что такое пропорциональные отрезки
Пропорциональные отрезки
Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам AB1 и CD1, если:
Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, т.е. \( \frac
Пример 1. На рисунке 1 заданы отрезки \( \small AB, \; CD, \; A_1B_1,\; C_1D_1. \) Определить, являются ли отрезки \( \small AB \) и \( \small CD \) пропорциональны отрезкам \( \small A_1B_1 \) и \( \small C_1D_1 \).
 |
Решение. Запишем длины отрезков:
  . |
Отношение отрезков 
и 
равно:
 |
Отношение отрезков 
и 
равно:
 |
значит отрезки и пропорциональны отрезкам и .
Легко убедится, что выполяется также равенство (2) (это следует также из правила перекрестного умножения):
 ,  . |
Пример 2. На рисунке 2 заданы отрезки \( \small AB, \; CD, \; A_1B_1,\; C_1D_1. \) Определить, являются ли отрезки \( \small AB \) и \( \small CD \) пропорциональны отрезкам \( \small A_1B_1 \) и \( \small C_1D_1 \).
 |
Решение. Запишем длины отрезков:
  . |
 ,  . |
Следовательно отрезки и не пропорциональны отрезкам и .
Пропорциональные отрезки
Всего получено оценок: 309.
Всего получено оценок: 309.
Пропорциональные отрезки очень важны для определения подобия фигур. К тому же, правильно нареченные пропорционально рисунки помогают в правильном решении математических задач. Именно поэтому так важно разбираться в данной тематике.
Определение
Пропорциональными отрезками называются отрезки, у которых имеется постоянный коэффициент пропорциональности. Под коэффициентом пропорциональности понимается отношение длин отрезков.
Рис. 1. Пропорциональные отрезки.
Согласно определению пропорциональных отрезков, два отрезка всегда пропорциональны между собой, поскольку их длины не меняются со временем. Значит, не меняется и коэффициент пропорциональности.
Несмотря на это, чаще всего под пропорциональными отрезками понимают отрезки с коэффициентом кратным 0,5. Например, отрезки с коэффициентом 2,5, 1,5, 2 и тому подобные.
Пропорциональными будут являться и отрезки, составляющие подобные фигуры. Это действует в обе стороны. Если фигуры подобны, то их стороны пропорциональны, если все стороны пропорциональны, то фигуры подобны.
Подобные фигуры
Нужно понимать, что подобными фигурами могут быть не только треугольники, но вообще любые фигуры в геометрии, если все углы этих фигур равны, а длины сторон пропорциональны.
Рис. 2. Подобные фигуры.
Но при этом признаки подобия существуют только для треугольников. Их всего 3:
Пропорциональными могут быть только отрезки, как объекты имеющие длину. Прямая или луч бесконечны, а потому не могут быть подобными.
Пример
Решим небольшую задачу на пропорциональность отрезков. Имеется 3 пропорциональных отрезка. Каждый из которых больше предыдущего. Первый отрезок равен 5, третий 20. Необходимо найти длину второго отрезка.
Отрезки пропорциональны, значит отношение больших к меньшим будет постоянным. Обозначим неизвестны отрезок за х и решим уравнение.
Перенесем выражение из правой части в левую. Приведем получившееся выражение под один знаменатель и решим дробно-рациональное уравнение.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое пропорциональные отрезки. Выделили области, где могут быть применены навыки обращения с пропорциональными длинами и привели пример на заданную тему.
Пропорциональные отрезки
Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, то есть 
.
Говорят, что отрезки AB и СD пропорциональны отрезкам 
и 
, если
.
Например, отрезки AB и CD, длины которых равны 2 и 1 см, пропорциональны отрезкам и , длины которых равны 3 см и 1.5 см. В самом деле, 
.
Понятие пропорциональности аналогичным образом вводится и для большего числа отрезков:
Понятие пропорциональных отрезков используется в теореме Фалеса, а также в аффинной геометрии.
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Пропорциональные отрезки» в других словарях:
Теорема Фалеса — Эта теорема о параллельных прямых. Об угле, опирающемся на диаметр, см. другую теорему. Теорема Фалеса одна из теорем планиметрии. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести… … Википедия
ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… … Энциклопедия Кольера
Трапеция — У этого термина существуют и другие значения, см. Трапеция (значения). Трапеция (от др. греч. τραπέζιον «столик»; … Википедия
ЕВКЛИД — [греч. Εὐκλείδες] (кон. IV нач. III в. до Р. Х.), древнегреч. математик и педагог, представитель александрийской математической школы, широкую известность приобрел благодаря сочинению по основам математики, озаглавленному «Начала» (Στοιχεῖα, букв … Православная энциклопедия
ДИАГРАММА — ДИАГРАММА, наиболее распространенная форма графических изображений (см.), состоящая в том, что для выражения тех или иных количественных свойств явлений или для выражения закономерностей, установленных при помощи статистики, пользуются различными … Большая медицинская энциклопедия
КРИСТАЛЛЫ — (от греч. crystallos лед), однородные твердые тела, которые имеют закономерное внутреннее строение. Схемой такого строения является так называемая пространственная решот ка (см. рисунок), которую надо понимать как геометрический образ… … Большая медицинская энциклопедия
Биссектриса — (от лат. bis дважды и seco рассекаю) угла, прямая, проходящая через вершину угла и делящая его пополам. Б. треугольника отрезок Б. одного из углов треугольника от вершины угла до пересечения с противоположной стороной. Б. делит… … Большая советская энциклопедия
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ — Введение Э. т. (метрическая теория динамических систем) раздел теории динамических систем, изучающий их статистич. свойства. Возникновение Э. т. (1 я треть 20 в.) было стимулировано попытками доказать эргодическую гипотезу (термин введён П. и Т.… … Физическая энциклопедия
Математика
Четыре отрезка называются пропорциональными, если они такой величины, что образуют пропорцию. В этом случае отношение двух отрезков по длине равно отношению других двух отрезков.
Так четыре отрезка AB, CD, EF, GH (черт. 144) будут пропорциональными, если они удовлетворяют пропорции:
В этой пропорции под отрезками AB, CD подразумевают их длины. Так как длина отрезков может быть выражена числом, которое выражает отношение длины отрезка к длине, принятой за единицу, то под отрезками AB, CD, EF, GH можно подразумевать и сами числа.
На этом основании пропорция из отрезков обладает всеми свойствами пропорции, составленной из чисел.
Члены пропорции можно переставлять, перемножать и т. д.
Таким образом из пропорции (1) вытекает равенство
AB/EF = CD/GH, GH/CD = EF/AB и т. д.
Таким образом отрезок GH будет четвертым пропорциональным отрезкам EF, CD, AB. Отрезок AB четвертым пропорциональным отрезкам CD, EF, GH.
Теоремы о пропорциональных отрезках
В основу всех предположений о пропорциональных отрезках может быть положена следующая теорема.
Теорема 83. Если от вершины угла по стороне его отложим несколько равных частей и проведем через точки деления параллельные прямые до другой стороны угла, на последней отложатся тоже равные части.
Дан угол ABC (черт. 145), на одной стороне которого отложены равные части BD, DE, EF, FG и проведены параллельные линии DD’, EE’, FF’, GG’, то есть
BD = DE = EF = FG
DD’ || EE’ || FF’ || GG’
Требуется доказать, что
Доказательство. Проведем отрезок D’M параллельно лучу AB. Треугольники BDD’ и D’ME’ равны, ибо D’M = BD (потому что D’M = DE как части параллельных между параллельными, а DE = BD по условию, следовательно, D’M = BD).
∠B = ∠MD’E’ (как соответствующие углы при пересечении параллельных прямых BD и D’M третьей прямой BC).
∠BDD’ = ∠D’ME’ (ибо ∠BDD’ = ∠BEE’, а ∠BEE’ = ∠D’ME’). Следовательно, BD’ = D’E’.
Подобным же образом, проведя отрезок E’N параллельно AB, можно доказать, что D’E’ = E’F’. Следовательно,
Теорема 84. Если на одной прямой отложим несколько равных частей и проведем параллельные прямые до пересечения с другой прямой, на последней отложатся тоже равные части.
Дано. На прямой AB отложены равные части EF, FG и проведены параллельные прямые EE’, FF’, GG’ (черт. 146).
Требуется доказать, что E’F’ = F’G’ и т. д.
Доказательство. Проведем отрезки E’M, F’N параллельно прямой AB, тогда треугольники E’MF’ и F’NG’ равны, ибо E’M = F’N (E’M = EF, F’N = FG и так как EF = FG, то E’M = F’N).
∠ME’F’ = ∠NF’G’ как соответственные.
∠E’MF’ = ∠F’NG’ как углы с параллельными сторонами.
Теорема 85. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника, делит две другие его стороны на части пропорциональные.
Дано. В треугольнике ABC прямая DE || BC (черт. 147).
Требуется доказать, что
Доказательство. Здесь могут быть два случая:
1) когда отрезки AD и DB соизмеримы и
2) когда они несоизмеримы.
Первый случай. Отрезки AD и DB соизмеримы. Положим, что их общая мера укладывается m раз в отрезке AD и n раз в отрезке DB. Разделив AD на m и DB на n равных частей и проведя из точек деления прямые, параллельные BC, мы разделим также и отрезок AE на m, а EC на n равных частей (теорема 83).
Рядом с отношением
имеет место отношение
Докажем, что в этом случае не имеет мета ни неравенство
Чтобы имело место равенство, нужно второе отношение увеличить. Для этого нужно знаменатель этого отношения уменьшить, т. е. EC заменить меньшим отрезком EG. Тогда будет иметь место пропорция
Разделим отрезок AE на равные части, которые были бы меньше GC, и станем их откладывать от точки A по отрезку AC; тогда одна из частей упадет в точку α между G и C. Проведем из точки α прямую αβ параллельную BC, тогда отрезок AE будет соизмерим с E α и будет иметь место пропорция
Разделив отношение (1) на (2), получим равенство
Это равенство несообразно, ибо отношение D β /DB α /EG > 1, следовательно, неравенство (a) не имеет места, ибо ведет к несообразному заключению.
Точно также можно доказать, что не имеет места и неравенство
Пропорциональные отрезки – определение к теме
Пропорциональные отрезки очень важны для определения подобия фигур. К тому же, правильно нареченные пропорционально рисунки помогают в правильном решении математических задач. Именно поэтому так важно разбираться в данной тематике.
Определение
Пропорциональными отрезками называются отрезки, у которых имеется постоянный коэффициент пропорциональности. Под коэффициентом пропорциональности понимается отношение длин отрезков.
Рис. 1. Пропорциональные отрезки.
Согласно определению пропорциональных отрезков, два отрезка всегда пропорциональны между собой, поскольку их длины не меняются со временем. Значит, не меняется и коэффициент пропорциональности.
Несмотря на это, чаще всего под пропорциональными отрезками понимают отрезки с коэффициентом кратным 0,5. Например, отрезки с коэффициентом 2,5, 1,5, 2 и тому подобные.
Пропорциональными будут являться и отрезки, составляющие подобные фигуры. Это действует в обе стороны. Если фигуры подобны, то их стороны пропорциональны, если все стороны пропорциональны, то фигуры подобны.
Подобные фигуры
Нужно понимать, что подобными фигурами могут быть не только треугольники, но вообще любые фигуры в геометрии, если все углы этих фигур равны, а отрезки пропорциональны.
Рис. 2. Подобные фигуры.
Но при этом признаки подобия существуют только для треугольников. Их всего 3:
Рис. 3. Признаки подобия треугольников.
Пропорциональными могут быть только отрезки, как объекты имеющие длину. Прямая или луч бесконечны, а потому не могут быть подобными.
Пример
Решим небольшую задачу на пропорциональность отрезков. Имеется 3 отрезка. Каждый из которых больше предыдущего. Первый отрезок равен 5, третий 20. Необходимо найти длину второго отрезка.
Отрезки пропорциональны, значит отношение больших к меньшим будет постоянным. Обозначим неизвестны отрезок за х и решим уравнение.
Перенесем выражение из правой части в левую. Приведем получившееся выражение под один знаменатель и решим дробно-рациональное уравнение.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое пропорциональные отрезки. Выделили области, где может быть применены навыки обращения с пропорциональными длинами и решили пример на заданную тему.