что такое характеристическое уравнение для дифференциального уравнения

будет иметь характеристическое уравнение вида

имеет характеристическое уравнение

Характеристические корни (корни характеристического уравнения) также предоставляют качественную информацию о поведении переменной, эволюция которой описывается динамическим уравнением. Для дифференциального уравнения, параметризованного по времени, эволюция переменной стабильна тогда и только тогда, когда действительная часть каждого корня отрицательна. Для разностных уравнений существует стабильность тогда и только тогда, когда модуль ( абсолютное значение ) каждого корня меньше 1. Для обоих типов уравнений постоянные флуктуации возникают, если имеется хотя бы одна пара комплексных корней.

СОДЕРЖАНИЕ

Вывод

Поскольку e rx никогда не может быть равным нулю, его можно разделить, дав характеристическое уравнение

Формирование общего решения

y ( Икс ) знак равно y D ( Икс ) + y р 1 ( Икс ) + ⋯ + y р час ( Икс ) + y C 1 ( Икс ) + ⋯ + y C k ( Икс ) <\ displaystyle y (x) = y _ <\ mathrm > (x) + y _ <\ mathrm _ <1>> (x) + \ cdots + y _ <\ mathrm _ > (x) + y _ <\ mathrm _ <1>> (x) + \ cdots + y _ <\ mathrm _ > (x)>

Пример

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

имеет характеристическое уравнение

По факторинговых характеристическое уравнение в

Отчетливые настоящие корни

y D ( Икс ) знак равно c 1 е р 1 Икс + c 2 е р 2 Икс + ⋯ + c п е р п Икс <\ displaystyle y _ <\ mathrm > (x) = c_ <1>e ^ x> + c_ <2>e ^ x> + \ cdots + c_ e ^ x>>

Повторяющиеся настоящие корни

d k d Икс k ( ты ) знак равно ты ( k ) знак равно 0 <\ displaystyle <\ frac > >> (u) = u ^ <(k)>= 0>

Сложные корни

y C ( Икс ) знак равно е а Икс ( C 1 потому что ⁡ б Икс + C 2 грех ⁡ б Икс ) <\ displaystyle y _ <\ mathrm > (x) = e ^ \ left (C_ <1>\ cos bx + C_ <2>\ sin bx \ right)>

Этот анализ также применяется к частям решений дифференциального уравнения высшего порядка, характеристическое уравнение которого включает невещественные комплексно сопряженные корни.

Источник

Определения и понятия теории дифференциальных уравнений

С этой темы мы рекомендуем начинать изучение теории дифференциальных уравнений. В одном разделе мы собрали все основные термины и определения, которые будут применяться при рассмотрении теоретической части. Для того, чтобы облегчить усвоение материала, мы приводим многочисленные примеры.

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком производной или дифференциала.

Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию, которая является функцией одной переменной. Если же переменных несколько, то мы имеем дело с уравнением в частных производных.

Имеет значение также порядок дифференциального уравнения, за который принимают максимальный порядок производной неизвестной функции дифференциального уравнения.

Интегрирование дифференциального уравнения

Интегрирование дифференциального уравнения – это процесс решения этого уравнения.

Интеграл дифференциального уравнения – это название решения дифференциального уравнения.

У одного дифференциального уравнения может быть множество решений.

Общее решение ДУ

Общее решение ДУ – это все множество решений данного дифференциального уравнения.

Также общее решение часто носит название общего интеграла ДУ.

Частное решение ДУ

Частное решение ДУ – это такое решение, которое удовлетворяет условиям, заданным изначально.

К числу основных задач из теории дифференциальных уравнений относятся:

Особенностью задач Коши является наличие начальных условий, которым должно удовлетворять полученное частное решение ДУ. Начальные условия задаются следующим образом:

Остальные определения мы будем разбирать в других темах по мере изучения теории.

Источник