Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ функция

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ функция β€” это функция, значСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊ значСниям Π΅Ρ‘ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ числа T (ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚ нуля).

Ѐункция y=f(x) называСтся пСриодичСской, Ссли сущСствуСт Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ число Tβ‰ 0, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для любого x ΠΈΠ· области опрСдСлСния этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ равСнства:

Число T Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x).

Из опрСдСлСния слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ значСния x-T ΠΈ x+T Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ входят Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x).

Бвойства пСриодичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

1) По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ пСриодичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ для любого x ΠΈΠ· области опрСдСлСния y=f(x) Ссли T β€” ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ f(x-T)= f(x)=f(x+T).

2) Для любого x ΠΈΠ· области опрСдСлСния y=f(x) Ссли T1 β€” ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ T2 Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x), Ρ‚ΠΎ для Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° x-T1

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, число T1+T2 являСтся ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x).

3) Π­Ρ‚ΠΎ свойство нСпосрСдствСнно Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ· свойства 2, Ссли T Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π² качСствС слагаСмого n Ρ€Π°Π·.

4) Если T β€” ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), Ρ‚ΠΎ для Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° kx+b

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ число T/k β€” ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(kx+b).

5) Π­Ρ‚ΠΈ свойства ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ нСпосрСдствСнно ΠΈΠ· опрСдСлСния.

НапримСр, для суммы f(x) ΠΈ g(x):

Из свойства 3 слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ каТдая пСриодичСская функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠ².

Если срСди всСх ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x) сущСствуСт наимСньший ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ (ΠΈΠ»ΠΈ основным) ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ пСриодичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

1) ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ для любого x Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ равСнства

Ρ‚ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=sin x ΠΈ y=cos x ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСскими с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ T=2Ο€.

2) Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ для любого x ΠΈΠ· области опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=tg x выполняСтся равСнство

tg (x-Ο€)=tg x =tg (x-Ο€), Ρ‚ΠΎ y=tg x β€” пСриодичСская функция с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ T=Ο€.

Аналогично, y=ctg x β€” пСриодичСская функция с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ T=Ο€.

3) Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ для любого Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа x ΠΈ любого Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа k выполняСтся равСнство D(x+k)=D(x), Ρ‚ΠΎ функция Π”ΠΈΡ€ΠΈΡ…Π»Π΅ D(x) β€” пСриодичСская с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ T=k, Π³Π΄Π΅ k∈Q, kβ‰ 0.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ k β€” любоС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ наимСньшСС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, функция Π”ΠΈΡ€ΠΈΡ…Π»Π΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°.

4) Рассмотрим частный случай Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=b, b β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число (b∈R). Π­Ρ‚Π° функция ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° мноТСствС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… значСниях Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ СдинствСнноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y=b, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ для любого Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа m (m∈R), y(x)=y(x+m)=b.

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ y=b β€” пСриодичСская функция с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ T=m, Π³Π΄Π΅ m∈R, mβ‰ 0.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ m β€” любоС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ наимСньшСго ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ значСния. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ функция y=b Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°.

5) Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ для любого Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ x ΠΈ любого Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ k выполняСтся равСнство =, Ρ‚ΠΎ функция Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ части числа y= β€” пСриодичСская с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ T=k, Π³Π΄Π΅ kβˆˆΞ–, kβ‰ 0.

НаимСньшим ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ числом являСтся Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, T=1 β€” Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=.

Π“Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ y=sin x ΠΈ y=cos x T=2Ο€.

Π“Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ y=tg x ΠΈ y=ctg x T=Ο€.

Если T β€” ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=sin x, Ρ‚ΠΎ sin (x-2Ο€)=sin x = sin (x-2Ο€) для любого x.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ любой ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=sin x ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ 2Ο€n, n∈Z.

НаимСньшСС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈ n=1 ΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ T=2Ο€.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, 2Ο€ β€” Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=sin x.

Аналогично Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ утвСрТдСния ΠΎ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ y=cos x, y=tg x ΠΈ y=ctg x.

Из 4-Π³ΠΎ свойства пСриодичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ нСпосрСдствСнно слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ y=sin (kx+b) ΠΈ y=cos (kx+b) (kβ‰ 0) наимСньший ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Π° для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ y=tg (kx+b) ΠΈ y=ctg (kx+b) (kβ‰ 0) наимСньший ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ пСриодичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ повторяСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ T (Π½Π° оси Ox).

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Π”Π°Π½Π° Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ T.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, выполняСм ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ пСрСнос этой части Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° вдоль оси Ox Π½Π° Β±T, Β±2T,… :

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π‘ пСриодичСскими функциями ΠΌΡ‹ встрСчаСмся Π² школьном курсС Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, всС значСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄. Как Π±ΡƒΠ΄Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΊΠΎΠΏΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° β€” ΠΈ повторяСм этот ΠΏΠ°Ρ‚Ρ‚Π΅Ρ€Π½ Π½Π° всСй области опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. НапримСр, β€” пСриодичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Π”Π°Π΄ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ пСриодичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

НапримСр, β€” пСриодичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄

Но Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСскими. Если Π²Ρ‹ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ Π² матклассС ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ курсС Π²ΡƒΠ·Π° β€” Π²Π°ΠΌ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ:

1. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ функция ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° для всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Π•Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΄Π²ΡƒΠΌ ΠΈ НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Как Π²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ сСбя функция Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… β€” ΠΌΡ‹ Π½Π΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ. Но Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ состоит ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ элСмСнтов Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 2, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ нарисовано.

2. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ пСриодичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ совпадаСт с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 1; ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ f(4 ).

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ функция чСтная, Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ части Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 1.

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2. ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΌ пСриодичСски участок Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ 2, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΡƒΠΆΠ΅ построСн.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

3. НайдитС наимСньший ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

НаимСньший ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ получаСтся ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ сТатиСм Π² 3 Ρ€Π°Π·Π° ΠΏΠΎ оси X (смотри Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ Β«ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ).

РассуТдая Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ наимСньший ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ На ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ укладываСтся Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ 5 ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… Π²ΠΎΠ»Π½ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

4. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 12, Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 8. НайдитС наимСньший ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

НаимСньший ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ суммы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠ² слагаСмых.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

А пСриодичСская функция это функция ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ повторяСт свои значСния Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ с ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠΌ 2Ο€ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π½Π°ΡƒΠΊΠ΅ для описания колСбания, Π²ΠΎΠ»Π½Ρ‹, ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ явлСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π›ΡŽΠ±Π°Ρ нСпСриодичСская функция называСтся апСриодичСский.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вСщСствСнных чисСл

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ повсСднСвного использования ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° пСрСмСнная врСмя; Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ Часы ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„Π°Π·Ρ‹ Π›ΡƒΠ½Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ пСриодичСскоС ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (я) систСмы выраТаСтся ΠΊΠ°ΠΊ пСриодичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, всС с ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄.

Для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа, это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вСсь Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ сформированы ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΏΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ части, ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Богласно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ экзотичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ѐункция Π”ΠΈΡ€ΠΈΡ…Π»Π΅, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСскими; Π² случаС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π”ΠΈΡ€ΠΈΡ…Π»Π΅ любоС Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число являСтся ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ комплСксных чисСл

Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ комплСксныС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°:

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ пСриодичСскими вдоль ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ оси Π² комплСксной плоскости, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ. НапримСр, Π΅ z < displaystyle e ^ > Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функцияпСриодичСн ΠΏΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ оси, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси.

Π”Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Π΅ пСриодичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Ѐункция, Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ являСтся слоТныС числа ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° нСсоизмСримых ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°, Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‡ΠΈ постоянным. Π’ эллиптичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. («НСсоизмСримыС» Π² этом контСкстС ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ.)

Π₯арактСристики

ΠžΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡ

АнтипСриодичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Одним ΠΈΠ· ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… подмноТСств пСриодичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ являСтся подмноТСство антипСриодичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ функция ΠΆ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΆ(Икс + ΠΏ) = βˆ’ΠΆ(Икс) для всСх Икс. (Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏ-антипСриодичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ являСтся 2ΠΏ-пСриодичСская функция.) НапримСр, Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈ косинуса ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ο€-антипСриодичСскими ΠΈ 2Ο€-пСриодичСскими. Π₯отя ΠΏ-антипСриодичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ являСтся 2ΠΏ-пСриодичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

Блоховско-пСриодичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π”Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ появляСтся Π² контСкстС Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π‘Π»ΠΎΡ…Π° ΠΈ ВСория Π€Π»ΠΎΠΊΠ΅, ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… пСриодичСских Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π’ этом контСкстС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΈ) ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ являСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹:

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ пространства ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½

РасчСтный ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄

Если Π½Π΅ сущСствуСт наимСньшСго ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ знамСнатСля, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ссли ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтов Π±Ρ‹Π» ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΠΎΠ»Π½Π° Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»Π° Π±Ρ‹ пСриодичСской. [2]

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π£Ρ€ΠΎΠΊΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ для школьников ΠΈ Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ

суббота, 4 сСнтября 2021 Π³.

Π£Ρ€ΠΎΠΊ 5. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Из этого опрСдСлСния сразу слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π’ – ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

– Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Ρƒ пСриодичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠ².

Π§Π°Ρ‰Π΅ всСго (Π½ΠΎ Π½Π΅ всСгда) срСди мноТСства ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ наимСньший. Π•Π³ΠΎ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ основным ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ .

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ пСриодичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ состоит ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ„Ρ€Π°Π³ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ².

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Ρƒ = Ρ… – [Ρ…] , Π³Π΄Π΅ [Ρ…] – цСлая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ числа. Если ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ 1 , Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ этого Π½Π΅ измСнится :

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ любом Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ…

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

sin (Ξ± + 360 Β° ) = sin Ξ±

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ sin Ξ± ΠΈ cos Ξ± ΠΎΡ‚ прибавлСния ΠΊ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ Ξ± ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° ( 2Ο€ ΠΈΠ»ΠΈ 360 Β° ) Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ своих Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Π³Π΄Π΅ k – любоС Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ sin Ξ± ΠΈ cos Ξ± – пСриодичСскиС.

НаимСньшСС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΎΡ‚ прибавлСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊ Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΌΡƒ допустимому Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π½Π΅ измСняСтся Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, называСтся ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π’ самом Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Ξ± – ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ», составлСнный с осью ΠžΡ… ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ радиусом ОМ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

ΠΎΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ значСния tg Ξ± ΠΈ с tg Ξ± Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ, Ссли ΠΊ ΡƒΠ³Π»Ρƒ Ξ± ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ любоС число ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠ²:

Π³Π΄Π΅ k – любоС Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.

Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ числу, ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° T 1 ΠΈ T 2 ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа.

Найти ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π½Π΅ сущСствуСт, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ числа, ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° 2Ο€ ΠΈ Π½Π° 2 ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π»ΠΈΡΡŒ Π±Ρ‹ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа, Π½Π΅Ρ‚.

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Π½Π΅ сущСствуСт.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ :

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ тангСнс – пСриодичСская функция с ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 20 βˆ™ 180 Β° , Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ :

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ :

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ косинус – чётная ΠΈ пСриодичСская функция с ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 2Ο€ , Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ :

сos (–13Ο€) = сos 13Ο€ = сos (Ο€ + 6 βˆ™ 2Ο€) = сos Ο€ = –1.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ :

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ синус – нСчётная ΠΈ пСриодичСская функция с ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 20 βˆ™ 360 Β° , Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ :

Найти основной ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π’ основной ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°:

Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 2 Ο€k ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ синуса, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ :

sin (7Ρ… + 7 t ) = sin (7Ρ… + 2 Ο€k ),

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Найти основной ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π’ основной ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°:

со s 0,3Ρ… = со s 0,3(Ρ… + t ) = со s (0,3Ρ… + 0,3 t )

Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 2 Ο€k ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ косинуса, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ :

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

Найти ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ :

y = 5 sin 2 x + 2 ctg 3Ρ….

НаимСньшСС число, ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°

Найти ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ :

Находим ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ‹ слагаСмых. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½

Найти ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ :

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρƒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ сущСствуСт, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ числа, ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° 2 ΠΈ Π½Π° Ο€ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π»ΠΈΡΡŒ Π±Ρ‹ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа.

Найти ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ :

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ‹ :

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° наимСньшСС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ (НОК) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ :

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ :

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ функция

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСриодичСская функция

ПолСзноС

Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ «ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ функция» Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… словарях:

ΠŸΠ•Π Π˜ΠžΠ”Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠΠ― ЀУНКЦИЯ β€” функция, значСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ (ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚ нуля) числа, Ρ‚. Π½. ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Напр., sin Ρ… пСриодичСская функция с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 2?, ΠΈΠ±ΠΎ sin (Ρ… + 2?) = sin x ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Ρ…. Π¨ΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ в… … Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΎΠΉ ЭнциклопСдичСский ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ

пСриодичСская функция β€” функция, значСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ (ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚ нуля) числа, Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. НапримСр, sinx пСриодичСская функция с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 2Ο€, ΠΈΠ±ΠΎ sin(x + 2Ο€) = sinx ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… x. Π¨ΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ … ЭнциклопСдичСский ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ

пСриодичСская функция β€” periodinΔ— funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. periodic function vok. periodische Funktion, f rus. пСриодичСская функция, f pranc. fonction pΓ©riodique, f … Fizikos terminΕ³ ΕΎodynas

ΠŸΠ•Π Π˜ΠžΠ”Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠΠ― ЀУНКЦИЯ β€” функция, значСния ΠΊ Ρ€ΠΎΠΉ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ Π½Π΅ΠΊ Ρ€ΠΎΠ³ΠΎ (ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚ нуля) числа, Ρ‚. Π½. ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Напр., sin Ρ… П. Ρ„. с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 2ПИ, ΠΈΠ±ΠΎ sin (Ρ… + 2ПИ) = sin x ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Ρ…. Π¨ΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ и… … ЕстСствознаниС. ЭнциклопСдичСский ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ

ΠŸΠ•Π Π˜ΠžΠ”Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠΠ― ЀУНКЦИЯ β€” Ρ„ ция, значСния ΠΊ Ρ€ΠΎΠΉ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ Π½Π΅ΠΊ Ρ€ΠΎΠ³ΠΎ (ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚ нуля) числа, Ρ‚. Π½. ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ Ρ†ΠΈΠΈ. Напр., sinx П. Ρ„. с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 2я, ΠΈΠ±ΠΎ sin (Ρ… + 2ПИ) = sinΡ… ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Ρ…. П. Ρ„. ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ и… … Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΎΠΉ энциклопСдичСский политСхничСский ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ

ПОЧВИ ΠŸΠ•Π Π˜ΠžΠ”Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠΠ― ЀУНКЦИЯ β€” функция, ΠΊ рая ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСна ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ рядом Π€ΡƒΡ€ΡŒΠ΅. Π‘ΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ способы опрСдСлСния классов П. ΠΏ. Ρ„., основанныС Π½Π° понятиях замыкания, ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°, сдвига. ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· классов П. ΠΏ. Ρ„. получаСтся Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ замыкания Π² том… … ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энциклопСдия

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *