Что такое циркуляция векторного поля

Скалярное и векторное поле. Циркуляция векторного поля вдоль кривой

Лекция 11.Скалярное и векторное поле. Циркуляция векторного поля вдоль кривой. Формула Грина.

Если в каждой точке М определенной пространственной области задано значение некоторой скалярной или векторной величины, то говорят, что задано поле этой величины (соответственно скалярное или векторное).

Примерами скалярных полей являются поле температур или поле электрического потенциала, примерами векторных полей – поле сил или поле скоростей.

Рассмотрим некоторые характеристики скалярных и векторных полей.

Определение 11.1. Если в некоторой области задано скалярное поле U(x,y,z), то поверхность, определяемая уравнением

называется поверхностью уровня. В двумерном случае линия уровня задается уравнением U(x, y) = C. (11.1`)

Определение 11.2. Если в некоторой области задано векторное поле , то кривая, направление которой в каждой ее точке М совпадает с направлением вектора в этой точке, называется векторной линией. Она задается уравнениями

(11.2)

Поверхность, составленная из векторных линий, называется векторной поверхно-стью. Если векторная поверхность образована векторными линиями, проходящими через каждую точку некоторой замкнутой кривой, то она называется векторной трубкой.

Определение 11.3. Пусть задано скалярное поле U(x, y, z). Вектор

(11.3)

называется градиентом величины U в соответствующей точке (см. лекцию 4 за 2-й семестр).

Замечание. Таким образом, скалярное поле U(x, y, z) порождает векторное поле градиента gradU.

Определение 11.4. Пусть дано векторное поле . Интеграл

(11.4)

называется линейным интегралом от вектора вдоль кривой L. Если кривая L замкнута, то этот интеграл называют циркуляцией вектора вдоль кривой L.

Здесь – скалярное произведение векторов и

Замечание. Иногда криволинейный интеграл 2-го рода по замкнутому контуру обозначают .

Пример. Вычислить циркуляцию векторного поля = вдоль контура L:

x² + y² = 9, z = 2 (направление обхода контура – от точки (3,0,2) к точке (0,3,2)).

Зададим контур L параметрически: x = 3cos t, y = 3sin t, z = 2 (0 ≤ t ≤ 2π). Тогда

Установим связь между двойным интегралом по некоторой плоской области D и криволинейным интегралом по границе L этой области.

Пусть в плоскости Оху дана ограниченная замкнутым контуром L правильная область D. Кривые, ограничивающие эту область снизу и сверху, заданы уравнениями

y = y1(x) и y = y2(x), y1(x) ≤ y2(x), a ≤ x ≤ b (рис.1).

Зададим в области D непрерывные функции P(x, y) и Q(x, y), имеющие непрерывные частные производные, и рассмотрим интеграл

.

Переходя к двукратному интегралу, получим:

(11.5)

Так как у = у2(х) – параметрическое выражение кривой МPN, то

где справа стоит криволинейный интеграл по кривой MPN. Аналогично получаем, что

.

Подставим полученные результаты в формулу (11.5):

(11.6)

так как контур L представляет собой объединение кривых MPN и NQM.

Так же можно получить, что (11.7)

Вычтем из равенства (11.6) равенство (11.7):

При этом обход контура L происходит по часовой стрелке. Изменим направление обхода. Тогда предыдущее равенство примет вид:

(11.8)

Эта формула, задающая связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом 2-го рода, называется формулой Грина.

Замечание 1. Если в криволинейном интеграле по замкнутому контуру не указано направление обхода, то предполагается, что он производится против часовой стрелки.

Замечание 2. Если рассматривать в плоскости Оху векторное поле, то в правой части формулы (11.8) стоит его циркуляция по контуру L.

Пример. Вычислим циркуляцию векторного поля по контуру x²+ y²=1.

Применим формулу Грина, учитывая, что :

Область D при этом – круг единичного радиуса с центром в начале координат. Перейдем к полярным координатам:

Источник

Лекция 5

1.Работа электрического поля

Из механики известно определение элементарной работы силы

Пусть в электрическом поле существует точечный заряд, который под действием поля перемещается из точки 1 в точку 2.

Считается, что заряд постоянный. Таким образом, работа равна криволинейному интегралу от напряженности, вычисленному вдоль траектории.

2.Работа в поле точечного заряда

Очевидно, что данная работа не зависит от формы траектории, а зависит только от начального и конечного положения заряда. Можно сделать вывод о том, что если заряд перемещается по замкнутой траектории, то работа поля равна нулю. Таким образом, можно записать

3.Теорема о циркуляции

Пусть поле создано системой точечных зарядов. Вычислим интеграл от напряженности по замкнутой траектории.

Данное утверждение и составляет суть теоремы о циркуляции. В математике подобный интеграл называют циркуляцией.

Циркуляция напряженности электростатического поля по произвольному замкнутому контуру равна нулю.

4.Понятие о циркуляции

Пусть в некоторой области пространства существует векторное поле .

Циркуляцией вектора по произвольному замкнутому контуру L называется следующий криволинейный интеграл: Здесь — единичный вектор, касательный к контуру в данной точке, направленный в сторону положительного обхода контура. Существует соглашение, что положительное направление обхода контура (направление ) выбирается таким, чтобы область, охваченная контуром, оставалась при обходе слева. Так же, как и поток, циркуляция является ещё одной характеристикой свойств векторного поля. А именно, циркуляция характеризует степень завихренности векторного поля. Пример: если в качестве «измерителя» циркуляции поля скоростей жидкости можно взять турбинку, то если она вращается, циркуляция не равна нулю. Циркуляция – это интегральная характеристика поля. 5.Понятие ротора Поле по своей структуре может быть достаточно неоднородным. Циркуляция же не дает детальной характеристики поля. Следовательно, начнем стягивать контур интегрирования к какой-либо точке М (уменьшать турбину). Циркуляция при этом будет стремиться к нулю, но и площадь, охваченная контуром, также будет стремиться к нулю. А их отношение дает конечное число. Турбину можно ориентировать в пространстве тремя независимыми способами. Следовательно, таким способом можно получить 3 независимых числа, а три числа – это вектор, следовательно, образуется векторная характеристика поля, которая и называется ротором. Ротор – это локальная или дифференциальная характеристика. 6.Формула Стокса В математике доказывается теорема Стокса, связывающая циркуляцию вектора с интегралом по поверхности, охваченной контуром интегрирования. 7.Выражение для ротора в декартовой системе координат 8.Циркуляция и ротор в электростатике Используя формулу Стокса можно показать, что ротор напряженности электрического равен нулю. — это теорема о циркуляции в дифференциальной форме. Заметим, что данная теорема справедлива только для электростатического поля. Если поле не статическое, то теорема не справедлива. В принципе измерить циркуляцию или ротор можно с помощью «электророторметра». 9.Потенциальная энергия Из механики известно, что если работа силы не зависит от формы траектории, то сила называется консервативной, а если работа поля по замкнутой траектории равна нулю, то поле называется потенциальным. Следовательно, кулоновская сила – это сила консервативная, а электростатическое поле – поле потенциальное. В связи с этим можно ввести понятие потенциальной энергии. 10.Разность потенциалов Поделим работу на заряд. Правая часть зависит только от самого поля. Следовательно, и левая часть также является характеристикой поля. Её называют разностью потенциалов. Разностью потенциалов между двумя точками электростатического поля называется отношение работы, совершенной полем по перемещению пробного заряда между этими точками к величине этого заряда. Следующее выражение – интегральная связь между разностью потенциалов и напряженностью. Не следует путать разность и изменение. Замечание: Потенциальная энергия (потенциал) определяется с точностью до постоянной, и физический смысл имеет не она сама, а её изменение или разность. Замечание: Потенциал и напряженность – это две равноправные характеристики поля. Напряженность – это силовая характеристика, а потенциал – энергетическая. Замечание: Если рассматриваемая среда не вакуум, то напряженность и потенциал в e раз меньше, где e – диэлектрическая проницаемость среды. Источник ← что делать если хочешь перестать общаться с подругой что делать если телефон самсунг не включается только идет заставка → Вам также понравится к какому литературному направлению принято относить стихотворение а с пушкина к морю 19.12.202303.07.2022 admin 0 как узнать в каком уфк открыт лицевой счет 16.12.202303.07.2022 admin 0 как посмотреть какое у тебя железо на компе виндовс 10 13.12.202303.07.2022 admin 0 Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев.