Что такое полная вероятность

Учебник по теории вероятностей

1.6. Формула полной вероятности и формула Байеса

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность, вероятности появления которых Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность. Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность, которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность.

По теореме умножения вероятностей

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность,

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность.

Аналогично, для остальных гипотез

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

Полученная формула называется формулой Байеса ( формулой Бейеса). Вероятности гипотез Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятностьназываются апостериорными вероятностями, тогда как Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность— априорными вероятностями.

Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятностьобозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.

Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

Решение. Возможны три гипотезы:

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность— на линию огня вызван первый стрелок,

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность— на линию огня вызван второй стрелок,

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность— на линию огня вызван третий стрелок.

Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

по формуле Байеса находим вероятность гипотезы Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятностьпосле опыта:

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

Пример. На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2% брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго.

а) Каков процент брака на конвейере?

б) Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере?

Решение. Возьмем с конвейера наудачу одну деталь и рассмотрим событие А – деталь бракованная. Оно связано с гипотезами относительно того, где была обработана эта деталь: Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность– взятая наудачу деталь обработана на Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность-ом станке, Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность.

Условные вероятности (в условии задачи они даны в форме процентов):

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

Зависимости между производительностями станков означают следующее:

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность.

А так как гипотезы образуют полную группу, то Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность.

Решив полученную систему уравнений, найдем: Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность.

а) Полная вероятность того, что взятая наудачу с конвейера деталь – бракованная:

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность.

Другими словами, в массе деталей, сходящих с конвейера, брак составляет 4%.

б) Пусть известно, что взятая наудачу деталь – бракованная. Пользуясь формулой Байеса, найдем условные вероятности гипотез:

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность,

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность,

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность.

Таким образом, в общей массе бракованных деталей на конвейере доля первого станка составляет 33%, второго – 39%, третьего – 28%.

Видео-уроки на тему полной вероятности и формулы Байеса

В первом уроке вы можете посмотреть подробный вывод с доказательством формулы Бейеса (любителям теории):

А здесь будут разобраны несколько типовых задач и на формулу полной вероятности, и на формулу Байеса:

Источник

Полная вероятность и формула Байеса

п.1. Зависимые события и условные вероятности

Чтобы вспомнить о сложении и умножении вероятностей и независимых событиях – см. §39 справочника для 9 класса.

Напомним, что два случайных события A и B называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого.
Например: при бросании монеты несколько раз каждый следующий бросок совершенно не зависит от предыдущих.

Например:
Рассмотрим урну, в которой находится 3 белых и 3 черных шара.
Мы достаем шары, смотрим на их цвет и не возвращаем их на место. События в последовательности становятся зависимыми.
Пусть событие A=»в 1й раз достаем черный шар»,
Событие B=»во 2й раз достаем белый шар»
Событие C=»во 2й раз достаем черный шар»
После того, как произошло событие A, в урне остается 3 белых и 2 черных шара.
Тогда условная вероятность для события B при условии, что событие A произошло:
\(P(B|A)=\frac35\)
Аналогично, условная вероятность для события C:
\(P(B|A)=\frac25\)

п.2. Вероятность совместного появления событий

п.3. Формула полной вероятности

iКлассК-во
учеников
\(P(B_i)\)К-во
знатоков
\(P(A|B_i)\)\(P(B_i)\cdot P(A|B_i)\)
111A3535/100=0,351010/35=2/70,1
211Б3535/100=0,3577/35=1/50,07
311В3030/100=0,3103/30=1/100,03
Всего100120×0,2

Получаем полную вероятность \(P(A)=\sum_^3 P(B_i)\cdot P(A|B_i)=0,2\)
В данном случае ответ можно получить и проще: 20 знатоков на 100 человек дает \(P(A)=0,2\).

п.4. Формула Байеса

п.5. Примеры

Пример 1. Двигатель работает в трех режимах: нормальном (65% времени), форсированном (25% времени) и холостом. Вероятность поломки в каждом из режимов соответственно равна \(p_1=0,1;\ p_2=0,8;\ p_3=0,05\).
а) найдите вероятность поломки двигателя во время работы;
б) двигатель сломался. Какова вероятность, что он в этот момент работал в форсированном режиме?

iРежимЧасть
времени
\(P(B_i)\)
Вероятность
поломки
\(P(A|B_i)\)
\(P(B_i)\cdot P(A|B_i)\)
1Нормальный0,650,10,065
2Форсированный0,250,80,2
3Холостой0,10,050,005
Всего1×0,27

Ответ: a) 0,27; б) \(\frac<20><27>\approx 0,741\)

Пример 2. В состязании лучников участвуют три стрелка. Вероятность попадания в мишень для каждого из них равна 0,3; 0,5 и 0,7. Один из стрелков стреляет и не попадает. Какова вероятность, что это был:
а) первый стрелок;
б) второй стрелок;
в) третий стрелок;

i\(P(B_i)\)Вероятность
промаха
\(P(A|B_i)\)
\(P(B_i)\cdot P(A|B_i)\)
1\(\frac13\)1-0,3=0,7\(\frac13\cdot 0,7=\frac<7><30>\)
2\(\frac13\)1-0,5=0,5\(\frac13\cdot 0,5=\frac<1><6>\)
3\(\frac13\)1-0,7=0,3\(\frac13\cdot 0,3=\frac<1><10>\)
1×0,5

Пример 3. Три фрилансера на площадке выполняют заказы в отношении по количеству 3:4:3. Доля успешно выполненных заказов для каждого из них составляет 98%, 95% и 90%.
а) найдите вероятность успешного выполнения заказа на площадке;
б) найдите вероятность неуспеха на площадке;
в) кто из фрилансеров, вероятнее всего, виноват в неуспешной работе?

i\(P(B_i)\)Вероятность успеха
\(P(A|B_i)\)
\(P(B_i)\cdot P(A|B_i)\)
10,30,980,294
20,40,950,38
30,30,90,27
1×0,944

Ответ: а) 0,944; б) 0,056; в) третий фрилансер.

Источник

Теория вероятностей, формулы и примеры

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка».

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Вероятность — это степень возможности, что какое-то событие произойдет. Если у нас больше оснований полагать, что что-то скорее произойдет, чем нет — такое событие называют вероятным.

Ну, скажем, смотрим на тучи и понимаем, что дождь — вполне себе вероятное событие. А если светит яркое солнце, то дождь — маловероятное или невероятное событие.

Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайные величины можно разделить на две категории:

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта). Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, которая нужна, чтобы проанализировать его через теорию вероятностей.

Формулы по теории вероятности

Теория вероятности изучает события и их вероятности. Если событие сложное, то его можно разбить на простые составные части — так легче и быстрее найти их вероятности. Рассмотрим основные формулы теории вероятности.

Случайные события. Основные формулы комбинаторики

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

Классическое определение вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное.

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

Геометрическое определение вероятности

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:

P(A)= m(A)/m(G), где m(G) и m(A) — геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и события А соответственно

Чаще всего, в одномерном случае речь идет о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, а в трехмерном — об объемах тел.

Пример. Какова вероятность встречи с другом, если вы договорились встретиться в парке в промежутке с 12.00 до 13.00 и ждете друг друга 5 минут?

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы — приглашаем на вводный урок!

Сложение и умножение вероятностей

Теорема о сложении вероятностей звучит так: вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B)

Эта теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

Если случайные события A1, A2. An образуют полную группу несовместных событий, то справедливо равенство:

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Вторая теорема о сложении вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей: вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

P(AB) = P(A) * P(B)

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8.

Найдем вероятности того, что формула содержится:

А — формула содержится в первом справочнике;

В — формула содержится во втором справочнике;

С — формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

Ответ: 1 — 0,188; 2 — 0,452; 3 — 0,336.

Формула полной вероятности и формула Байеса

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

По теореме умножения вероятностей:

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

Аналогично, для остальных гипотез:

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

Эта формула называется формулой Байеса. Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как — априорными вероятностями.

Пример. Одного из трех стрелков вызывают на линию огня, он производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто бывает, что одно и тоже испытание повторяется многократно, и исход каждого испытания независит от исходов других. Такой эксперимент называют схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы. А вероятность появления события А в каждом случае постоянна и не изменяется от испытания к испытанию.

Биномиальное распределение — распределение числа успехов (появлений события).

Пример. Среди видео, которые снимает блогер, бывает в среднем 4% некачественных: то свет плохой, то звук пропал, то ракурс не самый удачный. Найдем вероятность того, что среди 30 видео два будут нестандартными.

Опыт заключается в проверке каждого из 30 видео на качество. Событие А — это какая-то неудача (свет, ракурс, звук), его вероятность p = 0,04, тогда q = 0,96. Отсюда по формуле Бернулли можно найти ответ:
Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

Ответ: вероятность плохого видео приблизительно 0,202. Блогер молодец🙂

Наивероятнейшее число успехов

Биномиальное распределение ( по схеме Бернулли) помогает узнать, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов k (появлений события) выглядит так:

Пример. В очень большом секретном чатике сидит 730 человек. Вероятность того, что день рождения наугад взятого участника чата приходится на определенный день года — равна 1/365 для каждого из 365 дней. Найдем наиболее вероятное число счастливчиков, которые родились 1 января.

Формула Пуассона

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно. Например, 0.97 999 вычислить весьма затруднительно.

В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

Здесь λ = np обозначает среднее число появлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для p ≤ 0,1 и np ≤10.

События, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность, что они произойдут — очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

При больших np рекомендуют применять формулы Лапласа, которую рассмотрим чуть позже.

Пример. В айфоне 1000 разных элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

P1000(3) = λ 3 /3! * e −λ = 2 3 /3! * e −2 ≈ 0,18.

Ответ: ориентировочно 0,18.

Теоремы Муавра-Лапласа

Кроме того, пусть Pn(k1;k2) — вероятность того, что число появлений события А находится между k1 и k2.

Локальная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

Интегральная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

Что такое полная вероятность. Смотреть фото Что такое полная вероятность. Смотреть картинку Что такое полная вероятность. Картинка про Что такое полная вероятность. Фото Что такое полная вероятность

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые пригодятся, чтобы правильно пользоваться таблицей значений этих функций:

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при npq ≥ 9. Причем чем ближе значения q, p к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность по сравнению с исходной формулой Бернулли.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *