что такое равенство треугольников

Треугольник. Признаки равенства треугольников.

Треугольник – геометрическая фигура, сформированная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не принадлежащие одной прямой.

Стороны треугольника формируют в вершинах треугольника три угла. Перефразируя, треугольник – это многоугольник, у которого три угла.

Практическое значение признаков равенства треугольников сводится к нижеследующему: согласно формулировке треугольники равны, в случае когда получается их наложить друг на друга так, чтобы они совпали; однако реализовать наложение треугольников иногда бывает трудно, а иногда и невозможно.

Признаки равенства треугольников позволяют заменить наложение треугольников нахождением и сопоставлением отдельных основополагающих компонентов (сторон и углов) и таким образом обосновать равенство треугольников.

У равных треугольников тождественны и их соответствующие элементы.

И так треугольники равны, если у них соответственно равны:

1. Две стороны и угол между ними:

что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольников

2. Сторона и прилежащие к ней два угла:

что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольников

что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольников

Еще выделяют четвертый признак, который не так широко освещен в школьном курсе математики как предыдущие три. Он формулируется следующим образом:

Если две стороны первого треугольника соответственно равны двум сторонам второго треугольника и угол, противолежащий большей из этих сторон в первом треугольнике, равен углу, противолежащему соответственно равной ей стороне во втором треугольнике, то эти треугольники равны.

Источник

Что такое равенство треугольников

что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольников

Треугольник — фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами.

Треугoльник — жесткая фигура. Это свойство используют при строительстве мостовых арок, конструировании подъемных кранов и т.д. Свойства треугольника системно изложены в «Началах» Эвклида. Знак для обозначения треугольника еще в I в. н.э. применил древнегреческий учений Герон, а знак Δ применяется с IV в. н.э.

что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольников

Медиана, биссектриса и высота треугольника

что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольников

Равные треугольники

что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольников

Аксиома существования треугольника, равного данному.
Каким бы ни был треугольник, существует треугольник, равный ему в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Свойства равных треугольников
1. В равных треугольниках соответствующие стороны равны.
2. В равных треугольниках соответствующие углы равны.
3. Периметры равных треугольников равны.
4. Площади равных треугольников равны.
5. Против равных сторон лежат равные углы.
6. Против равных углов лежат равные стороны.

Признаки равенства треугольников

что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольников

Дополнительные признаки равенства
• Если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне треугольника, соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне другого треугольника, такие треугольники равны.
• Если два угла и высота,проведенная к стороне, к которой прилегают эти углы, одного треугольника, соответственно равны двум углам и высоте, проведенной к стороне, к которой прилегают эти углы, другого треугольника, то такие треугольники равны.
• Если сторона, высота и медиана, проведенные к стороне одного треугольника, соответственно равны стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне другого треугольника, то эти треугольники равны.
• Если медиана и углы, на которые она делит угол, одного треугольника, соответственно равны медиане и углам,на которые она делит угол, другого треугольника, эти треугольники равны.

Это конспект по теме «Треугoльник. Равенство треугольников». Выберите дальнейшие действия:

Источник

Признаки равенства треугольников

что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольников

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольников

При наложении △A1B1C1 на △ABC вершина A1 совмещается с вершиной A, и сторона A1B1 накладывается на сторону AB, AC — на сторону A1C1.

Сторона A1B1 совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B1, сторона A1С1 совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C1.

Значит, происходит совмещение вершин В и В1, С и С1.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольников

Путем наложения △ABC на △A1B1C1, совмещаем вершину А с вершиной A1, вершины В и В1 лежат по одну сторону от А1С1.

Тогда АС совмещается с A1C1, вершина C совпадает с C1, поскольку мы знаем, что АС = A1C1.

AB накладывается на A1B1, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A1.

CB накладывается на C1B1, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C1.

Вершина B совпадает с вершиной B1.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольников

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A1B1C1 таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C и вершина C1 лежат по разные стороны от прямой А1В1.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Источник

Равенство треугольников

Мы знаем, что две геометрические фигуры считаются равными, если их можно совместить наложением. Это справедливо и для треугольников. Равные фигуры имеют равные размеры и формы, значит, если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

Пример:

что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольников

что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольников

Равенство треугольников ABC и A1B1C1 обозначается так: что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольниковABC = что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольниковA1B1C1

В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Для примера рассмотрим одну из пар сторон треугольников: BC = B1C1, значит, что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольниковA = что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольниковA1 и наоборот: из того что что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольниковA = что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольниковA1, следует, что BC = B1C1.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Повторение. Треугольник. Равенство треугольников

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Признаки равенства треугольников.

1 признак. Если две стороны и угол между ними одного
треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2 признак. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3 признак. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

В любом треугольнике:

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.

На рисунке изображены равные треугольники ABC и А1В1С1. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины, стороны и углы.

что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольников

Первый признак равенства треугольников:

По двум сторонам и угол между ними.

что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольников

Второй признак равенства треугольников:

По стороне и двум прилежащим к ней углам.

что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольников

Третий признак равенства треугольников:

что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольников

Свойства прямоугольных треугольников.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Решение задач по теме: «Прямоугольный треугольник».

Дано: ∠C = 44°.Найдите: ∠ABD.

Помним, что сумма острых углов равна 90°. Равные углы отмечены на рисунке. ∠ABD = 44°.

что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольников

Дано: AB = 6. Найдите: AC.

Указания к решению: помним, что против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. На рисунке найдите три треугольника, в каждом из которых, есть угол 30°.

что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольников

В треугольнике ABC против угла С = 30°, лежит катет AB = ½AC. Значит, AC = 12.

Задача 3. В ∆АВС: ∠А = 30°, ∠В = 80°. Биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Найти величину ∠АОВ.

что такое равенство треугольников. Смотреть фото что такое равенство треугольников. Смотреть картинку что такое равенство треугольников. Картинка про что такое равенство треугольников. Фото что такое равенство треугольников

Сумма углов А и В равна 110°. Сумма их половинок равна 55°. Тогда: ∠АОВ = 180° – 55° = 125°.

Может ли существовать треугольник со сторонами: 14 см, 17 см, 10 см?

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *