что такое фундаментальная математика

«Фундаментальные математика и механика» (специалитет)

Фундаментальные математика и механика

Степень: Математик. Механик. Преподаватель

Наиболее распространенные экзамены при поступлении:

Содержание статьи:

Два обязательных экзамена при поступлении на специальность «Фундаментальная математика и механика» — это русский язык и математика. Третий экзамен вуз устанавливает по своему усмотрению. Это может быть физика, информатика, информационно-коммуникационные технологии (ИКТ) или химия.

Также образовательное учреждение может дополнить список четвертым экзаменом — по иностранному языку.

Обучение по специальности «Фундаментальные математика и механика» ведется по одному из двух направлений: «математика» и «механика». Эту специальность отличают большое количество специализаций и универсальность получаемых знаний, благодаря чему выпускник востребован во многих сферах деятельности.

Кем работать

Выпускник по специальности «Фундаментальные математика и механика» может работать в разных сферах, решая сугубо практические задачи или же углубляясь в мир высокой математики, чистой теории.

Он может выбрать для себя сферу механики, например, стать инженером и участвовать в разработке новых материалов, новых технологий добычи полезных ископаемых. Может уйти в сферу программирования и стать разработчиком приложений или баз данных. Выпускник этой специальности может работать учителем или преподавателем математики, информатики, механики в различных образовательных учреждениях, а может стать руководителем на производстве.

По окончании обучения можно поступить в аспирантуру. Для справки: около 30% выпускников механико-математического факультета МГУ выбирают науку и продолжают свое обучение в аспирантуре.

Где работать

Описание специальности

Выпускник по специальности «Фундаментальные математика и механика» является разносторонним специалистом. В общих чертах основная деятельность такого специалиста — математическое моделирование разнообразных физических процессов во всех видах тел (твердых, жидких, газообразных, в плазме).

Сфера его деятельности не обязательно прямо связана с математикой и механикой. Выпускник способен решать самые современные и сложные теоретические задачи в сфере математики и одновременно с этим разрабатывать новые способы реализации практических задач. Например, он может заниматься расчетами в проектах по разработке новых космических технологий или новых материалов для контактных линз.

Студенты в ходе обучения изучают математику и механику на самом глубоком, фундаментальном уровне. Их учат не столько использовать уже имеющиеся теории и практические методы, сколько разрабатывать новые. Этого требует сама сфера — данные могут устареть за несколько лет, пока студент еще не закончил вуз. Но выпускник по этой специальности надежно защищен от невостребованности на рынке. Он может быстро адаптироваться к текущей ситуации и разрабатывать новые способы решения тех или иных задач.

Специальность «Фундаментальные математика и механика» имеет две группы специализаций. Уже с третьего курса студент выбирает одну из нескольких специализаций.

По государственному стандарту это специализации по группам:

Конкретные специализации и их количество вуз определяет по своему усмотрению (по факту — в зависимости от наличия соответствующих преподавателей и кафедр).

Основные предметы при обучении на специальности

В ходе обучения студенты близко знакомятся со всеми направлениями в математике и механике, известными современной науке.

Блок гуманитарных и социально-экономических дисциплин включает историю России, философию, экономическую теорию, иностранный язык (прежде всего английский). Обязательно изучаются естественнонаучные дисциплины, такие как концепции естественного естествознания, физика, численные методы, история и методология математики и механики и др.

Первые два года обучения студенты получают фундаментальные теоретические знания по математике, механике, информатике, изучают методы математического моделирования, алгоритмические языки, технологии программирования и современные информационные технологии.

С третьего курса обучение идет по выбранной специализации, от которой зависит и содержание учебного курса, и объем часов по многим предметам.

В числе важных предметов:

Сроки обучения

В нынешнем государственном образовательном стандарте срок обучения определяется в 5 лет для очной формы и 6 лет — для очно-заочной.

Стоит отметить, что в МГУ с 2011 года используется собственный стандарт по специальности, разработанный на основе государственного. Согласно ему обучение длится 6 лет для очной формы.

Заочное обучение по специальности «Фундаментальные математика и механика» невозможно.

Навыки и умения, приобретаемые в ходе подготовки

Выпускник по специальности «Фундаментальные математика и механика» умеет:

Источник

Прикладная или фундаментальная: какой считают в мире математику

Можно ли считать математику фундаментальной наукой или это всего лишь инструмент, как писал советский математик Колмогоров, на службе у естественных наук — этот вопрос остается открытым. Даже сами математики отказываются однозначно отвечать на него. Методист по математике Университета Иннополис Дмитрий Бебчук рассказал на фестивале науки и технологии «ПРОСТО», организованном российским ИТ-вузом, о том, какие изобретения человечества были бы невозможны без математики и почему математизирование — это процесс творческий, не требующий никаких практических целей.

Читайте «Хайтек» в

Наука о структурах или просто расчеты?

« Британника» говорит, что математика — это наука о структурах, порядках и отношениях, возникшая из элементарных практик подсчета, измерения и описания форм объектов. Она строится на логических рассуждениях и количественных расчетах. Группа французских математиков, которые взяли себе в 1935 году коллективный псевдоним Никола Бурбаки, предложила такое определение: математика — это наука об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме их свойств. именно ими объекты и описываются. Может возникнуть двоякое впечатление. С одной стороны, у нас есть конструктивное определение математики, а с другой, математика — это когда «взяли что-то и посчитали». Этот своеобразный конфликт выразился в том числе в установлении теории множеств. Есть аксиоматика Сернела Френкеля, которая являет собой конструктивный подход к теории множеств, но существуют и альтернативы. Это всё возникло из-за парадокса Рассела.

Парадокс Рассела — открытый в 1901 году Бертраном Расселом теоретико-множественный парадокс (антиномия), демонстрирующий противоречивость логической системы Фреге, являвшейся ранней попыткой формализации наивной теории множеств Георга Кантора.

Парадокс можно описать следующим образом. Условимся называть множество «обычным», если оно не является своим собственным элементом. Например, множество всех людей является «обычным», так как само множество — не человек. Примером «необычного» множества является множество всех множеств, так как оно само является множеством, а, следовательно, само является собственным элементом.

Система аксиом Цермело — Френкеля (ZF) — наиболее широко используемый вариант аксиоматической теории множеств. Сформулирована Эрнстом Цермело в 1908 году для преодоления парадоксов теории множеств, а затем была уточнена Абрахамом Френкелем в 1921 году. Система аксиом записана на языке логики первого порядка.

Я попытаюсь вам доказать, что математика — это фундаментальная наука. Фундаментальная наука должна обладать следующими свойствами: ее результаты должны быть универсальны; в ее задачи не должна входить изначально практическая реализация полученных результатов; и она позволяет нам получать новые знания о природе, то есть иметь предсказательную силу.

В универсальности результатов математики сомнений нет. Это самый легкий пункт, поэтому он стоит первым. Действительно, даже на уровне «дважды два — четыре»: в любое время и на любом континенте это будет, конечно же, четыре.

Как из чистых идей родились практические инструменты

Существуют четыре области математики, которые развились из совершенно абстрактной идеи. Во-первых, анализ бесконечно малых, то, что сейчас называют математическим анализом. Началось всё с того, что предположительно Антифон в V веке до нашей эры предложил метод исчерпывания. Он и сейчас так называется. С помощью этого метода можно находить площадь фигур, границы которых — не отрезки. Например, площадь круга. Если есть круг, то его можно заключить, например, в пятиугольник, а также вписать в него пятиугольник. Площадь круга получится чем-то средним между ними. Если заменить пятиугольник на шести-, семи- и восьмиугольник, то точность приближения возрастет. Чем больше количество сторон у нашего вот многоугольника, который вписан и описан около круга, тем лучше оказывается наше приближение.

Но площадь круга пропорциональна квадрату радиуса, а коэффициент пропорциональности — это какое-то число. Были предложены оценки этого числа: например, Архимед предположил, что это примерно 22/7, эта оценка позволяет нам получить точность до двух знаков после десятичной запятой. А пресловутый Цзу Чунжи уже предложил оценку намного лучше: 355/113, уже шесть знаков после запятой. В конце концов, было доказано, что пи — это число иррациональное и даже трансцендентное, то есть не является алгебраическим числом.

Цзу Чунжи — китайский математик и астроном. Как астроном определил сидерические периоды обращения планет Солнечной системы с высокой точностью. Разработал новый календарь с учетом явления прецессии. Как математик первым в мире рассчитал число пи с точностью до седьмого знака после запятой, дав его значение между 3,1415926 и 3,1415927; более точное значение было вычислено лишь тысячу лет спустя.

Принцип Кавальери очень прост: если у вас есть два объемных тела одинаковой высоты и на каждом уровне площади иссечений одинаковы, то и объемы этих тел одинаковы. Такой принцип подходит для нахождения объемов тел, у которых грани необязательно плоские. Например, конус. Из таких совершенно теоретических подходов к XVII веку уже развивается дифференциальное и интегральное исчисление, у истоков которого стоят двое ученых — Ньютон и Лейбниц, которые примерно одновременно развивали эту область. Практическое применение их работ сегодня: поиск длины кривой и касательной к сфере, дивергенции, роторы и даже двумерное нормальное распределение, благодаря которому можно искать вероятности сложноконструируемых событий.

Бонавентура Кавальери — итальянский математик, предтеча математического анализа, наиболее яркий и влиятельный представитель «геометрии неделимых». Выдвинутые им принципы и методы позволили еще до открытия математического анализа успешно решить множество задач аналитического характера.

В XVI веке Джероламо Кардано ввел понятие комплексного числа. В его трудах комплексные числа описаны как совершенно утонченные и бесполезные структуры, утонченные — это позитивная характеристика, а бесполезные — ну мы понимаем. Он не видел им совершенно никакого применения, но, тем не менее, пытался развивать эту теорию. Уже потом стало ясно, что это полезный инструмент для многих областей. Альберт Эйнштейн согласился бы. В качестве примеров — расчёт электрических цепей переменного тока, который делается гораздо проще с применением комплексно-значимых функций. Всяческие теоремы о распределении простых чисел — небезызвестная дзета-функция Римана и теорема, связанная с ней, гипотеза, на самом деле, потому что она еще не доказана — это одна из семи проблем тысячелетия. Гиперкомплексные числа, так называемые кватернионы, нашли свое применение в позиционировании. Тут меня поймут робототехники. Когда мы определяем или задаем положение трехмерного объекта в пространстве, то кватернионы исключительно полезны. А обойтись без выхода в это гиперкомплексное пространство нам уже тяжелее.

Джероламо Кардано — итальянский математик, инженер, философ, врач и астролог. В его честь названы открытые Сципионом дель Ферро формулы решения кубического уравнения (Кардано был их первым публикатором), карданов подвес, карданный вал и решетка Кардано.

Кватернионы — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.

Некоторые алгоритмы шифрования основаны на свойствах эллиптических кривых, а, точнее, на их алгебраических свойствах. Но всё началось с того, что Диофант Александрийский в III веке нашей эры пытался найти решение этого уравнения: y*(6-y)=x3-x. В конце XVII — начале XVIII века Ньютон тоже пытался его решить. Все вылилось в целую теорию, которая позволяет нам достаточно быстро зашифровать данные, с тем, чтобы их расшифровка требовала существенно больше времени. То есть мы получаем криптографически такой механизм — алгоритм.

Задачу мостов Эйлера: существует ли маршрут, чтобы обойти каждый мост Кенигсберга только по одному разу, — сегодня может решить почти любой олимпиадник. Этот вопрос XVIII века, тогда еще практически неприменимый, породил целую область математики — топологию. Сегодня она применяется, например, в робототехнике. У манипулятора есть конфигурационное пространство. Например, у двухзвенного манипулятора — это тор. Но тор — это определенный топологический объект: если мы возьмем две точки на торе, то сможем сказать про траекторию передвижения между этими двумя точками, про минимальность и так далее. То есть появляется целая область для анализа. А если манипулятор трехзвенный, то и поверхность становится значительно сложнее, а задача по нахождению какого-то оптимального пути или даже просто нахождению пути — на порядки. Тут без топологии уже не обойтись.

Анализ бесконечно малых, топология, эллиптические кривые — все это доказывает то, что в развитие этих областей было вовлечено много людей. А после XVIII века математика уже становится профессиональный наукой, то есть человек со стороны практически не имеет шансов добиться в ней значимых на мировом уровне успехов. Второй тезис, получается, доказан. Эти люди занимались математикой всю жизнь, не надеясь на то, что их конкретные результаты будут практически применимыми.

Как способ описать природу

Пресловутый Бозон Хиггса, который, конечно, прежде чем был обнаружен и зафиксирован, сначала был рассчитан. То есть была целая теория, основанная на расчетах. Теория, согласно которой такая частица должна существовать и должна обладать определенными свойствами. Это доказывает, что математика позволяет получать новые знания о природе. Вернемся к самому началу: что математика — это наука о неких структурах, у которых мы знаем только свойства, а потом уже смотрим, а что же из этого получается. Бозон Хиггса, который тогда еще не знали, но уже по предположениям ученых должен был обладать определенными свойствами.

Второй пример — девятая планета. Российский ученый Батыгин, который сейчас преподает в США, сначала вычислил орбиту девятой планеты, прежде чем ее обнаружили. То есть, согласно каким-то расчетам, эта планета должна была существовать, а потом она уже была обнаружена в расчетной точке.

Получается, что математика — фундаментальная наука. Но многие скажут, что математика — это просто дисциплина на службе естественных наук, и отчасти они будут правы. И с ними согласился бы даже Колмогоров, который в предисловии к книге Куранта и Роббинса так и сказал, что математика неотделима от ее практических применений.

Андрей Колмогоров — советский математик, один из основоположников современной теории вероятностей, им получены фундаментальные результаты в топологии, геометрии, математической логике, классической механике, теории турбулентности, теории сложности алгоритмов, теории информации, теории функций и в ряде других областей математики и ее приложений.

Рихард Курант — немецкий и американский математик, педагог и научный организатор. Известен как автор классической популярной книги по математике «Что такое математика?», а также как один из авторов критерия Куранта — Фридрихса — Леви.

Герберт Роббинс — американский математик и статистик. Его именем названы лемма Роббинса, алгебра Роббинса, теорема Роббинса и другие термины.

Вейль говорит о том, что вопрос об основаниях математики и о том, что в конечном счете она собой представляет, остается открытым. И неизвестно такого направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос. Можно ли ожидать, что он когда-нибудь будет получен и признан всеми математиками? Вейль указывает на то, что сам процесс изучения математики, математизирование — это творческий процесс, когда люди, не надеясь на практическое применение их результатов, результатов их работы, просто занимаются этим процессом. Но а то, что он описывает мир, надеюсь, я вас убедил, тут сомнений уже нет. Математика действительно описывает мир, и нет естественной науки, которая не пользовалась бы математическим аппаратом. В современном мире и общественные науки, в том числе социология, пользуются математическими методами как методами для исследования.

Андре Вейль — французский математик, внесший значительный вклад в алгебраическую геометрию и топологию, член группы Бурбаки. Важнейшие труды в области алгебраической геометрии, которую сумел обосновать с нужным уровнем строгости, получил важные результаты в функциональном анализе, в частности в теории меры и интегрирования в топологических группах и теории чисел, к которой применил аппарат гомологической алгебры и функционального анализа.

Источник

Фундаментальная математика – ключ к богатству и процветанию

Преимущества образования в области фундаментальной математики и лучшие вузы для изучения математики за границей

По статистике в наши дни среди студентов всего мира пользуются популярностью такие направления, как финансы, экономика, бизнес и бухгалтерский учет. Неудивительно, ведь образование в этих областях сулит интересную работу, высокий социальный статус и хорошую зарплату.

Однако, задолго до появления всех этих дисциплин существовала математика – фундаментальная наука, во многом положившая начало столь популярным сегодня предметам. И если вы думаете, что математическое образование давно утратило свой престиж, вы сильно заблуждаетесь. Любой эксперт скажет вам, что качественное образование в области математики за рубежом открывает перед студентами прекрасные перспективы, которым позавидуют даже выпускники модных бизнес-школ!

Итак, разберемся, почему же стоит получить математическое образование за рубежом и, самое главное, где это сделать?

Зачем выбирать математическое образование?

Математика – это одна из самых разносторонних и широко применимых наук, изучать которую не только очень интересно, но и полезно. Вот несколько причин, почему студенты выбирают математическое образование…

Математика нужна всегда и везде

Посмотрите на мир вокруг. Многие из самых значимых достижений нашей цивилизации полностью зависят от математики. От летающих по воздуху самолетов до производства лекарственных препаратов и даже работы вашего компьютера – все это было бы невозможно без использования и изучения чисел. Одним словом, математика неотделима от нашей жизни, а потому математиков можно смело назвать одними из самых важных и нужных людей на планете.

Широкий выбор и разнообразие учебных программ

Зарубежные университеты предлагают по-настоящему широкий выбор учебных программ в области математики. И речь идет не только о числовых математических программах, на которых учатся будущие ученые-математики и преподаватели. Математика относится к тем предметам, изучение которых все чаще предлагается в рамках программ с двойной специализацией. Например, можно совмещать изучение математики с изучением таких предметов, как бизнес, управление, фармацевтика, инженерия, архитектура, гуманитарные науки и даже иностранные языки.

Перспективы для выпускников

Для многих студентов математическое образование – это путь к стабильности и уверенности в завтрашнем дне. Выпускники математических факультетов востребованы и получают достойную заработную плату, особенно если они учились в престижном вузе. Во многом это определяется и тем, что математическое образование очень универсально. Одни математики посвящают свою жизнь науке и преподаванию, другие работают в государственных и частных компаниях в самых разных областях, от машиностроения до медицины, а третьи уходят в бизнес.

Развитие самых востребованных навыков

Продолжая тему универсальности математического образования, стоит сказать и о том, что студенты математических программ максимально развивают полезные навыки, которые можно применить в самых разных областях. Например, навыки рационального и логического мышления. В современных условиях они очень важны для трудоустройства и продуктивной работы во множестве отраслей. Не менее важным оказывается и понимание сложных математических теорий и правил.

Высокая заработная плата

Что изучают будущие математики?

За рубежом программы бакалавриата в области математики традиционно длятся 4 года, в программы магистратуры – 1-2 года, в зависимости от вуза и специальности.

Среди предметов, которые обычно изучают будущие математики, такие дисциплины, как алгебра и теория чисел, геометрия и топология, информатика, культура математических рассуждений, математическая статистика, математический анализ, методы вычислений, математическая логика и теория множеств, дискретная математика, вариационное исчисление и т.д.

Таким образом программы учат студентов владению основными и специальными методами математических исследований при анализе и решении проблем современной математики, а также ведению научной работы как самостоятельно, так и в научно-исследовательском коллективе. Большое внимание также уделяется умению свободно ориентироваться в современных методах и алгоритмах компьютерной математики и использовать их в различных целях.

Где изучать математику за рубежом?

ETH Zurich – это единственный вуз континентальной Европы, входящий в топ-10 лучших математических университетов мира. В состав известного швейцарского вуза входит Отделение математики, на базе которого учатся и занимаются исследованиями студенты со всего мира. Университет предлагает англоязычные программы бакалавриата, магистратуры и докторантуры в области фундаментальной математики, вычислительной науки, науки о данных, прикладной математики, статистики и финансов. Помимо этого, на базе отделения проводятся обширные исследования в сфере алгоритмов, комбинаторики и оптимизации, прикладной математики, численного анализа и научных вычислений, геометрического анализа, математической физики, статистики, теории вероятности и других направлений.

Редингский университет находится неподалеку от Лондона и обучает студентов из более чем 140 стран мира, предлагая высококачественное образование на базе Отделения математики и статистики. Вуз отличается широким выбором математических программ, которые позволяют изучать только фундаментальную математику или совмещать изучение математики с изучением еще одной дисциплины. Студентам доступны программы бакалавриата, магистратуры и докторантуры со специализацией в математике или в математике и компьютерных науках, экономике, финансах и банковских инвестициях, метеорологии, психологии или статистике. Таким образом, университет дает студентам самое современное междисциплинарное образование и открывает перед ними лучшие перспективы трудоустройства.

Будучи известным провайдером качественного математического образования, Университет Ла Троуб включает в себя научно-исследовательское Отделение математики и статистики, которое отличается современным подходом к учебному процессу. Здесь можно получить степени бакалавра, магистра и доктора в области математики, статистики или компьютерно-вычислительных наук. При этом теоретические курсы занимают не более 50% учебного времени студентов, все остальное время они посвящают практической и исследовательской работе. Университет также известен активной поддержкой женщин, изучающих математические и точные науки. В рамках международной программы поддержки студенткам, избравшим для себя STEM-образование, оказывается дополнительная помощь, выдаются стипендии и гранты.

Отделение математических наук в составе Оклендского технологического университета является одним из крупнейших и наиболее престижных в Новой Зеландии. Отделение известно обширным профессиональным сотрудничеством, поэтому его программы всегда актуальны, а студентам предоставляется возможность пройти стажировку у лучших работодателей. Широк также выбор учебных программ отделения. Здесь предлагаются дипломные и сертификатные программы, программы бакалавриата, магистратуры и докторантуры, ведущие к получению специализации в области математики, аналитики или прикладной математики. Кстати, изучение математических наук в вузе можно совмещать с изучением компьютерных наук, инженерии и даже астрономии. В состав университета входит несколько исследовательских центров, а его выпускники становятся членами таких профессиональных сообществ, как Mathematics in Industry New Zealand (MINZ) и American Mathematical Society.

В области высшего математического образования Университет Путра Малайзия уже давно составляет достойную конкуренцию западным вузам. Математическое образование здесь не только качественное, но и доступное по цене. Кроме того, университет отличается разнообразием программ и ведет преподавание на английском языке. Вуз предлагает программы бакалавриата, магистратуры и докторантуры в области фундаментальной математики, статистики, прикладной математики, структурной математики, прикладной и вычислительной статистики, вычислительных операций, вычислительных методов в инженерии, этноматематики, математической криптографии, числового анализа, финансовой математики и т.д. При этом студенты могут получить как академическую, так и исследовательскую степень, работая в современных лабораториях и научных центрах вуза.

Virginia Tech – это университет с огромным кампусом, который предлагает студентам широкий выбор программ и входит в топ-50 ведущих вузов США. В университете есть собственное Отделение математики, на базе которого студентам доступны степени всех академических уровней со специализациями в математике, статистике, операционных исследованиях, математическом анализе данных и прикладной статистике. Virginia Tech также является одним из лучших центров по подготовке будущих преподавателей математики. Здесь есть отдельные программы, которые ведут к получению степеней M.A.Ed., Ed.S. и PhD в области математического образования. На уровне докторантуры студенты вуза также изучают общие тенденции современного математического образования и разрабатывают новые эффективные методики изучения математики.

Источник