что такое сумма цифр числа
Сумма и произведение цифр числа в Python
Сложить или перемножить цифры числа — задача, встречающаяся почти каждому программисту. Она позволяет не только проверить умение писать код и придумывать правильные алгоритмы, но и даёт возможность оценить синтаксис и функционал используемого языка.
Сумма цифр
Реализация программы на разных языках программирования мало чем отличается. Но из-за концепций и особенностей синтаксиса решение на языке Python получается более коротким и простым, чем, например, решение на C++.
Полный код программы нахождения суммы цифр числа на Python выглядит так:
В первой строке программа запрашивает ввод числа, цифры которого будут складываться.
Во второй строке объявляется переменная, в которую будет записываться сумма. Переменная обязательна должна быть равна нулю. Иначе полученная сумма будет отличаться от реальной (некоторые люди путают сложение и произведение чисел, поэтому пишут не ноль, а единицу).
В цикле while происходит суммирование цифр. В 4 строке программа получает младший разряд числа. Например, если число равно 125, программа получает 5. Полученный младший разряд прибавляется к переменной суммы.
Строка 5: использованный младший разряд отбрасывается (делится на 10), то есть если было 125, то станет 12. Обязательно необходимо использовать целочисленное деление, то есть деление без остатка, иначе цифра не отбросится, а уйдет в дробную часть результата.
В 6 строке программа выводит результат суммирования в консоль. Пример выполнения:
В этом примере мы посчитали с помощью Python сумму цифр трёхзначного числа 555.
Произведение цифр
Программа на Python для вычисления произведения цифр числа имеет похожую структуру и принцип работы. Однако есть некоторые важные отличия:
Во-первых, переменная для хранения произведения равна единице, если присвоить ей ноль, то и само произведения будет всегда равно нулю. Во-вторых, теперь в цикле while очередная цифра не прибавляется к переменной, а является её множителем.
Важный момент, из-за того что оператор умножения имеет более высокий приоритет выполнения, чем оператор остатка от деления, выражение «num % 10» помещается в круглые скобки. Если не сделать этого, программа сначала будет умножать переменную mult на число и только потом брать от неё остаток.
Пример работы программы:
Частные случаи
Рассмотренные варианты программ являются самыми простыми. Однако существует ещё много частных случаев.
Число задано строкой
Когда программа получает ввод с помощью input, интерпретатор автоматически присваивает переменной строковый тип, если попытаться использовать эту переменную в вычислениях, возникнет ошибка.
В рассмотренных скриптах эта проблема была решена следующим образом:
Задано дробное
Рассмотрим программу для вычисления произведения цифр дробного числа (аналогично с суммой):
Пример выполнения программы:
Эта программа правильно вычисляет произведение цифр любого числа:
При приведении к действительному
Если бы в переменной реально было бы записано значение 5.55, то программа работала бы нормально. Однако в переменную b на самом деле помещается 0,54999… Это приводит к бесконечному выделению и отбрасыванию старшего разряда.
Вот пример вывода полученной программы:
Таким образом прошло много итераций и в итоге b стало равно 0. В ходе перемножений среди цифр из которых состояло b были и нули. Поэтому результат равен 0.
Математика для блондинок
Страницы
воскресенье, 18 марта 2018 г.
Сумма цифр числа
Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.
1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.
 |
| Разрезание графического символа |
3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.
 |
| Преобразование цифр в числа |
4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.
 |
| Сложение чисел |
Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.
С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про странный значок. Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.
 |
| Сумма цифр числа |
Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.
Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.
Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.
Нумерология: никакого гадания, только теория чисел
В данной статье речь пойдёт о таких понятиях теории чисел, как цифровой корень и ведический квадрат.
Данная статья ничего не говорит о нумерологии, кроме того, что это псевдонаучная концепция.
Цель данной статьи: показать математические закономерности вокруг вычисления цифрового корня и его связь с циклическими числами.
Введение
Несколько дней назад я решил написать незатейливую статью про нумерологическое сложение. Моей целью было показать, что даже такая незамысловатая операция может иметь большое количество интересных закономерностей. Многие из этих закономерностей я нашёл ещё в школьное время, когда скучал на уроках географии. При внимательном рассмотрении я нашёл больше закономерностей, чем ожидал, и это привело меня назад к моей любимой теме full reptend prime.
После я внимательно изучил то, что нашёл, узнал, что многие из этих понятий уже существуют, и решил переписать статью заново, чтобы опираться на общеизвестные понятия. Помимо известных понятий я добавил собственные визуализации, чтобы сделать чтение немного более увлекательным.
Сумма цифр и цифровой корень
Аддитивная стойкость натурального числа — это количество итераций, на которых нужно применить операцию суммы цифр, для того чтобы получить цифровой корень.
Пример: Цифровая сумма числа 142857 равна 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27
Цифровая сумма числа 27 равна 2 + 7 = 9
Как следствие, цифровой корень числа 142857 = 9, аддитивная стойкость 142857 = 2.
Код для вычисления цифрового корня в произвольной системе счисления на языке Python:
Применение цифровой суммы
Цифровые суммы применялись при расчёте контрольных сумм для проверки арифметических операций ранних компьютеров. Ранее, в эпоху ручного счета, Фрэнсис Исидор Эджуорт предложил использовать суммы 50 цифр, взятых из математических таблиц логарифмов, в качестве формы генерации случайных чисел; если предположить, что каждая цифра случайна, то по центральной предельной теореме эти цифровые суммы будут иметь случайное распределение, близкое к гауссову распределению.
Цифровая сумма двоичного представления числа известна как вес Хэмминга или численность населения. Алгоритмы выполнения этой операции были изучены, и она была включена в качестве встроенной операции в некоторые компьютерные архитектуры и некоторые языки программирования. Эти операции используются в вычислительных приложениях, включая криптографию, теорию кодирования и компьютерные шахматы.
Улучшение алгоритма вычисления цифрового корня
Свойства цифрового корня
Операция сложения
Сделаем небольшую таблицу, для того чтобы изучить закономерности, каким образом вычисляется цифровой корень суммы двух чисел:
Таблица для анализа операции цифрового корня суммы двух чисел.
Код для построения таблицы суммы:
Как можно увидеть, цифровой корень суммы чисел равен цифровому корню суммы цифровых корней этих чисел:
Операция вычитания
Формула похожа на предыдущую, однако совпадает не полностью.
Операция умножения
Выведем вариацию таблицы умножения, для того чтобы исследовать эту операцию:
Расчет цифрового корня от двух множителей
Код для вывода таблицы умножения:
Запишем значения для каждого множителя:
1) [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
2) [2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 9]
3) [3, 6, 9, 3, 6, 9, 3, 6, 9]
4) [4, 8, 3, 7, 2, 6, 1, 5, 9]
5) [5, 1, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9]
6) [6, 3, 9, 6, 3, 9, 6, 3, 9]
7) [7, 5, 3, 1, 8, 6, 4, 2, 9]
8) [8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 9]
9) [9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9]
Последовательности для множителей 1, 2, 3, 4. Они же являются зеркальными для 8, 7, 6, 5.
Для нахождения последовательности любой линии можно записать формулу:
Если записать эти значения как множество пересечений всех множителей, мы получим в результате ведический квадрат.
Ведический квадрат для десятичной системы счисления.
Приведение ведического квадрата к латинскому квадрату в десятичной системе счисления.
В результате мы получим:
Подмножество ведического квадрата, составляющее латинский квадрат в десятичной системе счисления.
Если переставить некоторые из его строчек местами, мы получим последовательность циклических чисел. О том, каким образом должны быть осуществлены перестановки строчек, будет рассказано ниже при исследовании других операций с цифровым корнем.
Ведические квадраты для систем счисления 100 и 1000.
Теперь вернемся к произведению. Цифровой корень произведения одиночных цифр в заданной системе счисления вычисляется при помощи соответствующего ведического квадрата.
Для вычисления цифрового корня произведения двух чисел, которые содержат больше одной цифры, для начала нужно вычислить цифровой корень каждой из этих цифр, и после этого воспользоваться ведической площадью.
Операция деления
Рассмотрим те числа, которые дают при делении непериодические дроби, это 2, 5, 4, 8.
Для того чтобы быть уверенными, что мы не допускаем ошибок, воспользуемся уже выведенными правилами и умножим результат деления на 1000; так как цифровой корень 1000 равен 1, то произведение будет иметь тот же самый цифровой корень.
Таблица деления для делителей, которые взаимно просты с десятичной системой счисления.
Тут бросаются в глаза несколько закономерностей. Число 9 не только при умножении, но и при делении приводит к значению цифрового корня, равному 9. Интересное происходит также с числами 3 и 6, эти числа как при умножении, так и при делении дают абсолютно одинаковые значения цифрового корня.
Запишем в таблицу череду делений:
Операция деления для цифрового корня определена только для делителей, которые не являются взаимно простыми с основанием системы счисления.
Операция возведения в степень
Таблица возведения в степень:
Таблица возведения в степень в десятичной системе счисления.
Здесь мы можем наблюдать цикличность.
Рассмотрим систему счисления 8, череда его значений будет равна [1, 3, 2, 6, 4, 5]. Именно такие же остатки от деления мы получаем при делении числа в десятичной системе счисления.
Деление 1 на 7 в столбик. Здесь мы можем наблюдать остатки от деления [1, 3, 2, 6, 4, 5]. Последовательность полученная при возведении в степень, в восьмеричной системе счисления.
Это свойство связано с тем, что вычисление цифрового корня можно осуществить при помощи альтернативной формулы расчета цифрового корня:
Ещё визуализации
Остатки от деления, найденные в 6 системе счисления, связанные с числом 5. Остатки от деления, найденные в 10 системе счисления, связанные с квадратом числа 3. Остатки от деления, найденные в 12 системе счисления, связанные с числом 11. Остатки от деления, найденные в 14 системе счисления, связанные с числом 13. Остатки от деления, найденные в 18 системе счисления, связанные с числом 17. Остатки от деления, найденные в 20 системе счисления, связанные с числом 19. Остатки от деления, найденные в 26 системе счисления, связанные с квадратом числа 5. Остатки от деления, найденные в 28 системе счисления, связанные с кубом числа 3.
Теперь приведём несколько картинок из ведических квадратов, принцип их формирования очень прост, потому ограничимся небольшим количеством:
Замкнутая фигура из 6 системы счисления, связана с числом 5. Замкнутые фигуры из 8 системы счисления, связанные с числом 7. Замкнутые фигуры из 12 системы счисления, связанные с числом 11.
Образование циклических чисел при помощи ведической площади и остатков от деления
После того как мы получили латинский квадрат из ведического квадрата, пронумеруем его строки последовательно:
Пронумерованный латинский квадрат.
Теперь мы можем переставить строки на основании череды остатков от деления, таким образом мы получим последовательность циклических чисел. Напомню, остатки от деления были равны [1, 3, 2, 6, 4, 5]. В результате у нас получится следующая картина:
Перестановки в пронумерованном латинском квадрате, в результате мы получили циклическое число.
Как можно наблюдать, первый столбец теперь представляет собой циклическое число 142857.
Выводы
Несмотря на плохую репутацию нумерологии, операции суммы цифр и цифрового корня имеют пусть не широкое, но всё же практическое применение.
Например, с помощью цифрового корня можно сформировать множество замкнутых n-вершинных звезд, многие из которых очень любят современные рок\метал группы 🙂
Как можно видеть, многие метал группы тоже любят теорию чисел!
Но лично я для своей метал группы решил выбрать анимированный логотип, составленный из одновременной визуализации периодических дробей, образованных из 90 рациональных дробей 1/91..90/91:
Почему я выбрал число 91, которое является произведением 7 и 13? Речь об этом пойдет в следующей статье 🙂
Если у кого-то есть дополнительная информация об описанных выше понятиях, пожалуйста присылайте её в комментарии, я буду очень благодарен!
Надеюсь, что вам было интересно, большое спасибо за внимание!
Сумма и произведение цифр числа
Одной из часто используемых задач для начинающих изучать программирование является нахождение суммы и произведения цифр числа. Число может вводиться с клавиатуры или генерироваться случайное число. Задача формулируется так:
Дано число. Найти сумму и произведение его цифр.
Например, сумма цифр числа 253 равна 10-ти, так как 2 + 5 + 3 = 10. Произведение цифр числа 253 равно 30-ти, так как 2 * 5 * 3 = 30.
Обычно предполагается, что данная задача должна быть решена арифметическим способом. То есть с заданным число должны производиться определенные арифметические действия, позволяющие извлечь из него все цифры, затем сложить их и перемножить.
И здесь на помощь приходят операции деления нацело и нахождения остатка. Если число разделить нацело на 10, произойдет «потеря» последней цифры числа. Например, 253 ÷ 10 = 25 (остаток 3). С другой стороны, эта потерянная цифра есть остаток от деления. Получив эту цифру, мы можем добавить ее к сумме цифр и умножить на нее произведение цифр числа.
Пусть n – само число, suma – сумма его цифр, а mult – произведение. Тогда алгоритм нахождения суммы и произведения цифр можно словесно описать так:
Код программы на языке Python
Изменение значений переменных можно записать в сокращенном виде:
Приведенная выше программа подходит только для нахождения суммы и произведения цифр натуральных чисел, то есть целых чисел больше нуля. Если исходное число может быть любым целым, следует учесть обработку отрицательных чисел и нуля.
Если число отрицательное, это не влияет на сумму его цифр. В таком случае достаточно будет использовать встроенную в Python функции abc(), которая возвращает абсолютное значение переданного ей аргумента. Она превратит отрицательное число в положительное, и цикл while с его условием n > 0 будет работать как и прежде.
Программа, обрабатывающая все целые числа, может начинаться так:
Заметим, если в самом числе встречается цифра 0 (например, 503), то произведение всех цифр будет равно нулю. Усложним задачу:
Вводится натуральное число. Найти сумму и произведение цифр, из которых состоит это число. При этом если в числе встречается цифра 0, то ее не надо учитывать при нахождении произведения.
Для решения такой задачи в цикл добавляется проверка извлеченной цифры на ее неравенство нулю. Делать это надо до умножения на нее значения переменной-произведения.
Приведенный выше математический алгоритм нахождения суммы и произведения цифр числа можно назвать классическим, или универсальным. Подобным способом задачу можно решить на всех императивных языках, независимо от богатства их инструментария. Однако средства языка программирования могут позволить решить задачу другим, зачастую более простым, путем. Например, в Python можно не преобразовывать введенную строку с числу, а извлекать из нее отдельные символы, которые преобразовывать к целочисленному типу int:
Если добавить в код проверку, что извлеченный символ строки действительно является цифрой, то программа станет более универсальной. С ее помощью можно будет считать не только сумму и произведение цифр целых чисел, но и вещественных, а также цифр, извлекаемых из произвольной строки.
Строковый метод isdigit() проверяет, состоит ли строка только из цифр. В нашем случае роль строки играет одиночный, извлеченный на текущей итерации цикла, символ.
Глубокое знание языка Python позволяет решить задачу более экзотическими способами:
Встроенная функция sum() считает сумму элементов переданного ей аргумента.