какая вероятность называется условной

Учебник по теории вероятностей

1.5. Условная вероятность

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

$$P(AB)=P(B)\cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A).$$

В частности, отсюда получаем формулы для условной вероятности:

Примеры решений на условную вероятность

Пример. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Решение. Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет
.
Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет
.

Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность .

Этот же результат можно получить по формуле
.

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании
.

Найдем вероятность того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором — белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений . Из этого числа исходов событию благоприятствуют исходов. Следовательно, .

Искомая условная вероятность

Пример. В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и 10 трамваев маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию выйдет трамвай маршрута №1?

Рассмотрим все события, которые могут при этом быть (в условиях нашей задачи): . Из них нас будут интересовать только первое и третье, когда вторым выйдет трамвай маршрута №1.

Так как все эти события совместны, то:

;

;

отсюда искомая вероятность

Пример. Какова вероятность того, что 2 карты, вынутые из колоды в 36 карт, окажутся одной масти?

Получаем
.

События, состоящие в том, что будут вынуты две карты масти «пики», масти «треф» и т.д., несовместны друг с другом. Следовательно, для нахождения вероятности их объединения воспользуемся теоремой сложения:
.

Источник

Математика — онлайн помощь

Случайное событие определяется как событие, которое при осуществлении определенного комплекса условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S не налагается, то такую вероятность называют безусловной, если же налагаются другие дополнительные условия, то вероятность называют условной. Например, часто приходится вычислять вероятность одного события при дополнительном условии, что произошло другое событие.

Пусть А и В – наблюдаемые события в испытании.

Условной вероятностью Р(В/А) наступления события В при условии, что событие А произошло в результате испытания, называется величина определяемая равенством . (13.1.10)

Аналогично определяется условная вероятность Р(А/В)

, где Р(А)>0, P(B)>0. (13.1.11)

Основанием для подобного введения условной вероятности служит свойство 5, справедливое для статистического и классического определения вероятности.

ПРИМЕР 13.1.12 В урне 3 белых и 2 красных шара. Из урны последовательно без возвращения извлекают два шара (испытание). Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен красный шар (событие А).

Решение. После первого испытания, когда произошло событие А, в урне осталось 4 шара, из них 3 белых.

Искомая условная вероятность равна .

Определим теперь по формуле (13.1.10).

Вероятность появления красного шара в первом испытании .

Найдем вероятность того, что в первом испытании извлечен красный шар, а затем – белый. Общее число случаев совместного появления двух шаров любого цвета .

При этом событию случаев.

Следовательно, .

.

Как и следовало ожидать, ответ получился такой же, как и при непосредственном вычислении.

Теоремы умножения вероятностей

Из формул (13.1.10), (13.1.11) получается теорема умножения вероятностей для зависимых событий. Случайные события называются зависимыми, если вероятность наступления одного из них зависит от того, имело место или нет другое событие. Если для примера 13.1.12 в первом испытании наступило бы событие А (извлечен не красный, а белый шар), то

.

Следовательно, событие В зависит от события А.

ТЕОРЕМА 13.1.1 Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.
. (13.1.12)

ПРИМЕР 13.1.13 Вероятность попадания ракеты в цель (событие А) . Вероятность поражения цели при попадании в нее одной ракеты (событие В) . Найти вероятность поражения цели при пуске одной ракеты.

Решение. Событие АВ – ракета попала в цель и цель поражена.

По теореме 13.1.1: .

Теорему 13.1.1 можно обобщить на случай любого числа событий.

ТЕОРЕМА 13.1.2 Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что предыдущие события уже наступили.

.(13.1.13)

В частности, для трех событий:

. (13.1.14)

Событие А называется независимым от события B, если выполняется условие
, где . (13.1.15)

Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А, что следует из формулы (13.1.13) с учетом формулы (13.1.15): (13.1.16)

где .

Это означает, что свойство независимости событий взаимно.

События А и В называются независимыми, если . (13.1.17)

Формула (13.1.17) выражает теорему умножения для независимых событий.

Теорема 13.1.3 Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

События называются независимыми в совокупности, если для любого набора из событий выполняется равенство:
.

ТЕОРЕМА 13.1.4 Вероятность произведения нескольких независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий: . (13.1.18)

Независимость событий

Формулы (13.1.17), (13.1.18) позволяют установить независимость (зависимость) событий, если известны вероятности всех нужных событий. На практике независимость событий обычно устанавливают из физических соображений.

ПРИМЕР 13.1.14 Два стрелка производят по одному выстрелу по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка (событие А1) , вероятность попадания в цель для второго стрелка (событие А2) .

Чему равна вероятность того, что оба стрелка попадут в цель?

Решение. События — независимы.
.

Уважаемые студенты
На нашем сайте можно получить помощь по всем разделам математики и другим предметам:
✔ Решение задач
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №34. Условная вероятность. Независимость событий.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— Совместные и несовместные события

— Схема решения задач на вычисление условной вероятности события;

— Задачи на определение независимости событий.

Совместные события – события, одновременное появление которых возможно.

Несовместные события – события, одновременное появление которых невозможно.

События являются независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от появления остальных событий рассматриваемого множества событий.

Событие В называется зависимым, если вероятность P(B) зависит от появления или непоявления события А. Вероятность события В, вычисленная в предположении того, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью наступления события В и обозначается P_A(B).

Условная вероятность – вероятность наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014. с. 186-194.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Иногда нам требуется выяснить вероятность совместного появления зависимых событий. Самый простой пример – найти вероятность получить выигрышную комбинацию в азартной карточной игре, где вероятность выпадения каждой новой карты зависит от того, какие карты уже лежат на столе.

Рассмотрим примерную задачу:

Из колоды карт извлекают четыре карты. Первые две оказались семёрками. Какова вероятность, что одна или обе оставшиеся карты окажутся семёрками? (колода содержит 36 карт)

События называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример совместных событий: выпадение чётного числа и выпадение числа, кратного трём, при броске игрального кубика. Когда выпадает шесть, реализуются сразу оба события.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример несовместных событий: выпадение чётного числа и выпадение нечётного числа при броске игрального кубика.

Теорема о сумме двух событий:

Вероятность суммы любых двух событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления: Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

В лотерее выпущено 10 000 билетов, из них: 10 выигрышей по 200 рублей, 100 выигрышей по 100 рублей, 500 выигрышей по 50 рублей и 1000 выигрышей по 10 рублей. Какова вероятность того, что человек, купивший билет, выиграет не менее 50 рублей?

Воспользуемся теоремой: Р(М)=Р(А)+Р(В)+Р(С)=0,061.

Дана вероятность исходного события. Чему равна вероятность противоположного события?

Вероятность исходного события А обозначим Р(А). Вероятность противоположного события Р(Ᾱ).

События А и Ᾱ образуют полную группу событий, вероятность которой равна 1.

Тогда вероятность противоположного события находится по формуле:

Например, монета брошена два раза.

Вероятность появления «Орла» во втором испытании не зависит от результата первого испытания.

Теорема умножения вероятностей независимых событий: вероятность совместного появления независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий:

Подбрасываются две монеты. Найдите вероятность выпадения двух орлов.

Введем обозначение событий:

A₁– на 1-й монете выпадет орёл;

A₂– на 2-й монете выпадет орёл.

Событие “выпадение двух орлов” заключается в том, что на 1-й монете появится орёл и на 2-й монете появится орёл, следовательно, это произведение событий A₁A₂. Вероятность выпадения орла на одной монете не зависит от результата броска другой монеты, следовательно, события A₁ и A₂ независимы. По теореме умножения вероятностей независимых событий получим:

Отыскать вероятность совместного появления зависимых событий помогает теорема умножения вероятностей зависимых событий: вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло: P(AB) = P(A)·P_A(B).

Связь теории вероятностей с теорией множеств.

В математике принято устанавливать связи между различными разделами. Связь между теорией вероятностей и теорией множеств устанавливается следующим образом: события отождествляются с множествами. В таком случае понятию исход будет эквивалентно понятие элемент множества. При таком подходе выберите из списка, какому понятию из теории множеств соответствует данное понятие из теории вероятностей:

— Невозможное событие (подмножество, бесконечное множество, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств, декартово произведение множеств)

— Сумма событий (подмножество, бесконечное множество, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств, декартово произведение множеств)

— Произведение событий (подмножество, бесконечное множество, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств, декартово произведение множеств)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. В урне 6 черных, 5 красных и 4 белых шара. Последовательно извлекают три шара без возврата. Найдите вероятность того, что первый шар окажется черным, второй – красным и третий – белым.

А – первый шар окажется черным

.

2. Колю отпускают гулять при условии сделанных уроков с вероятностью 0,8. Папа выдает ему деньги на мороженое с вероятностью 0,6. С какой вероятностью Коля пойдет гулять без мороженого?

A – папа выдал Коле денег на мороженое

B – Колю отпустили гулять

Вероятность того, что Коля пойдёт гулять, есть в условии задачи P(B) = 0,8. Вероятность, что папа не выдаст ему деньги на мороженое, равна P(Ᾱ) = 1 – P(A) = 1 – 0,6 = 0,4. Вероятность одновременного осуществления двух независимых событий – произведение их вероятностей P(ᾹB) = P(Ᾱ)·P(B) = 0,8·0,4 = 0,32.

Источник

Условная вероятность. Формула Байеса

Условная вероятность. Формула Байеса

Условная вероятность является одним из важнейших понятий теории вероятностей.

Условная вероятность — вероятность наступления события А при условии, что событие В произошло.

Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В уже произошло, обозначается .

Прежде чем привести формулу, позволяющую вычислить условную вероятность, проиллюстрируем это понятие с помощью кругов Эйлера:

Пусть для некоторого эксперимента красный круг обозначает множество всех возможных исходов. Зеленый круг обозначает множество исходов, благоприятствующих событию , синий круг обозначает множество исходов, благоприятствующих событию , область, лежащая в пересечении этих кругов обозначает множество исходов, благоприятствующих обоим событиям и , обозначим его .

Как мы знаем, вероятностью события называется отношение числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов.

То есть вероятность события показывает, какую часть благоприятные исходы составляют от всех возможных исходов.

Если мы вычисляем вероятность события в предположении, что событие уже произошло (то есть условную вероятность), то в этом случае для нас множество исходов, благоприятствующих событию событию окажется множеством всех возможных исходов, а благоприятными исходами будут те исходы, которые при этом еще благоприятствуют событию . То есть нам нужно найти, какую часть число исходов, благоприятствующих событиям и составляет от числа исходов, благоприятствующих событию .

Пусть , где — число исходов, благоприятствующих событию , — число всех возможных исходов. ( В нашей иллюстрации — число элементов множества )

Пусть , где — число исходов, благоприятствующих событию , — число всех возможных исходов. ( В нашей иллюстрации — число элементов множества )

Пусть , где — число исходов, благоприятствующих событиям и , — число всех возможных исходов. ( В нашей иллюстрации — число элементов множества , которое является пересечением множеств и ).

Тогда

Но по определению условной вероятности , следовательно

(1)

Заметим, что аналогично получим формулу для нахождения вероятности наступления события при условии, что событие произошло:

(2)

Очевидно, что

Формулы (1) и (2) для нахождения условной вероятности по сути одна и та же формула, это и есть формула Байеса.

Рассмотрим примеры задач на условную вероятность.

Пример 1. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

В задаче описана следующая ситуация: при производстве посуды часть тарелок имеют дефект. Но контроль качества отбраковывает не все дефектные тарелки, а только 80% из них, остальные (20%) поступают в продажу.

Нам нужно найти вероятность того, что что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. То есть нас интересует какая часть из всех тарелок, которые поступили в продажу, не имеют дефекта.

Нарисуем дерево вероятностей:

Красными веточками обозначены тарелки, которые поступили в продажу. Это тарелки без дефектов (они составляют 0,9 от всех тарелок) и тарелки с дефектами, которые пропустила система контроля. Их от всех тарелок.

Таким образом, вероятность того, что тарелка поступила в продажу равна . При этом вероятность того, что тарелка не имеет дефектов равна .

Следовательно, вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов равна

40% пакетов с молоком производят на молочном комбинате в Л., а остальные на молокозаводе в С. Известно, что в среднем 3% пакетов, поступивших в продажу протекают, а среди пакетов, изготовленных в Л. протекают в среднем 5%.

а) Найдите вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С.

б) Найдите вероятность того, что пакет, изготовленный на заводе в С протекает.

Решение. Нам нужно найти вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С. То есть нам нужно найти, какая часть из всех протекающих пакетов изготовлена на заводе в С. По условию задачи всего протекает 3%, то есть 0,03 часть всех пакетов. Пусть среди пакетов, изготовленных на заводе в С. протекает %.

Нарисуем дерево вероятностей:

Красными веточками обозначены пакеты, которые протекают. При этом на заводе в Л. изготовлено всех протекающих пакетов. На заводе в С. изготовлено от всех протекающих пакетов.

Получаем , отсюда . То есть вероятность того, что пакет, изготовленный на заводе в С. протекает, равна . Получим, что на заводе в С. изготовлено от всех протекающих пакетов. Это число мы могли бы получить, если бы из части всех протекающих пакетов (0,03) вычли бы часть протекающих пакетов, изготовленных на заводе в Л. (0,02). (Мы бы так и поступили, если бы нужно было бы ответить только на п. а) задачи)

Тогда вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С. равна .

Ответ: а) , б) .

Источник