что такое универсальное множество

Универсальное множество

Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все мыслимые объекты. Универсальное множество единственно.

Универсальное множество обычно обозначается (от англ. universe, universal set ), реже .

Содержание

Свойства универсального множества

См. также

Примечания

Полезное

Смотреть что такое «Универсальное множество» в других словарях:

УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО — УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО, в математике МНОЖЕСТВО, содержащее все элементы с определенным свойством. Так же называют гипотетическое множество, которое должно включать в себя все возможные компоненты. Однако такое всеохватывающее множество… … Научно-технический энциклопедический словарь

универсальное множество — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN universal set … Справочник технического переводчика

УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО — универсум, нек рое множество, фиксированное в рамках данной математич. теории и содержащее в качестве элементов все объекты, рассматриваемые в этой теории. Напр., для элементарной арифметики У. м. является множество всех целых чисел. Особую роль… … Математическая энциклопедия

Дизъюнктивно-универсальное множество — Определение Дизъюнктивно универсальное множество (ДУМ) G порядка n и ранга p это множество функций алгебры логики такое, что для любой существует набор функций такой, что … Википедия

Множество — У этого термина существуют и другие значения, см. Множество (значения). Запрос «Целое» перенаправляется сюда; о типе данных в программировании см. Целое (тип данных). Множество одно из ключевых понятий математики, в частности, теории… … Википедия

ПРОЕКТИВНОЕ МНОЖЕСТВО — множество, к рое может быть получено из борелевских множеств повторным применением операций проектирования и перехода к дополнению. П. м. классифицируются по классам, образующим проективную иерархию. Пусть I=ww бэровское пространство… … Математическая энциклопедия

Нечёткое множество — Эту страницу предлагается объединить с Теория нечётких множеств … Википедия

Нечеткое множество — Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Пушистое множество — Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Источник

ХНУРЭ дистанционное обучение

Новости сайта

Студентам, хто досі не має доступ до необхідних, за розкладом, навчальних дисциплін.

Шановні студенти ХНУРЕ.

Оголошення для тих, хто досі не має доступ до необхідних, за розкладом, навчальних дисциплін.

Ми не можемо підключати студентів до навчальних дисциплін на вимогу студента.
Ми підключаємо студентів тільки за заявкою викладача.

Тому, будь ласка, зверніться до викладачів тих курсів, доступу до яких у вас немає, щоб вони написали нам лист зі списком студентів, яких потрібно додати на їх дисципліну.

Внимание первокурсников!

Обратите внимание, что хотя логины для почты и системы “ХНУРЭ Дистанционное обучение” одинаковые, но пароли разные!

Новый пароль должен быть не менее 8 символов, в нем должны быть минимум 1 цифра, 1 буква в нижнем регистре и 1 буква в верхнем регистре.

Забыли или потеряли пароль?

Если Вы были зарегистрированы в нашей системе и помните свой логин (он же адрес электронной почты в домене @nure.ua), на который был зарегистрирован ваш аккаунт, воспользуйтесь системой автоматического восстановления пароля:

Восстановить пароль от dl.nure.ua

Восстановить пароль от почты можно в комнате 282 по студенческому билету.

ВНИМАНИЕ! сотрудники ЦТДО не работают со студентами напрямую, а только через ответственных за ДО. Все обращения в очную или при помощи писем на адреса сотрудников – обрабатываться не будут.

Источник

УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО

Лит.:[1] Клини С. К., Математическая логика, пер. с англ., М., 1973; [2] Френкель А.-А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966.
В. Е. Плиско.

Смотреть что такое «УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО» в других словарях:

УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО — УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО, в математике МНОЖЕСТВО, содержащее все элементы с определенным свойством. Так же называют гипотетическое множество, которое должно включать в себя все возможные компоненты. Однако такое всеохватывающее множество… … Научно-технический энциклопедический словарь

универсальное множество — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN universal set … Справочник технического переводчика

Дизъюнктивно-универсальное множество — Определение Дизъюнктивно универсальное множество (ДУМ) G порядка n и ранга p это множество функций алгебры логики такое, что для любой существует набор функций такой, что … Википедия

Множество — У этого термина существуют и другие значения, см. Множество (значения). Запрос «Целое» перенаправляется сюда; о типе данных в программировании см. Целое (тип данных). Множество одно из ключевых понятий математики, в частности, теории… … Википедия

ПРОЕКТИВНОЕ МНОЖЕСТВО — множество, к рое может быть получено из борелевских множеств повторным применением операций проектирования и перехода к дополнению. П. м. классифицируются по классам, образующим проективную иерархию. Пусть I=ww бэровское пространство… … Математическая энциклопедия

Нечёткое множество — Эту страницу предлагается объединить с Теория нечётких множеств … Википедия

Нечеткое множество — Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Пушистое множество — Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Источник

Понятие множества. Способы задания множеств.

Данная тема содержит немало терминологии, поэтому я добавлю содержание темы, которое позволит легче ориентироваться в материале.

Однако появление парадоксов (Рассел, Бурали-Форти) положило конец «канторовскому раю». Одна из формулировок парадокса Рассела, известная под названием «парадокс брадобрея» звучит так: в некотором селе брадобрей бреет тех и только тех жителей села, которые не бреются сами. Кто же тогда бреет самого брадобрея? Допустим, он бреет себя самостоятельно. Т.е. он принадлежит к тем жителям села, которые бреются сами, – а ведь согласно условию этих жителей брадобрей не имеет права брить. Следовательно, допущение о том, что брадобрей бреется сам, приводит к противоречию. Попробуем иначе: пусть брадобрей не бреется сам. Если он сам не бреется, то согласно условию его обязан брить брадобрей – вновь противоречие! Были предприняты попытки разрешить противоречия теории множеств, предложенной Кантором. Саму канторовскую теорию множеств математики назвали «наивной». Целью многих математических трудов стало построение такой системы аксиом, в которой подобные парадоксы были бы невозможны. Но задача оказалась не столь уж проста. На данный момент, насколько мне известно, единой аксиоматики теории множеств нет. Наиболее распространенной считается система аксиом Цермело-Френкеля (ZFC), в которой особняком стоит так называемая «аксиома выбора». Есть и вариации этой системы: например, автор B-метода Жан-Раймонд Абриал предложил типизированную теорию множеств, на основании которой создал формальный метод разработки программ.

Обозначение множеств. Принадлежность элемента множеству. Пустое множество.

Обычно множества записываются в фигурных скобках. Например, множество всех гласных букв русского алфавита будет записано так:

А множество всех целых целых чисел, больших 8, но меньших 15, будет таким:

Чаще всего в математической литературе множества обозначаются с помощью больших букв латинского алфавита. Например:

Простыми числами именуют такие натуральные числа большие 1, которые делятся лишь на 1 или на самое себя. Например, 2, 3, 5, 7 и так далее. Для сравнения: число 12 не является простым числом, так как оно делится не только на 12 и 1, а ещё и на иные числа (например, на 3). Число 12 является составным.

Подмножество. Универсальное множество. Равенство множеств. Булеан.

$$A\subseteq A; \; \varnothing\subseteq A.$$

Введём ещё одно определение – универсальное множество.

Иными словами, универсум содержит в себе элементы всех множеств, которые рассматриваются в рамках некоей задачи. Например, рассмотрим такую задачу: проводится опрос студентов некоей академгруппы. Каждому студенту предлагается указать мобильных операторов РФ, сим-карты которых он использует. Данные этого опроса можно представить в виде множеств. Например, если студент Василий использует сим-карты от МТС и Life, то можно записать следующее:

Подобные множества можно составить для каждого студента. Универсумом в этой модели будет множество, в котором перечислены все операторы России. В принципе, в качестве универсума можно взять также множество, в котором перечислены все операторы СНГ, а также множество всех мобильных операторов мира. И это не будет противоречием, ибо любой оператор России входит в множество операторов как СНГ, так и всего мира. Итак, универсум определяется только в рамках некоей конкретной задачи, при этом зачастую можно рассмотреть несколько универсальных множеств.

Используя понятие равенства множеств, можно классифицировать подмножества.

Примечание относительно терминологии: показать\скрыть

Вообще говоря, тут есть некая путаница в терминологии. Приведённое выше определение несобственных множеств принято в американской и части отечественной литературы. Однако в другой части отечественной литературы есть несколько иная трактовка понятия несобственных множеств.

Иными словами, пустое множество в такой трактовке исключается из собственных подмножеств и переходит в разряд несобственных. Выбор терминологии – дело вкуса.

Рассмотрим пару примеров на использование введённых выше понятий.

Из предложенного списка выберите те утверждения, которые являются верными. Ответ аргументируйте.

Ответ: Утверждения в пунктах №1, №2, №4 – истинны.

Булеан найден, остаётся лишь записать ответ.

Способы задания множеств.

Первый способ – это простое перечисление элементов множества. Естественно, такой способ подходит лишь для конечных множеств. Например, с помощью данного способа множество первых трёх натуральных чисел будет записано так:

$$P(x)=»x\; – \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7″$$

$$P(27)=»27\; – \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7″$$

$$P\left(\frac<2><5>\right)=»\frac<2><5>\; – \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7″$$

Третий способ – задать множество с помощью так называемой порождающей процедуры. Порождающая процедура описывает, как получить элементы множества из уже известных элементов или неких иных объектов (см. пример №4).

$$3^1=1; \; 3^2=9; \; 3^3=27; \; 3^4=81;\; \ldots$$

Обычно при задании множества с помощью таких правил (которые часто называют рекурсивными или индуктивными) третий пункт подразумевается, но не оговаривается явно. Но нужно иметь его в виду.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Источник

Равенство множеств. Подмножество. Универсальное множество. Дополнение множества

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

ОСНОВНЫЕ ДАННЫЕ О РАБОТЕ

В обычной речи мы часто употребляем слово “множество”: множество людей, множество книг, множество законов, множество денег и т.д.

В математике множеством называют совокупность, набор каких-либо предметов (объектов). Это не есть точное математическое определение. Так же, как и понятия точки, числа и т.д., понятие множества является одним из тех первоначальных, наиболее общих понятий, которые приходится принимать без определения.

Примерами пустых множеств могут служить:

а) множество действительных чисел, являющихся корнями уравнения x 2 + 1 = 0;

б) множество треугольников, сумма углов которых отлична от 180°;

в) множество решений системы уравнений

.

В каком случае можно считать, что множество задано? Иногда можно задать множество, перечислив все его элементы. Например, множество учеников в классе задается перечислением фамилий в классном журнале. Это нетрудно сделать, так как такое множество содержит конечное число элементов. Однако не всякое конечное множество можно задать перечислением. Множества слонов на нашей планете или рыб в океане тоже конечные, но попробуйте их перечислить
(или пересчитать!)! Тем более нельзя перечислить все элементы бесконечного множества. Так, множество всех цифр конечное и их легко перечислить: А=<0,1,2,3,4,5,6,7,8,9>. А вот множество всех целых чисел, составленных из этих цифр, бесконечное и их уже не перечислишь. В таких случаях множество считается заданным, если указано некоторое свойство, которым обладают все его элементы и не обладают никакие другие объекты. Такое свойство называется характерис-тическим свойством множества. Одно и то же множество может быть задано различными характеристическими свойствами. Например, множество <2,4>может быть задано как:

а) множество четных чисел, удовлетворяющих неравенству 1

1.2. Равенство множеств. Подмножество. Универсальное множество. Дополнение множества

Приведем примеры подмножеств:

а) множество учеников 10-го класса данной школы есть подмножество множества всех учеников этой школы;

б) множество жителей Москвы является подмножеством множества жителей России;

в) множество всех квадратов есть подмножество множества всех прямоугольников;

г) множество Z всех целых чисел есть подмножество множества Q всех рациональных чисел.

Если одновременно с отношением А  В имеет место отношение В  А, то А=В. То есть, если одновременно А есть подмножество В и В есть подмножество А, то такие два множества равны.

Отношение А  В изображено с помощью диаграмм на рис. 2 а, б.

1.3. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность

в) Обозначим через А множество целых чисел, через В множество четных чисел. Тогда А  В есть множество А, то есть А  В=А.

Примеры. а) Термин “пересечение” по существу геометрического происхождения. Пересечением прямой и плоскости, если прямая не параллельна плоскости, является их единственная общая точка. Если прямая и плоскость параллельны, то пересечение этих множеств пусто. Если же прямая лежит на плоскости, то их пересечение совпадает с множеством точек этой прямой.

Множество делителей числа 72 конечно. А множество кратных этого числа бесконечно: С=<72,144,216. 72n. >.

Бесконечно и множество кратных числа 54: D=<54,108,162,216. 54m. >.

Пересечением этих множеств является множество общих кратных для чисел 72 и 54: С  D=<216,432. >.

Наименьшее число в С  D, то есть 216, называется наименьшим общим кратным для 72 и 54.

Рис. 8 Рис. 9 Рис. 10

в) Разностью множества четных чисел и множества целых чисел является пустое множество.

1.4. Основные законы операций над множествами

Некоторые свойства объединения и пересечения множеств очень похожи на свойства хорошо известных алгебраических операций сложения и умножения. Вместе с тем многие свойства введенных операций над множествами отличаются от свойств алгебраических операций. Приведем здесь основные свойства:

Здесь роль пустого множества аналогична роли числа 0 в алгебре. Однако свойство  \А=  уже не имеет аналога в алгебре.

Первый распределительный закон аналогичен соответствую­щему распределительному закону в алгебре. А вот второй закон никакого аналога в алгебре не имеет.

Свойства, сформулированные в п.п.1-4, очевидны и не нуждаются в доказательстве. Распределительные законы в п.5 уже сложнее. Однако вместо того, чтобы их строго доказывать, лучше попытаться их понять, пользуясь диаграммами Венна.

1.5. Числовые множества. Множества точек на прямой,
задаваемые алгебраическими уравнениями и неравенствами

а) множество всех действительных чисел R;

б) множество всех рациональных чисел Q;

в) множество всех натуральных чисел N;

г) множество всех чисел вида , где n принимает все натуральные значения.

Заштрихованная часть числовой прямой содержит все точки, принад­лежащие соответст-вующему интервалу. Незакрашенные кружочки означают, что эти точки не принадлежат интервалу, а закрашенные, наоборот, означают, что эти точки принадлежат интервалу.

2. Окрестность точки. Окрестностью точки x ₀ называется любой открытый интервал, содержащий эту точку (рис. 15). Открытый интервал (a,b) служит окрестностью всякой принад-лежащей ему точки.

Пример 1. Уравнение имеет своей областью определения множество [-4,+  ). Найдем его корни. Возведем обе части уравнения в квадрат:

x + 4 = (2 – x ) 2 или x 2 – 5 x = 0.

Решим полученное квадратное уравнение:

x ( x – 5) = 0 или x ₁ = 0, x ₂ = 5.

Оба числа x ₁ = 0 и x ₂ = 5 принадлежат множеству [-4,+  ), однако число x ₂ = 5 является посторонним корнем уравнения (это показывает простая проверка: ). Таким образом множество корней данного уравнения <0> [-4,+  ). На прямой эти множества изображаются так:

.

Поэтому данное уравнение можно представить в виде совокупности двух уравнений: х = 3 и
–х = 3. Откуда получим два корня x ₁ = 3, x ₂ = –3. Геометрически эти решения можно истолковать так: расстояние от x ₁ до начала отсчета О и расстояние x ₂ до начала отсчета О равны 3 (рис. 17).

Пример 3. Неравенство | x | x |

4. Системы уравнений и неравенств с одним неизвестным.

Пример 5. Решить систему уравнений

.

или x ₁ = 3, x ₂ = –1.

При решении второго уравнения надо указать вначале его область определения: x  3. Далее, приравняв каждый из множителей нулю и решив получившиеся уравнения, будем иметь x ₁ = 3,
x ₂ = –2. Число x ₂ = –2 не принадлежит области определения [3,+  ) и является посторонним корнем. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение: <3>.

Пример 6. Решить систему неравенств:

.

x 2 – 5 x – 6 = ( x + 1) ( x – 6).

Пересечением множеств является множество точек, на котором штриховки накладываются друг на друга.

Учитывая рассмотренные примеры 5 и 6, можно сделать один вывод. Множество решений системы уравнений или неравенств представляет собой пересечение множеств решений каждого из уравнений или неравенств, входящих в эту систему.

Иногда в процессе решения системы уравнений или неравенств получается некоторая совокупность других систем, к которым приводится данная система. В таких случаях множество решений исходной системы является объединением множеств решений каждой системы, входящей в эту совокупность. Разберем один пример.

Пример 7. Решить систему неравенств

.

Решение. Раскрывая модуль в первом неравенстве системы, получим два случая: 1) при и 2) при x – 6

1) или 2)

Найдем пересечение первого и второго множества:

Используя распределительный закон пересечения относительно объединения (см. §4), будем иметь

Множество решений исходной системы является объединением множеств (9,12] и [4,5), то есть [4,5)  (9,12].

1.6. Множества точек на плоскости, задаваемые уравнениями
и неравенствами с двумя переменными

Множества точек на плоскости можно задавать их характеристическими свойствами. В разд. 1.2 мы уже познакомились с такими примерами. Кроме такого способа задания их часто задают соотношениями между координатами точек в виде уравнений или неравенств.

Аналогично неравенство y > ax 2 + bx + c задает множество точек, лежащих по одну сторону от параболы (рис. 25 и 26), а неравенство y ax 2 + bx + c задает множество точек, лежащих по другую сторону (рис. 27 и 28).

Когда имеется система уравнений или неравенств с двумя переменными, то множество решений такой системы представляет собой пересечение множеств решений каждого уравнения или неравенства, входящего в систему.

Пример. Построить множество точек, удовлетворяющих следующим соотношениям:

б) .

Решение. В случае а) соотношения равносильны следующей системе

.

Рис. 29 Рис. 30 Рис. 31

Рис. 32 Рис. 33 Рис. 34

1.7. Отображение множеств. Взаимно-однозначное
соответствие между множествами. Понятие числовой функции

1. Рассмотрим два множества А и В. Если каждому элементу а множества А некоторым способом поставлен в соответствие один элемент b множества В, то говорят, что задано отображение множества А в множество В. Записывают это так: f:A  B или b=f(a). Через f обозначают то отображение (правило), по которому это соответствие устанавливается. С помощью диаграмм Венна это изображается так:

Если же каждый элемент множества В соответствует какому-либо элементу множества А,
то говорят, что множество А отображается на множество В (рис. 36).

В примере 1 так будет, если все стулья окажутся занятыми (то есть количество учеников и количество стульев одинаковое).

Между множествами А и В установлено взаимно-однозначное соответствие (взаимно-однозначное отображение), если каждому элементу а из А поставлен в соответствие один элемент b из B, и при этом соответствии каждый элемент b из В соответствует одному и только одному элементу а из А. С помощью диаграмм взаимно-однозначное соответствие изображено на рис. 36.

В примере 2 отображение f:A  С никогда не будет взаимно-однозначным, так как, вообще говоря, количество учеников в классе всегда меньше количества букв и, кроме того, ни одна фамилия не начинается с буквы “й” или “ь”.

Приведем теперь примеры взаимно-однозначного соответствия бесконеч­ных множеств. Одним, наиболее хорошо всем знакомым, является взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел R и множеством точек на прямой (числовая прямая). Разберем и другой пример. Выберем на плоскости систему координат и поставим в соответствие каждой окружности вписанный в нее квадрат, стороны которого параллельны осям координат. Мы получим взаимно-однозначное соответствие между множеством всех окружностей и множеством всех квадратов, стороны которых параллельны осям координат. Другое взаимно-однозначное соответствие между этими множествами получается, если сопоставить каждой окружности описанный вокруг нее квадрат, стороны которого параллельны осям координат.

Далее рассмотрим множество А всех точек на плоскости и множество В всех окружностей на этой плоскости, имеющие заданный радиус R. Если поставить в соответствие каждой точке а окружность радиуса R с центром в этой точке, то получим взаимно-однозначное соответствие между множествами А и В.

Функцию можно задавать разными способами. Одним из способов является табличный. Например, таблица

.

1.8. Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность множества.

1. Два множества называют эквивалентными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие. Проще всего проверить эквивалентность конечных множеств. Для двух конечных множеств взаимно-однозначное соответствие можно установить лишь в случае, когда они имеют одинаковое количество элементов. Поэтому конечные множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют поровну элементов. Для бесконечных множеств не имеет смысла говорить о числе элементов. Однако и среди бесконечных множеств можно найти эквивалентные.

2. Рассмотрим множество всех натуральных чисел N=<1,2,3,4. >. Любое бесконечное подмножество А множества N эквивалентно самому множеству N. В самом деле, элементы этого подмножества можно расположить в порядке возрастания и каждому поставить в соответствие его порядковый номер (перенумеровать). Получим Так как элементов в подмножестве А бесконечно много, этот процесс можно неограниченно продолжать. Тем самым устанавливается взаимно-однозначное соответствие между А и N. Нетрудно догадаться, что множество А представляет собой числовую последовательность. Таким образом, все числовые последователь­ности, содержащие различные элементы, эквивалентны множеству натуральных чисел N.

Рассмотрим теперь множество Z всех целых чисел:

Бесконечные множества, эквивалентные множеству натуральных чисел, называются счетными множествами. Иными словами, если элементы бесконечного множества можно перенумеровать, то такое множество называется счетным. Самым простым примером счетного множества является само множество N натуральных чисел. Более сложные примеры счетных множеств мы рассмотрели выше.

Теперь сформулируем основные теоремы о счетных множествах.

Теорема 1. Каждое бесконечное подмножество А счетного множества В счетно.

Теорема 2. Объединение конечного или счетного множества счетных множеств счетно.

Доказывать эти теоремы мы не будем, хотя отметим, что доказательство теоремы 1 почти ничем не отличается от приведенного выше рассуждения, когда доказывалась эквивалентность между множеством N и его подмножест­вом А.

3. До сих пор мы рассматривали лишь такие бесконечные множества, которые являются счетными. Однако не все бесконечные множества счетные, существуют и такие, элементы которых нельзя перенумеровать. Простейшим примером такого множества является множество всех точек конечного интервала, например, интервала (0,1). Ясно, что в этом множестве содержится счетное подмножество. В качестве такого подмножества можно указать, например, числовую последовательность . Но оказывается, что точек в интервале (0,1) “намного” больше, чем точек этой последователь­ности. Точнее говоря, множество точек интервала (0,1) несчетно, то есть нельзя установить взаимно-однозначного соответствия между множеством точек интервала (0,1) и множеством натуральных чисел N. Доказательство этого утверждения мы проводить не будем. Легко сообразить, что любой другой интервал длины 1 на числовой прямой эквивалентен интервалу (0,1). Вообще, произвольный интервал (a,b) конечной длины эквивалентен интервалу (0,1). Взаимно-однозначное соответствие между ними можно установить так, как показано на рис. 38.

Точно так же любой отрезок (замкнутый интервал) эквивалентен отрезку [0,1] (рис. 39).

Это утверждение означает, что квадрат содержит “столько же” точек, что и отрезок, хотя на первый взгляд кажется, что в нем должно быть “гораздо больше” точек. Доказательство этой теоремы мы приводить не будем. Кстати сказать, множества точек плоскости и пространства тоже имеют мощность континуума.

Источник