что такое рекурсивный подъем
Что такое рекурсивный подъем
Рекурсия — это такой способ организации вспомогательного алгоритма (подпрограммы), при котором эта подпрограмма (процедура или функция) в ходе выполнения ее операторов обращается сама к себе. Вообще, рекурсивным называется любой объект, который частично определяется через себя.
Например, приведенное ниже определение двоичного кода является рекурсивным:
Здесь для описания понятия были использованы, так называемые, металингвистический формулы Бэкуса-Наура (язык БНФ); знак «::=» обозначает «по определению есть», знак «|» — «или».
Вообще, в рекурсивном определении должно присуствовать ограничение, граничное условие, при выходе на которое дальнейшая инициация рекурсивных обращений прекращается.
Приведём другие примеры рекурсивных определений.
Пример 1. Классический пример, без которого не обходятся ни в одном рассказе о рекурсии, — определение факториала. С одной стороны, факториал определяется так: n!=1*2*3*. *n. С другой стороны, 
Граничным условием в данном случае является n 
Задание. По аналогии определите функцию S(n), вычисляющую сумму цифр заданного натурального числа.
Пример 3. Функция C(m, n), где 0 
по следующей формуле 
является рекурсивной.
Ниже будут приведены программные реализации всех этих (и не только) примеров.
Обращение к рекурсивной подпрограмме ничем не отличается от вызова любой другой подпрограммы. При этом при каждом новом рекурсивном обращении в памяти создаётся новая копия подпрограммы со всеми локальными переменными. Такие копии будут порождаться до выхода на граничное условие. Очевидно, в случае отсутствия граничного условия, неограниченный рост числа таких копий приведёт к аварийному завершению программы за счёт переполнения стека.
Порождение все новых копий рекурсивной подпрограммы до выхода на граничное условие называется рекурсивным спуском. Максимальное количество копий рекурсивной подпрограммы, которое одновренно может находиться в памяти компьютера, называется глубиной рекурсии. Завершение работы рекурсивных подпрограмм, вплоть до самой первой, инициировавшей рекурсивные вызовы, называется рекурсивным подъёмом.
Выполнение действий в рекурсивной подпрограмме может быть организовано одним из вариантов:
Здесь P — рекурсивная подпрограмма. Как видно из рисунка, действия могут выполняться либо на одном из этапов рекурсивного обращения, либо на обоих сразу. Способ организации действий диктуется логикой разрабатываемого алгоритма.
Реализуем приведённые выше рекурсивные определения в виде функций и процедур на языке Pascal и в виде функций на языке C.
Пример 4. Вычислить сумму элементов линейного массива.
При решении задачи используем следующее соображение: сумма равна нулю, если количество элементов равно нулю, и сумме всех предыдущих элементов плюс последний, если количество элементов не равно нулю.
Пример 5. Определить, является ли заданная строка палиндромом, т.е. читается одинаково слева направо и справа налево.
Идея решения заключается в просмотре строки одновременно слева направо и справа налево и сравнении соответствующих символов. Если в какой-то момент символы не совпадают, делается вывод о том, что строка не является палиндромом, если же удается достичь середины строки и при этом все соответствующие символы совпали, то строка является палиндромом. Граничное условие — строка является палиндромом, если она пустая или состоит из одного символа.
Задание. Используя аналогичный подход, определите, является ли заданное натуральное число палиндромом.
Подводя итог, заметим, что использование рекурсии является красивым приёмом программирования. В то же время в большинстве практических задач этот приём неэффективен с точки зрения расходования таких ресурсов ЭВМ, как память и время исполнения программы. Использование рекурсии увеличивает время исполнения программы и зачастую требует значительного объёма памяти для хранения копий подпрограммы на рекурсивном спуске. Поэтому на практике разумно заменять рекурсивные алгоритмы на итеративные.
Контрольные вопросы и задания
1. Какое определение называется рекурсивным? Приведите собственные примеры рекурсивных определений.
2. Какой вспомогательный алгоритм (подпрограмма) называются рекурсивными? Приведите собственные примеры содержательных задач, где для решения может быть использован рекурсивный вспомогательный алгоритм.
3. Что такое граничное условие и каково его назначение в рекурсивной подпрограмме?
4. Что такое рекурсивный спуск?
5. Что такое рекурсивный подъём?
6. Что такое глубина рекурсии? Чему равна глубина рекурсии в приведённых выше примерах?
7. На каком этапе выполнения рекурсивной подпрограммы могут выполняться её операторы?
8. Почему приведённый ниже алгоритм посимвольного формирования строки завершится аварийно?
На каком этапе выполняются действия в этом алгоритме?
1. условие при организации рекурсивной подпрограммы?
Что такое рекурсивный подъем
Рекурсия — это такая организация выполнения работы функции, при которой данная функция вызывает сама себя.
Рекурсия может быть прямой и косвенной.
В случае прямой рекурсии вызов функцией самой себя делается непосредственно в этой же функции:
Косвенная рекурсия создаётся за счёт вызова данной функции из какой-либо другой функции, которая сама вызывалась из данной функции. Например, схема может быть такой:
1)Прямая рекурсия функции main() на языке C++:
using namespace std;
cout main() на языке C++:
using namespace std;
При каждом рекурсивном вызове функции заново выделяется память под локальные переменные.
Рассмотрим примеры
Задача проста, но для понимания рекурсии вполне пригодна. По определению, n! — это произведение первых n натуральных чисел.
Воспользуемся этим фактом и получим следующую рекурсивную функцию (приведём весь текст программы):
using namespace std;
int factorial(int n);
if(n n при обращении к factorial () в операторе
гарантируют защиту от рекурсивного зацикливания.
Возможный вариант реализации:
using namespace std;
A(n,m) = A(n-1, 1), если n>0, m=0;
A(n,m) = A(n-1, A(n,m-1)), если n>0, m>0.
Возможный вариант реализации:
using namespace std;
Возможный вариант реализации:
using namespace std;
void QuickSort(int x[], int i1, int j1);
int M=0; // Количество вызовов функции QuickSort()
int NN=0;// Число перестановок
if(i M и NN для оценки скорости работы метода. Также при каждом рекурсивном вызове выполняется вывод на экран монитора содержимое сортируемого массива и границы обрабатываемого при данном вызове участка. Сделано это с одной целью: дать возможность лучше понять механизм работы метода быстрой сортировки.
Какие выводы можно сделать из рассмотренных примеров? Рекурсия позволяет в ряде случаев создавать очень компактный код, особенно в том случае, когда при постановке задачи определение каких-либо понятий имеет явно рекурсивный вид (смотри функцию Аккермана). Но за малый размер исходного кода приходится расплачиваться снижением производительности.
Что такое рекурсивный подъем
Рекурсия
Например, приведенное ниже определение двоичного кода является рекурсивным:
Здесь для описания понятия были использованы, так называемые, металингвистический формулы Бэкуса-Наура (язык БНФ); знак «::=» обозначает «по определению есть», знак «|» «или».
Приведём другие примеры рекурсивных определений.
Ниже будут приведены программные реализации всех этих (и не только) примеров.
Обращение к рекурсивной подпрограмме ничем не отличается от вызова любой другой подпрограммы. При этом при каждом новом рекурсивном обращении в памяти создаётся новая копия подпрограммы со всеми локальными переменными. Такие копии будут порождаться до выхода на граничное условие. Очевидно, в случае отсутствия граничного условия, неограниченный рост числа таких копий приведёт к аварийному завершению программы за счёт переполнения стека.
Выполнение действий в рекурсивной подпрограмме может быть организовано одним из вариантов:
Здесь P рекурсивная подпрограмма. Как видно из рисунка, действия могут выполняться либо на одном из этапов рекурсивного обращения, либо на обоих сразу. Способ организации действий диктуется логикой разрабатываемого алгоритма.
Реализуем приведённые выше рекурсивные определения в виде функций и процедур на языке Pascal.
Пример 4. Вычислить сумму элементов линейного массива.
При решении задачи используем следующее соображение: сумма равна нулю, если количество элементов равно нулю, и сумме всех предыдущих элементов плюс последний, если количество элементов не равно нулю.
Пример 5. Определить, является ли заданная строка палиндромом, т.е. читается одинаково слева направо и справа налево.
Идея решения заключается в просмотре строки одновременно слева направо и справа налево и сравнении соответствующих символов. Если в какой-то момент символы не совпадают, делается вывод о том, что строка не является палиндромом, если же удается достичь середины строки и при этом все соответствующие символы совпали, то строка является палиндромом. Граничное условие строка является палиндромом, если она пустая или состоит из одного символа.
Задание. Используя аналогичный подход, определите, является ли заданное натуральное число палиндромом.
Подводя итог, заметим, что использование рекурсии является красивым приёмом программирования. В то же время в большинстве практических задач этот приём неэффективен с точки зрения расходования таких ресурсов ЭВМ, как память и время исполнения программы. Использование рекурсии увеличивает время исполнения программы и зачастую требует значительного объёма памяти для хранения копий подпрограммы на рекурсивном спуске. Поэтому на практике разумно заменять рекурсивные алгоритмы на итеративные.
Что такое рекурсивный подъем
Например, приведенное ниже определение двоичного кода является рекурсивным:
Здесь для описания понятия были использованы, так называемые, металингвистический формулы Бэкуса-Наура (язык БНФ); знак «::=» обозначает «по определению есть», знак «|» «или».
Приведём другие примеры рекурсивных определений.
Ниже будут приведены программные реализации всех этих (и не только) примеров.
Обращение к рекурсивной подпрограмме ничем не отличается от вызова любой другой подпрограммы. При этом при каждом новом рекурсивном обращении в памяти создаётся новая копия подпрограммы со всеми локальными переменными. Такие копии будут порождаться до выхода на граничное условие. Очевидно, в случае отсутствия граничного условия, неограниченный рост числа таких копий приведёт к аварийному завершению программы за счёт переполнения стека.
Выполнение действий в рекурсивной подпрограмме может быть организовано одним из вариантов:
Здесь P рекурсивная подпрограмма. Как видно из рисунка, действия могут выполняться либо на одном из этапов рекурсивного обращения, либо на обоих сразу. Способ организации действий диктуется логикой разрабатываемого алгоритма.
Реализуем приведённые выше рекурсивные определения в виде функций и процедур на языке Pascal и в виде функций на языке C.
Пример 4. Вычислить сумму элементов линейного массива.
При решении задачи используем следующее соображение: сумма равна нулю, если количество элементов равно нулю, и сумме всех предыдущих элементов плюс последний, если количество элементов не равно нулю.
Пример 5. Определить, является ли заданная строка палиндромом, т.е. читается одинаково слева направо и справа налево.
Идея решения заключается в просмотре строки одновременно слева направо и справа налево и сравнении соответствующих символов. Если в какой-то момент символы не совпадают, делается вывод о том, что строка не является палиндромом, если же удается достичь середины строки и при этом все соответствующие символы совпали, то строка является палиндромом. Граничное условие строка является палиндромом, если она пустая или состоит из одного символа.
Задание. Используя аналогичный подход, определите, является ли заданное натуральное число палиндромом.
Подводя итог, заметим, что использование рекурсии является красивым приёмом программирования. В то же время в большинстве практических задач этот приём неэффективен с точки зрения расходования таких ресурсов ЭВМ, как память и время исполнения программы. Использование рекурсии увеличивает время исполнения программы и зачастую требует значительного объёма памяти для хранения копий подпрограммы на рекурсивном спуске. Поэтому на практике разумно заменять рекурсивные алгоритмы на итеративные.
Рекурсия
Например, приведенное ниже определение двоичного кода является рекурсивным:
Здесь для описания понятия были использованы, так называемые, металингвистический формулы Бэкуса-Наура (язык БНФ); знак «::=» обозначает «по определению есть», знак «|» «или».
Приведём другие примеры рекурсивных определений.
Ниже будут приведены программные реализации всех этих (и не только) примеров.
Обращение к рекурсивной подпрограмме ничем не отличается от вызова любой другой подпрограммы. При этом при каждом новом рекурсивном обращении в памяти создаётся новая копия подпрограммы со всеми локальными переменными. Такие копии будут порождаться до выхода на граничное условие. Очевидно, в случае отсутствия граничного условия, неограниченный рост числа таких копий приведёт к аварийному завершению программы за счёт переполнения стека.
Выполнение действий в рекурсивной подпрограмме может быть организовано одним из вариантов:
Здесь P рекурсивная подпрограмма. Как видно из рисунка, действия могут выполняться либо на одном из этапов рекурсивного обращения, либо на обоих сразу. Способ организации действий диктуется логикой разрабатываемого алгоритма.
Реализуем приведённые выше рекурсивные определения в виде функций и процедур на языке Pascal и в виде функций на языке C.
Пример 4. Вычислить сумму элементов линейного массива.
При решении задачи используем следующее соображение: сумма равна нулю, если количество элементов равно нулю, и сумме всех предыдущих элементов плюс последний, если количество элементов не равно нулю.
Пример 5. Определить, является ли заданная строка палиндромом, т.е. читается одинаково слева направо и справа налево.
Идея решения заключается в просмотре строки одновременно слева направо и справа налево и сравнении соответствующих символов. Если в какой-то момент символы не совпадают, делается вывод о том, что строка не является палиндромом, если же удается достичь середины строки и при этом все соответствующие символы совпали, то строка является палиндромом. Граничное условие строка является палиндромом, если она пустая или состоит из одного символа.
Задание. Используя аналогичный подход, определите, является ли заданное натуральное число палиндромом.
Подводя итог, заметим, что использование рекурсии является красивым приёмом программирования. В то же время в большинстве практических задач этот приём неэффективен с точки зрения расходования таких ресурсов ЭВМ, как память и время исполнения программы. Использование рекурсии увеличивает время исполнения программы и зачастую требует значительного объёма памяти для хранения копий подпрограммы на рекурсивном спуске. Поэтому на практике разумно заменять рекурсивные алгоритмы на итеративные.