к какому способу задания движения точки относится функция х а у

iSopromat.ru

Рассмотрим три существующих способа задания движения материальной точки: координатный, векторный и естественный.

Чтобы иметь возможность определить параметры движения точки необходимо задать закон ее движения.

В зависимости от известных величин и поставленной задачи могут быть использованы следующие способы задания движения точки: векторный, координатный и естественный.

Векторный

При векторном способе задания движения положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки в выбранной системе отсчета.

Координатный

При координатном способе задания движения задаются координаты точки как функции времени:

Это параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время t. Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них t.

Естественный

При естественном способе задания движения задаются траектория точки, начало отсчета на траектории с указанием положительного направления отсчета, закон изменения дуговой координаты: s=s(t). Этим способом удобно пользоваться, если траектория точки заранее известна.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Теоретическая механика

16. Кинематика точки. Способы задания движения точки (векторный и координатный)

Кинематика изучает простейшую форму движения – механическое движение. Кинематически определить движение тела – это значит указать его положение относительно выбранной системы отсчета в каждый момент времени.

Движение материальной точки (в дальнейшем будем говорить просто точки) задано, если известен закон движения.

Закон движения. Закон движения – это уравнение, позволяющее определить положение точки относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени.

Основная задача кинематики точки. По известному закону движения определить траекторию движения точки, ее положение на траектории, скорость и ускорение точки в ее положении на траектории.

Способы задания движения точки

В зависимости от выбора системы отсчета существуют три способа задания движения точки – векторный, координатный и естественный. Рассмотрим эти способы задания движения в отдельности.

Векторный способ задания движения точки

Таким образом, вектор определяет положение движущейся точки в любой момент времени. Следовательно, уравнение является законом движения при векторном способе задания движения.

Величина называется вектором скорости точки. Вектор скорости точки всегда направлен по касательной к годографу (траектории движения точки) в сторону перемещения точки.

Величина называется вектором ускорения точки.

Как показано на рис.К.10, вектор направлен в сторону вогнутости траектории движения точки, следовательно и вектор ускорения всегда направлен в ту же сторону, то есть в сторону вогнутости траектории движения точки.

Координатный способ задания движения точки

Компоненты скорости и ускорения движущейся точки в любой момент времени определяются по формулам

Модули скорости и ускорения

Источник

Тема 1.6. Основные понятия кинематики

§1. Кинематика точки. Введение в кинематику.

Кинематикой (от греческого «кинема» — движение) называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.

Основной задачей кинематики является нахождение положения тела в любой момент времени, если известны его положение, скорость и ускорение в начальный момент времени.

Для определения положения движущегося тела (или точки) в разные моменты времени с телом, по отношению к которому изучается движение, жестко связывают какую-нибудь систему координат, образующую вместе с этим телом систему отсчета.

Рис.1. Система отчета

Изображать систему отсчета будем в виде трех координатных осей (не показывая тело, с которым они связаны).

Движение тел совершается в пространстве с течением времени. Пространство в механике мы рассматриваем, как трехмерное евклидово пространство.

Время является скалярной, непрерывно изменяющейся величиной. В задачах кинематики время t принимают за независимое переменное (аргумент). Все другие переменные величины (расстояния, скорости и т. д.) рассматриваются как изменяющиеся с течением времени, т.е. как функции времени t.

Для решения задач кинематики надо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано).

Основная задача кинематики точки твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих дан­ное движение.

Положение тела можно определить с помощью радиус-вектора или с помощью координат.

Рис.2. Радиус-вектор

Рис.3. Координаты точки М

Этой моделью пользуются в тех случаях, когда линейные размеры рассматриваемых тел много меньше всех прочих расстояний в данной задаче или когда тело движется поступательно.

Поступательным называется движение тела, при котором прямая, проходящая через любые две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. При поступательном движе­нии все точки тела описывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому для описания такого движения тела достаточно описать движение его одной произвольной точки.

В дальнейшем под словом «тело» будем понимать «материальная точка».

Линия, которую описывает движущееся тело в определенной системе отсчета, называется траекторией. Вид траектории зависит от выбора системы отсчета.

В зависимости от вида траектории различают прямолинейное и криволинейное движение.

где и — радиус-векторы тела в эти моменты времени.Единицы измерения в системе СИ: м (метр).

Модуль перемещения не может быть больше пути: ≤s.

Знак равенства относится к случаю прямолинейного движения, если направление движения не изменяется.

Зная перемещение и начальное положение тела, можно найти его положение в момент времени t:

Видео-урок «Механическое движение»

§2. Способы задания движения точки

Для задания движения точки можно применять один из следую­щих трех способов:

1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.

1. Векторный способ задания движения точки.

Рис.4. Движение точки М

При движении точки М вектор будет с течением времени изме­няться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргу­мента t:

Равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки.

2. Координатный способ задания движе­ния точки.

Положение точки можно непосредственно опре­делять ее декартовыми координатами х, у, z (рис.4), которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон дви­жения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент вре­мени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости

Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

3. Естественный способ задания движе­ния точки.

Рис.5. Движение точки М

Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех слу­чаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ явля­ется траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz (рис.5) Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О’, которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицатель­ное направления отсчета (как на координат­ной оси).

Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость s=f(t).

§3. Вектор скорости точки

Одной из основных кинематических характеристик движе­ния точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Понятие скорости точки в равномерном прямолинейном движении относится к числу элементарных понятий.

Единица измерения скорости – м/с. Часто используют и другие единицы, например, км/ч: 1 км/час=1/3,6 м/с.

Движение точки называется равномерным, если приращения радиуса-вектора точки за одинаковые промежутки времени равны между собой. Если при этом траекторией точки является прямая, то движение точки называется прямолинейным.

Для равномерно-прямолинейного движения ∆r=v∆t, где v – постоянный вектор скорости.

Из соотношения видно, что скорость прямолинейного и равномерного движения является физической величиной, определяющей перемещение точки за единицу времени.

Источник

Способы задания движения точки и уравнения движения

1. Способы задания движения точки

Материальная точка — тело, геометрическими размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Чтобы иметь возможность определить параметры движения материальной точки, необходимо задать закон ее движения, то есть ее положение в каждый момент времени. Положение должно определяться в какой-либо системе координат. Задание системы координат предполагает выбор тех величин, которыми определяется положение тела в пространстве, а также указание того, откуда и как их откладывать. Наиболее распространенной является декартова система координат, однако существуют и другие (например, цилиндрическая, сферическая и т. д.).

В зависимости от известных величин и поставленной задачи могут быть использованы следующие способы задания движения точки:

Естественный способ.

Этим способом пользуются, если известна траектория движения точки. Траекторией называется совокупность точек пространства, через которые проходит движущаяся материальная частица. В данном случае необходимо задать:

(a) траекторию движения (относительно какой-либо системы координат);

(b) произвольную точку на ней — нуль, от которого отсчитывают расстояние S до движущейся частицы вдоль траектории;

(c) положительное направление отсчета S (при смещении точки М в противоположном направлении S отрицательно);

(d) начало отсчета времени t;

(e) функцию S(t), которая называется законом движения точки.

Координатный способ.

Это наиболее универсальный и исчерпывающий способ описания движения. Он предполагает задание:

(a) системы координат (не обязательно декартовой) x, y, z;

(b) начала отсчета времени t;

Векторный способ. Положение точки в пространстве может быть определено также и радиус-вектором, проведенным из некоторого начала в данную точку. В этом случае для описания движения необходимо задать:

(a) начало отсчета радиус-вектора r;

(b) начало отсчета времени t;

Поскольку задание одной векторной величины r эквивалентно заданию трех ее проекций x, y, z на оси координат, от векторного способа легко перейти к координатному.

Если ввести единичные векторы i, j, k (i = j = k = 1), направленные соответственно вдоль осей x, y, z, то, очевидно, закон движения может быть представлен в виде

2. Уравнение движения материальной точки

Рассмотрим параметры движения при векторном способе задания движения точки. Скорость — величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения материальной точки относительно выбранной системы отсчета.

v = ∆r / ∆t.

Ускорение — величина, определяющая быстроту изменения скорости тела.

a = ∆v / ∆t.

2.1. Равномерное прямолинейное движение

Движение называется равномерным прямолинейным, если траектория есть прямая линия и перемещения материальной точки за любые равные промежутки времени равны. При равномерном движении величина и направление скорости не меняются (v = const), ускорение a = 0.

Введем систему координат так, чтобы направление одной оси (пусть для определенности это будет ось OX) совпадало с направлением скорости. Тогда

где v = |v|, (x₀, y₀, z₀) — начальное положение точки.

2.2. Равноускоренное прямолинейное движение

Равноускоренное прямолинейное движение — движение, при котором ускорение постоянно по модулю и направлению (a = const), а траектория является прямой линией. Введем систему координат так, чтобы направление одной оси (пусть для определенности это будет ось OX) совпадало с направлением ускорения. Тогда

По графику скорости можно определить перемещение тела за время ∆t = t₂ – t₁: оно будет равно площади под графиком скорости от координаты t₁ до координаты t₂.

2.3. Движение по окружности

Движение точки по окружности является частным случаем криволинейного движения.

2.3.1 Равномерное — движение по окружности с постоянной по модулю скоростью.

Рассмотрим изменение положения точки за время ∆t при движении по окружности радиуса R. Точка переместилась из A в B, при этом прошла путь

Скорость v движения точки в каждый момент времени направлена по касательной к окружности и называется линейной скоростью.

Величина ω = ∆ϕ / ∆t = v / R называется угловой скоростью.

При этом ускорение постоянно, направлено к центру окружности и называется нормальным или центростремительным.

2.3.2. Равноускоренное – движение по окружности с ускорением

Пусть скорость зависит от времени как v = aτ t + v₀. Величина aτ называется тангенциальным ускорением. ε = ∆ω / ∆t = aτ / R — угловое ускорение, оно характеризует изменение угловой скорости. Таким образом, ускорение материальной точки складывается из нормального и тангенциального ускорений:

a = an + aτ.

Так как an и aτ перпендикулярны, то a = ‎‎‎‎√(an² + aτ²).

3. Примеры решения задач

Пример 1. На неподвижную проволочную полуокружность надето маленькое колечко М, через которое проходит еще и прямолинейный прут АВ, равномерно вращающийся вокруг точки А (ϕ = ωt, где ω = const).

Найти законы движения колечка М вдоль стержня АВ и относительно полуокружности.

Решение. Пусть нуль отсчета времени соответствует моменту, когда колечко находится в точке С. Для решения первой части задачи воспользуемся координатным способом, направив ось X декартовой системы вдоль стержня и выбрав ее начало в точке А. Поскольку вписанный угол АМС прямой (как опирающийся на диаметр),

где R — радиус полуокружности.

Вторую часть задачи будем решать, используя естественный способ. Выберем положительное направление отсчета расстояния вдоль траектории (полуокружности АС) против часовой стрелки, а нуль совпадающим с точкой С. Тогда длина дуги СМ, как функция времени, даст закон движения точки М:

То есть колечко будет равномерно двигаться по окружности радиусом R с угловой скоростью 2ω.

Пример 2. Найти уравнение движения точки и зависимость скорости от времени из графика (рис. 9). Точка начала свое движение при x₀ = 5 м. Рассмотрим каждый участок графика по отдельности.

Решение. (1) На этом участке скорость точки увеличилась от нуля (v₀ = 0) до 40 м/с за время, равное 1 секунде, то есть a = ∆v / ∆t = 40 / 1 = 40 м/c². Получим, что на участке уравнение движения и зависимость скорости от времени имеют вид

(2) На этом участке скорость точки постоянна (v₂ = 40 м/с, a₂ = 0). Найдем начальную координату точки из предыдущего участка движения: x₀ = x₁(1) = 5 + 20 = 25. При этом отсчет времени начинается с t₀ = 1 c. Получим:

(3) Из графика видно, что скорость уменьшается от значения 40 м/с до нуля. Найдем ускорение точки: a = ∆v / ∆t = (0 − 40) / (6 – 4) = –20 м/c². Отсчет времени начинается с t = 4 c предыдущего участка движения: x₀= x₂(4) = 145,

(4) На данном участке графика скорость тела равна нулю, его координата не меняется. Найдем координату тела: x₀ = x₃(6) = 185. Таким образом:

Источник

Кинематика

Кинематика – раздел механики, в котором изучаются движение материальных тел с геометрической точки зрения, без учета массы и действующих на них сил. Способы задания движения точки: 1) естественный, 2) координатный, 3) векторный. Траектория точки – непрерывная кривая, которую описывает точка при своем движении.

( – орты – единичные вектора, сонаправленные с какой-либо осью)

3) Равномерное прямолинейное движ-ие: а= a _t =a_n=0. Единственное движ-ие, где а=0.

Простейшие движения твердого тела: поступательное и вращение вокруг неподвижной оси. Поступательное движение тела – такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельное самой себе. При поступат. движ. все точки тела описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения. Вращательное движение тела – такое движение твердого тела, при котором все точки, принадлежащие некоторой прямой, неизменно связанной с телом, остаются неподвижными. Эта прямая называется осью вращения тела. При этом движении все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения. Урав-ние (закон) вращательного движ.: j = f(t) – угол поворота тела в радианах. (1 рад= 180 о / p =57,3 о ).

Частные случаи вращения тела: 1) Равномерное вращение: w = const, j = w t, w = j /t,

Источник