иррациональные числа какой класс
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Иррациональные числа. Понятие действительного числа.
Сравнение действительных чисел
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Число, которое можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, называют рациональным.
Бесконечная периодическая десятичная дробь – это бесконечная дробь, у которой одна цифра или группа цифр повторяются. Повторяющаяся группа цифр называется периодом и записывается в скобках.
Число, которое можно записать в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, называют иррациональным числом.
Рациональные и иррациональные числа называются действительными числами.
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Рассмотрим положительную бесконечную непериодическую дробь 0,10110111011110…
После запятой записаны группы единиц, разделённые нулём. Эта дробь не может быть десятичным разложением какого – либо рационального числа.
Её называют иррациональным (нерациональным) числом.
Иррациональное число – бесконечная непериодическая десятичная дробь.
Примеры иррациональных чисел:
Самое знаменитое иррациональное число π = 3,1415926…
Понятие действительного числа:
Рациональные и иррациональные числа называют действительными.
Таким образом, любое действительное число можно представить в виде бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.
Если дробь периодическая – число рациональное.
Если дробь непериодическая – число иррациональное.
Число, образованное цифрами до запятой, называют целой частью, после запятой дробной частью.
Для записи произвольной бесконечной десятичной дроби, отличной от нуля, пользуются буквами:
Противоположные числа отличаются только знаками:
Обозначают: а, если а положительное число,
-а, если а отрицательное число.
Абсолютная величина числа (модуль) числа
Абсолютной величиной числа (модулем) действительного числа называют:
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Иррациональные числа. Понятие действительного числа.
Сравнение действительных чисел
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Число, которое можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, называют рациональным.
Бесконечная периодическая десятичная дробь – это бесконечная дробь, у которой одна цифра или группа цифр повторяются. Повторяющаяся группа цифр называется периодом и записывается в скобках.
Число, которое можно записать в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, называют иррациональным числом.
Рациональные и иррациональные числа называются действительными числами.
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Рассмотрим положительную бесконечную непериодическую дробь 0,10110111011110…
После запятой записаны группы единиц, разделённые нулём. Эта дробь не может быть десятичным разложением какого – либо рационального числа.
Её называют иррациональным (нерациональным) числом.
Иррациональное число – бесконечная непериодическая десятичная дробь.
Примеры иррациональных чисел:
Самое знаменитое иррациональное число π = 3,1415926…
Понятие действительного числа:
Рациональные и иррациональные числа называют действительными.
Таким образом, любое действительное число можно представить в виде бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.
Если дробь периодическая – число рациональное.
Если дробь непериодическая – число иррациональное.
Число, образованное цифрами до запятой, называют целой частью, после запятой дробной частью.
Для записи произвольной бесконечной десятичной дроби, отличной от нуля, пользуются буквами:
Противоположные числа отличаются только знаками:
Обозначают: а, если а положительное число,
-а, если а отрицательное число.
Абсолютная величина числа (модуль) числа
Абсолютной величиной числа (модулем) действительного числа называют:
Алгебра. 8 класс
Тема: Иррациональные числа
Содержание модуля (краткое изложение модуля):
На координатной оси с единичным отрезком ОЕ отмечена точка D. Является ли длина отрезка OD рациональным числом?
Измерим длину OD при помощи единичного отрезка.
Получим остаток – отрезок FD, длина которого меньше единичного отрезка. Можно сказать, округлив до целых, что длина отрезка OD приблизительно равна 3, OD ≈ 3.
Чтобы измерить длину OD возьмем за единицу измерения десятую часть единичного отрезка – длину отрезка OE1.
От точки F отложим OE1 дважды при этом получится остаток F1D, длина которого меньше длины отрезка OE1, выбранного единичным отрезком. Можно сказать, округлив до десятых, что длина отрезка OD приблизительно равна 3,2, OD ≈ 3,2.
Чтобы измерить длину отрезка OD ещё точнее, будем выбирать меньшие единицы измерения – сотую, тысячную, десятитысячную, стотысячную части единичного отрезка и так далее. В результате измерения возможны два варианта.
Построим квадрат со стороной, равной длине единичного отрезка OE. Проведем диагональ ОВ. Теперь построим новый квадрат, стороной которого будет диагональ ОВ. Обратим внимание, что новый квадрат в два раза больше старого. Значит площадь его S в два раза больше, S = 2. Выходит, что длина стороны нового квадрата ОВ равна числу, квадрат которого равен двум.
Измерим длину стороны нового квадрата ОВ при помощи единичного отрезка, как мы делали вначале. Длина единичного отрезка OE’ укладывается в отрезок OB один раз, при этом получается остаток – E’B. Округлив до целых, получим, что длина стороны OB приблизительно равна одному. OB ≈1.
Чтобы измерить длину отрезка ОВ точнее будем выбирать меньшие единичные отрезки – десятую, сотую, тысячную части единичного отрезка ОЕ и так далее. На одном из шагов получим число: OB ≈1,41421356… – иррациональное число.
Эта десятичная дробь не является периодической. Если бы на каком-то шаге измерения был определен период дроби, то данное число было бы рациональным, то есть его можно было бы представить в виде дроби m/n, где m – целое число, а n – натуральное. Однако не существует такого рационального числа, квадрат которого равен двум.
Таким образом, длина отрезка OB выражена бесконечной десятичной непериодической дробью, или иррациональным числом.
Любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Множество иррациональных чисел обозначается буквой – I.
I – множество иррациональных чисел.
Десятичное измерение длин отрезков каждой точке координатной оси ставит в соответствие бесконечную десятичную дробь, модуль которой равен длине измеряемого отрезка.
|OD| = 3,2300980107.
Точке D соответствует число 3,2300980107.
|OG| = 1,72 = 1,72000… = 1,72(0)
Точке G соответствует число −1,72(0) или −1,72
Знак дроби зависит от расположения точки – справа от начальной точки О – положительные числа, слева – отрицательные.
Обратное утверждение также верно: взяв произвольную десятичную бесконечную дробь, мы всегда найдем на координатной оси справа или слева от точки О такую точку А, что длина отрезка ОА выражается модулем этой дроби. Знак дроби соответствует расположению точки А.
|OA| = 2,2(0)
Точке A соответствует число 2,2(0) или 2,2.
Любой точке координатной оси ставится в соответствие бесконечная десятичная дробь: если дробь периодическая, то данной точке соответствует рациональное число, если дробь непериодическая, то – иррациональное число.
Множество рациональных и иррациональных чисел вместе составляют множество действительных чисел (R).
Таким образом, каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной оси, и наоборот: каждой точке координатной оси соответствует единственное действительное число.
Действительные числа, записанные с помощью бесконечных десятичных дробей можно сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить (на число, отличное от нуля). Эти действия будут выполняться по тем же правилам, что и действия над рациональными числами.
Найдем приближенное значение разности чисел:
3/11 – 0,12230071000134…
3/11=0,(27) ≈ 0,27
0,12230071000134…≈ 0,12
3/11 – 0,12230071000134… ≈ 0,27 – 0,12 = 0,15
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №15. Действительные числа.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) множество иррациональных чисел;
2) множество рациональных чисел;
3) правила выполнения действий с бесконечными десятичными дробями;
4)определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Иррациональные числа— это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби, т.е. числа после запятой в записи данного числа не повторяются.
Дробные числа – это числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби.
Все основные действия над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел (переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т.д.).
Арифметические операции над действительными числами обычно заменяются операциями над их приближениями.
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Все числа, которые мы изучаем в школе, называются действительными числами. Они образуют множество действительных чисел, которые принято обозначать латинской буквой R.
В свою очередь все действительные числа можно разделить на 2 группы: рациональные числа и иррациональные числа.
Иррациональные числа— это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби, т.е. числа после запятой в записи данного числа не повторяются.
Рациональные числа, в свою очередь, можно разделить на 2 вида – это целые числа и дробные числа.
Дробные числа – это числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби.
Целые же числа можно разделить еще на несколько групп: отрицательные целые числа, нуль и положительные (натуральные) целые числа.
На числовой оси (Ох) между целыми числами будут находиться дробные иррациональные числа. Все вместе они будут представлять собой множество действительных чисел, R.
Обратите внимание, что все основные действия над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел (переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т.д.).
Арифметические операции над действительными числами обычно заменяются операциями над их приближениями.
Числа 4; 4,2; 4,28 и т.д. являются последовательными приближениями значений суммы
.
Пусть 
это последовательные приближения действительного числа у с точностью до 1, до 0,1, до 0,01 и т.д. Тогда погрешность приближения 
как угодно близко приближается к нулю.
при 
или 
Читается «модуль разности у и 
стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности» или «предел модуля разности у и 
при n, стремящемся к бесконечности, равен нулю»
Т.е. если 
при 
или 
Модуль действительного числа у обозначается как |у| и определяется так же, как и модуль рационально числа:
.
А теперь давайте вспомним, что такое геометрическая прогрессия.
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего (Рисунок 1).
В результате, мы получили последовательность сторон квадратов 
образующих геометрическую прогрессию со знаменателем 
.
И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,
n=15, 
;
n=20, 
;
n=21, 
.
Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников. (рисунок 2)
Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.
То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.
Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.
Используя данное определение можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: 
(Рисунок 3)
Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1. 
Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.
Рассмотрим сумму n первых слагаемых. 
По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна
Если n неограниченно возрастает, то 
или 
. Поэтому 
, т.е. 
.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности 
Например, для прогрессии 
, где 
,
имеем 
Так как 
то 
Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно находить по формуле
Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля
Пример 1: 
Найдем значение данного выражения с точностью до единиц.
Округлим полученные результаты до десятых:
Найдем значение данного выражения с точностью до десятых.
Округлим полученные результаты до сотых:
3
Найдем значение данного выражения с точностью до сотых.
Округлим полученные результаты до тысячных:
32
и т.д.
Давайте выясним, является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой:
а) 
; б) 
. Найдем q.
;
;
Следовательно, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.
Следовательно, данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.