к классификации задач по фабуле относятся какие задачи
Классификация задач с пропорциональными величинами
Классификация задач с пропорциональными величинами в начальных классах
Если проанализировать раздел «Решение текстовых задач» программ по математике для 1-4 классов, то текстовые задачи с пропорциональными величинами можно классифицировать на задачи:
— движение (скорость, время, расстояние);
— работа (производительность, время, объем работы);
— стоимость (цена, количество, стоимость);
— расход материала (расход на 1 предмет, количество предметов, общий расход);
— сбор урожая (урожайность, масса урожая, площадь участка) и т.п.
По методическим соображениям выделяются различные группы задач.
Все текстовые задачи с пропорциональными величинами по числу действий делятся на простые и составные. Простая задача решается в одно действие, а составная — в два и более действий.
При решении некоторых задач выбирать действие не нужно. Для ответа на вопрос некоторых задач достаточно установить связи между величинами на основе рассуждений, а арифметическое действие выполнять не требуется. Такие задачи называют задачами — вопросами или логическими задачами, например:
А. Из двух пунктов одновременно вышли навстречу друг другу 2 теплохода и встретились через 6 ч. Сколько времени находился в пути каждый теплоход?
Б. Оля выше Нади. Таня ниже Нади. Кто из них самый высокий?
На основе анализа задачной ситуации делается тот или иной вывод.
По числу данных и искомых задачи бывают определенные, неопределенные, переопределенные. Определенные задачи содержат столько данных, сколько необходимо для решения. Неопределенные и переопределенные задачи могут иметь недостающие или избы- точные данные.
По фабуле выделяют задачи на движение, работу, время и т.п.
По способам решения выделяют следующие виды задач: на пропорциональное деление; на среднее арифметическое; на проценты; задачи, решаемые с конца, и т.п.
По методам решения задачи бывают арифметические, алгебраические, геометрические (графические), логические и т. д.
Рассмотрим классификацию простых задач.
Подбор и расположение простых текстовых задач в начальной школе подчиняются логике рассмотрения новых вопросов арифметической теории и вместе с тем отвечают требованию постепенного усложнения заданий.
К первой группе относятся простые задачи, при решении которых учащиеся усваивают конкретный смысл каждого из арифметических действий:
— нахождение суммы двух чисел («На тарелке лежали 3 яблока и 2 груши. Сколько фруктов лежало на тарелке?»);
— нахождение остатка («На тарелке лежало 7 яблок. 3 яблока съели дети. Сколько яблок осталось на тарелке?»);
— деление на равные части («Учитель раздал 8 тетрадей двум девочкам поровну. Сколько тетрадей получила каждая девочка?»);
— деление по содержанию («Сколько тарелок потребовалось, что- бы разложить 8 огурцов по 2 огурца на каждую тарелку?»).
К второй группе относятся простые задачи, при решении которых учащиеся усваивают связь между компонентами и результатами арифметических действий. К ним относятся задачи на нахождение неизвестных компонентов:
— нахождение первого слагаемого по известной сумме и второму слагаемому («На клумбе расцвели несколько красных роз и 2 белые, а всего расцвело 7 роз. Сколько красных роз расцвело на клумбе?»);
— нахождение второго слагаемого по известной сумме и первому слагаемому («На клумбе расцвели 5 красных роз и несколько белых, а всего расцвело 7 роз. Сколько белых роз расцвело на клумбе? »); и нахождение уменьшаемого по известному вычитаемому и разности («Миша поймал несколько рыб, из 3 рыб сварили уху, и еще осталось 4 рыбы. Сколько рыб поймал Миша?»);
— нахождение вычитаемого по известному уменьшаемому и разности («Миша поймал 7 рыб, несколько рыб зажарили, а 4 рыбы оставили для ухи. Сколько рыб зажарили? »);
— нахождение неизвестного первого множителя («На клумбе посадили 24 розы в 3 ряда поровну. Сколько роз в каждом ряду?»);
— нахождение неизвестного второго множителя («На клумбе посадили 24 розы в ряды по 8 шт. Сколько рядов роз посадили?»); и нахождение неизвестного делимого («Папа предложил сыну задумать четное число и разделить его на 2. Сын получил ответ — 9. Какое число задумал сын?»);
— нахождение неизвестного делителя («18 разделили на неизвестное число и получили 9. Найдите неизвестное число»).
К третьей группе относятся задачи, при решении которых раскрываются понятия разности (6 видов) и кратного отношения (6 видов). С понятием разности связаны следующие виды задач:
— разностное сравнение чисел или нахождение разности двух чисел (I вид) («На уроке технологии Юра сделал 5 корабликов из бумаги, а Аня — 3 кораблика. На сколько больше корабликов сделал Юра?»);
— увеличение числа на несколько единиц (прямая форма) («На уроке технологии Юра сделал 5 корабликов из бумаги, а Аня — на 2 кораблика больше. Сколько корабликов сделала Аня?»);
— увеличение числа на несколько единиц (косвенная форма) («На уроке технологии Юра сделал 5 корабликов из бумаги, это на 2 кораблика меньше, чем сделала Аня. Сколько корабликов сделала Аня?»);
— уменьшение числа на несколько единиц (прямая форма) («На уроке технологии Юра сделал 5 корабликов из бумаги, а Аня — на 3 кораблика меньше. Сколько корабликов сделала Аня?»);
— уменьшение числа на несколько единиц (косвенная форма) («На уроке технологии Юра сделал 5 корабликов из бумаги, это на 2 кораблика больше, чем сделала Аня. Сколько корабликов сделала Аня?»). С понятием кратного отношения связаны следующие виды задач:
— нахождение кратного отношения двух чисел по вопросу: «Во сколько раз больше?» («Миша купил 8 тетрадей, а Оля — 2. Во сколько раз больше тетрадей купил Миша, чем Оля?»);
— нахождение кратного отношения двух чисел по вопросу: «Во сколько раз меньше?» («Миша купил 8 тетрадей, а Оля — 2. Во сколько раз меньше тетрадей купила Оля, чем Миша?»);
— увеличение числа в несколько раз (прямая форма) («Миша купил 8 тетрадей, а Оля — в 2 раза больше, чем Миша. Сколько тетрадей купила Оля?»);
— увеличение числа в несколько раз (косвенная форма) («Миша купил 8 тетрадей, это в 2 раза меньше, чем купила Оля. Сколько тетрадей купила Оля?»);
— уменьшение числа в несколько раз (прямая форма) («Миша купил 8 тетрадей, а Оля — в 2 раза меньше. Сколько тетрадей купила Оля?»);
— уменьшение числа в несколько раз (косвенная форма) («Миша купил 8 тетрадей, это в 2 раза больше, чем купила Оля. Сколько тетрадей купила Оля?»).
Здесь названы только основные виды простых задач. Однако они не исчерпывают всего многообразия задач. Заметим, что при изучении арифметических действий сложения и вычитания рассматриваются простые задачи на сложение и вычитание. В связи с изучением действий умножения и деления вводятся простые задачи, решаемые этими действиями.
Отбор, система расположения задач в курсе математики начальных классов, методика работы над ними должны учитывать функции, которые могут быть возложены на этот вид упражнений, отвечать общим целям обучения и вместе с тем требованию посте- пенного усложнения заданий.
Следует отметить, что при любом подходе к обучению решению текстовых задач работа над задачами проводится в определенной последовательности. Порядок введения простых задач подчиняется содержанию программного материала.
Классификации текстовых задач по математике.
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Если говорить о классификации задач, то необходимо для начала определить, из каких компонентов она состоит и на какие этапы можно разделить процесс решения задачи.
В методике преподавания математике процесс решения текстовых задач делят на четыре типа:
1)Понимание условия задачи.
Это самый главный этап в решении задачи, так как учащиеся должны понимать, что дано в условии и что требуется в задаче. Они должны осмыслить отдельные элементы условия, после этого они производят поиск необходимой информации в своей памяти, и сопоставить с известной информацией условие и заключение задачи.
2) Составление плана решения.
Учащимся необходимо разработать целенаправленные действия всевозможных сочетаний из данных и искомых, довести задачу к известному типу, выбрать для решения самый оптимальный метод и наметить для себя план решения.
3)Реализация плана решения.
В этом этапе учащиеся почти выполняют план решения, с последовательной корректировкой через взаимоотношения с условием и выбранным методом, выбирают подходящий способ для оформления решения и оформляют его.
4) Исследование найденного решения.
Учащиеся делают акцент на конечном результате решения задачи, анализируют его, по необходимости проводят исследование особых и частных случаев.
В педагогической литературе имеются разнообразные подходы к классификации задач (по Ю.М. Колягину, Г.В. Дорофееву и др.). Разберём некоторые из них:
Ю.М. Колягин выделяет следующие задачи по количеству неизвестных компонентов в структуре задачи:
а) Задачи обучающие (в этих задачах содержится один неизвестный компонент).
Эти задачи он еще делит:
с неизвестными первоначальными данными (например: известны корни квадратного уравнения, и нужно найти само уравнение).
с неизвестными теоретическими данными (например: нужно найти ошибку в решении задачи).
с неизвестными алгоритмом самого решения (например: в записи 1*2* 5* 4* 3 заменить вместо звездочек знаки и расставить скобки так, что бы получилось выражение, значение которого равно 9)
с неизвестным конечным результатом (например: найти значение выражения).
б) Задачи поискового вида (это те задачи, в которых неизвестно два компонента).
в) Проблемные задачи (это задачи, в которых неизвестно три компонента).
Если рассматривать, как задачи относятся к теории то можно выделить стандартные и нестандартные задачи.
Рассмотрим на примере стандартные задачи:
1. Первый мотоциклист за 3 часа проехал на 36км больше, чем второй за 2 часа. Найдите скорость каждого, если скорость второго мотоциклиста на 25 км/ч меньше скорости первого.
2. Для детей 10 лет наиболее полноценным является питание, если пища содержит 10% животных белков, 5% растительных белков, 17% животного жира, 3% растительного жира и 64% углеводов. По этим данным построить круговую диаграмму.
Рассмотрим на примере нестандартные задачи:
1. Три друга – Максим, Илья, Саша, преподают различные предметы (математику, русский язык, историю) в школах Ялты, Симферополя и Евпатории. Известно, что Максим преподает не в Ялте, а Илья не в Симферополе. Ялтинец преподаёт не историю, а тот, кто работает в Симферополе, преподает математику, Илья преподает не русский язык. Какой предмет, и в каком городе преподаёт каждый из товарищей?
Сравнение задач с компонентами учебно-познавательной деятельности приводит к такой классификации:
задачи, которые стимулируют учебно-познавательную деятельность школьников;
задачи, которые организуют и реализовывают учебно-познавательную деятельность;
задачи, при выполнении которых исполняется проверка и самопроверка результативности учебно-познавательной деятельности.
По своему математическому содержанию, соответствующей специфике той или другой математической дисциплины, задачи можно разделить на: алгебраические, арифметические, геометрические, аналитические.
По содержанию задачи группируют на:
задачи на движение,
задачи на проценты и так далее,
внутри каждого образа в зависимости от логической структуры задачи разделяют следующие виды задач:
задачи на встречное движение в одну сторону и в противоположные стороны,
задачи на нахождение части целого и целого по его части,
задачи на нахождение соотношения чисел,
задачи на нахождение процента от числа и числа по его проценту,
задачи на нахождения процентного соотношения или выражение частного в процентах.
(Методика работы над задачами подобной классификации будет рассмотрена ниже).
По характеру различают следующий вид задач:
1)На вычисление (это задачи, в которых необходимо выразить неизвестные величины (площади, отрезки, углы и т.д.) через известные, которые могут быть даны, как через числовые значениями, так и в общем виде),
2)На построение (это такие задачи для решения, которых необходимо построить геометрическую фигуру, удовлетворяющую условием задачи, при этом использовать можно только циркуль и линейку без деления),
3)На доказательство (эти задачи обладают определенной целью доказать, что то или иное утверждение верно или неверно, в заключение, должны получить окончательный ответ, в котором должно быть указано справедливость утверждения или его ошибочность),
4)На исследование (это задачи для решения, которых необходимо выбрать путь или средства для достижения определённой цели в соответствии с выделенной гипотезой),
5)На моделирование (это такие задачи, при решении которых необходимо выразить модель упрощённого подобия реального объекта, процесса или явления).
7)задачи комбинированного характера.
Пример задачи на вычисление:
Среди людей 5% левшей и 9% людей, не подверженных морской болезни. В школе учится 1300 учащихся. Сколько среди них левшей и те которые не подверженны морской болезни?
Пример задачи на построение:
Построить с помощью транспортира угол в 120 градусов.
Пример задачи на доказательство:
Докажите, что сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Пример задачи текстовой:
За 10 часов по течению реки теплоход «Паустовский» проходит тот же путь, что за 11 часов против течения. Найдите собственную скорость теплохода «Паустовский», если скорость течения реки 3 км/ч.
Пример задачи комбинированного характера:
Постройте треугольник по стороне и двум прилежащим углам и вычислите его площадь.
Г.В. Дорофеев делит задачи на два типа:
а) задачи, в которых описываются реальные жизненные ситуации;
б) задачи возможного характера, для которых жизненную ситуацию необходимо сконструировать, смоделировать, и выяснить условия, при которых она реализована.
Мы привели те классификации задач, с помощью которых учителю будет легче представить себе проблемы, которые связанны с методикой преподавания решению задач.
Понятие «задача». Подходы к классификации математических задач
Содержательный компонент методики обучения математике состоит из теоретического материала и практической части – задач. Причём усвоение теоретического материала происходит именно в процессе решения соответствующих задач. Математик и популяризатор науки Дж.Пойа писал о задачах: «Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причём не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности».
Определение понятия «задача»
Термин «задача» в повседневной жизни понимается как проблема, требующая решения, или как проблемная ситуация. В этом понимании задачи присутствуют в жизни человека на всех уровнях.
В рамках математической науки задачи соседствуют с понятиями и определениями, алгоритмами, теоремами и т.д. При этом задачи занимают особое место, так как все теоретические знания усваиваются посредством решения задач.
Очевидно, что задачи являются одним из главных компонентов содержания учебного предмета математики. По этой причине нужно с особым вниманием подойти к определению понятия задачи.
В общих чертах задача понимается как цель, поставленная в определённых условиях. Л.Л. Гурова ставит во главу угла умственные усилия человека, прилагаемые в процессе решения задачи: «Задача – объект мыслительной деятельности, содержащий требования некоторого практического преобразования или ответа на теоретический вопрос посредством поиска условий, позволяющих раскрыть связи (отношения) между известными и неизвестными её элементами».
Понимание задачи как определённой системы обнаруживается в работах Г.А.Балл, Ю.М.Колягина, Л.М.Фридмана, А.Ф.Эсаулова и др. Г.А.Балл определяет задачу как «систему, обязательными компонентами которой являются:
а) предмет задачи, находящийся в исходном состоянии;
б) модель требуемого состояния предмета задачи (эту модель мы отождествляем с требованием задачи).
Л.М.Фридман отсылает к пониманию задачи как проблемной ситуации: «Генезис задачи можно рассматривать как моделирование проблемной ситуации, в какую попадает субъект в процессе своей деятельности, а саму задачу – как модель проблемной ситуации, выраженной с помощью знаков некоторого естественного или искусственного языка».
Структура задачи
Учитывая разнообразие трактовок, можно обозначить структурные элементы задачи как объекта мыслительной деятельности:
Термин «решение задачи» в современной практике обучения может иметь несколько трактовок:
Классификации задач
Процесс решения задач зависит от ряда субъективных факторов. Так, Ю.М.Колягин классифицировал задачи по признаку проблемности:
Стандартные задачи: решающему известны все компоненты задачи (условие (У); обоснование (О); решение (Р); заключение (З). Именно такие задачи реализуются на этапе усвоения теоретического материала. Данный тип задач позволяет не только закрепить полученные теоретическое знания, но и проверить уровень понимания, осуществить обратную связь. Так, на этапе усвоения теоретического материала после введения теории (определения, понятия, правила) учитель может использовать задачи на распознавание: относится тот или иной объект к введенному понятию.
Обучающие задачи: один компонент неизвестен – х. Тогда задача схематично может выглядеть так: УОРх, УОхЗ, УхРЗ, хОРЗ.
Рассмотрим примеры задач данного типа:
Дано: 2х 2 + х 2 – 5 = 0. Используя формулу нахождения квадратных корней, найдите х.
Витя нашёл корни квадратного уравнения, применив теорему, обратную теореме Виета. Объясните, как он это сделал.
Маша определила корни квадратного уравнения, разложив его на множители. Назовите математический факт, положенный в основу такого уравнения.
Поисковые задачи: неизвестны два компонента х и у. Тогда задача схематично выглядит так: УхуЗ, УОху, хуРЗ, УхРу, хОуЗ.
Рассмотрим примеры задач данного типа:
Света изучает математику в кружке. Среди школьников в этом кружке 94% процента мальчиков. Установите наименьшее возможное количество учеников в кружке.
Проблемные задачи: неизвестны три компонента х, у, z. Тогда задача схематично выглядит так: Ухуz, xОуz, хуРz, xyzЗ.
Рассмотрим примеры задач данного типа:
Корабли находятся в открытом море в точках А и В. Расстояние между точками – 50 км. Корабли одновременно начинают движение друг к другу прямолинейно в независимых направлениях со скоростями соответственно 15 км/ч и 20 км/ч. Найдите наибольшее возможное время движения кораблей до момента их встречи в точке С.
От структуры задачи зависит тип деятельности, необходимой для решения задачи:
В зависимости от того, какому разделу арифметики компоненты У и З, задачи бывают:
В зависимости от того, каким образом представлены компоненты О и Р задачи классифицируют на:
Классификация задач основана на представлении в задачи компонента З:
Образовательный процесс испытывает на себе влияние со стороны окружающего мира. Так, в информационную эпоху наиболее целесообразным становится образный способ представления информации и комбинация разных способов кодирования. Школьный курс математики преимущество отдается трем способам кодирования:
Образный способ можно разделить на подтипы в зависимости от используемых условных обозначений: образно-графический (требуется чтение и понимание легенды) и образно-иконический (нет необходимости читать легенду). Оба способа предполагают сформированность таких умений, как воспринимать условные обозначения, устанавливать связи между ними и самими объектами.
Следовательно, можно классифицировать задачи с опорой на наличие/отсутствие требования перекодировки информации (т.е. изменить способ представления информации, который использовался в задаче изначально); способ представления задачи одним или несколькими способом кодирования информации.
Таким образом, получим следующую классификацию математических задач по способам кодирования информации:
К задачам, не требующим перекодировки (первый тип) можно отнести:
К задачам, требующим перекодировки (третий тип) относятся задачи, в которых требуется изменить способ кодирования, представленный в задаче изначально, а именно:
Задачи, представленные с использованием преимущественно одного способа кодирования информации (образного, символьного или словесного) требуют решения этим же способом. Следует помнить, что не существует задач, представленных исключительно с использованием образного кодирования: всегда требуется словесный комментарий. При этом решение задачи может быть полностью образным. К тому же, задачи, сформулированные словесно, содержат в себе символы (числа).
Задачи третьего типа (задачи, требующие перекодировки) в обязательном порядке предполагают перекодировку информации. Решая задачу такого типа, учащийся перекодирует информацию, представляя ее отличным от условия способом. Сложная перекодировка сочетает в себе несколько перекодировок.
Рассмотрим пример задачи второго типа: задачи, в которых используется несколько способов кодирования.
Формы представления информации: словесная и образно-иконическая Данная задача предполагает ее перевод в графическую форму.
Стадион имеет форму круга с диаметром d. Точка 0 является стартом и финишем. Спортсмен пробегает по окружности стадиона один круг. Изобразите схематически зависимость расстояния между стартом и положением спортсмена (R) от длины пути, который пробежал спортсмен (l).
Рассмотрим пример задачи третьего типа: задача на сложную перекодировку.
Функции 1–6 заданы разными способами. Установите соответствие между функциями (1-6) и промежутками их возрастания (а–д).
Функции
Промежутки
числа натурального ряда меньше пяти
множество х: 1 ≤ х ≤ 4
Классификация задач по любому из вышеуказанных признаков остаётся достаточно условной. Во-первых, способы решения не исключают друг друга, во-вторых, одна и та же задача может быть представлена разными способами, в-третьих, степень проблемности зачастую зависит не от самой задачи, а от того, кто её решает. Тем не менее, различные типологии помогают учителю ориентироваться в многообразии материала.
В рамках школьного курса математики немаловажную роль играют сюжетные задачи. Именно при помощи сюжетных задач осуществляется обучение школьников методу моделирования. Моделирование предполагает описание реальных процессов на языке математики и лежит в основе курса.
Л.М.Фридман определяет сюжетные задачи следующим образом: «Под сюжетными мы понимаем задачи, в которых описан некоторый жизненный сюжет (явление, событие, процесс) с целью нахождения определённых количественных характеристик или значений».
Помимо вышеизложенных типологий к этому типу задач можно применить типологизацию с опорой на сюжет (покупки, движение, работа механизма и др.). Наиболее высоким уровнем проблемности обладают сюжетные задачи образного типа. Их также можно отнести к эвристическим. Для решения такой задачи требуется целостное восприятие задачи с опорой на заданный образ. Сложность заключается именно в субъективном восприятии образа, что и затрудняет поиск способа решения.
Приведем пример сюжетной задачи:
В русском лесу 10 колодцев. В колодцах мертвая-живая вода. Выпьешь такой воды – умрёшь, если не успеешь запить водой из колодца с большим номером. Колодцами 1–9 владеет Иван-Царевич, колодец 10 принадлежит Кощею. Между ними должен состояться поединок, суть которого в том, чтобы предложить противнику стакан воды. При этом нельзя использовать воду из колодца противника. Придумайте, как Ивану-Царевичу остаться в живых, после того как его угостит Кощей? Как Иван-Царевич может погубить Кощея, дав ему стакан воды?
Если записать условие вкратце, будет утрачена важная деталь– «русский лес». Именно в этой детали хранится подсказка к решению (в лесу есть разные источники воды – ручьи, озёра). Безусловно, решение задачи опирается на личный опыт, и сложность её определяется субъективностью образа.
В рамках школьного курса математики применение задач опирается на логику формирования теоретической базы, при этом учитывается сложность самих задач. Под сложностью понимается объективная характеристика задачи, которая зависит от:
При решении задачи большое значение имеет субъективный компонент. В связи с этим вступает в силу критерий трудности задачи.
Трудность – характеристика задачи, которая находится в зависимости от субъектного опыта решающего (математические знания, знания из других предметных областей, учебные умения, качества мышления, бытовой опыт).
Приведем пример задачи данного типа:
Из спичек составлено равенство: VII = I. Нужно переложить одну спичку так, чтобы получить верное равенство». Ученик предложил решение: VII > I. Верно ли такое решение?
Ученик заменяет равенство неравенством, потому что для него первостепенным является требование получить «верное» решение. Кроме того, трудность заключается не только в субъективном понимании условия, но и в вероятном отсутствии соответствующих математических знаний (решение задачи предполагает извлечение квадратного корня).