что такое разбиение чисел

Разбиение числа

Разбие́ние числа́ n — это представление n в виде суммы положительных целых чисел, называемых частями. При этом порядок следования частей не учитывается (в отличие от композиций), то есть разбиения, отличающиеся только порядком частей, считаются равными. В канонической записи разбиения части перечисляются в невозрастающем порядке.

Число разбиений натурального числа n является одним из фундаментальных объектов изучения в теории чисел.

Содержание

Примеры

Например, или — разбиения числа 5, поскольку . Всего существует p(5)=7 разбиений числа 5: , , , , , , .

Некоторые значения числа разбиений (последовательность A000041 в OEIS) приведены в следующей таблице:

Число разбиений

Производящая функция

Последовательность числа разбиений имеет следующую производящую функцию:

Эта формула была открыта Эйлером в 1740 году.

Пентагональная теорема Эйлера

Изучая производящую функцию последовательности , Эйлер сосредоточил внимание на её знаменателе, то есть, на произведении . Это бесконечное произведение при раскрытии скобок приобретает следующий вид:

Показатели степеней x в правой части — это пятиугольные числа, то есть, числа вида где q — целое число, а знак при равен .

Согласно этому наблюдению Эйлер предположил, что должна быть верна Пентагональная теорема:

.

Впоследствии эта теорема была Эйлером доказана. Она позволяет вычислять числа разбиений при помощи деления формальных степенны́х рядов.

Асимптотические формулы

Асимптотическое выражение для количества разбиений было получено Харди и Рамануджаном и впоследствии уточнено Радемахером. Оригинальное выражение Харди — Рамануджана [источник не указан 48 дней]

при

дает, например, . Уточнение Радемахера представляет число разбиений в виде сходящегося ряда

Здесь суммирование ведется по , взаимно простым с , а — сумма Дедекинда. Ряд сходится очень быстро.

Рекуррентные формулы

Количество разбиений числа n на слагаемые, не превышающие k, удовлетворяет рекуррентной формуле:

n, \end» border=»0″ />

с начальными значениями:

для всех 0″ border=»0″ />

При этом количество всевозможных разбиений числа n равно .

Количество разбиений натурального числа n на k слагаемых удовлетворяет рекуррентной формуле:

с начальными значениями:

i.» border=»0″ />

Конгруэнтности

Диаграммы Юнга

Разбиения удобно представлять в виде наглядных геометрических объектов, называемых диаграммами Юнга, в честь английского математика Альфреда Юнга. Диаграмма Юнга разбиения — подмножество первого квадранта плоскости, разбитое на ячейки, каждая из которых представляет собой единичный квадрат. Ячейки размещаются в строки, первая строка имеет длину , над ней расположена строка длиной , и т. д. до -ой строки длины . Строки выровнены по левому краю.

Более формально, диаграмма Юнга — это замыкание множества точек таких, что

0″ border=»0″ /> и

где обозначает целую часть .

В англоязычной литературе диаграммы Юнга часто изображают отражёнными относительно оси абсцисс.

Схожий объект, называемый диаграммой Ферре, отличается тем, что

Применение

Разбиения естественным образом возникают в ряде математических задач. Наиболее значимой из них является теория представлений симметрической группы, где разбиения естественно параметризуют все неприводимые представления. Суммы по всем разбиениям часто встречаются в математическом анализе.

См. также

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Разбиение числа» в других словарях:

Разбиение — В математике Разбиение единицы Разбиение множества Разбиение интервала Разбиение числа … Википедия

Разбиение единицы — Разбиение единицы конструкция, используемая в топологии для удобства работы с многообразием как множеством карт. С помощью разбиения единицы определяется, в частности, интеграл от дифференциальной формы на многообразии. Конструкция Пусть… … Википедия

Разбиение графа — Пример разбиения параллельной граф схемы алгоритма логического управления. В составе блоков, отмеченных разными цветами, нет параллельных вершин Разбиение графа на подграфы (англ. Graph partition) (иногда в литературе также употребляется… … Википедия

Разбиение Аммония — Таблицы канонов Евсевия (окончание первого канона). Латинская рукопись Евангелий, V в. Апостольская библиотека, Ватикан (Vat. Lat. 3806. F° 2v.) Страница из Ватиканского кодекса 354, Евангелия от Луки (Лк 17:34 18:8), написанного поздним… … Википедия

Композиция числа — У этого термина существуют и другие значения, см. Композиция. Не следует путать с Композиция функций. В теории чисел композицией, или разложением, натурального числа называется его представление в виде упорядоченной суммы натуральных слагаемых.… … Википедия

Вещественные числа — Вещественные, или действительные[1] числа математическая абстракция, служащая, в частности, для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.… … Википедия

Действительные числа — Вещественные, или действительные[1] числа математическая абстракция, служащая, в частности, для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.… … Википедия

Реальные числа — Вещественные, или действительные[1] числа математическая абстракция, служащая, в частности, для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.… … Википедия

КЛЕТОЧНОЕ РАЗБИЕНИЕ — CW комплекс, клеточный комплекс X, удовлетворяющий следующим условиям: (С) Для любой точки комплекс X(х)является конечным, т. е. состоит из конечного числа клеток (для произвольного подмножества А клеточного комплекса Xчерез X(А)обозначается… … Математическая энциклопедия

ЛОКАЛЬНОЕ РАЗБИЕНИЕ — свойство расположения замкнутого множества Ф в пространстве заключающееся в существовании такой точки а(точка, в к рой множество Ф разбивает пространство) и такого положительного числа что при любом числе в открытом множестве где (открытый) шар… … Математическая энциклопедия

Источник

Две специальные модели разбиения чисел

Два специальных разбиения натурального числа N могут быть использованы при построении алгоритма факторизации. В предшествующих постах об этом шла речь и автору были заданы вопросы.В работах о факторизации оговаривалось, что при рассматриваемом подходе появляется принципиальная возможность решать задачу факторизации больших чисел (ЗФБЧ) за малое время при наличии программы, генерирующей специальные разбиения. В этой работе автор раскрывает более подробно специфику специальности разбиений. Поскольку участники сообщества Хабра в своем большинстве являются программистами, то предлагаю тому, кто проявит интерес к ЗФБЧ, решаемой за приемлемое время (не годами, не месяцам, и даже не десятками часов), попробовать свои силы и приложить умения к разработке программы генератора спцразбиений. Разбивать как следует из текста ниже необходимо ф-инвариант числа N, свойство, не зависящее от разрядности числа, либо само число N. В комментариях приводится таблица всех разбиений числа 13, среди которых только 4 являются специальными, к факторизации приводит любое из трех первых специальных разбиений.

Задача о разбиении натурального числа
Разбиением натурального числа N называется конечная невозрастающая последовательность натуральных чисел k0, k1, k2, k3,…,kt, меньших N, для которой сумма k0+k1+k2+k3+,…,+kt = N, числа k_i, i = 0(1)t, называются блоками (частями) разбиения. Разбиения чисел бывают упорядоченными и неупорядоченными. Существуют разбиения чисел [1, 2] на нечетные и отдельно на четные части, разбиения чисел на одинаковые и различные части и т.п. Для наших целей будем использовать графическое представление разбиений чисел на разные части с ограничением на различие (∆ = 1) одной части разбиения от другой, для чего воспользуемся точечным графом Феррера.
В задаче разбиения числа N, связываемой с задачей факторизации чисел, имеют дело с двумя специальными случаями разбиений не самого числа N, а его ф-инварианта, числа k_п(N)/2, т. е. половины номера предельного контура для N. Кроме того, будем различать разбиения числа k_п(N)/2, соответствующие целым и дробным числам, а также соответствующие левым (Nл) и правым (Nп) нечетным натуральным числам. Графическое представление множества разбиений разбиений чисел k_п(N)/2 имеет вид трапеции как составной части треугольной точечной диаграммы Феррера, образованной из ее подряд следующих строк. Одно из оснований трапеции (верхнее или нижнее) всегда включает только половину своих точек. Основная специализация рассматриваемых здесь двух типов разбиений заключается в том, что отличие частей разбиения числа одной от другой составляет лишь единицу ∆ = 1, и только крайние части (строки, являющиеся основаниями трапеции графического представления) разбиения числа могут отличаться от соседних на величину большую, чем единица. Крайняя строка (верхняя — для Nл, нижняя — для Nп) всегда разбивается пополам. Дополнительно о слагаемых в разбиениях можно прочитать (Здесь). Если разбиваемая пополам строка содержит четное число точек, то все части разбиения числа N – целые числа, если число точек в такой строке нечетное, то крайняя часть разбиения и само k_п(N)/2 – дробное число. Отметим также некоторые другие особенности этих специальных разбиений. Эти особенности легко и наглядно воспринимаются при рассмотрении числовых примеров, которые в сущности и являются основным содержанием работы.

Во-первых, для Nп (правого числа) представление k_п(N)/2 разбиением всегда формируется только разными слагаемыми, причем от меньшего контура в сумму включается только половина его номера.
Во-вторых, для Nл (левого числа) представление половины номера предельного контура (числа k_п(N)/2) разбиением всегда сформировано различными частями, если k_п(N)/2 – дробное число.
В-третьих, для Nл, если k_п(N)/2 – целое, то два слагаемых в сумме могут совпадать, причем, одно слагаемое из такой пары – это половина номера большего контура в сумме. Поясним эти понятия числовым примером.

Пример 1. Задано левое нечетное число Nл = 119, так как 119 = 3(mod4). Предельный контур для этого числа имеет длину 119 + 121 = 240. Номер предельного контура k_п(119) = 240/8 = 30. Ф-инвариант для числа 119 равен k_п(119)/2 = 30/2 = 15. Разбиение ф-инварианта для числа N имеет вид 15 = 3 + 4 + 5 + 6/2 = 3+4+5+3. В итоговой сумме получились два одинаковых слагаемых, равных тройке. Чтобы убедиться, что разбиение ф-инварианта приводит к факторизации числа N = 119, восстановим N по разбиению, все слагаемые которого – это номера контуров. Умножаем слагаемые на 8:
3•8 + 4•8 + 5•8 + 6•8 = 24 + 32 + 40 + 48.
Последнее (большее) слагаемое должно давать в сумму только свой левый полуконтур 23 + 25 = 48, т.е. 23. Итак, устанавливаем длину интервала для Nл = 119 (проверяем) 24 + 32 + 40 + 23 = 119.
Остается вспомнить, что границами контуров и полуконтуров в НРЧ всегда являются квадраты и получить их значения у крайних слагаемых интервала:
меньшая граница Гм(3) для контура с номером 3, Гм(3) = (2•3-1) 2 = 25 = 5 2 ;
большая граница интервала Гб(6) для контура с номером 6, Гб = Гц(6) = (2•6) 2 = 144 = 12 2 – правая граница левого полуконтура шестого контура.
Последний штрих: N представляем разностью квадратов, т.е. разностью границ интервала
N = 12 2 – 5 2 = (12 – 5)(12 + 5) = 7•17 = 119 и получаем разложение на множители.

Натуральные нечетные числа N(x1, xо) = 3t кратные трем всегда формируются только тремя смежными полуконтурами, два из которых – целый контур. Для таких чисел нумерационная модель совсем простая. Находим k — номер полного контура для числа N.
Для левых нечетных чисел
k_п(N)/2 = (k + 1)/2 + k => k_п(N) = 3k + 1 => k = (k_п(N) – 1)/3.
Для правых нечетных чисел
k_п(N)/2 = (k –1)/2 + k => k_п(N) = 3k — 1 => k = (k_п(N) + 1)/3.
Пример 2. Задано правое нечетное число Nп = 129, так как 129 = 1(mod4). Предельный контур для этого числа имеет длину 127 + 129 = 256. Номер предельного контура k_п(129) = 256/8 = 32. Ф-инвариант для числа 129 равен k_п(129)/2 = 32/2 = 16. Подставляем в формулу найденные значения k = (32 + 1)/3 = 11. Это номер большего контура из двух полуконтуров 43 + 45 = 88 = 11•8. Для формирования интервала включаем в сумму полуконтур из предшествующего контура с номером 11-1 = 10, т.е. М = 4k +1 = 41.
И окончательно, сумма полуконтуров 41+ 43 + 45 = 129. Остается найти границы интервала и выполнить факторизацию числа N = 129.

Все слагаемые в сумме разбиений, кроме одного крайнего слагаемого, всегда различаются на единицу, т. е. это числа k_i, следующие в натуральном ряде одно за другим k_п(N)/2 = ∑ t _i=pk_i ± k/2,
где р – индекс номера целого начального (меньшего) контура;
t – индекс номера целого конечного (большего) контура;
± – знак в сумме определяется видом (левое k > k_t, правое k 2 _k+1 – k_п /2 начинаем от значения С 2 _k+1 > k_п /2, а вычисленную разность сравниваем с k 2 /2, до тех пор, пока они не совпадут. При несовпадении увеличиваем значение k.

Рассмотренная в примере схема решения задачи факторизации обеспечивает нахождение и других альтернативных пар границ. Поиск разности С 2 _k+1 – k_п /2, совпадающей с k 2 /2 приводит к получению такого совпадения при большем k = 19. Имеем равенство С 2 _k+1 – k_п /2 = 190 – 77,5 = 112,5 из которого находим меньшее, т.е. k = √2×112.5 = √225 = 15. Теперь можно приступить к поиску границ интервала и факторизации N.
Границами интервала будут:
• левая граница при k =15, Гл = (2k) 2 = (2•15) 2 = 900,
• правая при k = 19 есть Гп = (2k + 1) 2 = (2•19 + 1) 2 = 392 = 1521,
• N = Гп – Гл = х1i 2 – хоi 2 = 1521 – 900 = 621 и
• N = х1i 2 – хоi 2 = (39 + 30)(39 – 30) = 69•9.

Пример 6. (Взаимосвязь характеристик интервальной и нумерационной моделей числа кратного трем)
Для левого числа N(x1, xо) = 183 и правого числа N(x1, xо) = 189 выполнить факторизацию, определить номер и длину предельного контура чисел k_п(Nл) = k_п(183) = (183 + 185)/8 = 46, и k_п(Nп) = k_п(189) = (187 + 189)/8 = 47. Далее составим уравнение для номера предельного полуконтура в нумерационной модели k_п(183)/2 = (k + 1)/2 + k, откуда k_п = 3k + 1 и k = (k_п – 1)/3 = 45/3 = 15.
• Большая граница интервала для N = 183 правая четная Гц(16) = (2·16) 2 = 32 2 = 1024
• меньшая левая граница Гл(15) = (2•15 – 1) 2 = 29 2 = 841.
Факторизация числа N = 183 = 32 2 – 29 2 = (32 + 29)(32 – 29) = 61•3.
Связь правых чисел вида Nп(x1, xо) = 3t с суммой номеров контуров интервальной модели следующая:
половина номера контура плюс номер следующего контура интервала равны половине номера предельного контура k_п(Nп)/2 исследуемого числа.
Для правого числа N(x1, xо) =189 значение предельного полуконтура k_п(189)/2 = (k–1)/2+k,
откуда k_п = 47 = 3k – 1 и k = (k_п + 1)/3 = 48/3 = 16. Меньшая граница интервала для N = 189 левая четная лежит в 15 контуре Гц(15) = (2•15) 2 = 30 2 = 900 и Гп(16) = (2•16 + 1) 2 = 33 2 = 1089.
Факторизация числа N = 189 = (33 + 30)(33 – 30) = 63•3
Аналогичные расчеты могут быть выполнены для чисел левых и правых кратных 5, 7, 9 и т.д.

Источник

Разбиения чисел

Задача

В левом столбце таблицы выписаны все способы, которыми можно записать число 7 в виде суммы различных натуральных слагаемых («строгие разбиения»). В правом — все способы, которыми можно записать это же число в виде суммы нечётных слагаемых («нечётные разбиения»).

Пусть s(n) — количество строгих разбиений числа n, а o(n) — количество нечётных разбиений. Докажите, что s(n) = o(n).

Подсказка 1

Чтобы доказать, что количества элементов в двух множествах одинаковы, бывает удобно установить между ними взаимно-однозначное соответствие.

Подсказка 2

Пусть есть какое-то разбиение на различные слагаемые. Из него можно получить разбиение на нечётные слагаемые, если каждое чётное число разбивать на две половинки до тех пор, пока не останутся только нечётные.

Пример: 20 + 6 + 3 → 10 + 10 + 3 + 3 + 3 → 5 + 5 + 5 + 5 + 3 + 3 + 3.

А как по «нечетному» разбиению получить исходное «строгое»? Вот это и есть суть задачи.

Решение

Утверждение задачи впервые было доказано Леонардом Эйлером около 1740 года с помощью производящих функций.

Леонард Эйлер (1707–1783). Портрет работы Я. Э. Хандманна, 1753 г. Изображение с сайта ru.wikipedia.org

Теорема Эйлера. Количество разбиений числа N на попарно различные слагаемые («строгие разбиения») равно количеству разбиений N на нечётные слагаемые («нечётные разбиения»).

В подсказке был указан способ, позволяющий получить из любого строгого разбиения нечётное. Для этого каждое чётное число, входящее в разбиение на различные слагаемые, нужно было разделить пополам, то есть представить в виде суммы двух равных половинок. А затем повторять этот процесс до тех пор, пока чётных чисел не останется.

Например, из разбиения

1 13 ← (1, 2 6 ) ← (1, 4 3 ) ← (1, 4, 4 2 ) ← (1, 4, 8).

Вы уже поняли закономерность? Она столь же проста, сколь и красива: каждый «показатель степени» записывается в виде суммы различных степеней двойки (то есть выписывается его двоичная запись), после чего каждой из имеющихся степеней соответствует своё слагаемое в исходном «строгом» разбиении. Это становится совсем понятным, если сообразить, что из одного чётного слагаемого в строгом разбиении могли получиться только 2, 4, 8, 16 и т. д. нечётных — то есть «вклад» каждого слагаемого в общее количество всегда является степенью двойки, а так как равных слагаемых нет, то все степени оказываются различными.

Джеймс Уитбред Ли Глейшер (1848–1928). Изображение с сайта ru.wikipedia.org

Это замечательное соответствие было придумано в конце XIX века английским математиком Джеймсом Уитбредом Ли Глейшером (увы, его научные результаты в основном касались областей математики, которые не изучаются ни в средней школе, ни даже в нематематических вузах, поэтому широкой публике он абсолютно неизвестен). Тем не менее он был удостоен двух очень значимых математических наград своего времени — медали де Моргана в 1908 году (это высшая награда Лондонского математического общества, присуждается раз в три года) и медали Сильвестра в 1913 году (высшая награда Лондонского королевского общества).

В задаче о нечетных разбиениях заслуга Глейшера в том, что он придумал не только новый подход к решению, но и дал замечательное обобщение задачи:

Теорема Глейшера. Количество разбиений целого числа N на части, не делящиеся на число d, равно количеству разбиений N на слагаемые, в которых никакая часть не повторяется d или более раз.

Послесловие

Но рассказ о соответствиях между нечётными и строгими разбиениями был бы заведомо неполон без упоминания другого замечательного соответствия между ними, придуманного Джеймсом Джозефом Сильвестром (тем самым, в честь которого названа упомянутая выше медаль).

Джеймс Джозеф Сильвестр (1814–1897). Изображение с сайта ru.wikipedia.org

Сильвестр был, по-видимому, первым математиком, который исследовал разбиения чисел на слагаемые с помощью клетчатых картинок. Впоследствии эти картинки получили название «диаграммы Юнга» или «диаграммы Феррерса» в честь двух других британских математиков, младших современников Дж. Сильвестра.

Пусть есть разбиение на нечётные слагаемые. Сильвестр предлагал нарисовать диаграмму, в которой этим слагаемым соответствуют горизонтальные ряды (строки), причем располагать эти ряды симметрично относительно центра (это можно сделать именно благодаря нечётности всех слагаемых, рис. 1). А для установления соответствия он рассматривал «крюки», которые на рисунке 1 изображены чередующимися цветными рядами. Первый крюк идет снизу по центральному ряду до верхней строки, а потом продолжается по этой строке вправо. Следующий крюк — по соседнему слева ряду снова до верхней строки, а затем по первой строке до конца влево. Потом — снова крюк справа, но уже до второй строки, и так далее. В итоге получается уже знакомое нам по соответствию Глейшера разбиение (18, 15, 13, 9, 8, 7, 4, 1). Не правда ли, красиво? К сожалению, столь же красивого обратного соответствия Сильвестр не дал. Вместо этого он просто привёл алгебраическое доказательство того, что такое соответствие является взаимно-однозначным.

К слову, Сильвестр не ограничился одним новым соответствием, а попутно в той же работе доказал и несколько других новых фактов про нечётные и строгие разбиения. В частности, он обнаружил соответствие между нечётными разбиениями, содержащими ровно k различных чисел, и разбиениями на различные числа, содержащими ровно k «цепочек» — подпоследовательностей из идущих подряд натуральных чисел. Это привело его к следующей теореме.

Теорема Сильвестра (1882). Количество разбиений числа N на нечётные части, среди которых ровно k различных чисел, равно количеству разбиений N на различные части, в которых встречаются ровно k цепочек.

Ясно, что исходный результат Эйлера получается в качестве следствия из теоремы Сильвестра — простым сложением по всем k.

Однако математика не стоит на месте, и красивое соответствие все-таки было найдено, причём совсем недавно, в самом конце ХХ века. Сделали это два корейских математика Ким Донсу и И Эчжа (в тот момент второй из них был еще студентом, а ныне он — профессор в Университете штата Пенсильвания). Я приведу картинку, взятую из их статьи A note on partitions into distinct parts and odd parts, и кратко прокомментирую ее, предоставляя возможность читателю самостоятельно додумать детали.

Нарисуем картинку разбиения на различные части, начав с самых маленьких частей, то есть с единицы: 1 + 4 + 7 + 8 + 9 + 13 + 15 + 18 (рис. 2). Если количество частей нечётно, то в качестве самой маленькой части добавим 0. Первую часть поместим в первую строку, вторую — в строку под ней, причем выровняв ее по левому краю первой строки. Третью часть поместим в третью строку, но выровняем ее со второй строкой по правому краю, и так далее, чередуя выравнивание по левому и по правому краям. Так как все части различны, то в результате все вертикальные края (и левые, и правые), кроме последнего, будут иметь высоту 2.

Кроме того, нарисуем жирную вертикальную черту — разделитель — на расстоянии от правого края, равном знакочередующейся сумме частей

Тогда все столбцы правее разделителя содержат нечётное число клеток (ведь каждая вертикаль состоит из одной нижней строки и чётного числа других строк) и могут рассматриваться как сумма нечётных слагаемых:

(эти числа подписаны в первом ряду под диаграммой, справа от разделителя). При этом все последовательные нечётные числа от 1 до 7 встречаются хотя бы один раз. Следовательно, к 1 можно прибавить число клеток в паре нижних строк слева от разделителя (то есть 14), к 3 — число клеток в паре следующих строк (10), к 5 — клетки из следующей пары (8), а к 7 — клетки последней пары строк (2). Эти слагаемые подписаны во второй строке под диаграммой. Наконец, в третьей строке выписаны суммы первой и второй строки — тоже нечётные, поскольку вся вторая строка состоит из чётных чисел. Ясно, что каждая клетка диаграммы учтена ровно один раз — клетки правее разделителя вошли в слагаемые первой строки. А клетки левее разделителя вошли в слагаемые второй строки. Тем самым мы получили соответствие между различными слагаемыми и нечётными слагаемыми, причём — то же самое соответствие, которое было предложено Сильвестром.

А как построить обратное соответствие? Метод Кима – И здесь во многом повторяет способ Сильвестра, но выглядит, пожалуй, даже естественнее.

Выпишем убывающую последовательность из чисел нечётного разбиения (a₁ = 15, a₂ = a₃ = 13, a₄ = 9, a₅ = a₆ = 7, a₇ = a₈ = a₉ = 3, a₁₀ = a₁₁ = 1) и будем от первого члена отнимать 1, от второго — 3, от третьего — 5, и так далее до тех пор, пока разности будут положительны. То есть запишем равенства 15 = 1 + 14, 13 = 3 + 10, 13 = 5 + 8, 9 = 7 + 2. Это сразу даст нам нужное разбиение третьей строчки под диаграммой на первую и вторую. Затем все числа первой строчки перенесём в диаграмму справа от разделителя, а каждое чётное число второй строчки «уложим» в две строки слева от разделителя. В результате получим диаграмму, в которой нижняя строка будет самой длинной, а каждая следующая строка будет короче предыдущей. Суммируя клетки этой диаграммы по строкам, получим разбиение на различные слагаемые.

Результат Кима – И — даже при том, что они фактически просто переформулировали Сильвестра — использует понятие разделителя, которого не было в оригинале. А значит, тоже позволяет доказать более сильный факт. Но удивительно даже не это, а то, что этот факт был открыт на несколько лет раньше, чем появилась красивая картинка от корейцев!

Теорема о разбиениях на d нечётных частей (М. Буске-Мело, К. Эриксон, 1997). Количество разбиений числа N на попарно различные части, имеющие знакочередующуюся сумму d, равно количеству разбиений N на d нечётных частей.

Источник