Что такое порядок дифракционного максимума

5.5. Дифракционная решетка

Широкое распространение в научном эксперименте и технике получили дифракционные решетки, которые представляют собой множество параллельных, расположенных на равных расстояниях одинаковых щелей, разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Дифракционные решетки изготавливаются с помощью делительной машины, наносящей штрихи (царапины) на стекле или другом прозрачном материале. Там, где проведена царапина, материал становится непрозрачным, а промежутки между ними остаются прозрачными и фактически играют роль щелей.

Рассмотрим сначала дифракцию света от решетки на примере двух щелей. (При увеличении числа щелей дифракционные максимумы становятся лишь более узкими, более яркими и отчетливыми.)

Пусть а — ширина щели, a b — ширина непрозрачного промежутка (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Дифракция от двух щелей

Период дифракционной решетки — это расстояние между серединами соседних щелей:

Разность хода двух крайних лучей равна

Если разность хода равна нечетному числу полуволн

то свет, посылаемый двумя щелями, вследствие интерференции волн будет взаимно гаситься. Условие минимумов имеет вид

Эти минимумы называются дополнительными.

Если разность хода равна четному числу полуволн

то волны, посылаемые каждой щелью, будет взаимно усиливать друг друга. Условие интерференционных максимумов с учетом (5.36) имеет вид

Это формула для главных максимумов дифракционной решетки.

Кроме того, в тех направлениях, в которых ни одна из щелей не распространяет свет, он не будет распространяться и при двух щелях, то есть главные минимумы решетки будут наблюдаться в направлениях, определяемых условием (5.21) для одной щели:

Если дифракционная решетка состоит из N щелей (современные решетки, применяемые в приборах для спектрального анализа, имеют до 200 000 штрихов, и период d = 0.8 мкм, то есть порядка 12 000 штрихов на 1 см), то условием главных минимумов является, как и в случае двух щелей, соотношение (5.41), условием главных максимумов — соотношение (5.40), а условие дополнительных минимумов имеет вид

Положение главных максимумов зависит от длины волны l. Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разлагаются в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной картины, а красный — наружу. Таким образом, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор. Заметим, что в то время как спектральная призма сильнее всего отклоняет фиолетовые лучи, дифракционная решетка, наоборот, сильнее отклоняет красные лучи.

Важной характеристикой всякого спектрального прибора является разрешающая способность.

Разрешающая способность спектрального прибора — это безразмерная величина

Источник

Что такое порядок дифракционного максимума

До сих пор мы рассматривали дифракцию сферических волн, изучая дифракционную картину в точке наблюдения, лежащей на конечном расстоянии от препятствия (дифракция Френеля).

Тип дифракции, при котором дифракционная картина образуется параллельными пучками, называется дифракцией Фраунгофера. Параллельные лучи проявятся, если источник и экран находятся в бесконечности. Практически используется две линзы: в фокусе одной – источник света, а в фокусе другой – экран.

Хотя принципиально дифракция Фраунгофера не отличается от дифракции Френеля, но практически именно этот случай важен, так как именно этот тип дифракции используется во многих дифракционных приборах (дифракционная решетка, например). Кроме того, здесь математический расчет проще и позволяет решать количественную задачу до конца (дифракцию Френеля мы рассматривали качественно).

Дифракция света на одной щели

Пусть в непрерывном экране есть щель: ширина щели , длина щели (перпендикулярно плоскости листа) (рис. 9.5). На щель падают параллельные лучи света. Для облегчения расчета считаем, что в плоскости щели АВ амплитуды и фазы падающих волн одинаковы.

Разобьем щель на зоны Френеля так, чтобы оптическая разность хода между лучами, идущими от соседних зон, была равна .

Если на ширине щели укладывается четное число таких зон, то в точке (побочный фокус линзы) будет наблюдаться минимум интенсивности, а если нечетное число зон, то максимум интенсивности:

Картина будет симметричной относительно главного фокуса точки . Знак плюс и минус соответствует углам, отсчитанным в ту или иную сторону.

Интенсивность света . Как видно из рис. 9.5, центральный максимум по интенсивности превосходит все остальные.

Рассмотрим влияние ширины щели.

Т.к. условие минимума имеет вид , отсюда

Из этой формулы видно, что с увеличением ширины щели b положения минимумов сдвигаются к центру, центральный максимум становится резче.

При уменьшении ширины щели b вся картина расширяется, расплывается, центральная полоска тоже расширяется, захватывая все большую часть экрана, а интенсивность ее уменьшается.

Дифракция света на дифракционной решетке

Одномерная дифракционная решетка представляет собой систему из большого числа N одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей в экране, разделенных также одинаковыми по ширине непрозрачными промежутками (рис. 9.6).

Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей, т.е. в дифракционной решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света, идущих от всех щелей.

Обозначим: b – ширина щели решетки; а – расстояние между щелями; – постоянная дифракционной решетки.

Линза собирает все лучи, падающие на нее под одним углом и не вносит никакой дополнительной разности хода.

Рис. 9.6	Рис. 9.7

Пусть луч 1 падает на линзу под углом φ (угол дифракции). Световая волна, идущая под этим углом от щели, создает в точке максимум интенсивности. Второй луч, идущий от соседней щели под этим же углом φ, придет в ту же точку . Оба эти луча придут в фазе и будут усиливать друг друга, если оптическая разность хода будет равна mλ:

Условие максимума для дифракционной решетки будет иметь вид:

Максимумы, соответствующие этому условию, называются главными максимумами. Значение величины m, соответствующее тому или иному максимуму называется порядком дифракционного максимума.

В точке F₀ всегда будет наблюдаться нулевой или центральный дифракционный максимум.

Так как свет, падающий на экран, проходит только через щели в дифракционной решетке, то условие минимума для щели и будет условием главного дифракционного минимума для решетки:

Конечно, при большом числе щелей, в точки экрана, соответствующие главным дифракционным минимумам, от некоторых щелей свет будет попадать и там будут образовываться побочные дифракционные максимумы и минимумы (рис. 9.7). Но их интенсивность, по сравнению с главными максимумами, мала (≈ 1/22).

При условии ,

волны, посылаемые каждой щелью, будут гаситься в результате интерференции и появятся дополнительные минимумы.

Количество щелей определяет световой поток через решетку. Чем их больше, тем большая энергия переносится волной через нее. Кроме того, чем больше число щелей, тем больше дополнительных минимумов помещается между соседними максимумами. Следовательно, максимумы будут более узкими и более интенсивными (рис. 9.8).

Из (9.4.3) видно, что угол дифракции пропорционален длине волны λ. Значит, дифракционная решетка разлагает белый свет на составляющие, причем отклоняет свет с большей длиной волны (красный) на больший угол (в отличие от призмы, где все происходит наоборот).

Это свойство дифракционных решеток используется для определения спектрального состава света (дифракционные спектрографы, спектроскопы, спектрометры).

Источник

Дифракция света

В рамках геометрической оптики, распространение луча в оптически однородной среде — прямолинейное, однако в природе существует ряд явлений, где можно наблюдать отклонение от этого условия.

Дифракция – явление огибания световыми волнами встреченных препятствий. В школьной физике изучаются две дифракционные системы (системы, при прохождении луча в которых наблюдается дифракция):

Дифракция на щели — дифракция на прямоугольном отверстии (рис. 1).

Рис. 1. Дифракция на щели

Полученная дифракционная картина на экране состоит из чередующихся областей с дифракционными максимумами (максимально светлыми областями) и дифракционными минимумами (максимально тёмными областями). Эта картина симметрична относительно центрального светового пучка. Положение максимумов и минимумов описывается углом относительно вертикали, под которым они видны, и зависит от размера щели и длины волны падающего излучения. Положение этих областей можно найти используя ряд соотношений:

Нулевым максимумом дифракции называется центральная точка на экране под щелью (рис. 1).

Вывод: по условиям задачи необходимо выяснить: максимум или минимум дифракции необходимо найти и использовать соответствующее соотношение (1) или (2).

Дифракция на дифракционной решётке.

Дифракционной решёткой называется система, состоящая из чередующихся щелей, равноотстоящих друг от друга (рис. 2).

Рис. 2. Дифракционная решётка (лучи)

Так же, как и для щели, на экране после дифракционной решётки будет наблюдаться дифракционная картина: чередование светлых и тёмных областей. Вся картина есть результат интерференции световых лучей друг с другом, однако на картину от одной щели будет воздействовать лучи от других щелей. Тогда дифракционная картина должна зависеть от количества щелей, их размеров и близкорасположенности.

Введём новое понятие — постоянная дифракционной решётки:

Тогда положения максимумов и минимумов дифракции:

Рис. 3. Дифракционная решётка (максимумы)

Главное помнить, что число максимумов — число, т.е. от полученного ответа необходимо брать только целую часть.

Вывод: по условиям задачи необходимо выяснить: максимум или минимум дифракции необходимо найти и использовать соответствующее соотношение (4) или (5).

Общий вывод: задачи на дифракцию должны содержать в себе словосочетания, связанные с «дифракцией». Далее разбираемся с объектом: щель или дифракционная решётка и используем соответствующие соотношения для минимума или максимума.

Источник

Петрович Г.И. О порядке главных максимумов от дифракционной решётки в ЦТ

Петрович Г. И. О порядке главных максимумов от дифракционной решётки в решениях задач централизованного тестирования // Фiзiка: праблемы выкладання. – 2009. – № 3. – С. 34-40.

При перпендикулярном (нормальном) падении параллельного пучка монохроматического света на дифракционную решётку на экране в фокальной плоскости собирающей линзы, расположенной параллельно дифракционной решётке, наблюдается неоднородная картина распределения освещённости разных участков экрана (дифракционная картина).

Главные максимумы этой дифракционной картины удовлетворяют следующим условиям:

где n — порядок главного дифракционного максимума, d — постоянная (период) дифракционной решётки, λ— длина волны монохроматического света, φ_n — угол между нормалью к дифракционной решётке и направлением на главный дифракционный максимум n-го порядка.

Постоянная (период) дифракционной решётки длиной l

где N — количество щелей (штрихов), приходящихся на участок дифракционной решётки длиной I.

Наряду с длиной волны часто используется частота v волны.

Для электромагнитных волн (света) в вакууме

где с = 3 *10 8 м/с — скорость распространения света в вакууме.

Выделим из формулы (1) наиболее трудно математически определяемые формулы для порядка главных дифракционных максимумов:

где обозначает целую часть числа d*sin(φ/λ).

Недоопределённые аналоги формул (4, а,б) без символа [. ] в правых частях содержат в себе потенциальную опасность подмены физически обоснованной операции выделения целой части числа операцией округления числа d*sin(φ/λ) до целочисленного значения по формальным математическим правилам.

Подсознательная тенденция (ложный след) подмены операции выделения целой части числа d*sin(φ/λ) операцией округления

этого числа до целочисленного значения по математическим правилам ещё более усиливается, когда речь идёт о тестовых заданиях типа В на определение порядка главных дифракционных максимумов.

В любых тестовых заданиях типа В численные значения искомых физических величин по договорённости округляются до целочисленных значений. Однако в математической литературе нет единых(го) правил(а) округления чисел.

В справочной книге В. А. Гусева, А. Г. Мордковича по математике для учащихся [1] и белорусском учебном пособии Л. А. Латотина, В. Я. Чеботаревского по математике для IV класса [2] приводятся по существу одни и те же два правила округления чисел. В [1] они сформулированы так: «При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяются нулями, а если стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра больше или равна пяти, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если же первая следующая за этим разрядом цифра меньше 5, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют».

В справочнике М. Я. Выгодского по элементарной математике [3], выдержавшем двадцать семь (!) изданий, написано (с. 74): «Правило 3. Если отбрасывается цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится до ближайшего чётного числа, т.е. последняя сохраняемая цифра остаётся неизменной, если она чётная, и усиливается (увеличивается на 1), если она нечётная».

Ввиду существования различных правил округления чисел следовало бы правила округления десятичных чисел явно сформулировать в «Инструкции для учащихся», прилагаемой к заданиям централизованного тестирования по физике. Это предложение приобретает дополнительную актуальность, так как в белорусские вузы поступают и проходят обязательное тестирование не только граждане Беларуси и России, но и других стран, и заведомо неизвестно, какими правилами округления чисел они пользовались при обучении в своих странах.

Во всех случаях округление десятичных чисел будем производить по правилам, приведённым в [1], [2].

После вынужденного отступления, возвратимся к обсуждению рассматриваемых физических вопросов.

С учётом нулевого (n = 0) главного максимума и симметричного расположения остальных главных максимумов относительно него общее количество наблюдаемых главных максимумов от дифракционной решётки подсчитывается по формулам:

Если расстояние от дифракционной решётки до экрана, на котором наблюдается дифракционная картина, обозначить через Н, то координата главного дифракционного максимума n-го порядка при отсчёте от нулевого максимума равна

Если то (радиан) и

Задачи на рассматриваемую тему часто предлагают на тестированиях по физике.

Начнём обзор с рассмотрения российских тестов, использовавшихся белорусскими вузами на начальном этапе, когда тестирование в Беларуси было необязательным и проводилось отдельными учебными заведениями на свой страх и риск как альтернатива обычной индивидуальной письменно-устной форме проведения вступительных экзаменов.

А32. Наибольший порядок спектра, который можно наблюдать при дифракции света с длиной волны λ на дифракционной решётке с периодом d=3,5λ равен

1) 4; 2) 7; 3) 2; 4) 8; 5) 3.

При освещении дифракционной решётки монохроматическим светом ни о каких спектрах не может быть и речи. В условии задачи речь должна идти о главном дифракционном максимуме наибольшего порядка при перпендикулярном падении монохроматического света на дифракционную решётку.

Из недоопределённого условия

на множестве целых чисел, после округления получаем n_mах =4.

Только благодаря несовпадению целой части числа d/λ с его округлённым целочисленным значением правильное решение ( n_mах =3) отличается от неправильного ( n_max =4) на тестовом уровне.

Изумительная миниатюра, несмотря на огрехи формулировки, с филигранно выверенным по всем трём версиям округления чисел ложным следом!

А18. Если постоянная дифракционной решётки d= 2 мкм, то для нормально падающего на решётку белого света 400 нм 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.

Округляя числа d/λ до целочисленных значений по правилам [1] — [3], получаем:

Благодаря тому, что целая часть числа d/λ₂ отличается от его округлённого целочисленного значения, данное задание позволяет на тестовом уровне объективно отличить правильное решение (n_сп= 2) от неправильного (n_сп=3). Прекрасная задача с одним ложным следом!

ЦТ 2002 г. Тест № 3 [5]

В5. Найдите наибольший порядок спектра для жёлтой линии Na ( λ = 589 нм), если постоянная дифракционной решётки d = 2 мкм.

Задание сформулировано научно некорректно. Во-первых, при освещении дифракционной решётки монохроматическим светом, как уже отмечалось выше, не может быть и речи о спектре (спектрах). В условии задачи речь должна идти о наибольшем порядке главного дифракционного максимума.

Во-вторых, в условии задания должно быть указано, что свет падает нормально (перпендикулярно) на дифракционную решётку, ибо только этот частный случай рассматривается в курсе физики средних общеобразовательных учреждений. Считать это ограничение подразумевающимся по умолчанию нельзя: в тестах все ограничения должны быть указаны явно! Тестовые задания должны представлять собою самодостаточные, научно корректные задания.

С учётом вышеприведённых уточнений

Число 3,4, округлённое до целочисленного значения по правилам арифметики [1] — [3], также даёт 3. Именно поэтому данное задание следует признать простым и, по большому счёту, неудачным, так как на тестовом уровне оно не позволяет объективно различить правильное решение, определяемое по целой части числа 3,4, от неправильного решения, определяемого по округлённому целочисленному значению числа 3,4. Различие обнаруживается только при подробном описании хода решения, что и сделано в данной статье.

Дополнение 1. Решите вышеприведённую задачу, заменив в её условии d=2 мкм на d= 1,6 мкм. Ответ: n_max = 2.

ЦТ 2002 г. Тест 4 [5]

В5. На дифракционную решётку направляется свет от газоразрядной лампы. На экране получаются дифракционные спектры излучения лампы. Линия с длиной волны λ ₁= 510 нм в спектре четвёртого порядка совпадает с линией длины волны λ₂ в спектре третьего порядка. Чему равна λ₂ (в [нм])?

В данной задаче основной интерес представляет не решение задачи, а формулировка её условия.

При освещении дифракционной решётки немонохроматическим светом( λ₁ , λ₂ ) вполне естественно говорить (писать) о дифракционных спектрах, которых в принципе нет при освещении дифракционной решётки монохроматическим светом.

В условии задания следовало бы указать, что свет от газоразрядной лампы падает нормально на дифракционную решётку.

Формулировки тестов должны быть научно корректными и литературно безупречными. Тесты формулируют совсем не так, как исследовательские и олимпиадные задачи! В тестах всё должно быть точно, конкретно, однозначно.

С учётом приведённого уточнения условия задания имеем:

Так как по условию задания то

ЦТ 2002 г. Тест № 5 [5]

Решение

По сравнению с заданием В5 из теста № 3 ЦТ 2002 г. данное задание сформулировано точнее, тем не менее в условии задания речь следовало бы вести не о «дифракционном максимуме», а о «главном дифракционном максимуме«.

Наряду с главными дифракционными максимумами всегда имеются ещё и вторичные дифракционные максимумы [6, с. 617, 618]. Не объясняя этого нюанса в школьном курсе физики, тем более надо строго соблюдать сложившуюся научную терминологию и вести речь только о главных дифракционных максимумах.

Кроме того, следовало бы указать, что свет падает нормально на дифракционную решётку.

С учётом вышеприведённых уточнений

по правилам математического округления числа 8,49 до целочисленного значения опять же получаем 8. Поэтому данное задание, как и предыдущее, следует признать неудачным.

Дополнение 2. Решите вышеприведённое задание, заменив в его условии d =5 мкм на (1=А мкм. Ответ: n_max =6.)

Пособие РИКЗ 2003 г. Тест № 6 [7]

Условие задания сформулировано неудовлетворительно: вместо «дифракционный максимум» надо «главный дифракционный максимум», вместо «от центра экрана» — «от нулевого главного дифракционного максимума».

Как видно из приведённого рисунка,

Отсюда

Пособие РИКЗ 2003 г. Тест № 7 [7]

В5. Определите наибольший порядок спектра в дифракционной решётке, имеющей 500 штрихов на 1 мм, при освещении её светом с длиной волны 720 нм.

Условие задания сформулировано крайне неудачно в научном отношении (см. уточнения заданий № 3 и 5 из ЦТ 2002 г.).

Есть претензии и к филологическому стилю формулировки задания. Вместо словосочетания «в дифракционной решётке» надо было бы использовать словосочетание «от дифракционной решётки», а вместо «свет с длиной волны» — «светом, длина волны которого». Длина волны — не нагрузка к волне, а её основная характеристика.

С учётом уточнений

По всем трём вышеприведённым правилам округления чисел округление числа 2,78 до целочисленного значения даёт 3.

Последний факт даже при всех недостатках формулировки условия задания делает его интересным, так как позволяет на тестовом уровне различить правильное ( n_max =2) и неправильное ( n_max =3) решения.

Много заданий на рассматриваемую тему содержится в ЦТ 2005 г. [8].

В условиях всех этих заданий (В1) надо добавить ключевое слово «главный» перед словосочетанием «дифракционный максимум» (см. комментарии к заданию В5 ЦТ 2002 г. Тест № 5).

К сожалению, во всех вариантах тестов В1 ЦТ 2005 г. численные значения d (l,N) и λ подобраны неудачно и всегда дают в дробях

число «десятых» меньше 5, что не позволяет на тестовом уровне отличить операцию выделения целой части дроби (правильное решение) от операции округления дроби до целочисленного значения (ложный след). Это обстоятельство ставит под сомнение целесообразность использования этих заданий для объективной проверки знаний абитуриентов по рассматриваемой теме.

Похоже на то, что составители тестов увлеклись, образно говоря, приготовлением различных «гарниров к блюду», не думая об улучшении качества основной компоненты «блюда» — подборе численных значений d (l,N) и λ с целью увеличения числа «десятых» в дробях d/ λ=l/(N* λ).

ЦТ 2005 г. Вариант 4 [8]

Решение

то с учётом того, что X — const, a d₂>di,

При округлении чисел 2,4 и 4,4 до целочисленных значений тоже получаем соответственно 2 и 4. По этой причине данное задание следует признать простым и даже неудачным.

Дополнение 3. Решите вышеприведённую задачу, заменив в её условии λ =500 нм на λ =433 нм (синяя линия в спектре водорода).

ЦТ 2005 г. Вариант 6

Решение

Словосочетание «света с длиной волны λ » уже обсуждалось выше в ЦТ 2005 г., вариант 4.

Второе предложение в условии данного задания можно было бы упростить и записать так: «Количество наблюдаемых главных максимумов в пределах угла а = 60°» и далее по тексту исходного задания.

Это задание, как и предыдущее, не позволяет на тестовом уровне объективно определить уровень понимания обсуждаемой темы абитуриентами.

Дополнение 4. Выполните вышеприведённое задание, заменив в его условии λ =750 нм на λ = 589 нм (жёлтая линия в спектре натрия). Ответ: N_o6щ=3.

ЦТ 2005 г. Вариант 7

Опустим обсуждение неточностей формулировки задания, так как они те же, что и в предыдущих заданиях.

Из формул (4, б), (5, б) следует, что

Комментарии о качестве данного задания опустим, «рука. колоть устала»!

Дополнение 5. Решите вышеприведённую задачу, заменив в её условии λ =400 нм на λ =461 нм (голубая линия в спектре стронция). Ответ: ∆ N =6.

ЦТ 2005 г. Вариант 8

Злополучное «с» уже перекочевало от «света с длиной волны» к «решётке с d=1 мкм». Появилось и новое жаргонное выражение — «число максимумов, которые образует эта решётка». Сама по себе «решётка» не образует дифракционной картины, поэтому следовало бы написать «количество главных максимумов, образованных освещённой решёткой, равно. «.

По формулам (5, б), (4, б)

По версии округления чисел [1], [2] целочисленное значение числа 2,5 равно 3, а по версии М. Я. Выгодского [3] — 2.

В сравнении с российским заданием А32 из № 7 Тестов по физике [4], которое рассмотрено выше, данный белорусский тест является ущербным, но на фоне белорусских тестов ЦТ 2005 г. на рассматриваемую в данной статье тему он является лучшим, несмотря на неточности его формулировки.

Итак, N_{общ. max} =1+2*2=5 а по версии округления чисел [1], [2] N_{общ. max} = 1+2*3 =7 (ложный след).

Благодаря этому ложному следу, данное задание в рамках версии округления чисел [1], [2] позволяет на тестовом уровне отличить правильное решение ( N_{общ. max} = 5) от неправильного ( N_{общ. ma x} =7).

ЦТ 2008 г. Вариант 1 [9]

Решение

Задание сформулировано научно некорректно (см. условия предыдущих заданий), но численные значения величин d и λ подобраны удачно и на тестовом уровне правильное решение, определяемое по целой части числа, отличается от неправильного решения, определяемого по округлённому целочисленному значению числа d/λ

Задания В12 из других вариантов тестов ЦТ 2008 г. предлагаю читателям рассмотреть самостоятельно.

За многие годы проведения централизованных тестирований по физике так и не созданы качественные задания на определение порядка главных дифракционных максимумов при перпендикулярном освещении дифракционной решётки монохроматическим светом: то ли условия заданий были сформулированы некорректно, то ли численные значения величин d(l, N) и X были подобраны неудачно и не позволяли на тестовом уровне отличить правильное решение от неправильного.

Список использованной литературы

1. Математика: справочные материалы: кн. для учащихся / В. А. Гусев, А. Г. Мордкович. — Москва : Просвещение, 1988.

2. Математика: учеб. пособие для 4-го класса общеобр. школы с рус. яз. обуч. / Л. А. Лату-тин, В. Д. Чеботаревский; пер. с бел. яз. Т. В. Водневой. — 2-е изд. — Минск : Нар. асвета, 2002.

3. Справочник по элементарной математике. — 27-е изд., испр. / М. Я. Выгодский. — Москва : Наука, 1986.

4. Тесты по физике. 11 кл. / Центр тестирования Министерства образования России. — Москва : Просвещение, 2001.

5. Тесты. Физика. Русский язык: варианты и ответы централизованного тестирования: пособие для подготовки к тестированию / Респ. ин-т контроля знаний. — Минск : Асар, 2003.

6. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. — 6-е изд., испр. / Б. М. Яворский, А. А. Детлаф. — Москва : Наука, 1974.

7. Тесты: Физика. Материалы для подготовки к централизованному тестированию / Респ. ин-т контроля знаний. — Мозырь : Белый Ветер, 2003.

8. Централизованное тестирование. Физика: сб. тестов / Респ. ин-т контроля знаний Мин-ва образования Респ. Беларусь. — Минск : Юнипресс, 2005.

9. Централизованное тестирование. Физика: сб. тестов / Респ. ин-т контроля знаний Мин-ва образования Респ. Беларусь. — Минск : Аверсэв, 2008.

Источник