что такое прямая пропорциональность функции

Прямая пропорциональность

Содержание

Пример

Масса керосина пропорциональна его объёму: 2 л керосина весят 1,6 кг, 5 л весят 4 кг, 7 л весят 5,6 кг. Отношение массы к объёму всегда будет равно плотности:

1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 и т. д.

Коэффициент пропорциональности

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность — функциональная зависимость, при которой некоторая величина зависит от другой величины таким образом, что их отношение остаётся постоянным. Иначе говоря, эти переменные изменяются пропорционально, в равных долях, то есть, если аргумент изменился в два раза в каком-либо направлении, то и функция изменяется тоже в два раза в том же направлении.

Математически прямая пропорциональность записывается в виде формулы:

Графиком прямой пропорциональности является прямая линия, проходящая через начало координат.

Обратная пропорциональность

Обра́тная пропорциона́льность — это функциональная зависимость, при которой увеличение независимой величины(аргумента) вызывает пропорциональное уменьшение зависимой величины(функции).

Математически обратная пропорциональность записывается в виде формулы:

См. также

Источники

Полезное

Смотреть что такое «Прямая пропорциональность» в других словарях:

прямая пропорциональность — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN direct ratio … Справочник технического переводчика

прямая пропорциональность — tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. direct proportionality vok. direkte Proportionalität, f rus. прямая пропорциональность, f pranc. proportionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ — (от лат. proportionalis соразмерный, пропорциональный). Соразмерность. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ отлат. proportionalis, пропорциональный. Соразмерность. Объяснение 25000… … Словарь иностранных слов русского языка

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ — ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ, пропорциональности, мн. нет, жен. (книжн.). 1. отвлеч. сущ. к пропорциональный. Пропорциональность частей. Пропорциональность телосложения. 2. Такая зависимость между величинами, когда они пропорционально (см. пропорциональный … Толковый словарь Ушакова

Пропорциональность — Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.[1]. Содержание 1 Пример 2 Коэффициент пропорциональности … Википедия

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ — ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ, и, жен. 1. см. пропорциональный. 2. В математике: такая зависимость между величинами, при к рой увеличение одной из них влечёт за собой изменение другой во столько же раз. Прямая п. (при к рой с увеличением одной величины… … Толковый словарь Ожегова

пропорциональность — и; ж. 1. к Пропорциональный (1 зн.); соразмерность. П. частей. П. телосложения. П. представительства в парламенте. 2. Матем. Зависимость между пропорционально изменяющимися величинами. Коэффициент пропорциональности. Прямая п. (при которой с… … Энциклопедический словарь

пропорциональность — и; ж. 1) к пропорциональный 1); соразмерность. Пропорциона/льность частей. Пропорциона/льность телосложения. Пропорциона/льность представительства в парламенте. 2) матем. Зависимость между пропорционально изменяющимися величинами. Коэффициент… … Словарь многих выражений

Обратная пропорциональность — Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.[1]. Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квадрата зависит от длины его стороны, и обратно,… … Википедия

линейная зависимость — прямая пропорциональность. множитель. см. константа … Идеографический словарь русского языка

Источник

Прямая и обратная пропорциональность

Пропорциональность — это зависимость одной величины от другой, при которой изменение одной величины приводит к изменению другой во столько же раз.

Пропорциональность величин может быть прямой и обратной.

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой одна величина зависит от второй величины так, что их отношение остаётся неизменным. Такие величины называются прямо пропорциональными или просто пропорциональными.

Рассмотрим пример прямой пропорциональности на формуле пути:

где s — это путь, v — скорость, а t — время.

При равномерном движении путь пропорционален времени движения. Если взять скорость v равной 5 км/ч, то пройденный путь s будет зависеть только от времени движения t:

Из примера видно, что во сколько раз увеличивается время движения t, во столько же раз увеличивается пройденное расстояние s. В примере мы увеличивали время каждый раз в 2 раза, так как скорость не менялась, то и расстояние увеличивалось тоже в два раза.

В данном случае скорость (v = 5 км/ч) является коэффициентом прямой пропорциональности, то есть отношением пути ко времени, которое остаётся неизменным:

Если время движения остаётся неизменным, то при равномерном движении расстояние будет пропорционально скорости:

В этом примере коэффициентом прямой пропорциональности, то есть, отношением пути к скорости, которое остаётся неизменным, является время (t = 2 ч):

Из данных примеров следует, что две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Формула прямой пропорциональности

Формула прямой пропорциональности:

где y и x — это переменные величины, а k — это постоянная величина, называемая коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Обратная пропорциональность

Обратная пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой увеличение одной величины приводит к пропорциональному уменьшению другой. Такие величины называются обратно пропорциональными.

Рассмотрим пример обратной пропорциональности на формуле пути:

где s — это путь, v — скорость, а t — время.

При прохождении одного и того же пути с разной скоростью движения время будет обратно пропорционально скорости. Если взять путь s равным 120 км, то потраченное на преодоление этого пути время t будет зависеть только от скорости движения v:

Из примера видно, что во сколько раз увеличивается скорость движения v, во столько же раз уменьшается время t. В примере мы увеличивали скорость движения каждый раз в 2 раза, а так как расстояние, которое нужно преодолеть, не менялось, то количество времени на преодоление данного расстояния сокращалось тоже в два раза.

В данном случае путь (s = 120 км) является коэффициентом обратной пропорциональности, то есть произведением скорости на время:

10 · 12 = 20 · 6 = 40 · 3 = 80 · 1,5 = 120.

Из данного примера следует, что две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Формула обратной пропорциональности

Формула обратной пропорциональности:

где y и x — это переменные величины, а k — это постоянная величина, называемая коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

Источник

Свойства прямой пропорциональности, область определения и значения

Прямая пропорциональность — базовые понятия

Пропорциональностью в алгебре называют зависимость между парой величин, при которой изменение одной из них приводит к изменению другой во столько же раз.

Пропорциональность бывает двух видов:

Предположим, что скорость движения автомобиля составляет 50 км/ч. По определению, скоростью является расстояние, преодолеваемое за единицу времени. В данном случае транспортное средство проезжает 50 километров в течение 1 часа.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Если автомобиль движется в течение еще одного часа с такой же скоростью 50 км/ч, то он преодолеет расстояние в 100 км.

Согласно примеру, увеличение времени в 2 раза сопровождается увеличением пройденного расстояния во столько же раз, то есть в 2 раза. Величины времени и расстояния будут прямо пропорциональными. Они обладают взаимосвязью, которую называют прямой пропорциональностью.

Прямая пропорциональность – это взаимосвязь между двумя величинами, при которой увеличение одной из них приводит к увеличению другой во столько же раз и, наоборот, при уменьшении одной величины в какое-то число раз, другая величина уменьшается во столько же раз.

Предположим, что вначале водитель планировал проехать 100 км за 2 часа, но после того, как он преодолел 50 км, произошла остановка. В таком случае, уменьшая расстояние в 2 раза, получим, что время уменьшится тоже в 2 раза.

Особенностью прямо пропорциональных величин является стабильность их отношений. Таким образом, во время изменения значений прямо пропорциональных величин, их отношение остается постоянным. Рассмотренная ситуация характеризуется изменением расстояния с 50 км при значении времени в 1 час. Отношение расстояния ко времени равно 50 и определяется формулой:

После увеличения времени движения автомобиля в 2 раза, оно составит 2 часа. Таким образом, расстояние также увеличилось в 2 раза до 100 км. Отношение 100 км к 2 часам равно числу 50:

Число 50 представляет собой коэффициент прямой пропорциональности. Эта величина демонстрирует, какое расстояние соответствует одному часу движения. В условиях рассматриваемого примера данный коэффициент является скоростью движения автомобиля, исходя из ее определения.

С помощью прямо пропорциональных характеристик можно составлять пропорции. Например, записанные ранее отношения составляют пропорционально:

Представленное выражение читают таким образом: 50 км так относятся к 1 часу, как 100 км относятся к 2 часам.

Линейное уравнение относительно двух переменных x и y имеет такой вид:

Известно, что график записанного равенства является прямая линия, любая точка на которой имеет два числа в виде координат x и y, то есть абсциссы и ординаты. Каждая точка этой прямой соответствует заданному уравнению. Если выразить y через x, получим:

Сделать уравнение более удобным можно с помощью следующих обозначений:

Данным способом была выведена линейная функция y от x в общем виде. В этом случае были применены новые обозначения:

В том случае, когда m = 0, уравнение примет вид:

Данная функция представляет собой прямую пропорциональность. Она определяется с помощью единственного параметра k.

Исследование функции прямой пропорциональности и ее график

Функция, которая обладает видом y = kx, где k — число (k≠0), является функцией прямой пропорциональности.

Число k представляет собой коэффициент пропорциональности. Переменная y пропорциональна переменной x. Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции

График прямой пропорциональности изображают в виде прямой, которая пересекает начало координат или точку O (0;0). Для того чтобы построить график прямой пропорциональности, требуется взять одну точку, вторая – будет точкой O.

Прямая пропорциональность характеризуется следующими свойствами:

Функция будет обладать отрицательными значениями, если значения аргумента отрицательные:

Величина k представляет собой угловой коэффициент прямой y = kx. С другой стороны, k является тангенсом угла α, образованного прямой и положительным направлением оси Ох.

В качестве примера можно рассмотреть такие функции:

Необходимо представить данные в виде таблицы:

График примет такой вид:

Прямые, которые были построены, параллельны. Это объясняется равенством их угловых коэффициентов. Согласно теореме, если y = kx является графиком прямой пропорциональности, тогда график y = kx + m будет ему параллелен, так как коэффициентом k определяется угол наклона к оси x, и данный коэффициент y функций будет обладать равными значениями.

Примеры задач на прямую пропорциональность

Требуется определить соотношение между угловыми коэффициентами, согласно графику:

Требуется построить график прямой пропорциональности при том, что на данном графике есть точка с координатами (2;8).

Построить прямую можно через пару точек. Первая будет обладать координатами (0;0), исходя из того, что любой график прямой пропорциональности пересекает точку (0;0). Вторая точка дана в условии задачи (2;8).

Задачу можно решить другим способом. Согласно координатам точки (2;8), получим:

Данные выражения подходят для уравнения вида:

Можно подставить известные значения и определить k:

Таким образом, уравнение примет вид:

С помощью данного уравнения можно построить график:

Источник

Прямая и обратная пропорциональность — формулы, свойства и графики функций

Одно из основных понятий курса математики в 6 классе – это прямая и обратная пропорциональность. Если некоторая величина (время, масса, цена) изменяется, и одновременно другая величина (расстояние, объем, затраты) тоже меняется, то величины находятся в зависимости между собой, то есть пропорциональны друг другу.

Взаимосвязь между величинами не всегда означает наличие пропорциональности. Так, высота дерева растет с его возрастом, но не во столько же раз. Составление пропорций помогает решить многие задачи как в математике, так и на практике.

Прямая пропорциональность

Если при изменении одного параметра другой изменяется таким же образом, то эти величины прямо пропорциональны друг другу. В этой пропорции увеличение расстояния вдвое означает увеличение времени также двукратно.

Например, при движении автомобиля с постоянной скоростью, время, затраченное на преодоление расстояния, будет прямо пропорционально этому расстоянию. То есть, если 50 км автомобиль проедет за 1 час, то 100 км с той же скоростью он преодолеет за 2 часа.

Функция прямой пропорциональности и ее график

Эта зависимость описывается следующей формулой:

Здесь k и называется коэффициентом пропорциональности.

Графически функция изображается прямой, которая пройдет через начальную точку координат. Строят график следующим образом: находят одну точку, затем чертят прямую через эту точку и начало координат.

Пример построения

Нужно построить график у = 3х. Подставляем вместо х единицу, вычисляем y = 3, то есть находим координаты (1; 3). Отмечаем эту точку на координатной плоскости, проводим прямую линию через нее и точку (0; 0).

Вот так будет выглядеть график y = k * x при k > 0 (слева) и при k Свойства функции прямой пропорциональности

Основные свойства следующие:

область определения, значений составляют все действительные числа;

возрастает при всех значениях x, если k > 0;

если коэффициент со знаком «-», т. е. если k 0, то прямая располагается в 1 — 3 координатных четвертях и образует острый угол с осью Х, если k Обратная пропорциональность

Рост одного параметра ведет к уменьшению другого в такое же количество раз, и наоборот, при уменьшении одной величины другая увеличивается во столько же. Это значит, что они обратно пропорциональны друг другу.

Пример: трое рабочих выполнят порученную им работу за 2 часа, а 6 человек такое же задание осилят за 1 час. То есть двукратное увеличение числа работников привело к уменьшению затраченного времени вдвое. Конечно, если прочие факторы неизменны (производительность труда, условия работы).

Функция обратной пропорциональности и ее график

Функция задается формулой:

где k – любое действительное число, кроме 0.

График данной зависимости — это гипербола, ее ветви находятся в 1 и 3 четвертях системы координат при k > 0, или во 2 и 4, если коэффициент меньше 0. Ветви гиперболы симметричны относительно точки (0; 0).

Строят график так: нужно задать значения х, затем вычислить значения у, результаты оформить в виде таблицы. Верхняя строка таблицы заполняется значениями х, нижняя — y.

Пример построения

Нужно построить график функции y = 8/x.

Вот так выглядит таблица для данной функции:

Полученные точки отмечают на координатной плоскости, затем соединяют плавной линией. График будет выглядеть так:

Свойства функции обратной пропорциональности

области определения, значений функции D(y) – это все действительные числа, кроме 0, т. е. D(y):= x ≠ 0;

если коэффициент больше 0, функция является убывающей для всех x; если меньше 0, то y увеличивается для любых значений x;

оси координат 0х и 0у — это асимптоты по отношению к ветвям гиперболы, которые приближаются к ним, но не достигают их.

К составлению математических пропорций во многих случаях сводится решение самых разнообразных задач. Например, покупая 1 булочку по определенной цене, подсчитывают затраты на 4 булочки – получается в 4 раза больше.

Ускоряют шаг при ходьбе в 2 раза – достигнут цели вдвое быстрее. Вводят второго кассира в магазине – убывает очередь вдвое. Во всех этих случаях и им подобным применима теория о прямой и обратной пропорциональности.

Источник

Прямая пропорциональность и её график

Урок 15. Алгебра 7 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Прямая пропорциональность и её график»

· ввести понятие «прямая пропорциональность»;

· привести примеры, когда прямая пропорциональность встречается в повседневной жизни;

· построить график прямой пропорциональности;

· определить от чего зависит расположение графика в координатной плоскости.

Давайте рассмотрим пример.

Обратите внимание, что если переменную t увеличить, например, в 2 раза, то и переменная H также увеличится в 2 раза. То есть:

Также заметим, что зависимость высоты растения от времени его роста мы задали формулой вида:

В рассматриваемом примере: k = 2,5, а переменная t является независимой.

С прямой пропорциональностью мы с вами часто встречаемся в повседневной жизни.

Теперь давайте построим график прямой пропорциональности:

Видим, что все точки лежат на одной прямой, которая проходит через начало координат. Для убедительности можем даже приложить линейку.

Таким образом, можем сформулировать определение.

Графиком прямой пропорциональности y = kx является прямая, проходящая через начало координат.

Нам известно, что прямая определяется двумя точками. А значит, для построения графика функции y = kx достаточно указать любую точку графика этой функции, которая отличается от точки с координатами: (0, 0), то есть от начала координат.

А теперь посмотрите на рисунок, на котором изображены графики прямой пропорциональности.

Обратите внимание, что графики тех функций, которые имеют положительный коэффициент k расположены в первой и третьей координатных четвертях, а которые имеют отрицательный коэффициент k – во второй и четвёртой четвертях. То есть расположение графика функции y = kx в координатной плоскости зависит от коэффициента k.

Источник