что такое упругое тело сопромат

Что такое упругое тело сопромат

Действие внешних сил на твердое тело приводит к возникновению в точках его объема напряжений и деформаций. При этом напряженное состояние в точке, связь между напряжениями на различных площадках, проходящих через эту точку, определяются уравнениями статики и не зависят от физических свойств материала. Деформированное состояние, связь между перемещениями и деформациями устанавливаются с привлечением геометрических или кинематических соображений и также не зависят от свойств материала. Для того чтобы установить связь между напряжениями и деформациями, необходимо учитывать реальные свойства материала и условия нагружения. Математические модели, описывающие соотношения между напряжениями и деформациями, разрабатываются на основе экспериментальных данных. Эти модели должны с достаточной степенью точности отражать реальные свойства материалов и условия нагружения.

Наиболее распространенными для конструкционных материалов являются модели упругости и пластичности. Упругость — это свойство тела изменять форму и размеры под действием внешних нагрузок и восстанавливать исходную конфигурацию при снятии нагрузок. Математически свойство упругости выражается в установлении взаимно однозначной функциональной зависимости между.компонентами тензора напряжений и тензора деформаций. Свойство упругости отражает не только свойства материалов, но и условия нагружения. Для большинства конструкционных материалов свойство упругости проявляется при умеренных значениях внешних сил, приводящих к малым деформациям, и при малых скоростях нагружения, когда потери энергии за счет температурных эффектов пренебрежимо малы. Материал называется линейно-упругим, если компоненты тензора напряжений и тензора деформаций связаны линейными соотношениями.

При высоких уровнях нагружения, когда в теле возникают значительные деформации, материал частично теряет упругие свойства: при разгрузке его первоначальные размеры и форма полностью не восстанавливаются, а при полном снятии внешних нагрузок фиксируются остаточные деформации. В этом случае зависимость между напряжениями и деформациями перестает быть однозначной. Это свойство материала называется пластичностью. Накапливаемые в процессе пластического деформирования остаточные деформации называются пластическими.

Высокий уровень нагружения может вызвать разрушение, т. е. разделение тела на части. Твердые тела, выполненные из различных материалов, разрушаются при разной величине деформации. Разрушение носит хрупкий характер при малых деформациях и происходит, как правило, без заметных пластических деформаций. Такое разрушение характерно для чугуна, легированных сталей, бетона, стекла, керамики и некоторых других конструкционных материалов. Для малоуглеродистых сталей, цветных металлов, пластмасс характерен пластический тип разрушения при наличии значительных остаточных деформаций. Однако подразделение материалов по характеру разрушения на хрупкие и пластичные весьма условно, оно обычно относится к некоторым стандартным условиям эксплуатации. Один и тот же материал может вести себя в зависимости от условий (температура, характер нагружены я, технология изготовления и др.) как хрупкий или как пластичный. Например, пластичные при нормальной температуре материалы разрушаются как хрупкие при низких температурах. Поэтому правильнее говорить не о хрупких и пластичных материалах, а о хрупком или пластическом состоянии материала.

Пусть материал является линейно-упругим и изотропным. Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1), так что тензор напряжений имеет вид

При таком нагружении происходит увеличение размеров в направлении оси Ох, характеризуемое линейной деформацией , которая пропорциональна величине напряжения

Рис.1. Одноосное напряженное состояние

Это соотношение является математической записью закона Гука, устанавливающего пропорциональную зависимость между напряжением и соответствующей линейной деформацией при одноосном напряженном состоянии. Коэффициент пропорциональности E называется модулем продольной упругости или модулем Юнга. Он имеет размерность напряжений.

Наряду с увеличением размеров в направлении действия; же напряжения происходит уменьшение размеров в двух ортогональных направлениях (рис. 1). Соответствующие деформации обозначим через и , причем эти деформации отрицательны при положительных и пропорциональны :

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом Пуассона, который в силу изотропности материала одинаков для обоих ортогональных направлений.

Соотношения, аналогичные (1) и (2), в случае одноосного нагружения в направлении осей Оу, Ог напряжением , , соответственно имеют вид

При одновременном действии напряжений по трем ортогональным осям, когда отсутствуют касательные напряжения, для линейно-упругого материала справедлив принцип суперпозиции (наложения решений):

С учетом формул (1 — 4) получим

Касательные напряжения вызывают угловые деформации, причем при малых деформациях они не влияют на изменение линейных размеров, и следовательно, на линейные деформации. Поэтому они справедливы также в случае произвольного напряженного состояния и выражают так называемый обобщенный закон Гука.

Угловая деформация обусловлена касательным напряжением , а деформации и — соответственно напряжениями и . Между соответствующими касательными напряжениями и угловыми деформациями для линейно-упругого изотропного тела существуют пропорциональные зависимости

которые выражают закон Гука при сдвиге. Коэффициент пропорциональности G называется модулем сдвига. Существенно, что нормальное напряжение не влияет на угловые деформации, так как при этом изменяются только линейные размеры отрезков, а не углы между ними (рис. 1).

Линейная зависимость существует также между средним напряжением (2.18), пропорциональным первому инварианту тензора напряжений, и объемной деформацией (2.32), совпадающей с первым инвариантом тензора деформаций:

Рис.2. Плоская деформация сдвига

Соответствующий коэффициент пропорциональности К называется объемным модулем упругости.

В формулы (1 — 7) входят упругие характеристики материала Е, , G и К, определяющие его упругие свойства. Однако эти характеристики не являются независимыми. Для изотропного материала независимыми упругими характеристиками являются две, в качестве которых обычно выбираются модуль упругости Е и коэффициент Пуассона . Чтобы выразить модуль сдвига G через Е и , рассмотрим плоскую деформацию сдвига под действием касательных напряжений (рис. 2). Для упрощения выкладок используем квадратный элемент со стороной а. Вычислим главные напряжения , . Эти напряжения действуют на площадках, расположенных под углом к исходным площадкам. Из рис. 2 найдем связь между линейной деформацией в направлении действия напряжения и угловой деформацией . Большая диагональ ромба, характеризующая деформацию , равна

Для малых деформаций

С учетом этих соотношений

До деформации эта диагональ имела размер . Тогда будем иметь

Из обобщенного закона Гука (5) получим

Сравнение полученной формулы с записью закона Гука при сдвиге (6) дает

Источник

Лекция 1. Сопротивление материалов. Основные понятия и определения

Основные определения

Сопротивление материалов позволяет определить прочность, жесткость и устойчивость элементов строительных конструкций и деталей машин, тем самым обеспечить долгую и надежную работу сооружений, машин и механизмов.

Вещества и комбинации веществ, из которых состоят тела, и являются рассматриваемыми материалами. Все твердые тела по геометрической форме можно условно разделить на 3 группы:

Это можно выразить соотношением длины к высоте или ширине. Стержни можно условно разделить на 3 категории:

1.1. Стержни с соотношением l/h ≥ 10.

Таким образом линия, изображающая стержень на чертежах, совпадает с осью стержня. Часто ось стержня называется упругой линией, нейтральной линией или нейтральной осью.

при которых исключается возможность разрушения конструкции при действии заданных нагрузок. Другими словами напряжения, возникающие в рассматриваемых поперечных сечениях, не должны превышать расчетного сопротивления материала.

возникающих под действием заданных нагрузок. Так как не существует материалов, имеющих бесконечно большую жесткость, то деформации материала конструкции приводят к изменению геометрической формы элементов конструкции, а значит и к перераспределению внутренних напряжений.

при котором изменение первоначальной геометрической формы под действием нагрузок и возникающего при этом перераспределения внутренних напряжений не приводит к разрушению конструкции.

Деформации рассматриваются как перемещение точек, линий и плоскостей.

Линейная деформация измеряется в единицах длины.

относительно некоторой точки.

на рассматриваемом участке длины элемента конструкции.

остающиеся после снятия нагрузки.

Другими словами остаточные деформации, при упругой деформации равны нулю.

после снятия нагрузок.

Все материалы обладают определенными упругими и пластичными свойствами. Например изготовление профилированного листа из листа металлопроката происходит в результате накопления остаточных деформаций.

Если силы направлены по оси, то такой элемент конструкции называют центрально сжатым или центрально растянутым. Если силы приложены на некотором расстоянии от оси, то такой элемент называют внецентренно сжатым или внецентренно растянутым, при этом расстояние от оси до точки приложения силы называется эксцентриситетом е.

т.е. в плоскости поперечного сечения

т.е. в плоскости, перпендикулярной плоскости поперечного сечения.

Моменты могут быть крутящими и изгибающими. Момент, возникающий при внецентренном растяжении или сжатии, является изгибающим.

К изотропным материалам условно можно отнести металлы, камень, стекло.

Представителем такого материала является древесина.

Свойства анизотропных материалов не являются предметом рассмотрения теории сопротивления материалов. Между тем не существует природных или искусственных материалов, имеющих идеальную упругость, изотропию или отротропию. Кроме того изготовить конструкцию идеальной геометрической формы практически невозможно. Это означает, что для точных расчетов необходимо учитывать все изменения геометрической формы, а также возможные отклонения от заданных физико-механических свойств. Однако в подавляющем большинстве случаев для обеспечения надежной работы строительной конструкции, машины или механизма достаточно выполнить приближенный (упрощенный) расчет. Выполняется такой расчет на основании следующих допущений.

Основные допущения, принимаемые в теории сопротивления материалов

1. Рассматриваемый материал является изотропным (или ортотропным) и идеально упругим.

2. Деформации материала пропорциональны приложенной нагрузке, не превышающей некоторой предельной величины, т.е рассматриваемые тела являются линейно-деформируемыми.

3. При составлении уравнений равновесия деформациями материала можно пренебречь, так как деформации рассматриваемых элементов значительно меньше геометрических размеров элементов. В данном случае не только значительно меньше длины, но также высоты и ширины.

4. При расчетах допускается использовать принцип независимости действия сил, т.е. упругую деформацию под действием нескольких сил можно рассматривать как сумму упругих деформаций от каждой отдельно взятой силы.

5. Предполагается, что сечения которые были плоскими до приложения нагрузок, остаются плоскими при деформациях материала.

Внешние и внутренние силы

Все силы, действующие на тело, можно условно разделить на внешние и внутренние. Условно потому, что силы тяжести, действующие на каждую частицу тела, находятся как бы внутри тела, а внутренние силы (силы взаимодействия между элементарными частицами вещества) действуют и до того, как к телу приложена какая-либо внешняя сила.

Внешние силы по характеру приложения можно разделить на четыре вида:

Так как при расчетах изначально рассматривается ось стержня, не имеющая высоты и ширины, то объемные и плоские нагрузки часто приводятся к линейной. Это допускается делать без каких-либо поправочных коэффициентов, если интенсивность объемной или плоской нагрузки является постоянной.

В природе точечных нагрузок не существует. Любая нагрузка прикладывается к некоторой площади, но если площадь приложения нагрузки, точнее длина приложения нагрузки после приведения плоской нагрузки к линейной, значительно меньше длины тела, то такую нагрузку можно условно рассматривать, как сосредоточенную в одной точке. Переход от сосредоточенной нагрузки к равномерно распределенной и наоборот осуществляется только с помощью соответствующих коэффициентов.

По времени действия нагрузки делятся на постоянные и временные

Постоянные нагрузки, например, собственный вес конструкции, действуют в течение всего срока службы. Временные нагрузки ограничены по времени действия.

По характеру изменения во времени нагрузки делятся на статические и динамические

Статические нагрузки прикладываются как бы постепенно, поэтому инертные силы, возникающие при движении инертных масс, при расчетах не учитываются. Динамические нагрузки прикладываются очень быстро и потому при расчетах влияние инертных сил необходимо учитывать.

Все вышеприведенные нагрузки рассматриваются как активные.

Равнодействующую внутренних сил, действующую на рассматриваемую площадь, называют внутренним усилием.

Уравнения равновесия. Метод сечений

Кроме того, если рассечь тело в любом месте, то чтобы тело по-прежнему оставалось в состоянии равновесия к полученному сечению нужно приложить некоторую внешнюю силу Q. Значение внешней силы определяется, исходя из условий равновесия. А так как сила действия равна силе противодействия, то считается, что внутренние усилия Р или напряжения р, возникающие в результате действия внешних сил (нагрузок) равны по значению нагрузкам, приложенным в рассматриваемом сечении и направлены в противоположную сторону. Такой метод расчета и называется методом сечений.

Примечание: Для решения статически неопределимых задач одних только уравнений равновесия и уравнения моментов недостаточно.

Рисунок 317.1

Так как напряжения, возникающие в рассматриваемых сечениях под действием внешних сил, редко бывают равномерно распределенными (не имеют постоянной интенсивности), то для решения задач сопротивления материалов важно знать не просто значение внутренних усилий, но также и значение напряжений в наиболее опасных точках сечения. Отношение внутреннего усилия ΔР, действующего на некоторой площади ΔF рассматриваемого сечения будет приближаться к некоторому пределу, если площадь ΔF будет стремиться к нулю (к точке А). Этот предел, как мы выяснили ранее, называется напряжением и определяет интенсивность внутренних усилий, действующих на рассматриваемую площадку в точке А. Напряжения могут быть различны не только в разных точках одного сечения, но и в одной и той же точке А, общей для различных сечений, т.е. сечений, рассекающих тело под различными углами.

Ось, перпендикулярная плоскости сечения, называется нормалью.

Полное напряжение в точке А, имеющей координаты (х, у, z) для сечения с нормалью n определяется по формуле:

(317.1)

где ΔР — элементарное внутреннее усилие, возникающее при отбрасывании части II тела и замене этой части элементарной внешней силой ΔQ, действующей на оставшуюся часть I для соблюдения условий равновесия.

Нормальное напряжение σ_n действует в направлении нормали

Если усилие ΔР не перпендикулярно рассматриваемой плоскости сечения (как на рисунке 317.1), то значение нормального напряжения можно определить по формуле:

(317.2)

Касательное напряжение т_n действует в плоскости сечения

Значение касательного напряжения можно определить по формуле:

(317.3)

дальше

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).

Источник

Что такое упругое тело сопромат

Понятия напряженного и деформированного состояний, введенные в предыдущих параграфах, носят первое — чисто статический характер, второе — геометрический, и еще ничем не связаны с реальными свойствами тела. Напряжения и деформации могут существовать не только в твердом теле, но и в жидкости, в газе и вообще в любой сплошной среде. В реальных твердых телах напряжения и деформации оказываются связанными между собой определенными зависимостями, которые могут быть установлены лишь из опыта. Надежное установление этих зависимостей является основной задачей при построении теории сопротивления материалов. Различные материалы обладают различными свойствами, зависимости между напряжением и деформацией оказываются для них различными. Поэтому при пользовании теми или иными формулами сопротивления материалов необходимо следить за тем, чтобы свойства тех тел, к которым эти формулы применяются, соответствовали основным предпосылкам, положенным в основу при их выводе.

По характеру зависимости между напряжениями и деформациями тела можно условно, имея в виду цели расчета, различать: тела упругие и тела пластические.

Упругостью мы будем называть свойство тела, выражающееся в однозначной зависимости между силами, действующими на тело, и его деформациями. В частности, упругое тело после снятия действовавших на него нагрузок возвращается в исходное состояние. Как говорят, оно не получает остаточных деформаций. Этот факт содержится в определении упругости.

В противоположность упругости пластичность состоит в том, что тела получают деформации, зависящие не только от конечных значений действующих на них сил, но и от порядка их приложения. В частности, если пластическое тело было подвергнуто действию сил, то после удаления их оно в первоначальное состояние не приходит, сообщенные силами деформации сохраняются, полностью или частично, и после прекращения действия этих сил.

Свойства упругости и пластичности являются не абсолютными, а относительными. Например, стальная пружина, которая выпрямляется полностью, будучи согнута небольшой силой, под действием большей силы получает такой прогиб, который полностью уже не восстанавливается. Значит, для стали малые деформации упруги, а большие — пластичны.

В то же время всякое пластическое тело восстанавливает некоторую, пусть небольшую, часть своей деформации. Следовательно, в нем, наряду со свойством пластичности, существует и свойство упругости.

Изучение поведения упругих тел произвольной формы под действием произвольных сил служит задачей специальной дисциплины, называемой теорией упругости. Иногда употребляют термин математическая теория упругости, подчеркивая этим та, что, поскольку закон упругости предполагается известным, определение напряжений и деформаций является строго поставленной математической задачей интегрирования некоторых систем дифференциальных уравнений. Методы теории упругости, при всей их общности и точности, еще недостаточны для суждения о прочности реальных конструкций. С другой стороны, строгая постановка вопроса об определении напряжений и деформаций методами теории упругости часто приводит к непреодолимым математическим трудностям. Сопротивление материалов тесно связано с теорией упругости и широко использует ее результаты, но нельзя считать, что это упрощенная теория упругости. Пользуясь более простыми математическими методами, сопротивление материалов ставит более широкую задачу, а именно суждение о прочности элементов конструкций с возможно более полным учетом реальных свойств материалов.

Наряду с теорией упругости, притом значительно позже, возникла теория пластичности, изучающая с общих позиций поведение тел под нагрузкой в области пластических деформаций. Развитие теории пластичности в сильной степени повлияло на развитие теории сопротивления материалов, и начальные сведения по теории пластичности включены в эту книгу.

Источник