как понять какой катет прилежащий а какой противолежащий

Противолежащий катет в прямоугольном треугольнике — определение, формулы и задачи

Важным понятием в геометрии, с которым дети знакомятся в начальных классах, является прямоугольный треугольник. Противолежащий катет этой фигуры часто используется для решения геометрических задач. Одна и та же сторона может быть как противолежащей, так и прилежащей. Всё зависит от того, по отношению к какому углу она рассматривается.

Основные понятия

Прямоугольным треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек и отрезков, которые их соединяют. При этом один из углов обязательно равен 90°.

Чтобы точно знать, как определить противолежащий и прилежащий катеты, стоит запомнить утверждение: противолежащая сторона в прямоугольном треугольнике — это часть фигуры, которая размещена напротив этого угла, другая же будет прилежащей к гипотенузе. Отличить их очень просто: к примеру, в треугольнике ABC катетом, противолежащим ∠А, будет сторона ВС. По отношению к ∠С им станет АВ. Важное свойство: если противолежащий угол равен 30°, то катет будет равняться половине гипотенузы.

Чтобы легко понять размещение, стоит запомнить утверждение: в названии стороны, что находится напротив определенного угла, нет буквы, которая его обозначает. Он всегда будет острым, поскольку напротив 90° находится гипотенуза.

Слово «катет» имеет греческое происхождение. Оно переводится как «перпендикуляр», «опущенный», «отвесной». Это название распространено в архитектуре, здесь оно имеет значение отвеса, который опускают через середину задка ионической капители.

Катет в тригонометрии

Длину сторон можно найти, обратившись к тригонометрии. Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике является отношение противоположного катета к гипотенузе. Выражается это утверждение так: sin А = a/с.

Косинус — отношение противоположного угла к гипотенузе. Это выражение описывается формулой cos А = b/с. Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему, что можно записать следующим образом: tg А = а/b.

Решение задач

Для решения задач часто используются понятия синус, косинус и тангенс. Здесь нужно руководствоваться формулой с = a/sin а = b/sin b, где c — гипотенуза, а и b — катеты, противоположные определенным углам. Если в задаче требуется найти сторону, то формула имеет другой вид:

Используя тригонометрическое значение угла (тангенс), для нахождения противолежащей стороны применяют формулы a = b/tg b и b = a/tg a. Часто в заданиях используют углы 30, 45, 60 и 90°, поэтому для практического использования стоит запомнить их тригонометрическое значение. Решение задач происходит по алгоритму, который включает следующие действия:

В конце приступают к решению, то есть записывают соотношение известных понятий.

Пример задачи: есть треугольник АВС, где ∠С = 90°, sin А = 7/25, АВ = 5 см. Найти сторону АС. При решении нужно использовать формулу sin А = ВС/АВ = 7/25.

Введем длину единичного отрезка, которая равная х см, тогда BC = 7x, АВ = 25x. Используя теорему Пифагора, где c² = a² + b², получаем AC² = (25x)² — (7x)² = 24x.

По условию АВ = 5 см, то есть АВ = 25х = 5, тогда х = 1/5. Если х = 1/5, то АС = 24/5 = 4,8 см.

Таким образом, изучая материал о прямоугольных треугольниках, ученики знакомятся с катетами и их свойствами. Они учатся решать задания, используя различные понятия либо комбинируя приобретенные ранее знания с новой темой.

Источник

Как понять какой катет прилежащий а какой противолежащий

2.1. Теорема Пифагора

Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один из углов прямой (то есть равен 90°). Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами (см. рис.).

Для любого прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора:

Гипотенузу можно найти по формуле:

Катет можно найти по формуле:

2.2 Как найти и из прямоугольного треугольника?

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Обозначим через α угол, лежащий напротив катета a (см. рис.).

Тогда, катет a — противолежащий катет для угла α (лежит напротив угла); катет b — прилежащий катет (непосредственно образует угол).

Синус угла α — отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус угла α — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенсом угла α — отношение противолежащего катета к прилежащему:

2.3 Как найти проекции вектора, если известен его модуль и направление?

1) Опускаем перпендикуляры на ось Ox и ось Oy;

Пусть даны вектор и ось Ox. Из начала и конца вектора опустим перпендикуляры на ось Ox. Пусть A и B — основания этих перпендикуляров (см. рис.).

Проекция вектора на ось Ox (Oy) равна длине отрезка AB, взятой со знаком плюс, если угол φ между вектором и осью Ox (Oy) является острым, и взятой соответственно со знаком минус, если φ тупой (или развернутый). Если угол φ прямой, то

2.4 Как найти проекции вектора, если известны координаты начала и конца вектора?

Пусть и ) — координаты начала и конца вектора соответственно. Тогда проекции

2.5 Как найти модуль вектора, если известны его проекции на оси?

Если известны проекции вектора и на оси координат, то модуль вектора легко найти по формуле:

2.6 Как найти модуль вектора, если известны координаты конца и начала вектора?

Пусть и — координаты начала и конца вектора соответственно. Тогда модуль вектора находится по формуле:

2.7 Теорема косинусов.

Для треугольника со сторонами a, b и c, углом α справедлива теорема:

2.8 Как сложить вектора, направленные вдоль одной прямой?

Пусть даны вектора и имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора помещаем начало вектора в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.).

Из рисунка видно, что модуль вектора равен:

2.9 Как вычитать вектора, направленные вдоль одной прямой?

Пусть даны вектора и имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора помещаем начало вектора в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.). Вектор — это вектор, длина которого равна длине вектора , но имеет противоположное направление.

Из рисунка видно, что модуль вектора равен:

2.10 Как сложить вектора, направленные под прямым углом друг к другу?

Пусть даны вектора и имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора помещаем начало вектора в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.).

Из рисунка видно, что модуль вектора равен:

2.11 Как вычитать вектора, направленные под прямым углом друг к другу?

Пусть даны вектора и имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора помещаем начало вектора в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.). Вектор — это вектор, длина которого равна длине вектора но имеет противоположное направление.

Из рисунка видно, что модуль вектора равен:

2.12 Как сложить вектора, направленные под углом α друг к другу?

Пусть даны вектора и , имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора помещаем начало вектора в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.).

По теореме косинусов, получаем:

2.13 Как вычитать вектора, направленные под прямым углом друг к другу?

Пусть даны вектора и имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора помещаем начало вектора в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.). Вектор — это вектор, длина которого равна длине вектора , но имеет противоположное направление.

По теореме косинусов, получаем:

2.14 Площадь треугольника.

Площадь любого треугольника можно найти по формуле

2.15 Площадь прямоугольника.

Площадь любого прямоугольника можно найти по формуле

2.16 Площадь трапеции.

Площадь любой трапеции можно найти по формуле

Источник

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

0 °30 °45 °60 °90 °sin α01 22 23 21cos α13 22 21 20tg α03 313нетctg αнет313 30

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Источник