значение какого угла является корнем уравнения sin x 0

Функция y = sin x, её свойства и график

п.1. Развертка ординаты движения точки по числовой окружности в функцию от угла

При движении точки по числовой окружности её ордината является синусом соответствующего угла (см. §2 данного справочника).

Рассмотрим, как изменяется синус, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=sinx на этом отрезке.

п.2. Свойства функции y=sinx⁡

2. Функция ограничена сверху и снизу

Область значений \(y\in[-1;1]\)

3. Функция нечётная

4. Функция периодическая с периодом 2π

5. Максимальные значения \(y_=1\) достигаются в точках

Минимальные значения \(y_=-1\) достигаются в точках

Нули функции \(y_<0>=sinx_0=0\) достигаются в точках \(x_0=\pi k\)

6. Функция возрастает на отрезках

Функция убывает на отрезках

7. Функция непрерывна.

п.3. Примеры

Пример 2. Решите уравнение графически:
a) \(sinx=3x\)

Один корень: x = 0

б) \(sinx=2x-2\pi\)

Один корень: x = π

в) \(sinx-\sqrt=0\)
\(sinx=\sqrt\)

Один корень: x = π

Источник

Арксинус. Решение уравнения sin x = a

п.1. Понятие арксинуса

\(arcsin\frac12=\frac\pi6,\ \ arcsin\left(-\frac<\sqrt<3>><2>\right)=-\frac<\pi><3>\)
\(arcsin2\) – не существует, т.к. 2> 1

п.2. График и свойства функции y=arcsinx

п.3. Уравнение sin⁡x=a

Углы в левой части числовой окружности записывают как разность π и арксинуса (угла справа). А остальные углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арксинуса и величин, которые «не помещаются» в область значений арксинуса.

2) Решим уравнение \(sinx=0,8\)

Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках. По определению правая точка – это угол, равный arcsin0,8. Тогда левая точка – это разность развернутого угла и арксинуса, т.е. (π–arcsin⁡0,8). Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни. Получаем ответ: \(x_1=arcsin0,8+2\pi k,\) \(x_2=\pi-arcsin0,8+2\pi k\)

п.4. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арксинусу. Постройте графики арксинуса и найденной функции в одной системе координат.

Для \(y=arcsinx\) область определения \(-1\leq x\leq 1\), область значений \(-\frac\pi2\leq y\leq \frac\pi2\).
Обратная функция \(y=sinx\) должна иметь ограниченную область определения \(-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2\) и область значений \(-1\leq y\leq 1\).
Строим графики:

Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

Способ 1. Решение с помощью числовой окружности

Пример 4*. Решите уравнения:
\(a)\ arcsin(x^2-3x+3)=\frac\pi2\) \begin x^2-3x+3=sin\frac\pi2=1\\ x^2-3x+2=0\\ (x-2)(x-1)=0\\ x_1=1,\ x_2=2 \end Ответ:

Источник