Тор (тороид) — поверхность вращения, которая получается методом вращения образующей окружности вокруг оси, которая лежит в плоскости этой окружности, но при этом не проходит через её центр. Причем ось вращения может пересекать окружность, касаться ее и располагаться вне окружности.
В 1-х двух случаях тор является закрытым, в последнем — открытым, или кольцом.
Красным обозначена образующая окружность.
Тор – это поверхность 4-го порядка.
Ось тора.
Ось тора может располагаться вне образующей окружности или касаться её.
Свойства тороида.
Сечения тороида.
1. При сечении тора бикасательной плоскостью кривая четвёртого порядка, которая образуется, является вырожденной: пересечение называется объединением 2-х окружностей являющимися окружностями Вилларсо:
2. Открытый тор можно представить в виде поверхности вращения окружности зацепленной за ось вращения.
3. 1-но из сечений открытого тора — лемниската Бернулли, остальные кривые линии называются графическими линиями и являются кривыми Персея (спирические линии, сечения тора плоскостью, которая параллельна его оси)
4. Некоторые пересечения поверхности тора плоскостью выглядят как эллипс (кривая второго порядка). Кривая, которая получается т.о., выражается алгебраическим уравнением четвертого порядка.
Начертательная, как и элементарная геометрия, своими абстракциями изучает реальный мир. Но евклидова геометрия реального мира сопряжена с псевдоевклидовой геометрией и они составляют одну сопряжённую пару. Как следствие, каждая реальная фигура сопряжена с некоторым мнимым образом. Доклад, кроме некоторых научных фактов, показывает присутствие в геометрических конструкциях мнимых образов, проявляющих себя как сингулярности или как ГМТ в сопряжённых парах реальное – мнимое.
Поверхность получается от вращения окружности вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось не пересекает образующую окружность, то поверхность называют открытым тором; если ось пересекает образующую окружность, то поверхность называют закрытым тором; и, если ось вращения проходит через центр образующей окружности, то поверхность есть сфера.
Открытый тор ассоциируется с бубликом, закрытый тор – с яблоком.
где r – радиус образующей окружности, R – радиус направляющей окружности.
Каждый круговой тор имеет на оси вращения две узловые точки, удалённые от центра поверхности на расстояние l = Sqrt(r 2 + R 2 ).
Исследование тора сечениями.
Три вида точек поверхности тора.
В точке поверхности определяется Гауссова кривизна K = k1k2. Знак Гауссовой кривизны определяет характер строения поверхности вблизи рассматриваемой точки. При K > 0, где k1 и k2 имеют одинаковые знаки, точку называют эллиптической, при K
Площадь поверхности и объём тора.
Тор служит идеальным примером для приложения двух знаменитых формул Гульдина [1]:
2. Мнимое сопровождение тора
* Guldin T. (1635), швейцарский математик, во французской транскрипции читается Гюльден [1].
. 3. Сфера от вращения окружности
Сфера образуется вращением окружности вокруг оси, нормально проецирующейся на плоскость окружности в её диаметр. Центр сферы нормально проецируется на плоскость образующей окружности в её центр. Радиус сферы равен длине отрезка от центра сферы до периферийной точки образующей окружности.
В общем случае образующая окружность при вращении вокруг оси заметает только сферический пояс. Но это при геометрическом или, если угодно, физическом вращении. При аналитическом вращении, т.е. при написании уравнения поверхности вращения по данной оси и данному уравнению образующей окружности, получается уравнение полной сферы. Не сферического пояса! Отметим, что в аналитической геометрии не бывает уравнения отрезка линии или отсека поверхности, а есть уравнения полных образов – прямой, сферы, тора и др., которые задаются их элементами. В [5] было показано, как сферический пояс завершается до полной сферы в комплексном пространстве за счёт её мнимого расширения.
Пусть ось расположена параллельно образующей окружности c(r) на расстоянии от плоскости. Покажем вывод уравнения сферы рис.2.
Уравнение образующей окружности:
c) b = r, сфера Ω вырождается в точку, рис.3с.
Заключение
Мир геометрии огромен. Каждый, имеющий отношение к геометрии, с необходимостью сориентирован на самообразование и постижению мира геометрии. К миру геометрии относятся и мнимые образы. Мнимые образы выводят на комплексные числа, по поводу чего негодовал великий Я.Штейнер, называя их «иероглифами анализа» не без оснований. Но мнимые образы существуют помимо формул анализа – они суть часть геометрии. Впервые мнимые точки осознал В.Понселе в 1812 г., сидя в русском плену в Саратове и, что важно, совсем без формул анализа. Вычислительная геометрия часто показывает количества, большие числа реальных фигур, потому что учитывает и мнимые образы.
Пример с тором, который изучен вдоль и поперёк, показывает сингулярность – пару двойных точек на оси вращения, которые в зависимости от соотношения параметров тора могут быть действительными, мнимыми или слиться в одну. А дилемма сферический пояс – полная сфера, вообще повод для размышлений. Её разрешение требует подключения живой мысли и здесь только машинной графикой не обойтись.
Список литературы
Рисунки к докладу
а) Гипербола h, сопутствующая образующей окружности c. b) Гипербола h заметает поверхность, содержащую узловые точки
Вращение окружности c(r) вокруг оси a. Вывод уравнения
Задание сферы Ω(R) образующей окружностью c(r) и осью вращения a
Вопросы и комментарии к выступлению:
Ракитская Мария Валентиновна (21 февраля 2016 г. 16:23)
Здравствуйте, Антон Георгиевич! Спасибо за доклад. Можно задать вопрос? Недавно ко мне обратился студент с такой задачей: Есть сфера, из точки вне сферы на сферу направляется конус (но ось конуса не проходит через центр сферы). Необходимо построить линию пересечения. Графически эту задачу решить легко. Как бы помочь студенту находить решение этой задачи в условиях программирования.
Известно, что полной и регулярной поверхности, внутренняя геометрия которой представляла бы геометрию полной плоскости Лобачевского, поверхности постоянной отрицательной кривизны не существует [1]:
«не удаётся с помощью ни одной из известных до сих пор поверхностей постоянной отрицательной кривизны осуществить целиком всю плоскость Лобачевского»
«не существует аналитической поверхности постоянной отрицательной кривизны, не имеющей нигде особенностей и повсюду регулярной»
Математиками построено множество различных вариантов такой поверхности, самой известной из которых является псевдосфера Бельтрами [2]:
Рис.1. Псевдосфера Бельтрами (нижняя часть симметрична верхней)
Рис.3. Катеноид напоминает внутреннюю поверхность тора
Как и классический тор, катеноид имеет конечную площадь поверхности. Однако её можно ещё более видоизменить, закрутив спирально [3]:
Рис.4. Поверхность Куена может быть получена из разрезанного и затем скрученного тора
Для этого полученный катеноид рассекаем ещё раз – поперёк витка и удлиняем витки в обе стороны, как бы наматывая их друг на друга. Полученная спираль называется поверхностью Куена. Видимо, отрицательная постоянная кривизна получающейся поверхности при бесконечном наматывании внутренняя часть «намотки» сохранится, если поверхность вытягивать до бесконечности вдоль своей оси по вертикали, сжимая в центре в тонкую линию, а другой, внешний виток также скручивая в бесконечно тонкую линию:
Рис.6. Растянутая поверхность Куена, имеющая постоянную отрицательную кривизну
Напротив, постоянство отрицательной кривизны не сохранится, если поверхность в витках будет повсюду однородной, но с переменным шагом, что исключает её самопересечение внутри. Подобным образом можно свернуть в спираль Архимеда и сам классический тор. Для этого его нужно разрезать поперёк, один из образовавшихся срезов сузить (на конус) и вставить в другой срез, широкий. После этого вытягивать концы в противоположных направлениях (спирально), как бы надевая образовавшиеся трубку на трубку. Поскольку способ образования и вид поверхности напоминает спираль Архимеда, такой «скрученный» тор можно назвать тором Архимеда:
Очевидно, что получающийся многослойный тор будет иметь бесконечно большой диаметр (как наружный, так и внутренней кольцевой оси). Любое его сечение в плоскости центральной, прямой оси будет давать два набора концентрических окружностей:
Рис.8. Поперечное сечение тора Архимеда может иметь вид концентрических кругов
Сечение в плоскости тора будет иметь вид сдвоенной спирали Архимеда. Сформировать этот тор можно и другим способом. Для этого нужно взять тонкое кольцо и наматывать на него виток к витку плоскую ленту (со срастанием кромок) слой за слоем. Диаметр и протяжённость внутреннего витка – круговой оси в процессе намотки должны постоянно увеличиваться. Очевидно, поверхность тора Архимеда имеет бесконечную площадь и не ограничена (с торцов). Хотя она и находится «внутри себя самой», она не имеет самопересечений.
Ещё одним вариантом такого закрученного тора является спиральная поверхность, которую за её определённое сходство можно назвать «Двойной улиткой». Две улитки как бы взаимно закручены перпендикулярно друг к другу:
Строится «Двойная улитка» почти так же, как спиральный тор. Нужно взять тор и разрезать по обеим образующим. Один из концов сузить и вставить в широкий (с небольшой конусностью). Один из поперечных краёв разреза вложить в другой и сворачивать в трубку всё меньшего диаметра, вытягивая его внутрь по спирали. Одновременной внешний слой закручивать и вытягивать над внутренними спиральными витками до бесконечности. Всю «Двойную улитку» можно либо растягивать наружу (витки её будут равномерными, концентрическим), либо сохранять неизменным внутренний диаметр «бублика» (витки будут смещёнными, не концентрическими).
Литература
Оценить статью можно после того, как в обсуждении будет хотя бы одно сообщение.
Эту геометрическую фигуру мы найдем буквально во всем.
В семенах винограда, в воздушных потоках опутывающих нашу планету, форму галактик и всю вселенную.
Давайте выясним, как реальная геометрия реальности влияет на все, что окружает нас и и всё вокруг..
Даже самый маленький объект не говоря об огромных основан на этом универсальном шаблоне.
Квантовая физика, математика и геометрия подтверждают, что Тор в своей блестящей конструкции на самом деле является живой математической формулой, живя и дыша своей жизнью.
ВОЗВРАЩЕНИЕ СЕРДЦА
Человек, конечно же, тоже Тор, а для энергетических полей он является сердцем.
Это прекрасный пример того, что великие мудрецы этого мира говорили на протяжении веков.
Все, что начинается в сердце, в нём и заканчивается.
Энергия Тор делает все, что мы отдаем в любви, возвращается к нам в качестве возвратной эманации в виде подарка.
ТОР В ПРИРОДЕ
Мы видим его в разрезе яблока в форме торнадо, магнитного поля планет или ураганов.
Идя далее, согласно принципу, Тор проявляется в появлении галактик и построении атома.
Энергия Тора проникает в другие тороидальные системы, что можно объяснить одновременной подачей и поглощением.
УНИВЕРСАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ПОДКЛЮЧЕНИЕ ВСЕЛЕННОЙ
Самый красивый факт, в котором существует Тор, состоит в том, что все это совокупная универсальная энергия космоса.
Эта вибрация вызывает наилучшую возможную частоту дыхания Тора, и если наша жизнь наполнена им, мы можем быть уверены, что энергия обратной связи, обусловленная универсальным рисунком, даст нам точно то же самое.
ОТКРЫТИЕ НИКОЛЫ ТЕСЛЫ
Тор, конечно, известен веками.
Гений понимал, что Тор является непрерывным источником энергии, и ключ к развитию планеты скрыт в нем.
Он решил поделиться фантастическими новостями с миром, но силы зла, контролирующие банковское дело на планете, не могли позволить себе потерять контроль.
Изобретения Теслы были разрушены, и сам Тор был забыт.
Рубрики:
1 Жизнь без прикрас/Наука. Образование. 2 Познание мира и себя/Тонкий мир
Пример построения линии среза на поверхности тела вращения сложной формы
Пересечение сферы плоскостью. Плоскость всегда пересекает сферу по окружности, которая проецируется в виде отрезка прямой, в виде эллипса или в виде окружности в зависимости от положения секущей плоскости по отношению к плоскости проекции. Так, на рисунке 9.10 изображены проекции линий пересечения сферы и плоскостей горизонтальной Р (Pv) и фронтальной S (Sh). Они
пересекают сферу по окружности с центрами С (с’ с, с») и C1 (с1′, с1, с1″) с проекциями в виде окружности и отрезка прямой. В примере, приведенном на рисунке 9.11, горизонтальная и профильная проекции линии пересечения сферы фронтально-проецирующей плоскостью — эллипсы, длины больших осей которых cd и c»d» равны величине диаметра окружности (a’b’). Малые оси эллипсов ab и а»b» получают проецированием. На рисунке 9.11 показано построение проекций некоторых точек. Проекции c u d построены на горизонтальной проекции параллели радиуса о—1, построенной с помощью проекции 1′. Проекции с» и d» построены на профильной проекции окружности, проведенной на сфере через проекции с’ (d’) так, что плоскость окружности параллельна плоскости проекций. Проекция е является точкой касания эллипса (горизонтальной проекции окружности среза) и экватора сферы. Она построена в проекционной связи на горизонтальной проекции экватора по фронтальной проекции е’. Горизонтальная проекция т произвольной точки на линии среза построена с помощью параллели радиуса о—2, фронтальная проекция которой проходит через проекции т’ и 2′. Проекция f» является точкой касания эллипса (профильной проекции окружности среза) и профильной проекции очерка сферы.
Если плоскость, пересекающая сферу, является плоскостью общего положения, то задачу решают способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций выбирают так, чтобы обеспечить перпендикулярность ее и секущей плоскости. Это позволяет упростить построение линии пересечения.
Линию пересечения тора плоскостью в общем случае строят при помощи вспомогательных плоскостей, пересекающих тор и секущую плоскость. При этом подбирают плоскости, пересекающие тор по окружности, т. е. расположенные перпендикулярно оси тора или проходящие через его ось.
В примере на рисунке 9.12 показано применение вспомогательных плоскостей 7, (Т1v) и Тг (Tlv), перпендикулярных к оси тора, для построения линии пересечения и натурального вида фигуры сечения поверхности тора плоскостью Р (Рw). Тор на рисунке 9.12 имеет два изображения — фронтальную проекцию и половину профильной проекции. Полуокружность радиуса R1 (профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью T1) касается проекции плоскости Р (следа Рw). Тем самым определяются профильная проекция 3″ (о»3″ перпендикулярна Рw) и по ней — фронтальная проекция 3′ одной из точек проекции искомой линии пересечения. Полуокружность радиуса R 2 — профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью Т2. Она пересекает профильную проекцию плоскости Р (след Рw) в двух точках 5″ и 7″ — профильных проекциях точек линии пересечения. Проводя аналогичные построения, можно получить необходимое количество проекций точек для искомой линии пересечения. Используем найденные точки для построения натуральной величины сечения. Фигура сечения тора плоскостью, параллельной его оси, имеет оси и центр симметрии. При ее построении использованы расстояния 11 и l2 на фронтальной проекции для нанесения точек 50, 70 и 30. Точки 6 0, 80 и 40 построены как симметричные. Построенная кривая пересечения поверхности тора плоскостью выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка.
Кривые пересечения тора с плоскостью, параллельной оси, приведены на рисунке 9.13. Они имеют общее название — кривые Персея (Персей — геометр Древней Греции). Это кривые 4-го порядка. Вид кривых зависит от расстояния секущей плоскости до оси тора.
Многие детали приборов и машин имеют в своей основе форму тела вращения со сложной формой поверхности. Такое тело можно рассматривать как состоящее из частей элементарных тел вращения — цилиндра, конуса, сферы и тора или кругового кольца. Детали из такого тела вращения часто конструируют путем среза части тела плоскостью, параллельной оси. При этом в пересечении поверхности тела с плоскостью среза образуются сложные линии, построение которых и рассмотрено ниже. Эти линии, являющиеся частным случаем линии пересечения поверхности вращения с плоскостью (плоскость параллельна оси), называются линиями среза.
Пример чертежа тела вращения с построенными линиями среза приведен на рисунке 9.14. На чертеже оставлены некоторые вспомогательные линии построений и точки. При выполнении построений прежде всего устанавливают границы заданных поверхностей вращения и определяют элементарные поверхности: цилиндр, конус, сфера, тор. Для этого достаточно мысленно или на черновике дополнить участки поверхностей, как показано на рисунке 9.15. (На рисунке все составляющие поверхности для наглядности раздвинуты вдоль оси вращения.)
Разграничение участков элементарных поверхностей позволяет определить характер отдельных участков линий среза и правильно выбрать число и
расположение вспомогательных секущих плоскостей, необходимых для построения промежуточных точек на линии среза.
На чертеже границами поверхностей вращения являются линии касания или пересечения элементарных поверхностей. Их проекции в виде отрезков прямых, перпендикулярных к оси вращения, проводят через проекции точек сопряжения или пересечения образующих. Так, на рисунке 9.14 граница между сферой и конусом проведена через точку сопряжения дуги радиуса R, и образующей конуса. Эта точка определена с помощью перпендикуляра из проекции 0′ центра сферы к образующей конуса. Граница между конусом и тором с радиусом образующей R2 проведена через точку касания образующей конуса и дуги радиуса R2. Тоска сопряжения определена с помощью перпендикуляра, проведенного из центра дуги радиуса R2 к образующей конуса. Граница между тором с радиусом образующей R2 и тором с радиусом образующей R3 проведена через точку сопряжения дуг с радиусами R2 и R3. Точка сопряжения найдена с помощью прямой, соединяющей центры дуг. Границы между тором с радиусом образующей R3 и цилиндром, между этим же цилиндром и тором с радиусом образующей R4 проведены через точки сопряжения дуг указанных радиусов с образующей цилиндра.
Построенные границы элементарных поверхностей можно рассматривать и как линии пересечения поверхности вращения плоскостями, перпендикулярными оси, в данном случае профильными плоскостями. Профильные проекции этих линий — окружности. В пересечении их с профильными проекциями плоскостей среза отмечают профильные проекции характерных точек на линии среза. Пример построения профильной проекции d» и по ней фронтальной проекции отмечен на рисунке 9.14. По положению проекции d», с», е», f» строят фронтальные проекции d’, с’, t’, f’ точек линии среза. Проекции а’, к'(их проекции а», к» совпадают) построены по горизонтальным проекциям а, к.
В данном примере линия среза и ее фронтальная проекция состоят из следующих участков: на сфере радиуса R1 — дуги окружности радиуса а ‘о; на конусе — части гиперболы с вершиной т’; на торе с радиусом образующей R г — части кривой Персея, аналогичной кривой сечения А—А (см. рис. 9.13); на торе с радиусом образующей R3 — части кривой Персея, аналогичной кривой сечения В—В (см. рис. 9.13); на цилиндре — отрезков прямых, параллельных оси; на торе с радиусом образующей R4 — части кривой Персея, аналогичной кривой сечения Г—Г (см. рис. 9.13). Зная вид линии среза и положение проекций характерных и крайних точек линий, можно ограничиться построением проекций минимального числа промежуточных точек. На рисунке 9.14 показаны построения проекций промежуточных точек на участках k’f’ b’c’, c’d’, d’e’. Следует отметить, что точка 1′ симметрична точке с’, а точка 2′ наиболее удалена от оси. Справа от точки 2′ указана точка, симметричная точке 1′.
(Пример детали с линией среза см. на рисунке 16.11.)
