что такое степенная функция
Степенная функция
Расскажем подробно об этих функциях и их графиках.
1. Линейная функция y = kx + b. График — прямая линия. Для её построения достаточно двух точек.
Если k > 0, линейная функция возрастает. Чем больше k, тем круче идет график. Число k называется угловым коэффициентом прямой и равно тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси X:
Если k 2 + bx + c мы уже рассказывали.
Кратко повторим основные моменты:
— Если a > 0, ветви параболы направлены вверх. Если a 2 + bx + c = 0. Если корней нет (дискриминант уравнения меньше нуля), парабола не пересекает ось X.
— Точку пересечения параболы с осью Y находим, подставив в её уравнение x = 0.
4. Заметим, что между функциями y = x 2 и y = x 4 есть определенное сходство. Оба этих графика симметричны относительно оси Y. Такие функции называются чётными.
Определение. Функция y = f(x) называется чётной, если:
1) область определения функции симметрична относительно нуля;
2) для каждого x из области определения выполняется равенство f(−x) = f(x).
Графики функций y = x 3 и y = x 5 симметричны относительно начала координат. Эти функции — нечётные.
Очевидно, функция y = x α является чётной при чётных значениях α и нечётной при нечётных α.
Выражение определено при x ≥ 0, поэтому область определения функции — все неотрицательные числа.
Кроме того, принимает только неотрицательные значения, поскольку ≥ 0.
Мы используем эти свойства при решении уравнений и неравенств. Уравнение вида имеет смысл только при f(x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0. Это его область допустимых значений.
Правильный ответ: 
Запомните это. Проверить легко: возьмём, например, a = −2.
Сейчас нас интересует правая ветвь параболы, при x ≥ 0. Мы видим, что эта часть параболы и график функции словно нарисованы по одному шаблону, по-разному расположенному в координатной плоскости. Они симметричны относительно прямой y = x. То, что для одной из них — область определения, для другой — область значений.
Напомним, что такие функции называются взаимно-обратными. Подробно об этом можно прочитать в статье «Логарифмическая функция»).
7. Легко убедиться, что функция является обратной к функции y = x 3
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №18. Степенная функция. Дробно-линейная функция.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) понятие степенной функции;
2) основные свойства функций 
и 
;
3) понятия взаимно обратной и дробно- линейной функций;
4) особенности построения графика дробно-линейной функции.
Определение. Функция вида 
, где n- любое действительное число, называют степенной функцией.
Определение. Функцию y=f(x), x∈X называют обратимой, если любое своё значение она принимает только в одной точке множества X (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции).
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
При n=1, y=x 1 или y=x — прямая (Рисунок 1).
Рисунок 1 – график функции y=x 1
При n=2, y=x 2 — парабола.
При n=3, y=x 3 — кубическая парабола.
Функции такого вида называются дробно-линейными.
Рассмотрим графики степенных функций y=x m/n с положительным дробным показателем m/n.
1. Степенная функция 
, где 
> неправильная дробь (числитель больше знаменателя).
График — ветвь параболы:
Рисунок 6 – 
, где 
Свойства функции 
, где 
3. не является ни чётной, ни нечётной;
4. возрастает при x∈[0;+∞);
5. не имеет наибольшего значения, yнаим=0;
6. не ограничена сверху, ограничена снизу;
2. Степенная функция 
, где 
— правильная дробь (числитель меньше знаменателя).
Свойства функции 
, где 
3. не является ни чётной, ни нечётной;
4. возрастает при x∈[0;+∞);
5. не имеет наибольшего значения, yнаим=0;
6. не ограничена сверху, ограничена снизу;
Рассмотрим степенные функции с отрицательным дробным показателем степени 
График — ветвь гиперболы.
График имеет горизонтальную асимптоту у=0 и вертикальную асимптоту х=0.
Свойства функции 
.
3. не является ни чётной, ни нечётной;
5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
6. не ограничена сверху, ограничена снизу;
Итак, на основании всего вышеперечисленного, можно сделать вывод в виде таблицы:
Рассмотрим еще одну функцию.
Определение. Функцию y=f(x), x∈X называют обратимой, если любое своё значение она принимает только в одной точке множества X (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции).
Если функция y=f(x), x∈X монотонна на множестве X, то она обратима.
Точки M(a;b) и P(b;a) симметричны относительно прямой y=x.
Нахождение формулы для функции, обратной данной
Пользуясь формулой y=f(x), следует выразить x через y, а в полученной формуле x=g(y) заменить x на y, а y на x.
Заданная функция возрастает на промежутке [0;+∞), значит, она имеет обратную функцию. Из уравнения y=x 2 находим: 
или 
. Промежутку [0;+∞) принадлежат лишь значения функции 
. Это и есть обратная функция, которая определена на промежутке [0;+∞).
Рисунок 9 – график функции, обратной y=x 2
Разборы и примеры решения заданий тренировочного модуля
Изобразите схематически график функции 
Графиком данной функции является гипербола.
Свойства степенных функций, построение графиков
Степенная функция — что это такое
К степенным функциям в теории относятся следующие виды:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Исходя из обозначения, при x≥0, область определения рассматриваемой функции – это луч [0;+∞).
Далее следует записать таблицу значений:
Затем можно сравнить несколько степенных функции следующим способом:
Число 2,5 находится между 2 и 3. В таком случае можно предположить, что и график рассматриваемой функции расположен между соответствующими графиками. Можно представить разные характеристики х, чтобы сравнить значения функций, которые зависят от x:
Все графики целесообразно построить на одном рисунке. В первом случае \(0 :
Линейная функция y = kx + b. Графиком данной функции является прямая линия. Для того, чтобы ее построить, требуется пара точек. При k > 0, линейная функция будет расти. При увеличении k график становится круче. Значение k представляет собой угловой коэффициент прямой и равно тангенсу угла наклона рассматриваемой прямой к положительному направлению оси X:
При использовании k
При k = 0, на графике будет изображена прямая y = b, которая параллельна оси X. В том случае, когда имеет место равенство угловых коэффициентов прямых, прямые будут параллельны друг другу.
Квадратичная функция \(y = ax2 + bx + c\) представляет собой параболу. Она обладает рядом особенностей:
Функция \(y = x^<3>\) является кубической параболой. Можно представить ее на рисунке, а также функции \( y = x^<4>\) и \(y = x^<5>.\)
Можно отметить, что функции \(y = x^<2>\) и \(y = x^<4>\) обладают некоторыми сходствами. Графики являются симметричными по отношению к оси Y. В данном случае можно сказать, что рассматриваемые функции – четные.
Функция \(y = f(x)\) является четной, когда:
Графики функций \(y = x^<3>\) и \(y = x^<5>\) симметричны по отношению к началу координат. Данные функции являются нечетными.
Функция \(y = f(x)\) – нечетная, при условии, что:
То, что для одной из них является областью определения, для другой — представляет собой область значений. Данные функции носят название взаимно-обратных.
Виды и их свойства, область определения
Степенные функции обладают рядом специфических свойств, которые могут отличаться в зависимости от их вида. Рассмотрим основные из них.
График имеет следующий вид:
В том случае, когда x>0, а r – какое-либо рациональное число, производная степенной функции \(y=x^r\) определяется, согласно формуле:
Степенная функция с рациональным и иррациональным показателем
Степень действительного числа a, обладающего рациональным показателем n вычисляется, согласно уравнению:
Функция \( f(x)=x^
Функция \(f(x)=x^
Как строить графики степенных функций
График функции является множеством точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента х, а ординаты – соответствующими значениями функции y.
Согласно определению, построить график какой-либо функции можно путем поиска всех пар соответствующих значений аргумента и функции. Как правило, в результате получается бесконечное множество точек, что затрудняет процесс построения графика. В связи с этим требуется исследовать функцию:
Задачи со степенной функцией
Необходимо определить максимальное и минимальное значения для функции \(y=x^<\frac<5><2>>\) на отрезке:
Показатель степени рассматриваемой функции обладает положительным значением. В этом случае, учитывая свойства записанной функции, можно заключить, что она возрастает на всей области определения. Таким образом, функция достигает своего максимума и минимума на концах заданных отрезков (если она определена в этих точках).
На промежутке (2,10) максимальное и минимальное значения функции отсутствуют, в связи с тем, что промежуток является открытым, и точки 0 и 4 к данному интервалу не относятся.
На луче [9;+∞) наибольшее значение отсутствует
Требуется определить максимальное и минимальное значение на отрезке [1;9] для функции:
Вычислим производную рассматриваемой функции:
Так как производная существует на всей области определения исходной функции, можно заключить, что критические точки отсутствуют.
Далее определим стационарные точки:
Заданному отрезку принадлежит только одно решение \(x_2=4\)
Построим таблицу значений нашей функции на концах отрезка и в точке экстремума:
График функции \(y=x^<\frac<4><3>>\) будет возрастать, а график функции \(у=24-х\) – убывать. Известно, что когда одна функция возрастает, а вторая убывает, то будет лишь одна точка, в которой эти функции пересекаются. Следовательно, уравнение обладает всего одним решением. Можно заметить, что:
Таким образом, при х=8 уравнение преобразуется в справедливое равенство: 16=16, что является ответом к задаче.
Необходимо построить график функции с объяснениями: \(y=(x-3)^\frac<3><4>+2\)
График рассматриваемой функции можно получить из графика функции:
Требуется сместить этот график на 3 единицы в правую сторону и на 2 единицы вверх:
Требуется записать уравнение для касательной к прямой \(y=x^<-\frac<4><5>>\) в точке х=1.
Обозначение уравнения касательной:
По условию задачи число a является натуральным числом 1, поэтому:
Степенная функция
Содержание
Вещественная функция
Область определения
Если показатель степени — целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В общем случае степенная функция определена при 
0″ border=»0″ />. Если 
0″ border=»0″ />, то функция определена также и при 
, иначе нуль является её особой точкой.
Рациональный показатель степени
Пример: из третьего закона Кеплера вытекает, что период T обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью A её орбиты соотношением: 
(полукубическая парабола).
Свойства
Комплексная функция
Степенная функция комплексного переменного z, вообще говоря, определяется формулой [3] :
Здесь показатель степени c — некоторое комплексное число. Значение функции, соответствующее главному значению логарифма, называется главным значением степени. Например, значение 
равно 
где k — произвольное целое, а его главное значение есть 
Комплексная степенная функция обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога. В силу многозначности комплексного логарифма она, вообще говоря, также имеет бесконечно много значений. Однако два практически важных случая рассматриваются отдельно.
См. также
Литература
Ссылки
Примечания
Полезное
Смотреть что такое «Степенная функция» в других словарях:
Степенная функция — функция f (x) = ха, где а фиксированное число (см. Степень). При действительных значениях основания х и показателя а обычно рассматривают лишь действительные значения С. ф. xa. Они существуют, во всяком случае, для всех х > 0; если а… … Большая советская энциклопедия
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ — функция вида y = axn, где a и n любые действительные числа … Большой Энциклопедический словарь
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ — ф ция вида у = ахn, где а и п действит. числа, С. ф. охватывает большое число закономерностей в природе. На рис. изображены графики С. ф. для п = 1, 2, 3, 1/2 и а = 1. К ст. Степенная функция … Большой энциклопедический политехнический словарь
степенная функция — функция вида у=axn, где а и n любые действительные числа. На рисунке изображены графики степенной функции для n = 1, 2, 3, 1/2 и а = 1. * * * СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ, функция вида y = axn, где a и n любые действительные числа … Энциклопедический словарь
степенная функция — laipsninė funkcija statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. power function vok. Potenzfunktion, f rus. степенная функция, f pranc. fonction puissance, f … Automatikos terminų žodynas
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ — функция вида у = ахn, где а и п любые действительные числа. На рис. изображены графики С. ф. для n= 1, 2, 3, 1/2 и a=1 … Естествознание. Энциклопедический словарь
функция спроса — Функция, которая показывает, как меняется объем продаж конкретного продукта в зависимости от его цены при равных маркетинговых усилиях по его продвижению на рынок. [http://www.lexikon.ru/dict/fin/a.html] функция спроса Функция, отражающая… … Справочник технического переводчика
Функция спроса — [demand function] функция, отражающая зависимость объема спроса на отдельные товары и услуги (потребительские блага) от комплекса факторов, влияющих на него. Более узкая трактовка: Ф.с.выражает взаимозависимость между спросом на товар и ценой… … Экономико-математический словарь
Степенная функция, её свойства и график.
2) Область значений функции – множество неотрицательных чисел, если :
множество неположительных чисел, если :
На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с чётным натуральным показателем, а на правом рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
2) Область значений функции – множество всех действительных чисел: Е( y ) = (−; +).
3) Значит, функция является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.
На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с нечётным натуральным показателем, а на правом – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием. 
множество всех отрицательных чисел, если : Е( y ) = (-; 0).
Если функция убывает при х (- ; 0), возрастает при х (0; + ).
На первом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с чётным целым отрицательным показателем, а на втором рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
1) Область определения функции:
2) Область значений функции:
3) Значит, функция является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.
На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с нечётным целым отрицательным показателем, а на правом рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием. 
1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:
3) Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.
На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде положительной правильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием. 
1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:
3) Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.
На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде положительной неправильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:
3) Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.
На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде отрицательной правильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:
3) Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.
4) Если функция убывает при х ;
На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде отрицательной неправильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.