Что тяжелее орел или решка
Что тяжелее орел или решка
Классическая теория вероятностей родилась в 17-м веке. Блез Паскаль был первым, кто начал применять математику для анализа азартных игр. В тоже время математик Якоб Бернулли создал закон больших чисел и заявил, что даже самый недалекий человек осознает: чем больше выборка, тем выше вероятность, что она представляет истинную вероятность события. В сфере размещения ставок этот закон более известен, как заблуждение игрока, и может обходиться очень дорого.
Закон больших чисел
В качестве примера возьмем орлянку (подбрасывание симметричной монеты), в которой шансы, что выпадет орел или решка, равняются 50%. Бернулли высчитал, что с увеличением количества раз подбрасывания монеты соотношение результатов выпадения орла и решки приближается к 50%, при этом разница между фактическим количеством подброшенных орлов и решек также возрастает.
А вот вторую часть теоремы Бернулли зачастую неправильно понимают, что привело к введению в оборот понятия заблуждение игрока. Предположим, вы скажете кому-то, что монета была перевернута девять раз и при этом каждый раз выпадал орел, прогнозируемым будет выпадение решки при десятом бросании монеты.
Однако это неверно, поскольку монета не обладает памятью. Поэтому при каждом бросании монеты вероятность выпадения орла или решки одинакова: 0,5 (шанс 50%)
Открытие Бернулли показало, что выборка подбрасывания симметричной монеты становится действительно огромной (например, миллион), а распределение орлов и решек составляет даже не около 50%. Поскольку выборка является настолько большой, в то же время, ожидаемое отклонение от равномерного разделения 50 на 50 может составлять 500.
Это уравнение статистического среднеквадратического отклонения дает нам представление об ожидаемом результате:
В то время как ожидаемое отклонение заметно при большом количестве бросаний, вышеупомянутый пример с девятью бросаниями не демонстрирует достаточно большую выборку для применения этого уравнения.
Поэтому девять бросаний являются просто отрывком из миллионной последовательности бросаний, выборка слишком мала. Для уравнения способом, который предложил Бернулли, необходимо сделать выборку в более чем миллион бросаний. Вместо этого можно образовать последовательность по чистой случайности.
В размещении ставок существует несколько чистых применений ожидаемого отклонения. Самое очевидное из них– для игр казино по типу рулетки, где неуместное убеждение, что последовательности красного или черного, четного или нечетного выравниваются в течение одного сеанса игры может оставить вас без денег. Вот почему понятие заблуждение игрока также известно как ложный вывод Монте-Карло.
В 1913 году в казино Монте-Карло на рулеточном столе черное число выпадало 26 раз подряд. После его 15-го выпадения игроки делали ставку на красное, предполагая, что шансы выпадения еще одного черного числа становятся астрономическими, тем самым иллюстрируя иррациональное убеждение, что один спин как-то влияет на следующий. Вывод Монте-Карло отражает распространённое ошибочное понимание случайности событий. Связана с тем, что, как правило, человек не осознаёт на интуитивном уровне того факта, что вероятность желаемого исхода не зависит от предыдущих исходов случайного события.
Другим примером может быть игровой автомат, являющийся, по сути, генератором случайных чисел с набором RTP (процента возврата игроку). Вы часто можете наблюдать игроков, безуспешно вложивших большие деньги в автомат, не допускающих к нему других игроков, убежденных, что большая победа должна логически следовать за их проигрышами.
Конечно, чтобы сделать такую тактику возможной, игроку придется сыграть чрезвычайно большое количество раз, чтобы достичь RTP.
Осознав закон больших чисел, и закон, и его слабое место, вы не будете одним из тех, кого Бернулли называл недалекими.
Выпадение орла или решки можно точно предсказать
Орел или решка? При определенных условиях результат бросания монеты можно точно предсказать. Этими определенными условиями, как показали недавно польские физики-теоретики, являются высокая точность в задании начального положения и скорости падения монеты.
Выпадение орла или решки при бросании монеты — классический пример случайного процесса с равновероятным исходом. Сравнительно недавно появилась статья польских физиков, которые провели теоретическое исследование данного явления и пришли к выводу, что, в принципе, есть возможность точно предсказать результат выпадения монеты.
Ничего экстраординарного в методе исследования данной проблемы физиками не было придумано. Для начала в своей статье они представили монету в виде цилиндра радиусом r и высотой (толщина монеты) h (см. рис. 1)
Далее исследователи говорили уже о монете как о твердом теле, у которого центр масс может совпадать с геометрическим центром (на рис. 1 точки В и С должны быть совмещены — 3D-идеальная монета), либо, что ближе к реальной ситуации, — координаты геометрического центра и центра масс различны (3D-неидеальная монета — см. рис. 1).
Для полного анализа авторы рассматривают в дальнейшем монету не только как 3D-модель, но и упрощают ее двухмерным (2D) вариантом, означающим, что толщину монеты можно не учитывать, h = 0. Почему это возможно, будет сказано ниже.
Падение монеты и ее последующие столкновения с поверхностью описывались с использованием параметров Родрига—Гамильтона. Этот способ описания твердого тела основан на применении аппарата кватернионов (в англоязычной литературе параметры Родрига—Гамильтона называют параметрами Эйлера; не путать с еще одним методом описания — углами Эйлера, Euler angles). Преимущество кватернионного способа состоит в том, что позволяет избежать сингулярностей в процессе решения уравнений движения (почитать о применении кватернионов для описания кинематики и динамики твердого тела можно здесь, PDF, 1 Мб).
Ученые занимались изучением падения монеты достоинством в один злотый, масса которой составляла 2 г, радиус 1,25 см и толщина 0,2 см, и в своих расчетах они исходили из этих параметров. Предполагалось, что центр масс монеты может быть смещен на некоторое расстояние (3D-модель неидеальной монеты), а может быть не смещен (3D-модель идеальной монеты). Аналогичные варианты были рассмотрены и для 2D-моделей с совпадающим и не совпадающим геометрическим центром и центром масс.
Итак, пусть монета падает с высоты z0 (иными словами, начальное положение центра масс (x0, y0, z0)), перед началом своего движения она ориентирована в пространстве под углами (ψ0, θ0, φ0), начальная скорость движения центра масс исследуемого объекта (ν0x, ν0y, ν0z) и начальные угловые скорости монеты (ωξ0, ωζ0, ωη0). Стоит отметить, что процесс соударения монеты с поверхностью не идеальный (то есть не является ни абсолютно упругим, ни абсолютно неупругим). Существует коэффициент восстановления χ
neveev
neveevNeveev
Sapientia est potentia
Некоторое время назад ко мне обратился один мой подписчик и сообщил, что между ним и его коллегой возник интересный спор по поводу того, какая комбинация орлов и решек, возникающая при подбрасывании монеты, более вероятна, а какая – менее.
Этот спор шел вокруг вопроса о том, какая комбинация более вероятна, если при первом броске выпала решка: РР или РО. Коллега моего подписчика считал, что более вероятна вторая комбинация и объяснял это примерно так:
Другими словами, коллега моего подписчика утверждал, что если нам при первом броске выпала решка, то при втором броске нам с большей вероятностью выпадет орел, чем решка.
Мой подписчик, который прочитал много моих статей о когнитивных искажениях, эвристиках и об ошибках, которые мы делаем, когда пытаемся рассуждать о случайностях и о вероятности тех или событий, знал, что этот вывод неверен и пытался переубедить своего коллегу, показать ошибочность его рассуждений.
Дошло до того, что коллега моего подписчика предложил проверить его вывод эмпирически. Он предлагал сделать это следующим образом.
«Кидаем монету, если выпадает орел, то начинаем заново, если выпадает решка, то фиксируем, какой стороной выпадет монета при втором броске, а затем начинаем следующую попытку».
Всего предлагалось сделать сто таких попыток.
Поскольку мой подписчик был неопытен в сфере споров о теории вероятностей, он согласился на этот опыт, и они стали кидали монету. Они сделали сто попыток, и в итоге распределение получилось примерно 60 на 40, т.е. примерно в шестидесяти случаев из ста после того, как выпала решка, выпал орел, и только в примерно сорока случаях после решки снова выпала решка.
Эти данные коллега моего подписчика, естественно, обратил в свою пользу и сказал что-то вроде того, что 60 стремится к 75, и если бы было больше попыток, например, не сто, а тысяча, то соотношение РО/РР было бы еще ближе (!) к 75/25.
Как же обстоят дела на самом деле?
Какова вероятность того, что при двух подбрасываниях монеты, она каждый раз упадет решкой? Тут коллега моего подписчика абсолютно прав. Эта вероятность составляет ¼ или 25%. Такова же и вероятность каждого из трех альтернативных исходов.
Действительно, всего существует четыре варианта исходов двукратного подбрасывания монеты:
Но дело в том (и это ключевой момент!), что если нам уже выпала решка, то число возможных комбинаций сокращается с четырех до двух: РР и РО. Другими словами, если нам уже выпала решка, то при следующем подбрасывании нам выпадет или орел, или решка. Вариантов всего два, а значит вероятность каждого из них составляет ½ или 50%.
Учитывая вот это изменение ситуации после первого броска, которого человек не понял, не уловил, можно предположить, что механизм, лежащий в основе ошибочного вывода коллеги моего подписчика, примерно тот же, что лежит в основе знаменитого парадокса Монти Холла.
Кроме того, возможно, в основе того, что коллеге моего подписчика более вероятной казалась, так сказать, гетерогенная комбинация – РО – лежит и эвристика репрезентативности.
Не менее вероятно и то, что коллега моего подписчика просто не очень хорошо понимает теорию вероятностей, проще говоря, прорешал мало соответствующих учебных задач.
– Но почему же в процессе эмпирической проверки соотношение комбинаций РО к РР, – спросит кто-то, – не составило 50 на 50, как это должно было бы быть в соответствии с нашими расчетами?
Здесь мы можем вспомнить совершенно правильное утверждение коллеги моего подписчика о том, почему эмпирическое соотношение разошлось с теоретическим: попыток маловато.
Действительно, в случае, если бы они записали исходы тысячи попыток, соотношение еще сильнее приблизилось бы к 50/50.
Ну, а в заключение я бы хотел отметить, что описанный реальный случай не только интересен сам по себе, но и позволяет сделать несколько очень полезных выводов и сформулировать достаточно ценные рекомендации. Давайте же их перечислим.
masterok
Мастерок.жж.рф
Хочу все знать
Мы как то с вами разбирались, что такое ПАРАДОКС ДНЕЙ РОЖДЕНИЯ В КОЛЛЕКТИВЕ, а сейчас еще одна казалось бы необычная задачка.
Если же первой складывается ваша комбинация — его двадцатка ваша. Если вы оба играете честно, кажется, что ваши шансы на выигрыш составляют 50 на 50, не так ли?
А вот и не всегда так. Смотрите …
Даже если у вас нет монет с секретом, зеркал или магнита, и вероятность каждого броска действительно 50 на 50, вы все еще можете манипулировать игрой. У вашего соперника есть 87-процентный шанс обыграть вас, и секрет в том, чтобы сделать свой ход вторым. Допустим, человек, совершивший первый ход, назвал: «орел, орел и решка». Задача второго игрока — запомнить и выполнить два шага:
Ваше первое название должно быть противоположным второму названию соперника. В этом случае — решка.
Ваши второе и третье названия должны совпадать с первыми двумя названиями соперника. В этом случае — орел, орел.
Допустим, вы сдаете карты в игре в покер. При этом уточним: вы — опытный сдающий, а не один из тех людей, которые просто неумело крутят карты в руках как дети. Вы мастерски тасуете карты, перебрасываете их из руки в руку, жонглируете, и т. д., пока, в конечном счете, не приходите к выводу, что карты расположены в абсолютно случайном порядке.
Каковы шансы, что конфигурация колоды, которую вы сейчас держите, такая же, как той, которую вы перемешивали в прошлый раз? Один шанс из 1000? Один из 10000? Не забываем, что у нас всего 52 карты.
Сейчас вы должны почувствовать себя особенным, потому что почти бесспорно, что конфигурация колоды, которую вы держите в руке, никогда не создавалась ни одним человеком за всю историю человечества на этой Земле, и ни в одной из ее параллельных Вселенных. Вы сейчас держите в руках нечто, что никогда не будет снова создано, отныне и до самого конца времен.
Согласитесь, непохоже, что 52 карты — это много. Но для попытки подсчитать количество возможных комбинаций из этих карт, вам понадобится не один свободный вечер. Общее количество статистических комбинаций колоды из 52-х карт — это то, что известно как «52 факториал», или «52!».
Полностью это число выглядит так:
80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,4 03,766,975,289,505,440,883,277, 824,000,000,000,000.
Представьте, что «если бы у каждой звезды в нашей галактике было триллион планет, а на каждой планете жило бы триллион людей, и у каждого человека был триллион колод карт, и они бы перетасовывали карты 1000 раз в секунду и делали это со времен Большого взрыва, то возможно, только сейчас порядок бы повторился».
Если это взрывает вам мозг, подумайте об этом так: есть только 52 карты, но в алфавите почте вдвое меньше букв. А теперь задумайтесь о количестве книг, написанных путем комбинации этих букв. Их невероятно много.
Теория вероятностей не так проста как кажется
Что нужно знать о теории вероятностей?
Автор — доцент института религиозных исследований и критической оценки Австралийского католического университета в Мельбурне. Его работы опубликованы в Journal of Philosophy и др.
Азартный игрок, физик-теоретик и присяжный рассуждают о теории вероятностей: какова вероятность выигрыша, радиоактивного распада и виновности подсудимого. Но, несмотря на повсеместность подобных рассуждений, эксперты спорят о самом существовании вероятностей. Это приводит к разногласиям о методах рассуждения: нужно учесть вероятность разногласий о способности когнитивных искажений усугублять, например, к игнорированию доказательств, противоречащих нашим убеждениям. Таким образом, понимание теории вероятностей может помочь нам рассуждать лучше.
Три популярные теории рассматривают вероятности c точки зрения частоты повторения, предрасположенности и степени уверенности. Допустим, я скажу вам, что если вы подбросите монетку, то с вероятностью в 50% выпадет «орёл». Речь в этих теориях идет соответственно о частоте повторения, с которой выпадает «орел»; физических свойствах монеты и тенденции к выпадению «орла»;
ВЕРОЯТНОСТЬ ВЫПАДЕНИЯ «ОРЛА» ПРИ ПЕРВОМ БРОСКЕ СОСТАВЛЯЕТ 75%.
Но у каждой из вышеописанных теорий есть небольшие проблемы. Рассмотрим следующий случай:
Адам подбрасывает симметричную монету*, которая становится невидимой после четвертого броска. Друзья Адама Бет, Чарльз и Дэйв сидят рядом, но с завязанными глазами. После четвертого броска Бет говорит: «вероятность того, что в первый раз выпал «орел» составляет 50%».
Затем Адам говорит друзьям, что «орел» выпал три раза из четырех. Чарльз считает, что вероятность выпадения «орла» при первом броске составляет 75%.
Несмотря на то, что Дэйв владеет той же информацией, что и Чарльз, он говорит: «я не согласен. Вероятность того, что при первом броске выпал «орел» составляет 60%».
*Симметричная монета — математическая монета, используемая в теории вероятностей, лишена многих качеств настоящей монеты. У математической монеты нет цвета, размера, веса и достоинства. Монета с точки зрения теории вероятностей имеет только две стороны, одна из которых называется «орел», а другая —«решка». Монету бросают, и она падает одной из сторон вверх. Никакие другие свойства математической монете не присущи — прим. переводчика.
Частота повторения не соответствует утверждению Бет. «Орел» выпал с частотой три из четырех, но подбросить монету снова нельзя. Кажется, Бет права: вероятность выпадения «орла» при первом броске составляет 50%.
В то же самое время, Чарльз говорил о тенденции к выпадению «орла». Поскольку это симметричная монета, и «орел» и «решка» могут выпасть с одинаковой вероятностью. Кажется, Чарльз оказался прав заявив, что вероятность выпадения «орла» при первом броске составляет 75%. Степень уверенности имеет смысл в двух утверждениях — и Бет и Чарльз уверены в том, что выпал «орел».
Но давайте рассмотрим утверждение Дейва. С одной стороны, когда Дейв говорит, что вероятность выпадения «орла» равна 60%, он врет. Но с другой стороны, если Дейв действительно уверен, что вероятность выпадения «орла» составляет 60%, то он говорит правду, исходя из степени своей уверенности.
Некоторые философы считают, что подобные случаи поддерживают плюралистический подход, при котором учитывается существование самых разнообразных вероятностей. Я же считаю, что следует рассмотреть теорию вероятностей с четвертой точки зрения — уровня поддержки.
Здесь вероятности рассматриваются как совокупность доказательств между утверждениями.
Когда Бет говорит, что «орел» выпадет с вероятностью 50%, она подразумевает, что эта вероятность зависит от ранее полученной информации — например о том, что монета симметричная. Однако, вероятность меняется относительно другой информации. Когда Чарльз говорит, что «орел» выпадет с вероятностью 75%, он имеет в виду, что вероятность равносильна информации о том, что «орел» выпал три раза из четырех. Между тем, Дэйв говорит, что вероятность выпадения «решки» составляет 60% по отношению к той же информации, но поскольку мы знаем, что «орел» выпал три раза из четырех, Дэйв лжет.
Степень уверенности объединяет все три теории и помогает решить существующие проблемы. Она помогает зафиксировать связь между вероятностью и степенью уверенности не идентифицируя их — степень уверенности должна рационально ограничиваться уровнем поддержки. Причина, по которой я должен быть на 50% уверен в том, что выпадет «орел» (при условии, что все, что мне известно о монете — то, что она симметричная), заключается в качестве доказательств, подтверждающих эту гипотезу.
Точно так же, благодаря уровню поддержки, мы знаем, что «орел» выпадал с частотой повторения 75% (что делает выпадение «орла» вероятным на 75% при любом броске). Подобный подход фиксирует связь между частотой повторенияи вероятностью, но не означает, что частота повторения и вероятность — одно и то же. Вместо этого, вероятности могут быть связаны утверждениями о частоте повторения и конкретных людях.
Наконец, тенденция к выпадению «орла» свойственна уровню поддержки, что с одной стороны, говорит о физических свойствах монеты, а с другой о вероятности выпадения «орла» или «решки» — иными словами, данный подход определяет влияют ли физические свойства монеты на ее «поведение». В более широком смысле, причину и следствие связывает предрасположенность — например, описание строения атома и гипотезу о его распаде.
Поскольку все вышеизложенное делает вероятности самостоятельными структурами, наши четыре теории подскажут как определить принцип произведения вероятностей.
Абстрактный объект — объект, созданный какой-либо абстракцией или при посредстве какой-либо абстракции; когнитивно представленный объект познания, репрезентирующий те или иные сущностные аспекты, свойства, отношения вещей и явлений окружающего мира — прим. переводчика.
Скептик может сказать, что подбрасывать монетку легко. Представьте, что вы присяжный. Как определить вероятность совершения убийства подсудимым, чтобы понять существуют ли основания для сомнения в его невиновности?
Ответ: нужно больше думать. Во-первых, задать вопрос: существуют ли доказательства совершения преступления? Мы должны выяснить, насколько убедительны эти доказательства и подтверждают ли они гипотезу о виновности подсудимого. Возможно, наше внимание привлекут отпечатки пальцев на орудии убийства.
Затем следует спросить: можем ли мы математически рассчитать вероятности, чтобы в свете доказательств опровергнуть вероятность нашей гипотезы, заменив ее более приемлемой? Теперь нас интересует вероятность причины-следствия — обвиняемый совершил убийство (причина), его отпечатки пальцев обнаружили на орудии убийства (следствие). позволяет вычислить роль трех дополнительных вероятностей: априорной вероятности причины, вероятности следствия, вызванного этой причиной, и вероятности следствия без причины.
Так как это относится к любой имеющейся у нас информации, первая вероятность (причина) определена тем, что нам известно о мотивах и возможностях подсудимого. Мы можем разобраться с третьей вероятностью (следствие без причины), разбив вероятность невиновности подсудимого на другие возможные причины смерти жертвы; узнать какова вероятность каждой из них, а так же с какой вероятностью отпечатки пальцев подсудимого могут попасть на орудие убийства. В конечном итоге, мы определим вероятность того, что другие вероятности больше не «разбиваются».
Теперь мы можем вывести общие принципы для определения вероятностей, либо опереться на интуитивные суждения, как в случае с подбрасыванием монеты.
Рассуждения о преступниках, а не о монетах, вряд ли приведут к взаимодействию вероятностей. Но альтернативы нет. Просто собирая дополнительную информацию мы не разрешим разногласия об истинности той или иной гипотезы. Добиться прогресса можно только путем философского осмысления огромного количества вероятностей, имеющейся информации и того, насколько она поддерживает одну вероятность по сравнению с другой.