Значение слова «тангенциальный»
[От лат. tangens, tangentis — касающийся]
Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
ТАНГЕНЦИА’ЛЬНЫЙ, ая, ое [от латин. tangens — касающийся] (мат.). Направленный по касательной к данной кривой. Тангенциальная линия.
Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
тангенциа́льный
1. геометр. направленный по касательной в выбранной точке к какой-либо выбранной кривой (плоскости), что-либо описывающей ◆ Кроме сил гравитационного притяжения, на Солнце и планеты действуют тангенциальные силы приливного трения. В. В. Ахияров, «Гравитация в солнечной системе», 2002 г. // «Геоинформатика» (цитата из НКРЯ) ◆ Описанные исследования относятся к силам, возникающим при излучении, нормальном к поверхности; Пойнтинг дополнил эти опыты в том отношении, что рассмотрел случай падения пучка лучей наклонно к поглощающей поверхности; в этом случае точная сила давления разлагается на две составляющих, из которых одна направлена нормально, а другая тангенциально к поверхности; Пойнтинг закрепил поглощающее (покрытое сажей) крыло перпендикулярно коромыслу весов и направил пучок лучей под 45°к крылу; при такой постановке опыта вращение может быть вызвано только тангенциальной составляющей; из наблюдаемого отклонения энергия падающего пучка лучей была найдена равной 5,8 кал/сек, что в пределах ошибок наблюдения можно считать совпадающим с непосредственно измеренными количествами энергии 6,5. П. Н. Лебедев, «Силы светового давления», 1905 г. (цитата из НКРЯ)
2. матем. определяемый тангенсом угла
3. спец. такой, при котором плоскость распиловки, среза параллельна слоям годичных приростов ◆ Учет усушки фризы по ширине и толщине производился с подразделением на фризу радиальной и тангенциальной распиловки. Известия Поволжского лесотехнического института, 1933 г.
ТАНГЕНЦИАЛЬНЫЙ
Смотреть что такое «ТАНГЕНЦИАЛЬНЫЙ» в других словарях:
тангенциальный — касательный Словарь русских синонимов. тангенциальный прил., кол во синонимов: 1 • касательный (2) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин … Словарь синонимов
тангенциальный — (лат. tangens (tan gentis) касающийся) мат. направленный по касательной к данной кривой; т ое ускорение одна из составляющих ускорения, направленная по касательной к траектории тела, движущегося с ускорением. Новый словарь иностранных слов. by… … Словарь иностранных слов русского языка
Тангенциальный — прил. Направленный по касательной к данной кривой (в математике). Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
тангенциальный — тангенциальный, тангенциальная, тангенциальное, тангенциальные, тангенциального, тангенциальной, тангенциального, тангенциальных, тангенциальному, тангенциальной, тангенциальному, тангенциальным, тангенциальный, тангенциальную, тангенциальное,… … Формы слов
тангенциальный — тангенци альный … Русский орфографический словарь
тангенциальный — … Орфографический словарь русского языка
тангенциальный — Syn: касательный … Тезаурус русской деловой лексики
тангенциальный — ая, ое. [от лат. tangens (tangentis) касающийся] Матем. Направленный по касательной к данной кривой. Т ое направление. Т ое давление. Т. распил бревна … Энциклопедический словарь
тангенциальный — ая, ое.; (от лат. tangens (tangentis) касающийся); матем. Направленный по касательной к данной кривой. Т ое направление. Т ое давление. Тангенциа/льный распил бревна … Словарь многих выражений
тангенциальный — тангенц/и/альн/ый … Морфемно-орфографический словарь
Векторы ускорения и скорости. Ускорение и сила. Направления тангенциального и нормального ускорений
Как известно, любая физическая величина относится к одному из двух типов, она является либо скалярной, либо векторной. В данной статье рассмотрим такие кинематические характеристики как скорость и ускорение, а также покажем, куда направлены векторы ускорения и скорости.
Что такое скорость и ускорение?
Обе величины, названные в этом пункте, являются важными характеристиками любого вида движения, будь то перемещение тела по прямой линии или по криволинейной траектории.
Вам будет интересно: Дистанционное образование в России: история, статистика и преимущества
Скоростью называется быстрота изменения координат во времени. Математически эта величина равна производной по времени пройденного пути, то есть:
Здесь вектор l¯ направлен от начальной точки пути к конечной.
В свою очередь ускорение – это скорость, с которой изменяется во времени сама скорость. В виде формулы оно может быть записано так:
Очевидно, что взяв вторую производную от вектора перемещения l¯ по времени, мы также получим значение ускорения.
Поскольку скорость измеряется в метрах в секунду, то ускорение, согласно записанному выражению, измеряется в метрах в секунду в квадрате.
Куда направлены векторы ускорения и скорости?
Вектор скорости тела направлен в сторону движения всегда, независимо от того, замедляется или ускоряется тело, движется оно по прямой или по кривой. Если говорить геометрическими терминами, то вектор скорости направлен по касательной к точке траектории, в которой в данный момент находится тело.
Вектор ускорения точки материальной или тела не имеет ничего общего со скоростью. Этот вектор направлен в сторону изменения скорости. Например, для прямолинейного движения величина a¯ может как совпадать по направлению с v¯, так и быть противоположной v¯.
Действующая на тело сила и ускорение
Мы выяснили, что вектор ускорения тела направлен в сторону изменения вектора скорости. Тем не менее не всегда можно легко определить, как меняется скорость в данной точке траектории. Более того, для определения изменения скорости необходимо выполнить операцию разности векторов. Чтобы избежать этих трудностей в определении направления вектора a¯, существует еще один способ быстро его узнать.
Ниже записан знаменитый и хорошо известный каждому школьнику закон Ньютона:
Формула показывает, что причиной возникновения ускорения у тел является действующая на них сила. Поскольку масса m является скаляром, то вектор силы F¯ и вектор ускорения a¯ направлены одинаково. Этот факт следует запомнить и применять на практике всегда, когда возникает необходимость в определении направления величины a¯.
Если на тело действуют несколько разных сил, тогда направление вектора ускорения будет равно результирующему вектору всех сил.
Движение по окружности и ускорение
Когда тело перемещается по прямой линии, то ускорение направлено либо вперед, либо назад. В случае же движения по окружности ситуация усложняется тем, что вектор скорости постоянно меняет свое направление. В виду сказанного, полное ускорение определяется двумя его составляющими: тангенциальным и нормальным ускорениями.
Тангенциальное ускорение направлено точно так же, как вектор скорости, или против него. Иными словами, эта компонента ускорения направлена вдоль касательной к траектории. Ускорение тангенциальное описывает изменение модуля самой скорости.
Ускорение нормальное направлено вдоль нормали к данной точке траектории с учетом ее кривизны. В случае движения по окружности вектор этой компоненты указывает на центр, то есть нормальное ускорение направлено вдоль радиуса вращения. Эту компоненту часто называют центростремительной.
Полное ускорение представляет собой сумму названных компонент, поэтому его вектор может быть направлен произвольным образом по отношению к линии окружности.
Если тело совершает вращение без изменения линейной скорости, то существует отличная от нуля только нормальная компонента, поэтому вектор полного ускорения направлен к центру окружности. Заметим, что к этому центру также действует сила, удерживающая тело на его траектории. Например, сила гравитации Солнца удерживает нашу Землю и другие планеты на своих орбитах.
Тангенциальное, или касательное ускорение
Все тела, которые окружают нас, находятся в постоянном движении. Перемещение в пространстве тел наблюдается на всех масштабных уровнях, начиная с движения элементарных частиц в атомах вещества и заканчивая ускоренным движением галактик во Вселенной. В любом случае процесс движения происходит с ускорением. В данной статье рассмотрим подробно понятие касательного ускорения и приведем формулу, по которой его можно рассчитать.
Кинематические величины
Прежде чем вести разговор о касательном ускорении, рассмотрим, какими величинами принято характеризовать произвольное механическое перемещение тел в пространстве.
Вам будет интересно: Как научить ребенка делению: основные принципы, простые способы решения и советы учителей
В первую очередь — это путь L. Он показывает, какое расстояние в метрах, сантиметрах, километрах и так далее прошло тело за некоторый промежуток времени.
Вторая важная характеристика в кинематике — это скорость тела. В отличие от пути, она является величиной векторной и направлена вдоль траектории движения тела. Скорость определяет быстроту изменения пространственных координат во времени. Формула для ее вычисления имеет вид:
Вам будет интересно: Как сдать досрочный ЕГЭ?
Наконец, третьей важной характеристикой движения тел является ускорение. Согласно определению в физике, ускорение — это величина, которая определяет изменение скорости от времени. Формулу для него можно записать в виде:
Ускорение, как и скорость, тоже является величиной векторной, однако в отличие от нее оно направлено в сторону изменения скорости. Направление ускорения также совпадает с вектором результирующей силы, оказывающей действие на тело.
Траектория движения и ускорение
Многие задачи в физике рассматривают в рамках прямолинейного движения. В этом случае, как правило, не говорят о касательном ускорении точки, а работают с линейным ускорением. Однако если перемещение тела не является линейным, то полное его ускорение может быть разложено на две составляющие:
В случае линейного движения нормальная составляющая равна нулю, поэтому о векторном разложении ускорения не говорят.
Вам будет интересно: Малоизвестные и интересные факты о золоте
Таким образом, траектория движения во многом определяет характер и составные части полного ускорения. Под траекторией движения понимают воображаемую линию в пространстве, вдоль которой тело перемещается. Любая криволинейная траектория приводит к появлению ненулевых компонент ускорения, отмеченных выше.
Определение тангенциального ускорения
Тангенциальное или, как его еще называют, касательное ускорение — это компонента полного ускорения, которая направлена по касательной к траектории движения. Поскольку вдоль траектории направлена также скорость, то вектор тангенциального ускорения совпадает с вектором скорости.
Получение уравнения касательного ускорения
Предположим, что тело движется по некоторой кривой траектории. Тогда его скорость v¯ в выбранной точке можно представить в следующем виде:
Здесь v — модуль вектора v¯, ut¯ — единичный вектор скорости, направленный по касательной к траектории.
Используя математическое определение ускорения, получаем:
a¯ = dv¯/dt = d(v*ut¯)/dt = dv/dt*ut¯ + v*d(ut¯)/dt
При нахождении производной здесь использовалось свойство произведения двух функций. Мы видим, что полное ускорение a¯ в рассматриваемой точке соответствует сумме двух слагаемых. Они являются касательным и нормальным ускорением точки соответственно.
Скажем пару слов о нормальном ускорении. Оно ответственно за изменение вектора скорости, то есть за изменение направления движения тела вдоль кривой. Если явно вычислить значение второго слагаемого, то получится формула для нормального ускорения:
Нормальное ускорение направлено вдоль нормали, восстановленной в данную точку кривой. В случае движения по окружности нормальное ускорение является центростремительным.
Уравнение касательного ускорения at¯ имеет вид:
Это выражение говорит о том, что тангенциальное ускорение соответствует изменению не направления, а модуля скорости v¯ за момент времени. Поскольку тангенциальное ускорение направлено по касательной к рассматриваемой точки траектории, то оно всегда перпендикулярно нормальной компоненте.
Тангенциальное ускорение и модуль полного ускорения
Выше была представлена вся информация, которая позволяет вычислить полное ускорение через касательное и нормальное. Действительно, так как обе компоненты являются взаимно перпендикулярными, то их вектора образуют катеты прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является вектор полного ускорения. Этот факт позволяет записать формулу для модуля полного ускорения в следующем виде:
Угол θ между полным ускорением и тангенциальным можно определить так:
Чем больше тангенциальное ускорение, тем ближе оказываются направления касательного и полного ускорения.
Связь касательного и углового ускорения
Типичной криволинейной траекторией, по которой движутся тела в технике и природе, является окружность. Действительно, перемещение шестерен, лопастей и планет вокруг собственной оси или вокруг своих светил происходит именно по окружности. Движение, соответствующее этой траектории, называется вращением.
Кинематика вращения характеризуется теми же величинами, что кинематика движения по прямой, однако, они имеют угловой характер. Так, для описания вращения используют центральный угол поворота θ, угловые скорость ω и ускорение α. Для этих величин справедливы следующие формулы:
Предположим, что тело совершило один оборот вокруг оси вращения за время t, тогда для скорости угловой можно записать:
Линейная скорость в этом случае будет равна:
Теперь вычислим производную по времени от левой и правой частей равенства, получим:
Таким образом, тангенциальное ускорение и аналогичная угловая величина связаны равенством:
Если предположить, что вращается диск, то тангенциальное ускорение точки при постоянной величине α будет возрастать линейно с увеличением расстояния от этой точки до оси вращения r.
Далее, решим две задачи на применение записанных выше формул.
Определение тангенциального ускорения по известной функции скорости
Известно, что скорость тела, которое перемещается по некоторой кривой траектории, описывается следующей функцией от времени:
Необходимо определить формулу касательного ускорения и найти его значение в момент времени t = 5 секунд.
Сначала запишем формулу для модуля тангенциального ускорения:
То есть для вычисления функции at(t) следует определить производную скорости по времени. Имеем:
at = d(2*t2 + 3*t + 5)/dt = 4*t + 3
Подставляя в полученное выражение время t = 5 секунд, приходим к ответу: at = 23 м/с2.
Задача на определение тангенциального ускорения
Известно, что материальная точка начала равноускоренное вращение с нулевого момента времени. Через 10 секунд после начала вращения ее центростремительное ускорение стало равным 20 м/с2. Необходимо определить касательное ускорение точки через 10 секунд, если известно, что радиус вращения равен 1 метр.
Сначала запишем формулу для центростремительного или нормального ускорения ac:
Пользуясь формулой связи между линейной и угловой скоростью, получим:
При равноускоренном движении скорость с угловым ускорением связаны формулой:
Подставляя ω в равенство для ac, получим:
Линейное ускорение через тангенциальное выражается так:
Подставляем последнее равенство в предпоследнее, получаем:
ac = at2/r2*t2*r = at2/r*t2 =>
Последняя формула с учетом данных из условия задачи приводит к ответу: at = 0,447 м/с2.
Общие сведения
Первая лекция для студентов, изучающих кинематику, начинается с рассмотрения тангенциального ускорения, характеризуемого произвольным движением. По сути, рассматривается неравномерное прямолинейное движение общего вида. Кинематика входит в механику и изучает перемещение объектов без учёта сил, вызвавших их движение. Под перемещением понимают изменение положения в пространстве по отношению к другому физическому телу, которое и считается точкой отсчёта. Если изменение положения связать с координатами и временем, то образуется система отсчёта. С её помощью можно определить положение объекта в любой момент.
В кинематике любые процессы принято рассматривать, приняв тело за материальную точку. То есть его размерами и формой пренебрегают. При изменении за какой-то промежуток времени точка проходит путь, описывающийся линией — траекторией. Она является скалярной величиной, а само перемещение — векторной. Движение материальной точки может происходить с разной скоростью и ускорением. Быстроту движения разделяют на среднюю и мгновенную. Вторая определяется как предел, к которому стремится скорость на бесконечно малом временном интервале: v = Δs / Δt (Δt → 0).
Перемещение может происходить с ускорением. Это физическая величина, определяющая изменение быстроты перемещения. Иными словами, показывает изменение положения за единицу времени. Измеряется она в метрах на секунду в квадрате. В кинематике существует три вида ускорения:
Но также используется понятие «вектор среднего ускорения тела». Определяется он как приращение вектора скорости за промежуток времени: aср = Δv / Δt. При этом он будет совпадать по направлению с вектором скорости, то есть направлен в сторону вогнутости траектории.
Угловое ускорение
Если имеется какая-то точка, находящаяся на вращающемся теле, то скорость её направлена по касательной. Когда движение равномерное, то линейная скорость связана с угловой равенством: v = w * r. А вот ускорение тела будет направлено по радиусу к центру окружности, причём модуль вычисляется как a = v / r либо если это точка на вращающемся теле: a = w2 * r.
В момент, когда тело поворачивается за небольшой промежуток времени на угол дельта фи, угловую скорость можно связать с условием поворота через формулу: w = Δ φ / Δ t. Если тело вращается равномерно, то промежуток времени может быть любым. В ином случае эта величина будет равна мгновенной угловой скорости.
Можно представить, что материальная точка движется неравномерно, то есть изменяется угловая скорость тела. Линейная скорость не будет представлять собой постоянную величину, в отличие от равномерного перемещения. Угол поворота равняется: w = v / r. Так как скорость не может быть константой, то отсюда следует, что и угловая скорость не будет постоянной величиной. Её изменение обозначают Δw. Она равняется разности конечной угловой скорости и начальной: Δw = wк — wн.
Изменение угловой скорости можно разделить на промежуток времени, за который оно поменяло значение: (wк — wн) / Δt. По сути, получается ускорение. Обозначается характеристика буквой эпсилон E и называется угловым ускорением. Измеряется характеристика в радианах на секунду в квадрате. Её смысл заключается в описании физической величины через отношение изменения угловой скорости тела за небольшой промежуток времени к длительности этого промежутка.
Пусть есть дуга окружности с центром. В начальный момент времени у тела есть скорость, направленная по касательной к траектории v0. Через некоторое время точка переместится по окружности на небольшое расстояние. Так как движение неравномерное, модуль скорости изменится v ≠ v0. Для того чтобы найти ускорение тела, нужно воспользоваться следующей формулой: a = Δv / Δt, при этом Δv = v — v0.
Чтобы найти эту разность, нужно воспользоваться правилом треугольника. Для этого следует перенести вектор V0 к V и соединить их линией. Радиус от центра к материальной точке можно обозначить R. Дельта V можно представить, как сумму взаимно перпендикулярных векторов. Один из них будет направленных тангенциально к радиусу, в физике обозначают его Δ Vτ, а другой радиально Δ Vr. В итоге: ΔV = Δ Vτ + Δ Vr.
Вывод формулы
Для доказательства формулы необходимо рассмотреть плоскую систему координат, в которой материальная точка изменяет своё положение по криволинейной траектории. В начальный момент её скорость будет равняться V0. Через некоторое время она изменится и станет V. На графике в плоском измерении это можно представить в виде синусоиды. В определённый момент времени скорость превышает начальную: V > V0. На схеме вектор нулевой скорости направлен из точки t0 вверх по касательной, а вектор V с нижней точки синусоиды параллельно оси ординаты.
Исходя из графика, можно сделать два вывода:
Для того чтобы построить вектор изменения Δv, нужно из конечной точки отрезка V0 провести линию к рассматриваемой точки, характеризующейся во времени скоростью V. Вершины полученного треугольника можно обозначить буквами ABD. Из верхнего угла B на сторону AD можно опустить медиану. Точка пересечения со стороной пусть будет C. Получается, что вектор Δv можно разложить на две составляющие — отрезки BC и СD. Причём медиана равняется Δvn, а изменение по оси ординаты Δvt.
Для разложения необходимо использовать вектор АС, длина которого совпадает с Vo по модулю: |AC| = |AB| = V0. Так как Δvn — результирующий вектор, то его можно вычислить через сумму: Δv = Δvn + Δvt. Причём первый член в равенстве характеризует изменение быстроты за промежуток времени по направлению, а второй — по модулю. Исходя из того, что t не равняется нулю, на него можно разделить левую и правую часть равенства: Δv / Δt = Δvn / Δt + Δvt / Δt. Если дельта-времени стремится к нулю, то формулу можно переписать в виде: lim Δv / Δt = lim Δvn / Δt + lim Δvt / Δt.
Учитывая связь между ускорениями и то, что полное значение состоит из суммы изменения быстроты движения по модулю и направлению, можно утверждать о верности формулы: a = at + an. Так как направление векторов ускорения и скорости всегда совпадают, то последний можно представить, как параметр, состоящий из двух взаимно перпендикулярных компонент:
Решение простых примеров
В школьном курсе на уроках физики учащимся для закрепления материала предлагается решить определённый тип задач, используя определение тангенциального ускорения. Это типовые примеры, объясняющие суть характеристики и её применение в реальной практике. Вот некоторые из них.
Но не всегда решаемые задания можно решить, обойдясь одной формулой. При этом значения тех или иных величин могут быть довольно сложными для проведения вычислений. В таких случаях есть резон использовать так называемые онлайн-калькуляторы. Это специализированные сайты, выполняющие подсчёт в автоматическом режиме. Из таких сервисов можно выделить: сalc, widgety, webmath. Указанные интернет-решители работают на русском языке, так что вопросов, как с их помощью выполнять расчёты, возникнуть не должно.
Сложная задача
Пусть имеется физическое тело, которое движется, замедляясь по окружности радиусом R так, что в каждый момент времени её тангенциальное и нормальное убыстрение равны друг другу по модулю. Необходимо найти зависимость скорости и полного ускорения от времени и пройденного пути. В начальный момент скорость равняется V0.
Согласно условию, тангенциальное ускорение будет отрицательным, так как точка движется, замедляясь. Для понимания задачи можно изобразить схему движения. Для этого необходимо нарисовать окружность и указать на ней вектор начальной скорости, тангенциального и нормального ускорения. Изобразить вектор полного ускорения как сумму векторов.
Подставив пределы, можно получить равенство: (1 / V) — (1 / V0) = t / R. Из полученной формулы следует выразить скорость: V = (V0 * R) / (R + V0 * t). Поделив числитель и знаменатель на радиус, ответ примет вид: V (t) = V0 / (1 + (V0 * t / R)).