что такое противолежащий катет в прямоугольном треугольнике

Основные понятия

Прямоугольным треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек и отрезков, которые их соединяют. При этом один из углов обязательно равен 90°.

Чтобы точно знать, как определить противолежащий и прилежащий катеты, стоит запомнить утверждение: противолежащая сторона в прямоугольном треугольнике — это часть фигуры, которая размещена напротив этого угла, другая же будет прилежащей к гипотенузе. Отличить их очень просто: к примеру, в треугольнике ABC катетом, противолежащим ∠А, будет сторона ВС. По отношению к ∠С им станет АВ. Важное свойство: если противолежащий угол равен 30°, то катет будет равняться половине гипотенузы.

Чтобы легко понять размещение, стоит запомнить утверждение: в названии стороны, что находится напротив определенного угла, нет буквы, которая его обозначает. Он всегда будет острым, поскольку напротив 90° находится гипотенуза.

Слово «катет» имеет греческое происхождение. Оно переводится как «перпендикуляр», «опущенный», «отвесной». Это название распространено в архитектуре, здесь оно имеет значение отвеса, который опускают через середину задка ионической капители.

Катет в тригонометрии

Длину сторон можно найти, обратившись к тригонометрии. Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике является отношение противоположного катета к гипотенузе. Выражается это утверждение так: sin А = a/с.

Косинус — отношение противоположного угла к гипотенузе. Это выражение описывается формулой cos А = b/с. Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему, что можно записать следующим образом: tg А = а/b.

Решение задач

Для решения задач часто используются понятия синус, косинус и тангенс. Здесь нужно руководствоваться формулой с = a/sin а = b/sin b, где c — гипотенуза, а и b — катеты, противоположные определенным углам. Если в задаче требуется найти сторону, то формула имеет другой вид:

Используя тригонометрическое значение угла (тангенс), для нахождения противолежащей стороны применяют формулы a = b/tg b и b = a/tg a. Часто в заданиях используют углы 30, 45, 60 и 90°, поэтому для практического использования стоит запомнить их тригонометрическое значение. Решение задач происходит по алгоритму, который включает следующие действия:

В конце приступают к решению, то есть записывают соотношение известных понятий.

Пример задачи: есть треугольник АВС, где ∠С = 90°, sin А = 7/25, АВ = 5 см. Найти сторону АС. При решении нужно использовать формулу sin А = ВС/АВ = 7/25.

По условию АВ = 5 см, то есть АВ = 25х = 5, тогда х = 1/5. Если х = 1/5, то АС = 24/5 = 4,8 см.

Таким образом, изучая материал о прямоугольных треугольниках, ученики знакомятся с катетами и их свойствами. Они учатся решать задания, используя различные понятия либо комбинируя приобретенные ранее знания с новой темой.

Источник

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора:

, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Источник

Противолежащий катет в прямоугольном треугольнике — определение, формулы и задачи

Важным понятием в геометрии, с которым дети знакомятся в начальных классах, является прямоугольный треугольник. Противолежащий катет этой фигуры часто используется для решения геометрических задач. Одна и та же сторона может быть как противолежащей, так и прилежащей. Всё зависит от того, по отношению к какому углу она рассматривается.

Основные понятия

Прямоугольным треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек и отрезков, которые их соединяют. При этом один из углов обязательно равен 90°.

Чтобы точно знать, как определить противолежащий и прилежащий катеты, стоит запомнить утверждение: противолежащая сторона в прямоугольном треугольнике — это часть фигуры, которая размещена напротив этого угла, другая же будет прилежащей к гипотенузе. Отличить их очень просто: к примеру, в треугольнике ABC катетом, противолежащим ∠А, будет сторона ВС. По отношению к ∠С им станет АВ. Важное свойство: если противолежащий угол равен 30°, то катет будет равняться половине гипотенузы.

Чтобы легко понять размещение, стоит запомнить утверждение: в названии стороны, что находится напротив определенного угла, нет буквы, которая его обозначает. Он всегда будет острым, поскольку напротив 90° находится гипотенуза.

Слово «катет» имеет греческое происхождение. Оно переводится как «перпендикуляр», «опущенный», «отвесной». Это название распространено в архитектуре, здесь оно имеет значение отвеса, который опускают через середину задка ионической капители.

Катет в тригонометрии

Длину сторон можно найти, обратившись к тригонометрии. Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике является отношение противоположного катета к гипотенузе. Выражается это утверждение так: sin А = a/с.

Косинус — отношение противоположного угла к гипотенузе. Это выражение описывается формулой cos А = b/с. Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему, что можно записать следующим образом: tg А = а/b.

Решение задач

Для решения задач часто используются понятия синус, косинус и тангенс. Здесь нужно руководствоваться формулой с = a/sin а = b/sin b, где c — гипотенуза, а и b — катеты, противоположные определенным углам. Если в задаче требуется найти сторону, то формула имеет другой вид:

Используя тригонометрическое значение угла (тангенс), для нахождения противолежащей стороны применяют формулы a = b/tg b и b = a/tg a. Часто в заданиях используют углы 30, 45, 60 и 90°, поэтому для практического использования стоит запомнить их тригонометрическое значение. Решение задач происходит по алгоритму, который включает следующие действия:

В конце приступают к решению, то есть записывают соотношение известных понятий.

Пример задачи: есть треугольник АВС, где ∠С = 90°, sin А = 7/25, АВ = 5 см. Найти сторону АС. При решении нужно использовать формулу sin А = ВС/АВ = 7/25.

Введем длину единичного отрезка, которая равная х см, тогда BC = 7x, АВ = 25x. Используя теорему Пифагора, где c² = a² + b², получаем AC² = (25x)² — (7x)² = 24x.

По условию АВ = 5 см, то есть АВ = 25х = 5, тогда х = 1/5. Если х = 1/5, то АС = 24/5 = 4,8 см.

Таким образом, изучая материал о прямоугольных треугольниках, ученики знакомятся с катетами и их свойствами. Они учатся решать задания, используя различные понятия либо комбинируя приобретенные ранее знания с новой темой.

Источник

Прямоугольные треугольники

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

Подставим найденное значение в формулу косинуса

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

Источник

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

следовательно: c = √ a² + b²

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по двум углам

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

Источник