?

а. кривые линии, имеющие особые точки. б. кривые линии, составленные из последовательног о ряда отрезков плавных кривых;

в. кривые линии, составленные из последовательног о ряда отрезков монотонных кривых;

15. Указать, каким набором независимые элементов можно задать круг.

а. двумя точками и касательной. б. четырьмя линейно-независи мыми точками;

в. тремя касательным и точками касания;

16. Каково соотношение между значением кривизны и радиусом кривизны (радиусом касательной окружности)?

а. кривизна кривой линии равна удвоенному радиусу кривизны;

б. кривизна в точке кривой линии величина обратная радиусу кривизны;

в. кривизна кривой линии равна половине радиуса кривизны.

г. кривизна кривой линии равна радиусу кривизны;

17. Каково соотношение точек исходной кривой и каждой участков, полученных в результате подразделения сплайна Безье?

а. каждый участок кривой имеет такое же число контрольных точек, и исходная кривая;

б. каждый участок кривой имеет в два раза больше контрольных точек, чей исходная кривая;

18. Чему равна порядок участков кривой, полученный в результате подразделения сплайна по алгоритму где Кастильо?

а. порядок участков равна порядка исходной кривой;

б. порядок участков на единицу меньше порядка исходной кривой;

в. порядок участков, вдвое больше порядка исходной кривой.

г. порядок участков на единицу больше порядка исходной кривой;

19. В чем состоит задача интерполяции дискретного линейного каркаса?

а. в приближенной замене поверхности плоскими или криволинейными элементами одного или нескольких типов;

б. в определении непрерывного каркаса линий, пересекающих множество исходных линий, задающих поверхность;

в. в переходе от точечного каркаса к линейному дискретного каркаса, с последующей интерполяцией последнего в соответствии с заданными условиями стыковки отсеков поверхности.

20. Как графически определяется порядок плоской кривой линии?

а. совокупностью независимых параметров, однозначно определяющих эту кривую.

б. наибольшим количеством точек пересечения этой кривой прямой линией;

в. количеством особых точек кривой линии;

21. С какой целью используют алгоритм где Кастильо?

а. интерполяция уплату Безье; б. аппроксимация В-сплайна;

в. аппроксимация сплайна Безье; г. интерполяция Б-сплайна,

22. Как образуется трехгранник Френе?

а. касательная прямая, главная нормаль и бинормаль определяют в каждой точке пространственной кривой трехгранник Френе;

б. касательная плоскость и главная нормаль образуют трехгранник Френе;

в. касательная плоскость и главная нормаль образуют трехгранник Френе;

23. Что называют непрерывным каркасом поверхности?

а. точки, принадлежащие поверхности, соединены отрезками прямых в определенном порядке;

б. семейство образующих линий и семейство направляющих линий, выделенных на кинематической поверхности;

в. несколько простых семейств линий, являющихся проекциями на координатную плоскость, линий, принадлежащих поверхности.

24. Указать кривую линию, и дуг которой возможно сформировать обвод с общими касательными на стыках и, при этом, эта кривая должна иметь меньше параметрическое число.

а. круг; б. кривая, параметрическое число которой не менее шести

в кривые второго порядка (эллипс, гипербола);

г. парабола второго порядка;

25. Какие поверхности называют выпуклыми?

а. поверхности, в которых все точки эллиптические; б. поверхности, в них;

в. все точки параболические; г. поверхности, у которых все точки гиперболические;

26. Дать определение углам кручения пространственной кривой линии.

а. угол между касательными к кривой пинии; б. угол между бинормали кривой линии;

в. угол между нормалями кривой линии;

27. В чем состоит задача паркетування поверхности?

а. в построении по исходному точечном каркасе дискретной сети с треугольными ячейками;

б. в приближенной замене поверхности плоскими или криволинейными элементами одного или нескольких типов;

в. в определении непрерывного каркаса линий, пересекающих множество исходных линий, задающих поверхность;

28. Какие плоские обводы имеют второй порядок гладкости?

а. если обвод в точках стыка имеет общие касательные и одинаковые радиусы кривизны;

б. если Обеида точках стыка имеет общие касательные но различные главные нормали.

в. если обвод в точках стыка имеет общие касательные, но разные радиусы кривизны;

г. если обвод в точках стыка масс общие касательные, одинаковые кривизны и уровня скорости изменения кривизны;

29. Что называют Коробовой линией дуг кривых второго порядка?

а. плавную кривую линию, состоящую из последовательног о ряда дуг кривых 2-го порядка имеющие стыках общие касательные и кривизны;

б. обвод точечного ряда, состоящего из дуг кривых второго порядка;

в. плавную кривую пинию, состоящий из последовательног о ряда дуг кривых 2-го рядом ^ то имеют в стыках общие касательные;

г. составляющая кривая линия., то состоит из дуг кривых второго порядка, то имеют в точках стыковки равные значения первых и

30. Указать правильное значение графического дискриминанта, что определяет эллипс.

Источник

Практическая работа по теме: «Окружность. Эллипс»

Практическая работа по теме: «Окружность. Эллипс»

сформировать у студентов представление о кривых второго порядка;

научиться использовать свойства окружности и эллипса при решении различных задач;

повышать математическую культуру студентов.

Кривые второго порядка: эллипс, окружность, парабола, гипербола.

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Каноническое уравнение эллипса.

Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.

Эволютой эллипса является астроида.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение . Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

Эллипс также можно описать как

фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование

ортогональную проекцию окружность на плоскость.

Пересечение плоскости и кругового цилиндра.

Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой её центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.

Каноническое уравнение окружности.

Общее уравнение окружности записывается как:

Точка — центр окружности, R — её радиус. Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат:

Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).

Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, один из концов которого является точкой касания.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности равен 90°.

Угол между двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности равен полуразности мер дуг, лежащих между секущими.

Угол между пересекающ-ся хордами равен полусумме мер дуги лежащей в угле и дуги напротив нее.

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой.

Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

При пересечении двух хорд произведение отрезков, на которые делится одна из них точкой пересечения, равно произведению отрезков другой.

Произведение длин расстояний от выбранной точки до двух точек пересечения окружности и секущей проходящей через выбранную точку не зависит от выбора секущей и равно абсолютной величине степени точки относительно окружности.

Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей и равен абсолютной величине степени точки относительно окружности.

Окружность является простой плоской кривой второго порядка.

Окружность является коническим сечением и частным случаем эллипса.

Задания для самостоятельного решения:

ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2

Составьте уравнение окружности, проходящей через начало координат и имеющей центр в точке с координатами

3) Составьте уравнение эллипса, если две его вер шины находятся в точках: (0;-8) и (0;8), а

фокусы эллипса в точках: (-5;0) и (5;0).

4) Составьте уравнение эллипса с фокусами на

оси ОХ, если большая ось равна 10, а

эксцентриситет равен 0,6.

5) Найдите длину отрезка прямой х-2у-2=0,

заключенного внутри эллипса

Составьте уравнение окружности, концы диаметра которой имеют координаты: (-2;3) и (2;5)

Составьте уравнение окружности, проходящей через начало координат и имеющей центр в точке с координатами (3;-5).

Составьте уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках: (0;-4) и (0;4), а фокусы эллипса в точках: (0;-2) и (0;2).

Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси ОХ, если малая ось равна 16, а эксцентриситет равен 0,6.

Составьте уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку

Отметка «5» ставится за верно выполненные 5 задач,

Отметка «4» ставится за верно выполненные 4 задачи,

Отметка «3» ставится за верно выполненные 2-3 задачи,

Отметка «2» ставится, если выполнено верно менее двух задач.

Источник