что такое ряд сходится

Определение и свойства сходящихся рядов

Сходящийся числовой ряд и его сумма.

Выражение \(a_ <1>+ a_ <2>+ \ldots + a_ + \ldots\), где \(\\>\) — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\), а числа \(a_\) будем называть членами ряда. Сумму \(n\) первых членов ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\) будем называть \(n\)-й частичной суммой этого ряда и обозначать \(S_\), то есть
$$
S_ = \sum_^a_.\label
$$

Ряд
$$
\sum_^<\infty>a_\label
$$
называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм \(\\>\) имеет конечный предел \(S\), то есть
$$
\lim_S_ = S.\label
$$
Число \(S\), определяемое условиями \eqref и \eqref, называют суммой ряда \eqref и пишут
$$
\sum_^<\infty>a_ = S.\label
$$

Если последовательность \(\\>\) не имеет конечного предела (предел не существует или бесконечен), то говорят, что ряд \eqref расходится (является расходящимся).

\(\vartriangle\) Используя формулу для суммы \(n\) первых членов геометрической прогрессии, получаем
$$
S_ = \sum_^q^ = \frac<1-q^> <1-q>= \frac<1><1-q>-\frac><1-q>.\nonumber
$$
Так как \(q^ \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), если \(|q| Пример 2.

Доказать, что если при всех \(n \in N\) выполняется равенство
$$
a_ = b_-b_\label
$$
и существует конечный
$$
\lim_b_ = b,\label
$$
то ряд \eqref сходится, а его сумма \(S = b_<1>-b\), то есть
$$
\sum_^<\infty>(b_-b_) = b_<1>-b.\label
$$

\(\vartriangle\) Используя условие \eqref, получаем \(S_ = \displaystyle\sum_^a_ = \sum_^(b_-b_) = b_<1>-b_ <2>+ b_<2>-b_ <3>+ \ldots + b_-b_ + b_-b_ = b_<1>-b_\) откуда в силу \eqref следует сходимость ряда \eqref и равенство \eqref. \(\blacktriangle\)

Найти сумму ряда \eqref, если \(a_ = \displaystyle\frac<1>\).

\(\vartriangle\) Так как
$$
a_ = \frac<1> = \frac<(n + 2)-n> <2n(n + 1)(n + 2)>= \frac<1><2n(n + 1)>-\frac<1><2n(n + 1)(n + 2)>,\nonumber
$$
то последовательность \(\\>\) удовлетворяет условиям \eqref и \eqref, где \(b_ = \displaystyle\frac<1><2n(n + 1)>,\ b = 0\), и по формуле \eqref получаем
$$
\sum_^<\infty>\frac<1> = \frac<1><4>.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Необходимое условие сходимости ряда.

\(\circ\) Так как ряд \eqref сходится, то существует конечный предел \(S\) последовательности \(\\>\), где \(S_\) — \(n\)-я частичная сумма ряда (формула \eqref). Тогда \(\displaystyle\lim_S_ = S\) и \(\displaystyle\lim_S_ = S\), откуда следует, что \(S_-S_ = a_ \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\). \(\bullet\)

Таким образом, соотношение \eqref выражает необходимое условие сходимости ряда.

Доказать, что ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>\frac<1><\sqrt>\) расходится.

\(\vartriangle\) Так как \(\displaystyle\frac<1><\sqrt> \geq \frac<1><\sqrt>\) при \(k = 1, 2, \ldots, n\), то \(S_ = \displaystyle\sum_^\frac<1><\sqrt> \geq n \frac<1><\sqrt>\) откуда следует, что \(S_ \rightarrow +\infty\) при \(n \rightarrow \infty\), то есть ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>\frac<1><\sqrt>\) расходится. \(\blacktriangle\)

Условие \eqref не является достаточным для сходимости ряда \eqref: ряд, рассмотренный в примере 4, удовлетворяет условию \eqref, но расходится.

Доказать, что ряд
$$
\sum_^<\infty>\sin n\alpha,\ \mbox<где>\ \alpha \neq \pi m\ (m \in \mathbb),\label
$$
расходится.

\(\vartriangle\) Докажем, что
$$
\sin n\alpha \nrightarrow 0\ \mbox<при>\ n \rightarrow \infty,\label
$$

Предположим, что \(\sin n\alpha \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\). Тогда \(\sin (n + 1)\alpha \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), то есть \(\sin n\alpha \cos \alpha + \cos n\alpha \sin \alpha \rightarrow 0\), откуда следует, что \(\cos n\alpha \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), так как \(\sin \alpha \neq 0\). Итак, если \(\sin n\alpha \rightarrow 0\), то \(\cos n\alpha \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), что невозможно, так как \(\sin^ <2>n\alpha + \cos^ <2>n\alpha = 1\).

Таким образом, для ряда \eqref должно выполняться условие \eqref, и поэтому ряд \eqref расходится. \(\blacktriangle\)

Свойства сходящихся рядов.

Если ряды \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\) и
$$
\sum_^<\infty>b_,\label
$$
сходятся, а их суммы равны соответственно \(S\) и \(\sigma\), то при любых \(\lambda, \mu \in \mathbb\) сходится ряд
$$
\sum_^<\infty>(\lambda a_ + \mu b_),\label
$$
а его сумма равна
$$
\tau = \lambda S + \mu\sigma.\label
$$

\(\circ\) Пусть \(S_\), \(\sigma_\) и \(\tau_\) — \(n\)-е частичные суммы рядов \eqref, \eqref и \eqref соответственно. Тогда \(\tau_ = \lambda S_ + \mu\sigma_\). Так как \(S_ \rightarrow S\) и \(\sigma_ \rightarrow \sigma\) при \(n \rightarrow \infty\), то последовательность \(\<\tau_\>\) имеет конечный предел, то есть ряд \eqref сходится, и справедливо равенство \eqref. \(\bullet\)

Если сходится ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\), то при каждом \(m \in \mathbb\) сходится ряд
$$
\sum_^<\infty>a_,\label
$$
который называют \(m\)-м остатком ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\). Обратно: если при фиксированном \(m\) ряд \eqref сходится, то и ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\) также сходится.

\(\circ\) Пусть \(S_ = a_ <1>+ \ldots + a_\) и \(\sigma_^ <(m)>= a_ + \ldots + a_\)-соответственно \(n\)-я частичная сумма ряда \eqref и \(k\)-я частичная сумма ряда \eqref. Тогда
$$
S_ = S_ + \sigma_^<(m)>,\ \mbox<где>\ n = m + k.\label
$$
Если ряд \eqref сходится, то последовательность \(\\>\) имеет конечный предел при \(n \rightarrow \infty\), и поэтому из равенства \eqref следует, что последовательность \(\<\sigma_^<(m)>\>\), где \(m\) фиксировано, имеет конечный предел при \(k \rightarrow \infty\), то есть ряд \eqref сходится.

Обратно: если \(m\) фиксировано и существует конечный \(\displaystyle\lim_\sigma_^<(m)>\) то существует конечный \(\displaystyle\lim_S_\). \(\bullet\)

Согласно свойству 2 отбрасывание конечного числа членов ряда или добавление конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходимость.

Если ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\) сходится, то и ряд
$$
\sum_^<\infty>b_,\label
$$
полученный группировкой членов ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\) без изменения порядка их расположения, также сходится и имеет ту же сумму, что и ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\).

\(\circ\) Пусть \(b_ <1>= a_ <1>+ a_ <2>+ \ldots + a_>\), \(b_ <2>= \displaystyle a_ + 1> + a_ + 2> + \ldots + a_>\), …, \(b_ = a_-1> + \ldots + a_>\) где \(j \in \mathbb\), \(\\>\) — строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Обозначим \(S_ = \displaystyle\sum_^a_\), \(\sigma_ = \displaystyle\sum_^<\infty>b_\); тогда \(\sigma_ = S_>\). Так как \(\<\sigma_\>\) — подпоследовательность сходящейся последовательности \(S_<1>, S_<2>, \ldots\), то существует \(\displaystyle\lim_\sigma_ = S\), где \(S\) — сумма ряда \eqref. \(\bullet\)

Критерий Коши сходимости ряда.

Для сходимости ряда \eqref необходимо и достаточно, чтобы
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>, \forall p \in \mathbb \rightarrow |a_ + a_ + \ldots + a_| Доказательство.

\(\circ\) Так как \(a_ + a_ + \ldots + a_ = S_-S_\) где \(S_\) — \(n\)-я частичная сумма ряда \eqref, то условие \eqref означает, что последовательность \(\\>\) является фундаментальной. В силу критерия Коши для последовательности условие \eqref равносильно существованию конечного предела последовательности \(\\>\), то есть равносильно сходимости ряда \eqref. \(\bullet\)

Если условие \eqref не выполняется, то есть
$$
\exists \varepsilon_ <0>> 0: \forall k \in \mathbb,\ \exists n \geq k\ \exists p \in \mathbb:\ |a_ + \ldots + a_| \geq \varepsilon_<0>.\label
$$
то ряд \eqref расходится.

Доказать, что гармонический ряд
$$
\sum_^<\infty>\frac<1>,\label
$$
расходится.

\(\vartriangle\) Для любого \(k \in \mathbb\) возьмем \(n = k\), \(p = k\). Тогда \(\displaystyle\sum_^a_ = \frac<1> + \ldots + \frac<1> <2k>> \frac<1><2k>k = \frac<1> <2>= \varepsilon_<0>\), и в силу условия \eqref ряд \eqref расходится. \(\blacktriangle\)

Ряды с комплексными членами.

Последовательность комплексных чисел \(\\>\) называют сходящейся, если существует такое комплексное число \(z\), что
$$
\lim_|z_-z| = 0,\nonumber
$$
где \(|z|\) — модуль комплексного числа \(z\). В этом случае пишут \(\displaystyle\lim_z_ = z\) или \(z_ \rightarrow z\) при \(n \rightarrow \infty\).

Если \(z_ = x_ + iy_\), \(z = x + iy\), то условие \(z_ \rightarrow z\) при \(n \rightarrow \infty\) эквивалентно выполнению условий \(x_ \rightarrow x\) и \(y_ \rightarrow y\) при \(n \rightarrow \infty\).

Ряд с комплексными членами
$$
\sum_^<\infty>z_,\label
$$
называют сходящимся, если существует
$$
\lim_ \sum_^z_ = S,\nonumber
$$
где \(S \in \mathbb\). В этом случае пишут \(\displaystyle\sum_^<\infty>z_ = S\), а комплексное число \(S\) называют суммой ряда \eqref.

Источник

Что такое ряд сходится

Числовым рядом (или просто рядом) называется бесконечная сумма ви да

где – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, u_n – общим членом ряда.

Если известен общий член ряда как функция его номера n : u_n = f ( n ), то ряд считают заданным.

Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда (9.1):

Сформулируем некоторые свойства числовых рядов.

3. Если к ряду (9.1) прибавить или отбросить конечное число членов, то полученный ряд и ряд (9.1) сходятся или расходятся одновременно.

Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если или этот предел не существует, то ряд расходится

Решение. Вычислим предел общего члена ряда:

Во многих случаях на вопрос о сходимости или расходимости числового ряда можно ответить с помощью достаточных признаков.

Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим рядом, о котором известно, сходится он или не т. Подобное сравнение базируется на теоремах 9.2 и 9.3.

Теорема 9.2 (признак сравнения числовых знакоположительных рядов). Пусть даны два знакоположительных ряда

В этом случае ряд (9.4) называется минорантным, а ряд (9.5) – мажорантным рядом.

Теорема 9.3. (признак сравнения в предельной форме)

Примечание. Если l =1, то ряд (9.1) может быть как сходящимся, так и расходящимся

Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит факториалы и показательные выражения.

Теорема 9.5 (радикальный признак Коши). Если для ряда (9.1) с положительными членами существует конечный или бесконечный предел , то при при l 1 ряд сходится и расходится при l > 1

Решение. Учитывая теорему 9.5 и второй замечательный предел (3.13), вычисляем:

Теорема 9.6 (интегральный признак Коши). Если члены знакоположительного числового ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1;∞) функции f ( x ) так, что u ₁ = f (1), u ₂ = f (2), …, u_n = f ( n ), …, то если сходится, то сходится и ряд (9.1); если расходится, то расходится также и ряд (9.1)

Так как несобственный интеграл от общего члена ряда сходится, то и исходный ряд также сходится (согласно теореме 9.6)

Особое значение в теории числовых рядов (в частности, при их сравнении) имеет обобщенный гармонический ряд

где p > 0 – действительное число. Для исследования ряда (9.6) применим теорему 9.6 (интегральный признак Коши).

Помимо знакоположительных числовых рядов существует важный класс знакопеременных рядов, в которых члены ряда имеют произвольные знаки.

Теорема 9.7 (общий достаточный признак сходимости). Пусть дан знакопеременный ряд

составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд (9.7)

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Сформулируем основные свойства абсолютно сходящихся рядов.

2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S ₁ и S ₂ можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S ₁ + S ₂ ( S ₁ – S ₂ ).

Примечание. В случае условно сходящихся рядов подобные свойства, вообще говоря, места не имеют.

Используя указанные свойства, математические действия и операции производят только над абсолютно сходящимися рядами. Для установления абсолютной сходимости используют все признаки сходимости знакоположительных рядов, заменяя всюду общий член ряда его модулем.

Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды, члены которых имеют строго чередующиеся знаки:

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости.

Ряд, членами которого являются функции от переменной x, называется функциональным:

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от x : S = S ( x ), которая определяется равенством:

Частным случаем функционального ряда является степенной ряд, члены которого представляют собой степенные функции аргумента x:

Действительные (или комплексные) числа называются коэффициентами ряда (9.11), – действительная переменная.

где x ₀ – некоторое постоянное число.

Рассмотрим вопрос о нахождении области сходимости степенного ряда.

На практике радиус сходимости степенного ряда (9.11) отыскивают с помощью признака Даламбера. Для этого составляют ряд из модулей членов ряда:

и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел

С помощью радикального признака Коши (теоремы 9.5) можно показать, что радиус сходимости также вычисляется по формуле:

Примечание. Интервал сходимости степенного ряда (9.12) находят из неравенства | x – x ₀ | R ; он имеет вид ( x ₀ – R ; x ₀ + R )

Следовательно, данный ряд абсолютно сходится в единственной точке х = 0.

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера:

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях x , которые удовлетворяют неравенству

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала.

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд. Значит, при исходный ряд сходится.

Таким образом, – область сходимости заданного по условию ряда

Источник

Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения

Данная статья представляет собой структурированную и подробную информацию, которая может пригодиться во время разбора упражнений и задач. Мы рассмотрим тему числовых рядов.

Данная статья начинается с основных определений и понятий. Далее мы стандартные варианты и изучим основные формулы. Для того, чтобы закрепить материал, в статье приведены основные примеры и задачи.

Базовые тезисы

a k является общим или k –ым членом ряда.

Определения, рассмотренные выше, помогут вам для решения большинства примеров и задач.

Для того, чтобы дополнить определения, необходимо доказать определенные уравнения.

Мы доказали, что числовой ряд сходится.

Мы доказали, что числовой ряд расходится.

Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знакопеременный, так как в нем множество чисел, отрицательных и положительных.

Второй вариант ряд – это частный случай третьего варианта.

Приведем примеры для каждого случая соответственно:

Для третьего варианта также можно определить абсолютную и условную сходимость.

Знакочередующийся ряд ∑ k = 1 ∞ b k абсолютно сходится в том случае, когда ∑ k = 1 ∞ b k также считается сходящимся.

Подробно разберем несколько характерных вариантов

Знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается условно сходящимся в том случае, если ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, а ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается сходящимся.

Особенности сходящихся рядов

Проанализируем свойства для определенных случаев

Разложим исходный вариант:

Необходимое условие для определения, является ли ряд сходящимся

Проверим исходное выражение на выполнение условия lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Как определить сходимость знакоположительного ряда.

Если постоянно пользоваться указанными признаками, придется постоянно вычислять пределы. Данный раздел поможет избежать сложностей во время решения примеров и задач. Для того, чтобы определить сходимость знакоположительного ряда, существует определенное условие.

Как сравнивать ряды

Существует несколько признаков сравнения рядов. Мы сравниваем ряд, сходимость которого предлагается определить, с тем рядом, сходимость которого известна.

Первый признак

Для того, чтобы закрепить полученный материал, детально рассмотрим пару типичных вариантов.

Второй признак

Согласно второму признаку можно определить, что сходящийся ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 означается, что первоначальный вариант также сходится.

Согласно приведенным выше тезисам, расходящийся ряд влечет собой расходимость исходного ряда.

Третий признак

Рассмотрим третий признак сравнения.

Признак Даламбера

Признак Даламбера справедлив в том случае, если предел бесконечен.

Определить, является ряд сходящимся или расходящимся ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k по признаку Даламбера.

Необходимо проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости. Вычислим предел, воспользовавшись правилом Лопиталя: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = » open=» ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 ‘ 2 k ‘ = lim k → + ∞ 2 2 k · ln 2 = 2 + ∞ · ln 2 = 0

Мы можем увидеть, что условие выполняется. Воспользуемся признаком Даламбера: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 ( k + 1 ) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2 1

Ряд является сходящимся.

Следовательно, ряд является расходящимся.

Радикальный признак Коши

Данный признак может быть использован в примерах, которые легко определить. Случай будет характерным тогда, когда член числового ряда – это показательно степенное выражение.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько характерных примеров.

Определить, является ли знакоположительный ряд ∑ k = 1 ∞ 1 ( 2 k + 1 ) k на сходящимся.

Интегральный признак Коши

, то в случае, если несобственный интеграл ∫ a + ∞ f ( x ) d x является сходящимся, то рассматриваемый ряд также сходится. Если же он расходится, то в рассматриваемом примере ряд тоже расходится.

При проверке убывания функции можно использовать материал, рассмотренный на предыдущих уроках.

Рассмотреть пример ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k на сходимость.

Согласно полученным результатам, исходный пример расходится, так как несобственный интеграл является расходящимся.

Признак Раабе

Данный способ определения можно использовать в том случае, если описанные выше техники не дают видимых результатов.

Исследование на абсолютную сходимость

Расходимость знакопеременных рядов

Если ряд ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, то соответствующий знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k либо расходящийся, либо условно сходящийся.

Признаки для условной сходимости

Признак Лейбница

Ряд условно сходится.

Признак Абеля-Дирихле

∑ k = 1 + ∞ u k · v k сходится в том случае, если < u k >не возрастает, а последовательность ∑ k = 1 + ∞ v k ограничена.

Источник