что такое функция дирихле
Функция Дирихле и ее свойства
Описание сущности функции, которая была введена немецким математиком П.В. Дирихле как пример функции, свободной от аналитического задания значения. Характеристика и описание ряда ее свойств и области определения методами математического анализа.
Министерство образования и науки РФ
Федеральное агентство по образованию
Сибирский Федеральный Университет
по математическому анализу
Функция Дирихле и ее свойства
Выполнила: студентка гр. М-26
Функция, принимающая значение 1, если аргумент рационален, и 0, если аргумент иррационален:
функция дирихле математический анализ
была введена немецким математиком П.В. Дирихле как пример функции, свободной от аналитического задания значения.
Функция Дирихле не имеет предела ни в одной точке, так как в любой окрестности любой точки вещественной прямой содержатся как рациональные, так и иррациональные числа (а значит, как нули, так и единицы функции).
Также ни в одной точке вещественной оси для данной функции не существует производной.
Функция Дирихле служит примером функции, не интегрируемой в смысле Римана, но интегрируемой по Лебегу. Интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке может быть легко найден, он всегда равен нулю. Это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю.
Остановимся на некоторых свойствах подробнее.
Функция Дирихле не имеет предела ни в одной точке:
Аналогично можно показать отсутствие предела справа и слева.
Функция разрывна в каждой точке
По определению непрерывности D(x) непрерывна в точке а, если = D(a), но функция Дирихле не имеет предела, а следовательно разрывна в каждой точке.
Или по прямому определению разрывности: функция D(x) разрывна в точке а, если существует число е0 > 0, что для любого д > 0 найдется точка хд такая, что
Функция Дирихле интегрируема по Лебегу.
1. Никольский С.М. «Курс математического анализа», ФИЗМАТЛИТ, М., 2000.
Подобные документы
Характеры и L-функции Дирихле, функциональное уравнение. Аналитическое продолжение L-функции Дирихле на комплексную плоскость; тривиальные и нетривиальные нули. Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций. Обобщенная гипотеза Римана.
реферат [573,1 K], добавлен 15.06.2011
Формулировка и доказательство теоремы о простых числах в арифметической прогрессии (теорема Дирихле). Определение и основные свойства характеров. Суммы характеров и соотношение ортогональности. Характеры, L-функция Дирихле. Доказательство основных лемм.
курсовая работа [214,2 K], добавлен 12.08.2009
Рассмотрение примеров задач и теорем, доказываемых при помощи контрпримера. Применение терминов «производная» и «дифференцируемая функция». Построение немецким математиком Вейерштрассом первого примера непрерывной нигде не дифференцируемой функции.
курсовая работа [400,6 K], добавлен 07.10.2013
Простейшая разностная схема для задачи Дирихле: построение, аппроксимация и устойчивость. Описания метода установления. Анализ алгоритмов, реализующих метод установления: решение в виде конечного ряда Фурье, схема установления и переменных направлений.
курсовая работа [323,4 K], добавлен 25.11.2011
Изучение численно-аналитического метода решения краевых задач математической физики на примере неоднородной задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Численная реализация вычислительного метода и вычислительного эксперимента, особенности их оформления.
практическая работа [332,7 K], добавлен 28.01.2014
Определение условий сходимости положительного ряда и описание свойств гармонических рядов Дирихле. Изучение теорем сравнения рядов и описание схемы Куммера для вывода из нее признаков сравнения ряда. Вывод признаков сравнения Даламбера, Раабе и Бертрана.
курсовая работа [263,6 K], добавлен 14.06.2015
контрольная работа [295,5 K], добавлен 24.03.2009
презентация [108,2 K], добавлен 21.09.2013
Общий обзор свойств функций, осмысление каждого свойства. Исследование функции на монотонность, ее наибольшее и наименьшее значения. Тестовое задание «Выпуклость функции». Примеры непрерывной функции D(f)=[-4; 6] и прерывной функции D(f)=(1; 7).
презентация [360,5 K], добавлен 13.01.2015
Решение первой задачи, уравнения Пуассона, функция Грина. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Постановка краевых задач. Функции Грина для задачи Дирихле: трехмерный и двумерный случай. Решение задачи Неймана с помощью функции Грина, реализация на ЭВМ.
курсовая работа [132,2 K], добавлен 25.11.2011
Функция Дирихле
Фу́нкция Дирихле́ — функция 
, принимающая значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число,
Фу́нкция Дирихле́ является всюду разрывной функцией; все точки разрыва — точки разрыва второго рода.
Функция Дирихле применяется в теории вероятностей и математической статистике.
Названа в честь немецкого математика Дирихле.
Содержание
Представление
Функция Дирихле принадлежит второму классу Бэра. То есть её нельзя представить как (поточечный) предел последовательности непрерывных функций. Однако, функцию Дирихле можно представить как двойной предел последовательности непрерывных функций:
Свойства
Периодичность
Функция Дирихле периодическая, её периодом является любое положительное рациональное число. Основного периода функция не имеет.
Непрерывность
Фу́нкция Дирихле́ является всюду разрывной функцией: во всякой окрестности каждой точки вещественной прямой содержатся как рациональные, так и иррациональные числа, и, следовательно, данная функция не будет иметь предела ни в одной точке области определения; все точки разрыва — точки разрыва второго рода.
Измеримость
Интегрируемость
Интеграл Римана
Интеграл Лебега
Интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке равен нулю. Это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю:
.
Полезное
Смотреть что такое «Функция Дирихле» в других словарях:
Бета-функция Дирихле — действительного аргумента x Бета функция Дирихле (Dirichlet beta function) в математике, иногда называемая бета функцией Каталана (Catalan beta function) … Википедия
Дирихле — Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (нем. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet; 13 февраля 1805, Дюрен, Французская империя, ныне Германия 5 мая 1859, Гёттинген, Ганновер, ныне Германия) немецкий математик, внёсший существенный вклад в… … Википедия
Дирихле Петер Густав Лежён — Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (нем. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet; 13 февраля 1805, Дюрен, Французская империя, ныне Германия 5 мая 1859, Гёттинген, Ганновер, ныне Германия) немецкий математик, внёсший существенный вклад в… … Википедия
Дирихле, Петер Густав Лежён — Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (нем. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet; 13 февраля 1805, Дюрен, Французская империя, ныне Германия 5 мая 1859, Гёттинген, Ганновер, ныне Германия) немецкий математик, внёсший существенный вклад в… … Википедия
Дирихле, Петер Густав Лежен — Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (нем. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet; 13 февраля 1805, Дюрен, Французская империя, ныне Германия 5 мая 1859, Гёттинген, Ганновер, ныне Германия) немецкий математик, внёсший существенный вклад в… … Википедия
Функция (математ.) — Функция, одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Если величины x и у связаны так, что каждому значению x соответствует определённое значение у, то у называют (однозначной) функцией аргумента … Большая советская энциклопедия
ФУНКЦИЯ — (лат. functio – исполнение) обязанность, круг деятельности. «Функция – это существование, мыслимое нами в действии» (Гёте). Наука о функциях органов живых существ – физиология; специальная наука о функциях нервной системы – физиология органов… … Философская энциклопедия
Функция Мёбиуса — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году. Содержание 1 Определение … Википедия
ДИРИХЛЕ ФУНКЦИЯ
— функция, равная единице в рациональных точках и нулю в иррациональных точках. Д. ф. задается формулой:
она принадлежит второму Бэра классу. Д. ф. не интегрируема по Риману на любом отрезке, но, будучи почти всюду равной нулю, интегрируема по Лебегу.
Лит.:[1] Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974.
Смотреть что такое «ДИРИХЛЕ ФУНКЦИЯ» в других словарях:
Функция (математ.) — Функция, одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Если величины x и у связаны так, что каждому значению x соответствует определённое значение у, то у называют (однозначной) функцией аргумента … Большая советская энциклопедия
ФУНКЦИЯ — (лат. functio – исполнение) обязанность, круг деятельности. «Функция – это существование, мыслимое нами в действии» (Гёте). Наука о функциях органов живых существ – физиология; специальная наука о функциях нервной системы – физиология органов… … Философская энциклопедия
Функция Мёбиуса — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году. Содержание 1 Определение … Википедия
ДИРИХЛЕ РЯД — функциональный ряд вида где а п комплексные коэффициенты; l п, 0 1 дзета функцию Римана. Ряды где х(п)… … Математическая энциклопедия
ДИРИХЛЕ ЗАДАЧА — задача отыскания регулярной в области Dгармонич. функции u, к рая на границе Г области Dсовпадает с наперед заданной непрерывной функцией j. Задачу отыскания регулярного в области решения эллиптич. уравнения 2 го порядка, принимающего наперед… … Математическая энциклопедия
Функция — I Функция (от лат. functio совершение, исполнение) (философская), отношение двух (группы) объектов, в котором изменение одного из них ведёт к изменению другого. Ф. может рассматриваться с точки зрения следствий (благоприятных,… … Большая советская энциклопедия
ДИРИХЛЕ ХАРАКТЕР — (mod k) функция c(п)=c(п; k )на множестве целых чисел, удовлетворяющая условиям: Иными словами, Д. х. (mod k) это арифметич. функции, к рые не равны тождественно нулю, вполне мультипликативны и периодичны с периодом k. Понятие Д. х. ввел П.… … Математическая энциклопедия