что такое проценты и как их решать

Задачи на проценты

Что такое процент? Откуда взялось это слово?

Как решать задачи на проценты?

Как решать экономическую задачу, связанную с расчетом процентов?

Чтобы с этим разобраться, давай сначала ответим на первый вопрос: «Что такое процент?»

Задачи на проценты — коротко о главном

Один процент любого числа – это одна сотая этого числа.

Допустим, нужно увеличить число \( \displaystyle x\) на \( \displaystyle p\%\).

\( \displaystyle p\%\) от числа \( \displaystyle x\) – это \( \displaystyle \frac

<100>\cdot x\).

Тогда, новое число будет равно: \( \displaystyle x+\frac

<100>\cdot x=x\left( 1+\frac

<100>\right)\).

Чтобы увеличить число на \( \displaystyle \mathbf

\%\), нужно умножить его на \( \displaystyle \left( 1+\frac

<100>\right)\).

Если число \( \displaystyle x\) надо уменьшить на \( \displaystyle p\%\), то:

\( \displaystyle p\%\) от \( \displaystyle x

Уменьшить число на какую-то величину – значит вычесть из него эту величину:

\( \displaystyle x-\frac

<100>\cdot x=x\left( 1-\frac

<100>\right)\).

Чтобы уменьшить число на \( \displaystyle p\%\), нужно умножить его на \( \displaystyle \left( 1-\frac

<100>\right)\).

Задачи на проценты — подробнее

Что такое процент? Откуда взялось это слово?

Все очень просто. Слово процент произошло от латинского per cent– на сотню, и означает оно «сотая доля» или «сотая часть».

То есть один процент любого числа – это одна сотая этого числа.

И все. Этого достаточно, чтобы решать задачи, в которых присутствует это противное слово «процент».

Например: чему равны \( \displaystyle 34\%\) от числа \( \displaystyle 120\)?

Прочтем это задание по-другому: чему равны \( \displaystyle 34\) сотых доли числа \( \displaystyle 120\)?

Элементарно, правда? Нужно разделить число \( \displaystyle 120\) на \( \displaystyle 100\) частей (чтобы узнать, чему равна одна сотая доля – один процент) и взять \( \displaystyle 34\) таких части:

\( \displaystyle \frac<120><100>\cdot 34=1,2\cdot 34=40,8\).

Сколько процентов содержится в числе?

Снова перефразируем вопрос, заменив слово «процент» на «сотую часть»: Сколько сотых частей находится в числе?

Ответ сразу становится очевидным: в любом числе или предмете находится ровно сто сотых частей (то есть, если разделить число или предмет на \( \displaystyle 100\) частей, сколько будет этих частей?

Очевидно же, что \( \displaystyle 100\)).

Разберем еще несколько примеров

Решения:

1. И снова избавимся от слова «процент». Получим такой вопрос:

Чему равны \( \displaystyle 125\) сотых числа \( \displaystyle 350\)?

\( \displaystyle \frac<125><100>\cdot 350=\text<1>\text<,25>\cdot 350=437,5\).

Может показаться странным, что у нас целых \( \displaystyle 125\%\) – ведь мы уже выяснили, что в числе всего \( \displaystyle 100\%\). Но с математической точки зрения ничего странного, ведь процент – это всего лишь одна сотая от числа.

Почему нельзя одну сотую числа взять \( \displaystyle 125\) раз? Можно, ведь по сути это – просто число.

2. Итак, \( \displaystyle \frac<30><100>\) от числа равны \( \displaystyle 90\). Можем составить простенькое уравнение:

\( \displaystyle \frac<30><100>\cdot x=90\text< >\Rightarrow \text< >x=300\).

Ты заметил, что я сразу же вместо \( \displaystyle 30\%\) написал \( \displaystyle \frac<30><100>\)? И правда, один процент – это одна сотая, а значит, \( \displaystyle 30\) процентов – это \( \displaystyle 30\) сотых. Ты можешь тоже так делать.

3. Обозначим искомое количество процентов буквой \( \displaystyle x\). Тогда \( \displaystyle x\%\) от числа \( \displaystyle 75\) равно \( \displaystyle 45\). Или, что то же самое, \( \displaystyle x\) сотых от числа \( \displaystyle 75\) равно \( \displaystyle 45\):

\( \displaystyle \frac<100>\cdot 75=45\text< >\Rightarrow \text< >x=\frac<45\cdot 100><75>=60\).

Ответ: \( \displaystyle 60\%\).

Проценты и десятичные дроби

В разобранных выше примерах мы убедились, что вместо знака процента % можно писать \( \displaystyle \frac<1><100>\), или просто разделить на \( \displaystyle 100\). То есть, \( \displaystyle 25\%\) – это то же самое, что \( \displaystyle \frac<25><100>\); \( \displaystyle 247\%\) – это \( \displaystyle \frac<247><100>\) и так далее. Но ведь любую из этих дробей можно записать компактнее: в виде десятичной дроби.

Например:

Значит, проценты можно записать в виде десятичной дроби.

Правило перевода такое: сколько бы ни было процентов, смещаем десятичную запятую на два знака влево и убираем значок % – и таким образом получаем обычное число. Данное правило будем теперь всегда применять сразу.

Например:

1. Чему равны \( \displaystyle 35\%\) от числа \( \displaystyle 60\)?

Вместо \( \displaystyle 35\%\) напишем что? \( \displaystyle 0,35\). Итак, \( \displaystyle 0,35\cdot 60=21\).

2. \( \displaystyle 48\%\) от какого числа равны \( \displaystyle 456\)?

\( \displaystyle 0,48x=456\text< >\Rightarrow \text< >x=\frac<456><0,48>=950\).

Изменение числа на сколько-то процентов

Когда говорят, что число увеличилось на \( \displaystyle x\), это значит, что к числу надо прибавить \( \displaystyle x\).

Если же число уменьшилось на \( \displaystyle x\), это значит, что из числа надо вычесть \( \displaystyle x\).

Рассмотрим пример:

Цена холодильника в магазине за год увеличилась на \( \displaystyle 5\%\). Какой стала цена, если изначально холодильник стоил \( \displaystyle 12500\)р?

Решение:

Для начала определим, на сколько рублей изменилась (в данном случае – увеличилась) стоимость холодильника. По условию – на \( \displaystyle 5\%\). Но \( \displaystyle 5\%\) от чего? Конечно же, от самой начальной стоимости холодильника (\( \displaystyle 12500\) р). Получается, что нам нужно найти \( \displaystyle 5\%\) от \( \displaystyle 12500\)р:

\( \displaystyle 0,05\cdot 12500=625\).

Теперь мы знаем, что цена увеличилась на \( \displaystyle 625\)р. Остается только, согласно правилу, прибавить к начальной стоимости величину изменения:

Новая цена \( \displaystyle=12500+625=13125\) рублей.

Ответ: \( \displaystyle 13125.\)

Еще пример (постарайся решить самостоятельно):

Книга «Математика для чайников» в магазине стоит \( \displaystyle 360\)р. Во время акции все книги продаются со скидкой \( \displaystyle 15\%.\). Сколько теперь придется заплатить за эту книгу?

Решение:

Что такое скидка, ты наверняка знаешь? Скидка в \( \displaystyle 15\%.\) означает, что стоимость товара уменьшили на \( \displaystyle 15\%.\).

На сколько уменьшилась стоимость книги (в рублях)? Нужно найти \( \displaystyle 15\%.\) от начальной ее стоимости в \( \displaystyle 360\)р:

\( \displaystyle 0,15\cdot 360=54\).

Цена уменьшилась, значит нужно из начальной стоимости вычесть то, на сколько она уменьшилась:

Новая цена \( \displaystyle=360-54=306\) рублей.

Ответ: \( \displaystyle 306\).

Правда ведь просто?

Но есть способ сделать это решение еще проще и короче!

Рассмотрим пример:

Увеличьте число \( \displaystyle x\) на \( \displaystyle 23\%\).

Чему равны \( \displaystyle 23\%\) от \( \displaystyle x\)? Как мы уже выяснили раньше, это будет \( \displaystyle 0,23x\).

Теперь увеличим само число x на эту величину:

Получается, что в результате мы к десятичной записи \( \displaystyle 23\%\) прибавили \( \displaystyle 1\) и умножили на число \( \displaystyle x\). Обобщим это правило:

Пусть нам нужно увеличить число \( \displaystyle x\) на \( \displaystyle p\%\).

\( \displaystyle p\%\) от числа \( \displaystyle x\) – это \( \displaystyle \frac

<100>\cdot x\).

Тогда новое число будет равно: \( \displaystyle x+\frac

<100>\cdot x=x\left( 1+\frac

<100>\right)\).

Чтобы увеличить число на \( \displaystyle p\%\), нужно умножить его на \( \displaystyle \left( 1+\frac

<100>\right)\).

Например, увеличим число \( \displaystyle 136\) на \( \displaystyle 28\%\):

\( \displaystyle 136\cdot \left( 1+0,28 \right)=136\cdot 1,28=\text<174>\text<,08>\).

А теперь попробуй сам

Решения:

1. \( \displaystyle 340\cdot \left( 1+0,2 \right)=340\cdot 1,2=408\)

2. \( \displaystyle 140\cdot \left( 1+2,1 \right)=140\cdot 3,1=434\)

3. Пусть искомое количество процентов равно \( \displaystyle x\). Это значит, что если число \( \displaystyle 450\) увеличить на \( \displaystyle x\%\), получится \( \displaystyle 540\):

\( \displaystyle 450\left( 1+\frac <100>\right)=540\text< >\Rightarrow \text< >1+\frac<100>=\frac<540><450>\text< >\Rightarrow \text< >\frac<100>=\frac<6><5>-1=0,2\text< >\Rightarrow \text< >x=20\)

Ответ: на \( \displaystyle 20\%\).

Если число x надо уменьшить на \( \displaystyle p\%\), все аналогично:

\( \displaystyle p\%\) от \( \displaystyle x

Уменьшить число на какую-то величину – значит вычесть из него эту величину:

\( \displaystyle x-\frac

<100>\cdot x=x\left( 1-\frac

<100>\right)\).

Чтобы уменьшить число на \( \displaystyle p\%\), нужно умножить его на \( \displaystyle \left( 1-\frac

<100>\right)\).

Примеры:

Решения:

1. \( \displaystyle 230\cdot \left( 1-0,18 \right)=230\cdot 0,82=188,6\).

2. Число \( \displaystyle 150\) уменьшили на x процентов и получили \( \displaystyle 135\):

\( \displaystyle 150\left( 1-\frac <100>\right)=135\text< >\Rightarrow \text< >1-\frac<100>=\frac<135><150>\text< >\Rightarrow \text< >\frac<100>=1-\frac<135><150>=0,1\text< >\Rightarrow \text< >x=10\).

Ответ: на \( \displaystyle 10\%\).

3. Пусть цена без скидки равна \( \displaystyle x\). Получается, что x уменьшили на \( \displaystyle 20\%\) и получили \( \displaystyle 1000\):

\( \displaystyle x\left( 1-0,2 \right)=1000\text< >\Rightarrow \text< >x\cdot 0,8=1000\text< >\Rightarrow \text< >x=\frac<1000><0,8>=1250\) (рублей).

Ответ: \( \displaystyle 1250\).

Напоследок рассмотрим еще один тип задач, частенько вызывающих недоумение:

Число \( \displaystyle a\) больше числа \( \displaystyle b\) на \( \displaystyle 25\%\). На сколько процентов число \( \displaystyle b\) меньше числа \( \displaystyle a\)?

Что за странный вопрос: конечно же на \( \displaystyle 25\%\)! Правильно?

А вот и нет. Если, например, масса одного шкафа на 25 кг больше массы другого, то, без сомнения, масса второго шкафа на 25 кг меньше массы первого.

Но с процентами так не прокатит!

Ведь в первом случае, когда говорим, что число \( \displaystyle a\) на \( \displaystyle 25\%\) больше числа \( \displaystyle b\), мы считаем \( \displaystyle 25\%\) от числа \( \displaystyle b\); а во втором случае, когда говорим, что число \( \displaystyle b\) на \( \displaystyle 25\%\) меньше числа \( \displaystyle a\), мы считаем \( \displaystyle 25\%\) от числа \( \displaystyle a\). А поскольку числа \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\) разные, то и \( \displaystyle 25\%\) от этих чисел будут разными!

Чтобы решить эту задачу верно, давай запишем условие в виде уравнения:

Число \( \displaystyle a\) больше числа \( \displaystyle b\) на \( \displaystyle 25\%\). Это значит, что если число \( \displaystyle b\) увеличить на \( \displaystyle 25\%\), получим число \( \displaystyle a\):

\( \displaystyle b\left( 1+0,25 \right)=a\text< >\Rightarrow \text< >1,25b=a\). (1)

Теперь в таком ж виде запишем вопрос: если число a уменьшить на \( \displaystyle x\) процентов, получим число \( \displaystyle b\):

\( \displaystyle a\left( 1-\frac <100>\right)=b\). (2)

Выразим число \( \displaystyle b\) из равенства (1):

\( \displaystyle 1,25b=a\text< >\Rightarrow \text< >b=\frac<1,25>=0,8a\)

\( \displaystyle a\left( 1-\frac <100>\right)=0,8a\).

Отсюда следует, что:

\( \displaystyle \left( 1-\frac <100>\right)=0,8\text< >\Rightarrow \text< >\frac<100>=0,2\text< >\Rightarrow \text< >x=20\) (%).

Итак, получаем, что число \( \displaystyle b\) на \( \displaystyle \mathbf<20>\%\) меньше числа \( \displaystyle a\)!

Подобные задачи часто попадаются в ЕГЭ. Давай разберем одну из них

В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на \( \displaystyle \mathbf<25>\%\) дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение:

Пусть цена акции в понедельник была равна \( \displaystyle P\), а искомое количество процентов, записанное в виде десятичной дроби (то есть, уже поделенное на \( \displaystyle 100\)), равно \( \displaystyle x\).

Запишем формулой, чему равна стоимость акции после подорожания:

\( \displaystyle <

_<1>>=P\left( 1+x \right)\).

Далее, эту новую стоимость \( \displaystyle <

_<1>>\) уменьшили на \( \displaystyle x\) процентов:

\( \displaystyle <

_<2>>=<

_<1>>\left( 1-x \right)=P\left( 1+x \right)\left( 1-x \right)=P\left( 1-<^<2>> \right)\).

При этом известно, что эта конечная цена \( \displaystyle <

_<2>>\) на \( \displaystyle \mathbf<25>\%\) меньше начальной цены \( \displaystyle

\). То есть, если уменьшить \( \displaystyle

\) на \( \displaystyle \mathbf<25>\%\), получим \( \displaystyle <

_<2>>\):

\( \displaystyle P\left( 1-0,25 \right)=<

_<2>>\text< >\Rightarrow \text< >0,75P=<

_<2>>\)

Подставим \( \displaystyle <

_<2>>\), выраженное ранее:

\( \displaystyle 0,75P=P\left( 1-<^<2>> \right)\text< >\Rightarrow \text< >0,75=1-<^<2>>\text< >\Rightarrow \text< ><^<2>>=0,25\text< >\Rightarrow \text< >x=\pm 0,5\).

Согласно здравому смыслу подходит только положительное решение:

Вспомним теперь, что это пока только десятичная запись искомого количества процентов, то есть это количество процентов, деленное на \( \displaystyle 100\). Чтобы перевести в проценты, нужно домножить на 100%:

Где мы используем проценты в жизни?

Чаще всего мы их видим в банковских продуктах: вкладах, кредитах и т.д.

Если ты хорошо понимаешь, что такое проценты, и умеешь решать уравнения, то ты без труда расчитаешь, например, размер ежемесячного платежа по кредиту или сколько придётся переплатить, взяв ипотеку.

Подведем итоги:

Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ №11. Задачи на проценты, растворы, смеси и сплавы

В этом видео мы научимся решать текстовые задачи на проценты, а так же на растворы, смеси и сплавы – на все, что содержит разные вещества в каком-то соотношении.

Задачи на смеси и сплавы очень часто попадаются на ОГЭ (№23) и профильном ЕГЭ (под номером 12).

Мы научимся очень простому способу сводить эти задачи к обычному линейному уравнению или к системе из двух таких уравнений.

Также мы научимся решать сложные задачи на проценты – в основном они на банковские вклады и кредиты и прочие финансовые штуки.

Это, в том числе, даст нам очень большой задел для “ экономической” задачи №17 (которая стоит аж 3 первичных балла).

ЕГЭ №17 Экономическая задача. Вклады

Экономические задачи в основном довольно простые, но дают аж 3 первичных балла!

Но это не совсем 3 балла нахаляву. Эти задачи требуют очень подробного и чёткого описания решения.

По сути, мы составляем математическую модель какой-то жизненной ситуации (например, связанной с банковскими вкладами или кредитами), и важно научиться ничего не пропускать при описании этой модели: описывать словами все введённые обозначения, обосновывать уравнения, которые мы записываем, и всё в таком духе.

Если не написать эти объяснения, вы гарантированно получите 0 баллов даже за правильно найденный ответ!

На этом уроке мы узнаем, как работают вклады, научимся решать и, главное, правильно оформлять решение таких задач.

Источник

Проценты

Процент — это одна сотая часть числа. Отсюда следует, что два процента — это две сотых, двадцать процентов — двадцать сотых и так далее.

Величина, от которой вычисляются проценты (например, цена, длина, количество конфет и т. д.), составляет 100 своих сотых долей, то есть 100%.

Чтобы найти один процент от числа, надо разделить это число на 100.

Пример 1. Найти один процент от числа 300.

Ответ: Один процент от 300 равен 3.

Пример 2. Найти один процент от числа 27,5.

Ответ: Один процент от 27,5 равен 0,275.

Нахождение процентов от числа

Чтобы найти некоторое число процентов от данного числа, нужно данное число разделить на 100 и умножить на число процентов.

Задача 1. В том году в магазине к новому году купили 200 ёлок. В этом году количество купленных ёлок увеличилось на 120%. Сколько ёлок купили в этом году?

Решение: Сначала надо найти 120% от 200, для этого 200 надо разделить на 100, так мы найдём 1%, а затем полученный результат умножить на 120:

(200 : 100) · 120 = 240.

Число 240 — это 120% от 200. Значит, в этом году количество проданных ёлок увеличилось на 240 штук. То есть, количество ёлок, проданных в этом году равно:

200 + 240 = 440 (ёлок).

Ответ: В этом году купили 440 ёлок.

Задача 2. В коробке 28 конфет, 25% конфет с клубничной начинкой. Сколько конфет с клубничной начинкой в коробке?

Ответ: В коробке 7 конфет с клубничной начинкой.

Нахождение числа по его процентам

Чтобы найти число по данной величине его процентов, нужно эту величину разделить на число процентов и умножить на 100.

Задача. Цена метра сукна снизилась на 24 руб., что составило 15% цены. Сколько стоил метр сукна до снижения?

Ответ: Метр сукна стоил 160 рублей.

Процентное отношение двух чисел

Чтобы узнать, сколько процентов первое число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100.

Задача. Завод по годовому плану должен выпустить продукции на сумму 1 250 000 руб. За 1-ый квартал он выпустил её на сумму 450 000 руб. На сколько процентов выполнен заводом годовой план за 1-ый квартал?

Ответ: За 1-ый квартал план выполнен на 36%.

Перевод процентов в десятичную дробь

Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо количество процентов разделить на 100.

Пример 1. Представить 25% в виде десятичной дроби.

Пример 2. Выразить 100% десятичной дробью.

Пример 3. Выразить 230% десятичной дробью.

Источник

Сложный процент — главный секрет богатства! Формулы, Excel-калькулятор

Привет всем читателям Блога Вебинвестора! Думаю, каждый из вас сталкивался с начислением процентов на денежную сумму — по депозиту, по кредиту, расчётом доходности инвестиций и так далее. Так вот, если повторить эту процедуру много раз, вложения начинают расти всё быстрее и быстрее благодаря эффекту сложного процента! Воистину, это один из главных секретов, как с помощью инвестирования увеличить количество нулей в сумме на вашем банковском счёте.

Эта статья входит в бесплатное обучение инвестициям с нуля на Блоге Вебинвестора. В комментариях к статье вы можете оставлять любые вопросы по теме и я постараюсь подробно на них ответить.

Спасибо за внимание, продолжаем!

Что такое простой и сложный процент
и чем они отличаются

Понятие простых и сложных процентов — один из самых важных уроков по финансовой грамотности, которые вы должны знать. Они встречаются в нашей жизни повсюду: от ежедневных покупок (кэшбек, бонусы) до инвестирования (проценты на депозит, дивиденды, комиссии и т.д.) и оказывают незаметное, но существенное влияние на ваш кошелек на длинной дистанции. Чтобы наглядно увидеть различия между простыми и сложными процентами, давайте рассмотрим примеры.

Простой процент — прибыль в % начисляется только на первоначальную сумму вклада и сразу выводится.

Допустим, вы открыли депозит 10000$ под 10% годовых, проценты начисляются раз в год. По схеме простого процента каждые 12 месяцев вы будете получать 1000$ прибыли, но она не остаётся на депозите и сразу же выводится. В итоге прирост прибыли будет выглядеть так:

Всё «просто» — каждый год плюс тысяча в карман. Простой процент используется в случаях, когда база начисления процентов не изменяется. Это могут быть специальные банковские депозиты, проценты по кредиту. Также простой процент используется, когда инвестор регулярно выводит прибыль — в каждый период времени работает первоначальная сумма.

Сложный процент — проценты начисляются на первоначальную сумму вклада плюс всю полученную до этого прибыль. Понятия «реинвестирование» и «капитализация» по сути означают использование сложного процента.

Для сравнения пусть будет тот же депозит 10000$ под 10%, но банк в этот раз разрешает оставить прибыль на счёте. Вот что произойдёт с вкладом за 10 лет:

В первый год разницы нет — всё та же тысяча, но поскольку сумма на депозите теперь растёт, уже на втором году прибыль увеличивается: 2100$ вместо 2000$, за третий год 3310$ вместо 3000$ и так далее. За 10 лет доходность нашего депозита составила 159% вместо 100% когда мы выводили прибыль. Неплохая прибавка, не так ли? А вот что случится еще через несколько десятилетий:

Впечатляет! Чем дольше открыт депозит, тем сильнее работает эффект сложного процента — за 50 лет можно увеличить депозит не в 6, а более чем в 100 раз. Вот как это выглядит на графике:

без капитализации депозит растёт линейно,
а с капитализацией — по экспоненте

Теперь киношные истории про забытые банковские счета, на которых накопились миллионы долларов выглядят вполне реальными 🙂 Конечно, 50 лет это много, но правило сложного процента неплохо работает и на более коротких промежутках времени — всё зависит от доходности вклада. Если хочется заработать больше, стоит использовать более прибыльные способы инвестирования: акции, драгоценные металлы, криптовалюты, валютный рынок и так далее.

Думаю, суть понятна, теперь давайте пройдемся по математической стороне вопроса, а потом рассмотрим несколько типичных примеров задач.

Формулы простых и сложных процентов

Поскольку простые и сложные проценты чаще всего используются при расчете прибыли от банковских вкладов, продолжим на их примере. Для решения задач нам понадобится такая информация:

Формула простого процента

По этой формуле мы можем рассчитать конечную сумму вклада без капитализации полученной прибыли. Для этого нужно знать начальную сумму вклада, процентную ставку за 1 период инвестирования и временной интервал. Если конечная сумма задана сразу и нужно найти другую неизвестную переменную, используйте производные формулы простого процента:

Формула сложного процента

По этой формуле мы можем посчитать конечную сумму вклада с учётом капитализации полученной прибыли, зная начальный депозит, процентную ставку и нужный временной интервал. Для решения задач также можно использовать производные формулы сложного процента:

На практике часто дело не заканчивается первоначальным депозитом — многие пользуются регулярными пополнениями, например делают регулярные инвестиции из зарплаты. Для этих случаев формула сложного процента становится длиннее:

где D — сумма регулярных пополнений банковского депозита. Обратите внимание, степень N-1 означает, что доливки начинаются со второго инвестиционного периода (если сумма дополнительных инвестиций вносится сразу, то N-1 меняется на N).

Ну что, удачи на экзаменах всем читающим меня студентам 🙂 Для закрепления далее мы разберем несколько примеров задач на сложные проценты.

Примеры решения задач
по сложным процентам

В этом разделе мы пройдемся по некоторым типичным задачам на сложные проценты. Также вы найдете шаблоны расчётов в Excel, в которых можно поменять вводные данные и получить нужное вам решение.

Задача №1. Рассчитать прибыль по вкладу на 5 лет под 10% годовых, начальная сумма вложений 100000 рублей (с капитализацией).

Находим конечную сумму вклада по формуле сложных процентов:

Результат: инвестор через 5 лет получит 61051 рублей прибыли.

Задача №2. Рассчитать прибыль по вкладу на 10 лет под 10% годовых с капитализацией. Начальная сумма вложений 50000 рублей, дополнительно каждый год начиная с первого счёт пополняется на 10000 рублей.

Сначала находим конечную сумму по формуле сложного процента с регулярными пополнениями:

Учитывая, сколько инвестировано за 10 лет (50000 сразу и еще 9 раз по 10000), вычисляем прибыль:

Результат: инвестор через 10 лет получит 139061 рубль прибыли, инвестировав 140000 рублей.

Задача №3. Рассчитать, сколько времени понадобится инвестору, чтобы увеличить капитал с 500000 до 1000000 рублей. Средняя доходность портфеля — 12% годовых, прибыль реинвестируется.

У нас есть все необходимые данные, используем одну из производных формул сложных процентов:

Решение: инвестору понадобится чуть больше 6 лет.

Задача №4. Посчитать среднюю процентную ставку, которая позволит превратить 100000 рублей в 500000 рублей за 10 лет путём инвестирования. Прибыль реинвестируется.

Используем одну из производных формул сложных процентов:

Решение: инвестору нужно вложить деньги под 17.5% годовых (довольно сложно на практике, кстати).

Думаю, этого достаточно. Если ваша задача не похожа ни на одну из предыдущих, возможно вам поможет информация из следующего раздела статьи.

Калькулятор сложных процентов в Excel

Конечно же, задачи на сложные проценты целесообразнее решать в MS Excel по уже известным вам из предыдущих разделов формулам. По ходу статьи вы уже могли скачать некоторые примеры типичных задач, но если этого мало — предлагаю полную подборку калькуляторов по сложным процентам, реализованную в одном Excel-файле. Получить его можно бесплатно, просто заполните форму ниже:

Если письмо не пришло, проверяйте папку «Спам», иногда попадает туда. Если не видите форму подписки, оставьте комментарий к статье и я добавлю ваш электронный адрес вручную.

Вот какие задачи по простым и сложным процентам может решать «Коллекция калькуляторов для инвестора»:

В будущем я планирую добавить много калькуляторов по самым разным темам, оставляйте свои пожелания в комментариях!

Пример одного из калькуляторов для расчёта сложных процентов в Excel:

Дополнительно к каждому калькулятору автоматически строится график доходности вклада с капитализацией и без:

А также уже знакомые вам таблицы:

Думаю, файл будет полезен и для практического использования, и в обучающих целях — в готовом виде есть все формулы, по которым можно считать сложные проценты в Excel.

Как использовать сложные проценты
в инвестировании

Как вы уже знаете, получаемая от инвестиций прибыль — это важный инструмент, который на большой дистанции может во много раз увеличить доходность ваших вложений. Метод повторного вложения прибыли называется реинвестированием.

Безусловно, использовать эффект сложного процента должен каждый инвестор, однако на практике это не так просто как кажется. Существует несколько проблем, которые мешают теоретически супервыгодное реинвестирование реализовать в реальных условиях. Например, вряд ли вы слышали о людях, ставших миллиардерами через банковские депозиты. Дело в том, что деньги постоянно обесцениваются из-за инфляции — постоянного повышения цен на товары и услуги. На самом деле ставка банковских депозитов обычно примерно равна инфляции или даже ниже, поэтому реальная доходность вкладов не впечатляет:

Даже если оставить удачный бескризисный отрезок 2010-2020 годов, доходность банковского вклада с учётом инфляции была в районе 1-2% годовых в рублях. Не говоря уже о доходности в долларах, которая после 2014 года, очевидно, находится в еще большем минусе.

Кроме инфляции сильно повлиять на итоговую доходность инвестиций могут разнообразные комиссии. Если их размер зависит от суммы инвестиций, убытки накапливаются по правилу сложных процентов, но уже с негативным эффектом. Это значит, что за несколько десятков лет инвестор может потерять сотни или даже тысячи процентов прибыли.

Такое часто встречается при инвестициях в ETF, где комиссия за управление достигает несколько процентов от депозита в год. Один из самых старых ETF под тикером SPY (инвестиционная стратегия — следование за индексом S&P 500) работает с 1993 года и берет с клиентов 0.09% в год — немного, по сравнению с другими биржевыми фондами. Эта ставка со временем может меняться, но давайте для эксперимента представим что она всегда была такой — и сравним, как будет отличаться доходность инвестиций при комиссиях от 0 до 2% в год:

Как видите, даже из-за несчастных 0.09% инвестор на дистанции 27 лет потерял 25% прибыли. А вроде бы небольшая комиссия в 2% годовых срезает доходность почти в 3 раза — с 723% до 270%, и это еще не учтена инфляция. По причине скрытых комиссий высокая доходность активов на самом деле может оказаться в разы ниже, поэтому перед принятием решения об инвестировании важно учитывать даже мизерные расходы.

Куда же стоит инвестировать, чтобы использовать эффект сложного процента на максимум и минимизировать влияние инфляции и комиссий? Я бы выделил такие инструменты:

Оптимальный портфель инвестора предполагает использование всех этих инструментов, поскольку генерируемый ими денежный поток позволяет гибко управлять вложениями: делать ребалансировку, выводить прибыль или реинвестировать. Использовать правило сложных процентов можно в любых инвестициях, но не везде это рекомендуется делать. Чем выше риски вложений, тем выгоднее просто выводить прибыль, поскольку при неудачных раскладах депозит может быть потерян.

Использование сложных процентов — теоретически очень выгодное занятие, но как всегда дьявол кроется в деталях. Тем не менее, реинвестирование/капитализация остаётся одним из главных инструментов для накопления большого капитала, грех его игнорировать. И даже вне инвестирования начисление процентов по простому или сложному принципу встречается часто, поэтому полезно знать как это все работает. Надеюсь, подробный разбор формул и решения задач будут вам полезны.

Источник