что такое резонансный контур
Колебательный LC контур: принцип действия, расчет, определение
Сегодня нас интересует простейший колебательный контур, его принцип работы и применение.
За полезной информацией по другим темам переходите на наш телеграм-канал.
Колебания – процесс, повторяющийся во времени, характеризуется изменением параметров системы около точки равновесия.
По определению колебательный контур (или LC-контур) – это электрическая цепь, в которой происходят свободные электромагнитные колебания.
Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.
Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.
Принцип действия колебательного контура
Давайте рассмотрим пример, когда сначала мы заряжаем конденсатор и замыкаем цепь. После этого в цепи начинает течь синусоидальный электрический ток. Конденсатор разряжается через катушку. В катушке при протекании через нее тока возникает ЭДС самоиндукции, направленная в сторону, противоположную току конденсатора.
Разрядившись окончательно, конденсатор благодаря энергии ЭДС катушки, которая в этот момент будет максимальна, начнет заряжаться вновь, но только в обратной полярности.
Колебания, которые происходят в контуре – свободные затухающие колебания. То есть без дополнительной подачи энергии колебания в любом реальном колебательном контуре рано или поздно прекратятся, как и любые колебания в природе.
Это обусловлено тем, что контур состоит из реальных материалов (конденсатор, катушка, провода), обладающих таким свойством, как электрическое сопротивление, и потери энергии в реальном колебательном контуре неизбежны. В противном случае это нехитрое устройство могло бы стать вечным двигателем, существование которого, как известно, невозможно.
Еще одна важная характеристика LC-контура – добротность Q. Добротность определяет амплитуду резонанса и показывает, во сколько раз запасы энергии в контуре превышают потери энергии за один период колебаний. Чем выше добротность системы, тем медленнее будут затухать колебания.
Резонанс LC-контура
Электромагнитные колебания в LC-контуре происходят с определенной частотой, которая называется резонансной Подробнее про резонанс – в нашей отдельной статье. Частоту колебаний можно менять, варьируя такие параметры контура, как емкость конденсатора C, индуктивность катушки L, сопротивление резистора R (для LCR-контура).
Как рассчитать резонансную частоту колебательного контура? Очень просто! Приведем окончательную формулу:
Применение колебательного контура
Колебательный контур широко применяется на практике. На его основе строятся частотные фильтры, без него не обходится ни один радиоприемник или генератор сигналов определенной частоты.
Если вы не знаете, как подступиться к расчету LC-контура или на это совершенно нет времени, обратитесь в профессиональный студенческий сервис. Качественная и быстрая помощь в решении любых задач не заставит себя ждать!
Что такое резонансный контур
Свободные (или собственные) колебания — это колебания в системе под действием внутренних сил после того, как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие).
,
Затем результирующий ток в цепи будет возрастать, а энергия из конденсатора будет переходить в катушку до полного разряда конденсатора. В этот момент электрическая энергия конденсатора EC = 0. Магнитная же энергия, сосредоточенная в катушке, напротив, максимальна и равна
,
где L — индуктивность катушки, I0 — максимальное значение тока.
В результате в цепи возникают колебания, длительность которых будет обратно пропорциональна потерям энергии в контуре.
Рис 1. Пример: Осциллограмма LC контура во время замыкания заряженного конденсатора на катушку индуктивности.
С = 240нФ(заряженный), L = 360нГн, F0 ≈ 542кГц.
1.4.2. Вынужденные колебания в контуре.
Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних периодических сил.
Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.
Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону:
.
Консервативный гармонический осциллятор
Второй закон Ньютона для такого осциллятора запишется в виде:
.
Если ввести обозначения:
,
и заменить ускорение на вторую производную от координаты по времени, то получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:
,
Решением этого уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения было уже получено здесь и оно имеет вид:
,
Найдём частное решение. Для этого подставим в уравнение решение вида:
,
и получим значение для константы:
,
Тогда окончательное решение запишется в виде:
.
1.4.3. Резонанс в колебательном контуре.
Резонанс — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при совпадении частоты собственных колебаний с частотой колебаний вынуждающей силы.
В результате резонанса при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы. Степень отзывчивости в теории колебаний описывается величиной, называемой добротностью. При помощи резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания.
В электронных устройствах резонанс возникает на определённой частоте, когда индуктивная и ёмкостная составляющие реакции системы уравновешены, что позволяет энергии циркулировать между магнитным полем индуктивного элемента и электрическим полем конденсатора.
Механизм резонанса заключается в том, что магнитное поле индуктивности генерирует электрический ток, заряжающий конденсатор, а разрядка конденсатора создаёт магнитное поле в индуктивности — процесс, который повторяется многократно, по аналогии с механическим маятником.
При достижении резонанса, импеданс (комплексное сопротивление двухполюсника (электрической цепи, содержащей две точки для соединения с другими цепями) для гармонического сигнала) последовательно соединённых индуктивности и ёмкости минимален, а при параллельном включении — максимален. Резонансные процессы в колебательных контурах используются в элементах настройки, электрических фильтрах. Частота, на которой происходит резонанс, определяется величинами (номиналами) используемых элементов. В то же время, резонанс может быть и вреден, если он возникает в неожиданном месте по причине повреждения, недостаточно качественного проектирования или производства электронного устройства. Такой резонанс может вызывать паразитный шум, искажения сигнала, и даже повреждение компонентов.
Приняв, что в момент резонанса индуктивная и ёмкостная составляющие импеданса равны, резонансную частоту можно найти из выражения
,
f — резонансная частота в герцах;
L — индуктивность в генри;
C — ёмкость в фарадах.
Важно, что в реальных системах понятие резонансной частоты неразрывно связано с полосой пропускания, то есть диапазоном частот, в котором реакция системы мало отличается от реакции на резонансной частоте. Ширина полосы пропускания определяется добротностью системы (параметр колебательной системы, определяющий ширину резонанса и характеризующий, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.).
Рис 2. Эффект резонанса для разных частот внешнего воздействия и коэффициентов затухания.
1.4.4. Связанные цепи.
Если изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению э.д.с. в другом элементе, то эти два элемента индуктивно связаны, а возникающая э.д.с. называется э.д.с. взаимной индукции.
Степень индуктивной связи двух элементов цепи характеризуется коэффициентом связи
,
где М – взаимная индуктивность элементов цепи,
При расчете цепей с взаимной индуктивностью следует на схеме отметить стрелками выбираемые положительные направления токов в ветвях (или контурных токов). Кроме того, одинаковыми условными значками (звездочками, точками, буквами и т.п.) обозначить одноименные зажимы каждой пары индуктивно связанных катушек.
Одноименными называются такие зажимы, при одинаковом положительном направлении токов относительно которых, магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции складываются.
1.4.5. Кварцевый резонатор.
Кварцевый резонатор — прибор, в котором пьезоэлектрический эффект и явление механического резонанса используются для построения высокодобротного резонансного элемента электронной схемы.
На пластинку, кольцо или брусок, вырезанные из кристалла кварца определённым образом, нанесены 2 и более электродов — проводящие полоски.
Пластинка закреплена и имеет собственную резонансную частоту механических колебаний.
При подаче напряжения на электроды благодаря пьезоэлектрическому эффекту происходит изгибание, сжатие или сдвиг в зависимости от того, каким образом вырезан кусок кристалла.
Однако колеблющаяся пластинка в результате того же пьезоэлектрического эффекта создаёт во внешней цепи противо-ЭДС, что можно рассматривать как явление, эквивалентное работе катушки индуктивности в колебательном контуре.
Если частота подаваемого напряжения равна или близка к частоте собственных механических колебаний пластинки, затраты энергии на поддержание колебаний пластинки оказываются намного ниже, нежели при большом отличии частоты. Это тоже соответствует поведению колебательного контура.
Рис 3. Эквивалентная схема.
Условное обозначение кварцевого резонатора (сверху) и его эквивалентная схема (снизу)
C0 — собственная ёмкость кристалла, образуемая кристаллодержателем и/или обкладками резонатора.
C1, L1 — эквивалентная ёмкость и индуктивность механической колебательной системы резонатора.
R1 — эквивалентное сопротивление потерь механической колебательной системы.
Параллельный колебательный контур
В прошлой статье мы с вами рассмотрели последовательный колебательный контур, так как все участвующие в нем радиоэлементы соединялись последовательно. В этой же статье мы рассмотрим параллельный колебательный контур, в котором катушка и конденсатор соединяются параллельно.
Параллельный колебательный контур
Идеальный колебательный контур
На схеме идеальный колебательный контур выглядит вот так:
Реальный колебательный контур
В реальности у нас катушка обладает приличным сопротивлением потерь, так как намотана из провода, да и конденсатор тоже имеет некоторое сопротивление потерь. Потери в емкости очень малы и ими обычно пренебрегают. Поэтому оставим только одно сопротивление потерь катушки R. Тогда схема реального колебательного контура примет вот такой вид:
R — это сопротивление потерь контура, Ом
L — индуктивность, Генри
Принцип работы параллельного колебательного контура
Давайте подцепим к генератору частоты реальный параллельный колебательный контур
Что будет, если мы подадим на контур ток с частотой в ноль Герц, то есть постоянный ток? Он спокойно побежит через катушку и будет ограничиваться лишь сопротивлением потерь R самой катушки. Через конденсатор ток не побежит, потому что конденсатор не пропускает постоянный ток. Об это я писал еще в статье конденсатор в цепи постоянного и переменного тока.
Давайте тогда будем добавлять частоту. Итак, с увеличением частоты у нас конденсатор и катушка начнут оказывать реактивное сопротивление электрическому току.
Реактивное сопротивление катушки выражается по формуле
а конденсатора по формуле
Более подробно про это можно прочитать в этой статье.
Если плавно увеличивать частоту, то можно понять из формул, что в самом начале при плавном увеличении частоты конденсатор будет оказывать бОльшее сопротивление, чем катушка индуктивности. На какой-то частоте реактивные сопротивления катушки XL и конденсатора XC уравняются. Если далее увеличивать частоту, то уже катушка уже будет оказывать большее сопротивление, чем конденсатор.
Резонанс параллельного колебательного контура
Очень интересное свойство параллельного колебательного контура заключается в том, что при ХL = ХС у нас колебательный контур войдет в резонанс. При резонансе колебательный контур начнет оказывать большее сопротивление переменному электрическому току. Еще часто это сопротивление называют резонансным сопротивлением контура и оно выражается формулой:
Rрез — это сопротивление контура на резонансной частоте
C — собственно сама емкость конденсатора
R — сопротивление потерь катушки
Формула резонанса
Для параллельного колебательного контура также работает формула Томсона для резонансной частоты как и для последовательного колебательного контура:
F — это резонансная частота контура, Герцы
L — индуктивность катушки, Генри
С — емкость конденсатора, Фарады
Как найти резонанс параллельного колебательного контура на практике
Ладно, ближе к делу. Берем паяльник в руки и спаиваем катушку и конденсатор параллельно. Катушка на 22 мкГн, а конденсатор на 1000пФ.
Итак, реальная схема этого контура будет вот такая:
Для того, чтобы все показать наглядно и понятно, давайте добавим к контуру последовательно резистор на 1 КОм и соберем вот такую схему:
На генераторе мы будет менять частоту, а с клемм X1 и X2 мы будем снимать напряжение и смотреть его на осциллографе.
Нетрудно догадаться, что у нас сопротивление параллельного колебательного контура будет зависеть от частоты генератора, так как в этом колебательном контуре мы видим два радиоэлемента, чьи реактивные сопротивления напрямую зависит от частоты, поэтому заменим колебательный контур эквивалентным сопротивлением контура Rкон.
Упрощенная схема будет выглядеть вот так:
Интересно, на что похожа эта схема? Не на делитель ли напряжения? Именно! Итак, вспоминаем правило делителя напряжения: на меньшем сопротивлении падает меньшее напряжение, на бОльшем сопротивлении падает бОльшее напряжение. Какой вывод можно сделать применительно к нашему колебательному контуру? Да все просто: на резонансной частоте сопротивление Rкон будет максимальным, вследствие чего у нас на этом сопротивлении «упадет» бОльшее напряжение.
Начинаем наш опыт. Поднимаем частоту на генераторе, начиная с самых маленьких частот.
Как вы видите, на колебательном контуре «падает» малое напряжение, значит, по правилу делителя напряжения, можно сказать, что сейчас у контура малое сопротивление Rкон
Добавляем частоту. 11,4 Килогерца
Как вы видите, напряжение на контуре поднялось. Это значит, что сопротивление колебательного контура увеличилось.
Добавляем еще частоту. 50 Килогерц
Заметьте, напряжение на контуре повысилось еще больше. Значит его сопротивление еще больше увеличилось.
Обратите внимание на цену деления одного квадратика по вертикали, по сравнению с прошлым опытом. Там было 20мВ на один квадратик, а сейчас уже 500 мВ на один квадратик. Напряжение выросло, так как сопротивление колебательного контура стало еще больше.
И вот я поймал такую частоту, на которой получилось максимальное напряжение на колебательном контуре. Обратите внимание на цену деления по вертикали. Она равняется двум Вольтам.
Дальнейшее увеличение частоты приводит к тому, что напряжение начинает падать:
Снова добавляем частоту и видим, что напряжение стало еще меньше:
Что происходит на резонансной частоте в параллельном колебательном контуре
Давайте более подробно рассмотрим эту осциллограмму, когда у нас было максимальное напряжение с контура.
Что здесь у нас произошло?
Так как на этой частоте был всплеск напряжения, следовательно, на этой частоте параллельный колебательный контур имел самое высокое сопротивление Rкон. На этой частоте ХL = ХС. Потом с ростом частоты сопротивление контура снова упало. Это и есть то самое резонансное сопротивление контура, которое выражается формулой:
Резонанс токов
Итак, давайте допустим, мы вогнали наш колебательный контур в резонанс:
Чему будет равняться резонансный ток Iрез ? Считаем по закону Ома:
Но самый прикол в том, что у нас при резонансе в контуре появляется свой собственный контурный ток Iкон , который не выходит за пределы контура и остается только в самом контуре! Так как с математикой у меня туго, поэтому я не буду приводить различные математические выкладки с производными и комплексными числами и объяснять откуда берется контурный ток при резонансе. Именно поэтому резонанс параллельного колебательного контура называется резонансом токов.
Добротность параллельного колебательного контура
Кстати, этот контурный ток будет намного больше, чем ток, который проходит через контур. И знаете во сколько раз? Правильно, в Q раз. Q — это и есть добротность! В параллельном колебательном контуре она показывает во сколько раз сила тока в контуре Iкон больше сила тока в общей цепи Iрез
Если сюда еще прилепить сопротивление потерь, то формула примет вот такой вид:
R — сопротивление потерь на катушке, Ом
Применение параллельного колебательного контура
Параллельный колебательный контур применяется в радиоприемном оборудовании, где надо выделить частоту какой-либо станции. Также с помощью колебательного контура можно построить различные резонансные фильтры.