Что такое полная вероятность
Учебник по теории вероятностей
1.6. Формула полной вероятности и формула Байеса
Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле
.
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых
. Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий
, которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности
Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез .
По теореме умножения вероятностей
,
.
Аналогично, для остальных гипотез
Полученная формула называется формулой Байеса ( формулой Бейеса). Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как
— априорными вероятностями.
Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.
Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:
Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:
Решение. Возможны три гипотезы:
— на линию огня вызван первый стрелок,
— на линию огня вызван второй стрелок,
— на линию огня вызван третий стрелок.
Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то
по формуле Байеса находим вероятность гипотезы после опыта:
Пример. На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2% брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго.
а) Каков процент брака на конвейере?
б) Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере?
Решение. Возьмем с конвейера наудачу одну деталь и рассмотрим событие А – деталь бракованная. Оно связано с гипотезами относительно того, где была обработана эта деталь: – взятая наудачу деталь обработана на
-ом станке,
.
Условные вероятности (в условии задачи они даны в форме процентов):
Зависимости между производительностями станков означают следующее:
.
А так как гипотезы образуют полную группу, то .
Решив полученную систему уравнений, найдем: .
а) Полная вероятность того, что взятая наудачу с конвейера деталь – бракованная:
.
Другими словами, в массе деталей, сходящих с конвейера, брак составляет 4%.
б) Пусть известно, что взятая наудачу деталь – бракованная. Пользуясь формулой Байеса, найдем условные вероятности гипотез:
,
,
.
Таким образом, в общей массе бракованных деталей на конвейере доля первого станка составляет 33%, второго – 39%, третьего – 28%.
Видео-уроки на тему полной вероятности и формулы Байеса
В первом уроке вы можете посмотреть подробный вывод с доказательством формулы Бейеса (любителям теории):
А здесь будут разобраны несколько типовых задач и на формулу полной вероятности, и на формулу Байеса:
Полная вероятность и формула Байеса
п.1. Зависимые события и условные вероятности
Чтобы вспомнить о сложении и умножении вероятностей и независимых событиях – см. §39 справочника для 9 класса.
Напомним, что два случайных события A и B называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого.
Например: при бросании монеты несколько раз каждый следующий бросок совершенно не зависит от предыдущих.
Например:
Рассмотрим урну, в которой находится 3 белых и 3 черных шара.
Мы достаем шары, смотрим на их цвет и не возвращаем их на место. События в последовательности становятся зависимыми.
Пусть событие A=»в 1й раз достаем черный шар»,
Событие B=»во 2й раз достаем белый шар»
Событие C=»во 2й раз достаем черный шар»
После того, как произошло событие A, в урне остается 3 белых и 2 черных шара.
Тогда условная вероятность для события B при условии, что событие A произошло:
\(P(B|A)=\frac35\)
Аналогично, условная вероятность для события C:
\(P(B|A)=\frac25\)
п.2. Вероятность совместного появления событий
п.3. Формула полной вероятности
i | Класс | К-во учеников | \(P(B_i)\) | К-во знатоков | \(P(A|B_i)\) | \(P(B_i)\cdot P(A|B_i)\) |
1 | 11A | 35 | 35/100=0,35 | 10 | 10/35=2/7 | 0,1 |
2 | 11Б | 35 | 35/100=0,35 | 7 | 7/35=1/5 | 0,07 |
3 | 11В | 30 | 30/100=0,3 | 10 | 3/30=1/10 | 0,03 |
Всего | 100 | 1 | 20 | × | 0,2 |
Получаем полную вероятность \(P(A)=\sum_^3 P(B_i)\cdot P(A|B_i)=0,2\)
В данном случае ответ можно получить и проще: 20 знатоков на 100 человек дает \(P(A)=0,2\).
п.4. Формула Байеса
п.5. Примеры
Пример 1. Двигатель работает в трех режимах: нормальном (65% времени), форсированном (25% времени) и холостом. Вероятность поломки в каждом из режимов соответственно равна \(p_1=0,1;\ p_2=0,8;\ p_3=0,05\).
а) найдите вероятность поломки двигателя во время работы;
б) двигатель сломался. Какова вероятность, что он в этот момент работал в форсированном режиме?
i | Режим | Часть времени \(P(B_i)\) | Вероятность поломки \(P(A|B_i)\) | \(P(B_i)\cdot P(A|B_i)\) |
1 | Нормальный | 0,65 | 0,1 | 0,065 |
2 | Форсированный | 0,25 | 0,8 | 0,2 |
3 | Холостой | 0,1 | 0,05 | 0,005 |
Всего | 1 | × | 0,27 |
Ответ: a) 0,27; б) \(\frac<20><27>\approx 0,741\)
Пример 2. В состязании лучников участвуют три стрелка. Вероятность попадания в мишень для каждого из них равна 0,3; 0,5 и 0,7. Один из стрелков стреляет и не попадает. Какова вероятность, что это был:
а) первый стрелок;
б) второй стрелок;
в) третий стрелок;
i | \(P(B_i)\) | Вероятность промаха \(P(A|B_i)\) | \(P(B_i)\cdot P(A|B_i)\) |
1 | \(\frac13\) | 1-0,3=0,7 | \(\frac13\cdot 0,7=\frac<7><30>\) |
2 | \(\frac13\) | 1-0,5=0,5 | \(\frac13\cdot 0,5=\frac<1><6>\) |
3 | \(\frac13\) | 1-0,7=0,3 | \(\frac13\cdot 0,3=\frac<1><10>\) |
∑ | 1 | × | 0,5 |
Пример 3. Три фрилансера на площадке выполняют заказы в отношении по количеству 3:4:3. Доля успешно выполненных заказов для каждого из них составляет 98%, 95% и 90%.
а) найдите вероятность успешного выполнения заказа на площадке;
б) найдите вероятность неуспеха на площадке;
в) кто из фрилансеров, вероятнее всего, виноват в неуспешной работе?
i | \(P(B_i)\) | Вероятность успеха \(P(A|B_i)\) | \(P(B_i)\cdot P(A|B_i)\) |
1 | 0,3 | 0,98 | 0,294 |
2 | 0,4 | 0,95 | 0,38 |
3 | 0,3 | 0,9 | 0,27 |
∑ | 1 | × | 0,944 |
Ответ: а) 0,944; б) 0,056; в) третий фрилансер.
Теория вероятностей, формулы и примеры
Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!
Основные понятия
Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.
Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.
Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка».
Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
Вероятность — это степень возможности, что какое-то событие произойдет. Если у нас больше оснований полагать, что что-то скорее произойдет, чем нет — такое событие называют вероятным.
Ну, скажем, смотрим на тучи и понимаем, что дождь — вполне себе вероятное событие. А если светит яркое солнце, то дождь — маловероятное или невероятное событие.
Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайные величины можно разделить на две категории:
Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта). Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, которая нужна, чтобы проанализировать его через теорию вероятностей.
Формулы по теории вероятности
Теория вероятности изучает события и их вероятности. Если событие сложное, то его можно разбить на простые составные части — так легче и быстрее найти их вероятности. Рассмотрим основные формулы теории вероятности.
Случайные события. Основные формулы комбинаторики
Классическое определение вероятности
Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:
P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A
Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:
Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?
Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:
Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное.
Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?
Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).
Геометрическое определение вероятности
Геометрическая вероятность события А определяется отношением:
P(A)= m(A)/m(G), где m(G) и m(A) — геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и события А соответственно
Чаще всего, в одномерном случае речь идет о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, а в трехмерном — об объемах тел.
Пример. Какова вероятность встречи с другом, если вы договорились встретиться в парке в промежутке с 12.00 до 13.00 и ждете друг друга 5 минут?
У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы — приглашаем на вводный урок!
Сложение и умножение вероятностей
Теорема о сложении вероятностей звучит так: вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
P(A + B) = P(A) + P(B)
Эта теорема справедлива для любого числа несовместных событий:
Если случайные события A1, A2. An образуют полную группу несовместных событий, то справедливо равенство:
Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.
Вторая теорема о сложении вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)
События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Теорема об умножении вероятностей: вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
P(AB) = P(A) * P(B)
Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8.
Найдем вероятности того, что формула содержится:
А — формула содержится в первом справочнике;
В — формула содержится во втором справочнике;
С — формула содержится в третьем справочнике.
Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.
Ответ: 1 — 0,188; 2 — 0,452; 3 — 0,336.
Формула полной вероятности и формула Байеса
По теореме умножения вероятностей:
Аналогично, для остальных гипотез:
Эта формула называется формулой Байеса. Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как — априорными вероятностями.
Пример. Одного из трех стрелков вызывают на линию огня, он производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.
Формула Бернулли
При решении вероятностных задач часто бывает, что одно и тоже испытание повторяется многократно, и исход каждого испытания независит от исходов других. Такой эксперимент называют схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.
Примеры повторных испытаний:
Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы. А вероятность появления события А в каждом случае постоянна и не изменяется от испытания к испытанию.
Биномиальное распределение — распределение числа успехов (появлений события).
Пример. Среди видео, которые снимает блогер, бывает в среднем 4% некачественных: то свет плохой, то звук пропал, то ракурс не самый удачный. Найдем вероятность того, что среди 30 видео два будут нестандартными.
Опыт заключается в проверке каждого из 30 видео на качество. Событие А — это какая-то неудача (свет, ракурс, звук), его вероятность p = 0,04, тогда q = 0,96. Отсюда по формуле Бернулли можно найти ответ:
Ответ: вероятность плохого видео приблизительно 0,202. Блогер молодец🙂
Наивероятнейшее число успехов
Биномиальное распределение ( по схеме Бернулли) помогает узнать, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов k (появлений события) выглядит так:
Пример. В очень большом секретном чатике сидит 730 человек. Вероятность того, что день рождения наугад взятого участника чата приходится на определенный день года — равна 1/365 для каждого из 365 дней. Найдем наиболее вероятное число счастливчиков, которые родились 1 января.
Формула Пуассона
При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно. Например, 0.97 999 вычислить весьма затруднительно.
В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:
Здесь λ = np обозначает среднее число появлений события в n испытаниях.
Эта формула дает удовлетворительное приближение для p ≤ 0,1 и np ≤10.
События, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность, что они произойдут — очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).
При больших np рекомендуют применять формулы Лапласа, которую рассмотрим чуть позже.
Пример. В айфоне 1000 разных элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.
P1000(3) = λ 3 /3! * e −λ = 2 3 /3! * e −2 ≈ 0,18.
Ответ: ориентировочно 0,18.
Теоремы Муавра-Лапласа
Кроме того, пусть Pn(k1;k2) — вероятность того, что число появлений события А находится между k1 и k2.
Локальная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то
Интегральная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то
Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые пригодятся, чтобы правильно пользоваться таблицей значений этих функций:
Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при npq ≥ 9. Причем чем ближе значения q, p к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность по сравнению с исходной формулой Бернулли.