что такое сигма алгебра событий

Глава 6 Решение задач по теме Сигма-алгебра

Конспект: Алиса Жильцова

дата: 30 сентября 2016 г.

6.1 Задача №1 (№ 2.35 в задачнике)

6.1.1 Условие задачи:

Приведите по два нетривиальных (т.е. \(\Omega\) и \(\emptyset\) не называть) примера такого события A, что:

Упростите выражения: \(\mathcal_<11>\cap\mathcal_<25>, \mathcal_<11>\cup \mathcal_<25>, \mathcal_<11>\cap\mathcal_<25>, \mathcal_<11>\cup \mathcal_<25>.\)

6.1.2 Решение:

Приведём по два нетривиальных (т.е. \(\Omega\) и \(\emptyset\) не называть) примера такого события A, что:

Начнём с того, что \(\mathcal_<2010>\) можно определить как совокупность знаний человека, который видел первые 2010 подбрасываний монетки. Тогда данную задачу можно переформулировать следующим образом: что знает Джон, видевший первые 2010 подбрасываний? Знает ли, что при четвёртом подбрасывании выпал орёл? Знает! А знает ли, что в первые 100 подбрасываний выпало не более 70 орлов? Знает! Таким образом, возможными примерами события \(A\in\mathcal_<2010>\) являются события: < \(X_4=1\) >и <за первые 100 подрабрасываний выпало не более 70 орлов>.

\(\bullet\) A лежит в каждой \(\mathcal_n\)

Попробуем привести другой пример события, лежащего во всех \(\mathcal_n\) (помимо вариаций на тему предыдущего вроде : <орёл выпал конечное/бесконечное количество раз>).

Событие \(X_ <37>> 0\) означает, что в 37-м подбрасывании выпал орёл. Оно входит во все \(\mathcal_i\) для всех i = 1,…,37 и во все \(\mathcal_j\) для всех j = 37,…,n.

А этот пример еще интереснее! В нем есть ловушка! 🙂

Упростим следующие выражения:

Аналогично предыдущим пунктам получим: \(\mathcal_<11>\cup \mathcal_<25>=\mathcal_<11>\)

6.2 Задача №2 Про Агента 007 (№ 2.43 в задачнике)

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

6.2.1 Условие задачи

Сейчас либо солнечно, либо дождь, либо пасмурно без дождя. Соответственно множество \(\Omega\) состоит из трёх исходов, \(\Omega\) = <солнечно, дождь, пасмурно>. Джеймс Бонд пойман и привязан к стулу с завязанными глазами, но он может на слух отличать, идет ли дождь.

6.2.2 Решение задачи

Введём случайную величину Z, означающую то, что различает Джеймс Бонд. Другими словами, зная Z Джеймс Бонд с легкостью сможет сказать, идёт сейчас дождь или нет. Но он не отличает события <солнечно>и <пасмурно>.

Оформим возможные значения Z в виде таблицы:

\(\Omega\)СолнечноДождьПасмурно
Z010

На бытовом языке такую сигма-алгебру можем описать как список событий, который различает Джеймс Бонд, если бы ему завязали глаза и заткнули бы уши (печально!), т.е. если бы он не знал ничего.

Изобразим такие сигма-алгебры графически:

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Ответ: таких сигма-алгебр существует всего 5!

6.3 Задача №3 (2.39 в задачнике)

6.3.1 Условие задачи (перевод)

6.3.2 Решение задачи

Прежде чем приступить к решению следует сразу разобраться в условии задачи. Выделим некоторые ключевые моменты, необходимые для понимания:

\(\bullet\) Первый момент не может являться локальным максимумом. В нашей последовательности \(X_0\) отсутствует, а значит, первый момент не берется в рассмотрение!

\(\bullet\) Для того, чтобы лучше понять, что же такое T, приведем пример с помощью картинки для последовательности (+1,+1,-1,-1,+1,-1):

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

На графике видим, что вторым локальным максимумом является точка (5,1), а момент T равен 6.

Интуитивно это можно представить так: Джон играет с ребятами, а в момент времени Т его зовёт бабушка Йоко. Что знает Джон? Он знает всё, что было до момента времени Т включительно, а что было после, он уже не видел. Что он может знать? Он знает, чему равно T.

Теперь, детально разобрав условие задачи, ответим на следующие вопросы.

\(\mathcal_T\) и \(\mathcal_<2010>\) не совпадают (см. предыдущий пункт). По аналогичным причинам \(\mathcal_T\) не совпадает с \(\mathcal_<2015>\) и так будет для любого другого n.

Источник

Алгебра и сигма-алгебра

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

При построении математической модели случайного объекта необходимо не только указать все возможные элементарные исходы опыта, но и определить (перечислить) все возможные события, которые могут произойти в этом опыте. Принято следующее определение:

Алгебра событийAэто набор подмножеств пространства элементарных исходов что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событийдля которого выполняются следующие условия:

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

и для любой счетной последовательности

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Очевидно, что любая сигма-алгебра является алгеброй, но не наоборот.

Колмогоров показал, что естественной математической моделью для множества событий является сигма-алгебра.

Очевидным примером сигма-алгебры является набор всех подмножеств пространства элементарных исходов – это наибольшая сигма-алгебра, возможная на данном пространстве элементарных исходов.

Наименьшая (тривиальная) сигма-алгебра это следующий набор подмножеств

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Алгебры и сигма-алгебры обозначаем жирными наклонными латинскими буквами.

Источник

Зачем нам нужны сигма-алгебры для определения вероятностных пространств?

Может ли кто-нибудь объяснить простым языком, почему здание вероятности рухнет, если у нас не будет σ ‘ role=»presentation»> σ алгебры? Они просто вклиниваются посередине с этим невероятно каллиграфическим «F». Я верю, что они необходимы; Я вижу, что событие отличается от результата, но что было бы неправильно без σ ‘ role=»presentation»> σ алгебры?

Вопрос в том, в каком типе вероятностных задач определение вероятностного пространства, включающего σ ‘ role=»presentation»> σ алгебру, становится необходимостью?

Этот онлайн-документ на веб-сайте Дартмутского университета дает понятное объяснение на английском языке. Идея заключается в вращающемся указателе, вращающемся против часовой стрелки на окружности единицы периметра:

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

К первому пункту Сианя: когда вы говорите об алгебрах, вы спрашиваете об измеримых множествах, поэтому, к сожалению, любой ответ должен быть сосредоточен на теории меры. Я постараюсь довести это до конца нежно. σ ‘ role=»presentation»> σ

Теория вероятностей, допускающая все подмножества несчетных множеств, сломает математику

Но что, если область набора интересов не является четко определенной?

Хорошая новость: алгебры строго необходимы только для несчетных множеств σ ‘ role=»presentation»> σ

Поэтому на практике достаточно просто сделать это наблюдение достаточным для того, чтобы сделать наблюдение, в котором вы рассматриваете только измеримые по Лебегу множества, чтобы добиться прогресса в решении проблемы интересов.

Но подождите, что такое неизмеримый набор?

Боюсь, я могу только пролить немного света на это сам. Но парадокс Банаха-Тарского (иногда парадокс «солнца и гороха») может нам помочь:

Для заданного сплошного шара в трехмерном пространстве существует разложение шара на конечное число непересекающихся подмножеств, которые затем можно соединить по-разному, чтобы получить две идентичные копии исходного шара. Действительно, процесс сборки включает в себя только перемещение деталей и их вращение без изменения их формы. Однако сами кусочки являются не «твердыми телами» в обычном смысле, а бесконечным рассеянием точек. Реконструкция может работать всего с пятью частями.

Более сильная форма теоремы подразумевает, что при наличии любых двух «разумных» твердых объектов (таких как маленький шар и огромный шар) любой из них может быть повторно собран в другой. Об этом часто говорят неформально: «горох можно нарезать и снова собрать в Солнце» и называют «парадоксом гороха и солнца». 1

Чтобы разрешить этот парадокс, можно сделать одну из четырех уступок:

Источник

Теория вероятностей (стр. 2 )

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событийИз за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

В опыте обязательно произойдет одно и только одно из этих событий.

Любые два противоположных подмножества образуют полную группу подмножеств.

Если пространство элементарных исходов конечно или счетно, то сами элементарные исходы являются полной группой подмножеств.

Алгебра и сигма-алгебра

При построении математической модели случайного объекта необходимо не только указать все возможные элементарные исходы опыта, но и определить (перечислить) все возможные события, которые могут произойти в этом опыте. Принято следующее определение:

Алгебра событий A это набор подмножеств пространства элементарных исходов что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событийдля которого выполняются следующие условия:

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

и для любой счетной последовательности

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Очевидно, что любая сигма-алгебра является алгеброй, но не наоборот.

Колмогоров показал, что естественной математической моделью для множества событий является сигма-алгебра.

Очевидным примером сигма-алгебры является набор всех подмножеств пространства элементарных исходов – это наибольшая сигма-алгебра, возможная на данном пространстве элементарных исходов.

Наименьшая (тривиальная) сигма-алгебра это следующий набор подмножеств

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Если алгебра или сигма-алгебра содержит событие A, то она обязана содержать и отрицание A. Поэтому минимальное число подмножеств в нетривиальной сигма-алгебре равно 4.

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Алгебры и сигма-алгебры обозначаем жирными наклонными латинскими буквами.

Случайные события

Элемент сигма-алгебры в дальнейшем будем называть случайным событием.

Полная группа событий

Полная группа событий это полная группа подмножеств, каждое из которых является событием. Говорят, что события полной группы это разбиение пространства элементарных исходов.

Конечно-аддитивная функция

Пусть A алгебра. Функция n, отображающая алгебру в множество действительных чисел

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

называется конечно-аддитивной, если для любого конечного набора попарно несовместных событий

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Счетно-аддитивная функция

Пусть F – алгебра или сигма-алгебра. Функция

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

называется счетно-аддитивной, если она конечно-аддитивна и для любого счетного набора попарно несовместных событий

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Конечная мера

Мера что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событийназывается конечной, если что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Вероятность

Вероятность (вероятностная мера) P это мера такая, что

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

С этого момента мы перестанем измерять вероятность в процентах и начнем измерять ее действительными числами от 0 до 1.

Когда вы пишите P всегда представляйте себе, какое пространство элементарных исходов и сигма-алгебра имеются в виду. Тогда вы сможете избежать многих ошибок

Обозначение P (Probability) для вероятности является стандартным, не стоит только забывать, что сама по себе (без определения пространства элементарных исходов и сигма-алгебры) вероятность не определена.

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

называют вероятностью события A

Вероятностное пространство

Вероятностное пространство это совокупность трех объектов – пространства элементарных исходов, сигма-алгебры событий и вероятности.

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Это и есть математическая модель случайного явления или объекта.

Парадокс определения вероятностного пространства

Вернемся к исходной постановке задачи теории вероятностей. Нашей целью было построение математической модели случайного явления, которая помогла бы количественно оценить вероятности случайных событий. В то же время для построения вероятностного пространства необходимо задать вероятность, т. е. вроде бы именно то, что мы ищем (?).

Разрешение этого парадокса в том, что для полного определения вероятности как функции на всех элементах F, обычно достаточно задать ее на лишь на некоторых событиях из F, вероятность которых нам легко определить, а затем, пользуясь ее счетной аддитивностью, вычислить на любом элементе F.

Независимые события

Важным понятием теории вероятностей является независимость.

События A и B называются независимыми, если

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

т. е. вероятность одновременного осуществления этих событий равна произведению их вероятностей.

Попарно

События в счетном или конечном наборе называются независимыми попарно, если любая пара из них является парой независимых событий

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

В совокупности

События в счетном или конечном наборе называются независимыми в совокупности, если вероятность одновременного осуществления любого конечного поднабора из них равна произведению вероятностей событий этого поднабора.

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Ясно, что независимые в совокупности события независимы и попарно. Обратное неверно.

Условная вероятность

Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B называется величина

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Условную вероятность пока определим лишь для событий B, вероятность которых не равна нулю.

Если события A и B независимы, то

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Свойства и теоремы

Простейшие свойства вероятности

Следует из того, что А и не-А противоположны и свойства конечной аддитивности вероятности

Вероятность противоположного события

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Следует из того, что невозможное и достоверное события противоположны

Вероятность невозможного события

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Следует из того, что что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Монотонность вероятности
что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий
что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Следует из того, что любое событие содержится в пространстве элементарных исходов

Ограниченность вероятности

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Следует из представлениячто такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Вероятность объединения событий

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Следует из предыдущего

Полуаддитивность вероятности

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Следует из счетной аддитивности вероятности и определения полной группы событий

Вероятности полной группы событий

Сумма вероятностей полной группы событий равна 1.

Следует из счетной аддитивности вероятности, определения полной группы событий и определения условной вероятности

Формула полной вероятности

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Если вероятности всех событий полной группы больше нуля, то также

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Следует из предудущей формулы и определения условной вероятности

Формула Байеса

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Дискретная вероятностная модель

Вероятностное пространство называется дискретным, если его пространство элементарных исходов конечно или счетно.

В данном пункте мы переходим к описанию типовых математических моделей случайных событий. Начнем с простейшего случая.

Конечное пространство элементарных исходов

Пространство элементарных исходов называется конечным, если оно содержит конечное число элементарных исходов.

Классическая вероятностная модель

Классическая вероятностная модель

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

1. Конечное пространство элементарных исходов

2. Наибольшую сигма-алгебру (содержащую все подмножества пространства элементарных исходов).

3. Равномерную вероятностную меру, приписывающую равные вероятности всем элементарным исходам.

Из описания модели следует, что

· Любое подмножество пространства элементарных исходов является событием

· Любой элементарный исход имеет вероятность

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Для того чтобы вероятность была конечно аддитивна

Вероятность любого события можно определить как

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Априори – a priori, до опыта, т. е. с самого начала анализа до получения опытных данных.

Применять эту модель следует в тех случаях, когда априори ясно, что все исходы опыта симметричны (равновероятны).

Рассмотрим подробнее построение модели. Исходные данные для построения требуют, чтобы каждый элементарный исход имел одинаковую вероятность. Естественно потребовать, чтобы любое подмножество элементарных исходов было событием. Так как элементарные исходы образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей должна быть равна 1, и из-за того, что все вероятности одинаковы, а количество элементарных исходов равно

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Тогда для произвольного события A, используя конечную аддитивность вероятности получаем

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Нетрудно проверить, что так определенная функция P будет вероятностью, и что требованиям модели удовлетворяет только одна такая функция. Следовательно, математическая модель определена однозначно.

Связь классической вероятностной модели с комбинаторикой

Вычисления в классической модели сводятся к комбинаторной задаче определения количества элементов в множестве и его подмножествах. С другой стороны, если каким-либо иным образом узнать вероятность события в классической модели, то можно определить количество элементарных исходов в нем, т. е решить комбинаторную задачу методами теории вероятностей. Напомним некоторые формулы комбинаторики.

Основная формула комбинаторики

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

и количество разных значений первой координаты равно n, а второй m. Тогда количество разных элементарных исходов равно m*n. Для доказательства достаточно представить все варианты в виде прямоугольной таблицы, строки которой пронумерованы значениями первой, а столбцы – второй координаты. Применяя индукцию можно распространить эту формулу на вектора с n координатами.

И этой формулы следует в частности, что количество всех двоичных векторов размерности n равно 2 n. И что количество всех подмножеств конечного множества с n элементами равно 2 n. И что количество различных вариантов выпадения очков на трех игральных костях равно 216. И т. д……

Факториал

Количество всех различных перестановок n различных чисел равно

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Формула Стирлинга

Для приближенного вычисления факториалов больших чисел используется формула Стирлинга

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Биномиальный коэффициент

Количество двоичных векторов размерности n с ровно k единицами равно

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Бином Нютона

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Полиномиальная формула

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Схема выбора с возвращением

Частным случаем классической вероятностной модели является так называемая схема выбора с возвращением. Элементарный исход – это вектор

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Схема является примером того, как можно строить сложные вероятностные модели из более простых. Эта схема применяется для описания ситуаций, в которых некоторый простой опыт с N возможными равновероятными исходами повторяется n раз.

Название схема получила от следующей ее интерпретации.

В урне находится N различных шаров. Из урны случайно вынимается один шар и записывается его номер

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

После этого шар возращается обратно в урну, и опыт поворяется снова (всего n раз).

Пример вычисления вероятности события в схеме выбора с возвращением.

Игральная кость бросается 20 раз. Найти вероятность того, что выпадет 2 единицы, 4 пятерки, 3 шестерки (событие A)

В этом случае n=20, N=6.

Обратите внимание, что мы не ищем сразу вероятность исходного события, а придумываем как легче выразить это событие через другие, вероятность которых легче подсчитать

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Следовательно, вероятность равна

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событийчто такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Осталось сложить вероятности всех подходящих событий и найти вероятность A

что такое сигма алгебра событий. Смотреть фото что такое сигма алгебра событий. Смотреть картинку что такое сигма алгебра событий. Картинка про что такое сигма алгебра событий. Фото что такое сигма алгебра событий

Суммирование ведется по всем возможным значениям индексов, удовлетворяющих условиям. В частности, по i1=1, по i2 от 1 до 6, по i3 от 1 до 6 и т. д.

Попробуйте вычислить эту вероятность.

Вычисление этой вероятности не так то просто даже при наличии компьютера. Для этого придется написать небольшую программу.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *