Что такое полином лагранжа

Полином Лагранжа

В простейшем случае ( n = 1 ) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Содержание

Определение

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

где базисные полиномы определяются по формуле:

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Применения

Полиномы Лагранжа используются для интерполяции, а также для численного интегрирования.

Пусть для функции f(x) известны значения yj = f(xj) в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Для случая равномерного распределения по отрезку узлов интерполяции

В указанном случае можно выразить xi через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку x0 :

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа,

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа.

Подставив эти выражения в формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Теперь можно ввести замену переменной

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Внешние ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Полином Лагранжа» в других словарях:

ЛАГРАНЖА ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА — форма записи многочлена степени п(интерполяционного многочлена Лагранжа), интерполирующего заданную функцию f(х).в узлах х 0, x1. х п: В случае, когда значения х i являются равноотстоящими, т. е. с помощью обозначений (х x0)/h=t формула (1)… … Математическая энциклопедия

Полином — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

Полином Бернштейна — В вычислительной математике многочлены Бернштейна это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна. [1] [2] Устойчивым алгоритмом вычисления многочленов в форме Бернштейна является алгоритм… … Википедия

Интерполирование — О функции, см.: Интерполянт. Интерполяция в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто … Википедия

Интерполяция (матем.) — О функции, см.: Интерполянт. Интерполяция в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто … Википедия

Интерполяция — О функции, см.: Интерполянт. Интерполяция, интерполирование в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Многим из тех, кто сталкивается с научными и… … Википедия

Источник

Многочлен Лагранжа

В простейшем случае ( n = 1 ) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Содержание

Определение

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

где базисные полиномы определяются по формуле:

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Применения

Полиномы Лагранжа используются для интерполяции, а также для численного интегрирования.

Пусть для функции f(x) известны значения yj = f(xj) в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Для случая равномерного распределения по отрезку узлов интерполяции

В указанном случае можно выразить xi через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку x0 :

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа,

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа.

Подставив эти выражения в формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Теперь можно ввести замену переменной

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Внешние ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Многочлен Лагранжа» в других словарях:

Многочлен Лорана — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

Многочлен Бернштейна — В вычислительной математике многочлены Бернштейна это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна. [1] [2] Устойчивым алгоритмом вычисления многочленов в форме Бернштейна является алгоритм… … Википедия

Многочлен Тейлора — Ряд Тейлора разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды… … Википедия

Список объектов, названных в честь Лагранжа — Существует несколько математических и физических объектов, носящих имя французского математика XVIII века Луи Жозефа Лагранжа: Теоремы Теорема Лагранжа в математическом анализе см. формула конечных приращений Теорема Лагранжа (теория групп) … Википедия

Интерполяционный многочлен — Интерполяционный многочлен: Интерполяционный многочлен Лагранжа Интерполяционный многочлен Ньютона Интерполяция алгебраическими многочленами … Википедия

Источник

Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа

1. Интерполяционная формула Лагранжа

В общем виде интерполяционный многочлен в форме Лагранжа записывается в следующем виде:

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

где Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа˗ степень полинома Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа;

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа˗ значение значения интерполирующей функции Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжав точке Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа;

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа˗ базисные полиномы (множитель Лагранжа), которые определяются по формуле:

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Так, например, интерполяционный многочлен в форме Лагранжа, проходящий через три заданных точки Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа, будет записываться в следующем виде:

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Многочлен в форме Лагранжа в явном виде содержит значения функций в узлах интерполяции, поэтому он удобен, когда значения функций меняются, а узлы интерполяции неизменны. Число арифметических операции, необходимых для построения многочлена Лагранжа, пропорционально Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжаи является наименьшим для всех форм записи. К недостаткам этой формы записи можно отнести то, что при построении полинома степени n+1 полностью теряется информация о предыдущем полиноме степени n, т.е. с изменением числа узлов приходится все вычисление выполнить заново.

2. Погрешность интерполяционного полинома в форме Лагранжа

Рассмотрим функцию f ( x ), которая непрерывна и дифференцируема на рассматриваемом отрезке [a, b]. Интерполяционный полином L (x) в форме Лагранжа принимает в точках Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжазаданные значения функции Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа. В остальных точках интерполяционный полином L (x) отличается от значения функции f ( x ) на величину остаточного члена, который определяет абсолютную погрешность интерполяционной формулы Лагранжа:

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

А бсолютную погрешность интерполяционной формулы Лагранжа определяют следующим образом:

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

где n ˗ степень полинома Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Переменная Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжапредставляет собой верхнюю границу значения модуля (n +1)-й производной функции f(x) на заданном интервале [a, b]

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Погрешность интерполяции методом Лагранжа зависит от свойств функции f ( x ), а также от расположения узлов интерполяции и точки x. В случае если погрешность не достигает нужной точности, то нужно разбить отрезок на части и интерполировать каждую часть в отдельности – кусочная интерполяция.

Выбор узлов интерполяции

С помощью корректного выбора узлов можно минимизировать значение Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжав оценке погрешности, тем самым повысить точность интерполяции. Данная задача может быть решена с помощью многочлена Чебышева:

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа
В качестве узлов следует взять корни этого многочлена, то есть точки:

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

3. Методика вычисления полинома в форме Лагранжа

Алгоритм вычисления полинома в форме Лагранжа позволяет разделить задачи определения коэффициентов и вычисления значений полинома при различных значениях аргумента:

2. Выполняется вычисление полинома n-степени в форме Лагранжа по следующей формуле:

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Алгоритм вычисления полинома в форме Лагранжа Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжапредставлен на рисунке 1.

Методика вычисления полинома в форме Лагранжа

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

В качестве примера рассмотрим следующую практическую задачу. В рамках задачи известен набор шести значений, которые получены методом случайной выборки для различных моментов времени. Следует отметить, что данная выборка значений описывает функция Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжана интервале [0, 10]. Необходимо построить многочлен в форме Лагранжа для представленного набора значений. С помощью интерполяционной формулы вычислить приближенное значение функции в точке Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа, а также определить оценку погрешности результата вычислений.

Многочлен в форме Лагранжа, который строится на основании шести значений, представляет собой полином 5 степени. Результат построения полинома в форме Лагранжа показан в графическом виде.

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

С помощью найденного полинома можно определить значение функции в любой точке заданного интервала. Определение промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений называется «интерполяцией». В соответствии с условиями задачи полином в форме Лагранжа в точке x =9,5 принимает следующее значение: L (9,5)= – 4,121. Из графика видно, что полученное значение не совпадает c о значением функции f ( x ) на величину абсолютной погрешности интерполяционной формулы Лагранжа.

Интерполяционный полином в форме Лагранжа часто оказывается удобным для проведения различных теоретических исследований в области вычислительной математики. Так, например, полином в форме Лагранжа используются для интерполяции, а также для численного интегрирования таблично-заданной функцией.

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

Источник

Лагранжа полином

В простейшем случае ( n = 1 ) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Содержание

Определение

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

где базисные полиномы определяются по формуле:

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Применения

Полиномы Лагранжа используются для интерполяции, а также для численного интегрирования.

Пусть для функции f(x) известны значения yj = f(xj) в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Для случая равномерного распределения по отрезку узлов интерполяции

В указанном случае можно выразить xi через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку x0 :

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа,

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа.

Подставив эти выражения в формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Теперь можно ввести замену переменной

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Внешние ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Лагранжа полином» в других словарях:

ЛАГРАНЖА ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА — форма записи многочлена степени п(интерполяционного многочлена Лагранжа), интерполирующего заданную функцию f(х).в узлах х 0, x1. х п: В случае, когда значения х i являются равноотстоящими, т. е. с помощью обозначений (х x0)/h=t формула (1)… … Математическая энциклопедия

Полином — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

Полином Бернштейна — В вычислительной математике многочлены Бернштейна это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна. [1] [2] Устойчивым алгоритмом вычисления многочленов в форме Бернштейна является алгоритм… … Википедия

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ — интерполяция, в простейшем, классическом смысле конструктивное восстановление (быть может, приближенное) функции определенного класса по известным ее значениям или значениям ее производных в данных точках. Пусть даны n+l точек сегмента D=[ а, b] … Математическая энциклопедия

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ — в вычислительной математике способ приближенного или точного нахождения какой либо величины по известным отдельным значениям этой же или других величин, связанных с ней. На основе И. построен ряд приближенных методов решения математич. задач.… … Математическая энциклопедия

Интерполирование — О функции, см.: Интерполянт. Интерполяция в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто … Википедия

Источник

Полином Лагранжа

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

СОДЕРЖАНИЕ

Определение [ править ]

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Учитывая набор из k + 1 точек данных

где нет двух одинаковых, интерполяционный полином в форме Лагранжа представляет собой линейную комбинацию Икс j <\ displaystyle x_ > Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

базисных многочленов Лагранжа

∀ ( j ≠ i ) : ℓ j ( x i ) = ∏ m ≠ j x i − x m x j − x m = ( x i − x 0 ) ( x j − x 0 ) ⋯ ( x i − x i ) ( x j − x i ) ⋯ ( x i − x k ) ( x j − x k ) = 0. <\displaystyle \forall ():\ell _(x_)=\prod _<\frac -x_>-x_>>=<\frac <(x_-x_<0>)><(x_-x_<0>)>>\cdots <\frac <(x_-x_)><(x_-x_)>>\cdots <\frac <(x_-x_)><(x_-x_)>>=0.> Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Доказательство [ править ]

Искомая функция L ( x ) является полиномом от x наименьшей степени, который интерполирует данный набор данных; то есть, он принимает значение y j в соответствующем x j для всех точек данных j :

Также верно и то, что:

∑ j = 0 k ℓ j ( x ) = 1 ∀ x <\displaystyle \sum _^\ell _(x)=1\qquad \forall x> Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

поскольку он должен быть полиномом степени не выше k и проходить через все эти k + 1 точки данных:

Перспектива из линейной алгебры [ править ]

Кроме того, при большом порядке можно использовать быстрое преобразование Фурье для определения коэффициентов интерполированного полинома.

Примеры [ править ]

Пример 1 [ править ]

Мы хотим интерполировать ƒ ( x ) = x 2 в диапазоне 1 ≤ x ≤ 3, учитывая эти три точки:

x 0 = 1 f ( x 0 ) = 1 x 1 = 2 f ( x 1 ) = 4 x 2 = 3 f ( x 2 ) = 9. <\displaystyle <\beginx_<0>&=1&&&f(x_<0>)&=1\\x_<1>&=2&&&f(x_<1>)&=4\\x_<2>&=3&&&f(x_<2>)&=9.\end>> Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Пример 2 [ править ]

Мы хотим интерполировать ƒ ( x ) = x 3 в диапазоне 1 ≤ x ≤ 4, учитывая эти четыре точки:

L ( x ) = 1 ⋅ x − 2 1 − 2 ⋅ x − 3 1 − 3 ⋅ x − 4 1 − 4 + 8 ⋅ x − 1 2 − 1 ⋅ x − 3 2 − 3 ⋅ x − 4 2 − 4 + 27 ⋅ x − 1 3 − 1 ⋅ x − 2 3 − 2 ⋅ x − 4 3 − 4 + 64 ⋅ x − 1 4 − 1 ⋅ x − 2 4 − 2 ⋅ x − 3 4 − 3 = x 3 <\displaystyle <\beginL(x)&=<1>\cdot \cdot \cdot +<8>\cdot \cdot \cdot +<27>\cdot \cdot \cdot +<64>\cdot \cdot \cdot \\[8pt]&=x^<3>\end>> Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Заметки [ править ]

Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Барицентрическая форма [ править ]

мы можем переписать базисные полиномы Лагранжа как

ℓ j ( x ) = ℓ ( x ) ℓ ′ ( x j ) ( x − x j ) <\displaystyle \ell _(x)=<\frac <\ell (x)><\ell '(x_)(x-x_)>>> Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

или, определяя барицентрические веса [4]

мы можем просто написать

ℓ j ( x ) = ℓ ( x ) w j x − x j <\displaystyle \ell _(x)=\ell (x)<\frac >>>> Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

которую обычно называют первой формой формулы барицентрической интерполяции.

Преимущество этого представления состоит в том, что полином интерполяции теперь может быть оценен как

L ( x ) = ℓ ( x ) ∑ j = 0 k w j x − x j y j <\displaystyle L(x)=\ell (x)\sum _^<\frac >>>y_> Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

L ( x ) = ∑ j = 0 k w j x − x j y j ∑ j = 0 k w j x − x j <\displaystyle L(x)=<\frac <\sum _^<\frac >>>y_><\sum _^<\frac >>>>>> Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа

Остаток в формуле интерполяции Лагранжа [ править ]

Остаток можно связать как

Вывод [6] [ править ]

Уравнение можно переписать как

Производные [ править ]

L ( d ) ( x ) := ∑ j = 0 k y j ℓ j ( d ) ( x ) <\displaystyle L^<(d)>(x):=\sum _^y_\ell _^<(d)>(x)> Что такое полином лагранжа. Смотреть фото Что такое полином лагранжа. Смотреть картинку Что такое полином лагранжа. Картинка про Что такое полином лагранжа. Фото Что такое полином лагранжа.

Для первой производной коэффициенты имеют вид

а для второй производной

С помощью рекурсии можно вычислить формулы для высших производных.

Конечные поля [ править ]

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *