Что такое эквивалентная система

эквивалентные системы сил

эквивалентные системы сил
Две или несколько систем сил, имеющие одну и ту же уравновешивающую систему сил.
Примечание. Системы сил будут эквивалентными, если у них равны главные векторы и главные моменты относительно одного и того же центра (любого).
[Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 102. Теоретическая механика. Академия наук СССР. Комитет научно-технической терминологии. 1984 г.]

Тематики

Обобщающие термины

Смотреть что такое «эквивалентные системы сил» в других словарях:

эквивалентные системы сил — Две или несколько систем сил, имеющие одну и ту же уравновешивающую систему сил … Политехнический терминологический толковый словарь

Графостатика — Графостатика в теоретической механике учение о графическом способе решения задач статики. Графостатика позволяет решать задачи с системами сходящихся сил. На плоскости такая система сил является статически определимой, если число… … Википедия

Соединённые Штаты Америки — (США) (United States of America, USA). I. Общие сведения США государство в Северной Америке. Площадь 9,4 млн. км2. Население 216 млн. чел. (1976, оценка). Столица г. Вашингтон. В административном отношении территория США … Большая советская энциклопедия

Соединённые Штаты Америки — Соединенные Штаты Америки США, гос во в Сев. Америке. Название включает: геогр. термин штаты (от англ, state государство ), так в ряде стран называют самоуправляющиеся территориальные единицы; определение соединенные, т. е. входящие в федерацию,… … Географическая энциклопедия

Модернизация — (Modernization) Модернизация это процесс изменения чего либо в соответствии с требованиями современности, переход к более совершенным условиям, с помощью ввода разных новых обновлений Теория модернизации, типы модернизации, органическая… … Энциклопедия инвестора

Анархизм — Формы правления, политические режимы и системы Анархия Аристократия Бюрократия Геронтократия Демархия Демократия Имитационная демократия Либеральная демократия … Википедия

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА — классическая, теория (неквантовая) поведения электромагнитного поля, осуществляющего взаимодействие между электрич. зарядами (электромагнитное взаимодействие). Законы классич. макроскопич. Э. сформулированы в Максвелла уравнениях, к рые позволяют … Физическая энциклопедия

Европейский центральный банк — (European Central Bank) Европейский центральный банк – это крупнейшее международное кредитно банковкое учреждение государств Евросоюза и Зоны Евро Структура и фкункции Европейского Центрального банка, Европейская система центральных банков,… … Энциклопедия инвестора

Твёрдое тело — одно из четырёх агрегатных состояний вещества, отличающееся от др. агрегатных состояний (жидкости (См. Жидкость), Газов, плазмы (См. Плазма)) стабильностью формы и характером теплового движения атомов, совершающих малые колебания около… … Большая советская энциклопедия

КИБЕРНЕТИКА — (от греч. kybernetike [techne] – искусство управления) – наука о самоуправляющихся машинах, в частности о машинах с электронным управлением («электронный мозг»). Кибернетика получила самое широкое распространение в последней трети 20 в. и сейчас… … Философская энциклопедия

Источник

Система линейных алгебраических уравнений

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛА́У) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(1)

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Содержание

Матричная форма

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

.

Здесь — это матрица системы, — столбец неизвестных, а — столбец свободных членов. Если к матрице приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Эквивалентные системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множество их решений совпадает, то есть любое решение одной системы одновременно является решением другой, и наоборот.

Систему, эквивалентную данной, можно получить, в частности, заменив одно из уравнений на это уравнение, умноженное на любое отличное от нуля число. Эквивалентную систему можно получить также, заменив одно из уравнений суммой этого уравнения с другим уравнением системы. В общем, замена уравнения системы на линейную комбинацию уравнений даёт систему, эквивалентную исходной.

Система линейных алгебраических уравнений

,

где — невырожденная матрица.

В частности, если сама матрица — невырожденная, и для неё существует обратная матрица , то решение системы уравнений можно формально записать в виде

.

Методы решения

Прямые (или точные) методы позволяют найти решение за определённое количество шагов. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

Прямые методы

Итерационные методы

Итерационные методы устанавливают процедуру уточнения определённого начального приближения к решению. При выполнении условий сходимости они позволяют достичь любой точности просто повторением итераций. Преимущество этих методов в том, что часто они позволяют достичь решения с заранее заданной точностью быстрее, а также позволяют решать большие системы уравнений. Суть этих методов состоит в том, чтобы найти неподвижную точку матричного уравнения

,

эквивалентного начальной системе линейных алгебраических уравнений. При итерации в правой части уравнения заменяется, например, в методе Якоби (метод простой итерации) приближение, найденное на предыдущем шаге:

.

Среди итерационных методов можно отметить самые популярные:

См. также

Примечания

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Система линейных алгебраических уравнений» в других словарях:

Прямоугольная система линейных алгебраических уравнений — Определение Для системы из уравнений с неизвестными ( ) любые переменных называются базисными, если определитель составленный из коэффициентов при этих неизвестных отличен от нуля (остальные переменных называются свободными). Базисным решением… … Википедия

Решение систем линейных алгебраических уравнений — Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений. Содержание 1 Однородные системы 1.1 Пример … Википедия

Система линейных уравнений — Системы линейных уравнений: Система линейных алгебраических уравнений Система линейных дифференциальных уравнений … Википедия

Система уравнений — У этого термина существуют и другие значения, см. Система (значения). Система уравнений это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных. Формальная запись общего вида… … Википедия

Система компьютерной алгебры — Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации. Викифицировать список литературы, используя … Википедия

Квадратная система уравнений — Системы линейных уравнений: Система линейных алгебраических уравнений Система линейных дифференциальных уравнений … Википедия

Определенная система уравнений — Системы линейных уравнений: Система линейных алгебраических уравнений Система линейных дифференциальных уравнений … Википедия

Линейная система — Не следует путать с Система линейных алгебраических уравнений. Линейная система математическая модель системы, оператор которой обладает свойством линейности. Необходимые условия линейности Гомогенность – при изменении амплитуды входного сигнала… … Википедия

Нормальная форма дифференциальных уравнений — есть наипростейшая эквивалентная форма исходных уравнений. Нормальная форма получается с помощью специальных замен зависимых и независимых переменных задачи с целью максимального упрощения структуры уравнений. В математике эти замены переменных… … Википедия

Численное решение системы нелинейных уравнений — Содержание 1 Постановка задачи 2 Численные методы решения уравнений 2.1 Метод простой итерации … Википедия

Источник

Основная и эквивалентная системы.

Канонические уравнения метода сил.

Основной системой называется статически определимая и геометрически неизменяемая система, полученная из заданной системы путем отбрасывания всех лишних связей ( за исключением абсолютно необходимых). Построение основной системы может быть произведено различными способами. Выбор основной системы является важным этапом расчета, т.к. от него зависит простота и точность расчета фермы.

Устранение каких-либо связей не изменяет внутренних усилий, возникающих в системе, и ее деформаций, если к ней прикладываются дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Поэтому, если к основной системе, кроме заданной нагрузки, приложить реакции устраненных связей, то полученная система и заданная система будут эквивалентны. Полученная таким образом система называется эквивалентной системой.

Заданная система

внутренне статически внешне статически

неопределимая ферма неопределимая ферма

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Обзор

Эквивалентные системы могут использоваться для преобразования больших и дорогих механических, тепловых и гидравлических систем в простую и более дешевую электрическую систему. Затем электрическая система может быть проанализирована, чтобы подтвердить, что динамика системы будет работать так, как задумано. Это предварительный недорогой способ для инженеров проверить, что их сложная система работает так, как они ожидают.

Это тестирование необходимо при разработке новых сложных систем, состоящих из многих компонентов. Компании не хотят тратить миллионы долларов на систему, которая не работает так, как они ожидали. Используя эквивалентную системную технику, инженеры могут проверить и доказать бизнесу, что система будет работать. Это снижает фактор риска, который компания берет на себя по проекту.

Ниже приводится таблица эквивалентных переменных для различных типов систем.

Переменная расхода: перемещается по системе Переменная усилий: приводит систему в действие Соответствие: сохраняет энергию как потенциальную Индуктивность: сохраняет энергию как кинетическую. Сопротивление: рассеивает или использует энергию

Примеры

Все основные переменные этих систем имеют одинаковую функциональную форму.

Обсуждение

Колебательные системы часто описываются каким-либо волновым (частным) уравнением или уравнением осциллятора (обыкновенным дифференциальным). Более того, подобные системы следуют аналогии с конденсатором или пружиной в том смысле, что доминирующей степенью свободы в энергии является обобщенное положение. Говоря более физическим языком, эти системы преимущественно характеризуются своей потенциальной энергией. Это часто работает для твердых тел или (линеаризованных) волнообразных систем, близких к равновесию.

Источник

Статисеские неопределимая. Основная, эквивалентная система.

Статисеские неопределимая. Основная, эквивалентная система.

Конструкции, в которых число неизвестных связей превышает число уравнений равновесия, получаемых для плоской или пространственной системы. Такие системы называются статически неопределимыми. Система, полученая из заданной неопределимой системы. Путем отбрасывания лишних связей, называется основной системой. Если к основной системе приложить все заданные нагрузки и неизвестные, то получим эквивалентную систему.

Пластический момент при кручении.

Стержни круглого или кольцевого сечения, работающие на кручение, называют валами. При расчете валов обычно бывает известна мощность, передаваемая на вал, а величины внешних скручивающих моментов, подлежат определению. Внешние скручивающие моменты, как правило, передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т.п.

Величина Wp называетсяпластическим моментом сопротивления при кручении.

Внецентревое растяжение-сжатие.

Внецентренное сжатие – это вид деформации, при котором продольная сила в поперечном сечении стержня приложена не в центре тяжести. При вне центренном сжатии, помимо продольной силы (N), возникают два изгибающих момента ( и ).

Считают, что стержень обладает большой жесткостью на изгиб, чтобы пренебречь прогибом стержня при внецентренном сжатии. Задача о внецентренном сжатиистержня впервые была рассмотрена Т. Юнгом. центральное растяжение или сжатие.

Малоцикловая усталость

Под малоцикловой усталостью следует считать разрушение материалов, происходящее на протяжение сотен циклов. Малая долговечность сотен циклов наблюдается при условиях, когда в течение каждого цикла нагружается сначала в прямом, а затем в обратном направлении.

Малоцикловая усталость в большинстве случаев связана с действием высоких напряжений, поэтому изломам присущи особенности строения, характерные для изломов циклической перегрузки или типично усталостных изломов в зонах, примыкающих к долому. Изломы малоцикловой усталости отличают многооча-говость и вследствие этого расположение зоны долома, близкое к центру сечения образца (при изгибе вращающегося образца), относительно малая длина усталостной трещины и т. д.

5. Третья и четвертая теория прочности.

3 – Теория наибольших косательных напряжений. По этой теории прочности: независимо от вида напряженного состояния предельное состояние наступит когда касательные напряжения достигнет предельного значение. Касательное напряжение в 1,75 раз опаснее нормального.

Предельное состояние наступит тогда, когда накапливается потенциальная энергия и достигает предельного состояния.

По этой теории прочности не учитывается второе (главное) напряжение, такое допущение позволяет совершено спонтанно увеличить размеры деталей, иногда на 20% увеличивали экономические расходы на эту деталь.

Удар при кручении.

Определение деформаций и напряжение при ударе с кручением мало отличается от ударного растяжения (сжатия) или ударного изгиба.

— угловая скорость вращения маховика,

-массовый момент инерции маховика

T- кинетическая энергия тела.

Определен ие напряжений при устойчивости

Под напряжение следует понимать силы взаимодействия между частицами элемента, приходящиеся на единицу площади

Устойчивость – это способность конструкции сохранять положение равновесия, отвечающее действующей на нее нагрузке. Положение равновесия конструкции устойчиво в том случае, если, получив малое отклонение (возмущение) от этого положения равновесия, конструкция снова к нему возвращается.

Проблема устойчивости возникает, в частности, при расчете сжатых колонн. Может случиться так, что при критической нагрузке колонна, отвечающая и условию прочности, и условию жесткости, внезапно изогнется (потеряет устойчивость). Это может привести к разрушению всей конструкции.

Анизотропия прочности.

Анизотропия прочности, которую следует отличать от анизотропии упругих свойств материала и сопротивления пластическому деформированию, понимается зависимость величины разрушающих напряжений от положения их главных осей относительно системы координат, неизменно связанной с рассматриваемым телом(древесина). Оси X, Y, Z называются главными осями анизотропии.

Это ортогональная анизотропия. Она встречается чаще других.

Гипербола Эйлера

Зависимость графически изображается кривой, обычно называемой гиперболой Эйлера. Асимптотами служат оси координат δ_k и λ

Нетрудно заметить что при малых гибкостях формула Эйлера даёт

преувеличение значения критического напряжения, а так же и критической силы.

Так как величина модуля Упругости Материала, входящая в формулы для вычисления δ_k и Рк,остается ПОСТОЯННОЙ лишь в пределах применимости закона Гука, то определить по Эйлера критическое напряжение превышающие предел пропорциональности δ_пр нельзя:

Абсциса точки К отвечает наименьшему значению гибкости стержня, при котором формула Эйлера ещё оказывается верной

, откуда

12, Виды деформаций в природе:

Полная равна сумме всех четырёх

Формула Ясинского

где a, b  постоянные, зависящие от материала.

Ядро сечения

Облость расположенная вокруг центра сечения, в пределах которой должна находиться точка приложения продольной сжимающейся или растягивающейся силы, что бы напряжения в сечении были одного знака, называется ядром сечения

Границы ядра сечения определяются

= ;

Где Уа и Ха – координаты точек на контуре ядра сечения

Ау и Ах – координаты точек, к которых нейтральная линия касается контура сечения.

Уравнение Максвела.

Гибкость стержней

Гибкость стержня — отношение расчетной длины стержня к наименьшему радиусу инерции его поперечного сечения.

Это выражение играет важную роль при проверке сжатых стержней на устойчивость. В частности, от гибкости зависит коэффициент продольного изгиба . Стержень с большей гибкостью, при прочих неизменных параметрах, имеет более низкую прочность на сжатие и сжатие с изгибом.

Расчетная длина вычисляется по формуле:

, где

— коэффициент, зависящий от условий закрепления стержня, а — геометрическая длина. Расчетная длина, также называется привиденной или свободной.

Соответственно коэффициент равен при шарнирных концах(основной случай) одному, при одном шарнирном, другом защемленным , при обоих защемленных концах . Формула Эйлера верна только для элементов большой гибкости, например для стали она применима при гибкостях порядка и выше.

При расчетах элементов железобетонных конструкций к гибкости предъявляются требования по её ограничению. Также, в зависимости от гибкости назначается величина армирования.

В расчетах стальных конструкций гибкость имеет наибольшее значение ввиду большой прочности стали с вытекающей из этого формой элементов(длинные, небольшой площади) из-за чего исчерпание несущей способности по устойчивости наступает до исчерпания запаса прочности по материалу.

34 Практические примеры определения повреждений

Механизм усталостного разрушения имеет сложное развитие и зависит от многих факторов (материала, вида напряженного состояния, условий работы и т.д.). Эксперименты показывают, что характерной особенностью процесса разрушения при циклических напряжениях является возникновение в материале (иногда задолго до разрушения) мельчайших трещинок, являющихся следствием развития сдвигов в кристаллической решетке. Трещинки концентрируются, как правило, на поверхности материала или в поверхностных слоях в тех местах, где сделано недостаточное плавное изменение формы и размеров детали, где имеются поверхностные повреждения (заусеницы, царапины или внутренние дефекты материала, неметаллические включения, поры, раковины и т.п.).

Мельчайшие трещинки постепенно развиваются, увеличиваются в размерах, сливаются в одну или несколько больших трещин и настолько ослабляют поперечное сечение детали, что она разрушается, будучи не в состоянии противостоять действию внешней нагрузки. Разрушение сопровождается доломом или дорывом детали, и в местах разрушения, как правило, наблюдается шейка, подобно той, как это имеет место при кратковременном деформировании образца.

Поэтому разрушение детали при переменных напряжениях происходит обычно внезапно. В месте излома детали всегда можно видеть две зоны: гладкую и зернистую. При переменных напряжениях края трещины то сближаются и нажимают друг на друга, то расходятся. Этим и объясняется наличие гладкой, притертой зоны излома. Зернистая зона – результат внезапного разрушения.

Таким образом, под влиянием усталости необходимо понимать явление постепенного развития трещины при переменных напряжениях, приводящее к постепенному внезапному разрушению, не сопровождающемуся сколько-нибудь пластическими деформациями.

35. Расчет винтовых пружин.

Простой пример применения теоремы Кастильяно к определению перемещений — это расчет винтовой пружины. Приводя направленную по оси силу центру тяжести сечения получим пару с моментом. Разлагая момент этой пары на направление касательной к винтовой линии и перпендикулярное, найдем крутящий момент

и изгибающий момент

Так как моменты всюду постоянны, то формулы выше дадут:

Перемещение точки приложения силы, то есть вытяжка пружины:

Расчет пружины на прочность в случае, если сечение круглое, производится так. Наибольшее напряжение изгиба

Наибольшее напряжение кручения

На практике обычно применяются пружины с малым углом подъема винта.

Подбор сечения стержней

При решении задач на подбор сечений в стержнях в большинстве случаев используется следующий план: 1) Через продольные силы в стержнях определяем расчётную нагрузку. 2) Далее через условие прочности осуществляем подбор сечений согласно ГОСТ. 3) Затем определяем абсолютные и относительные деформации.

При малых усилиях в сжатых стержнях подбор сечения производится по заданной предельной гибкости λ_пр. Сначала определяется требуемый радиус инерции: а по радиусу инерции подбираются соответствующие уголки. Для облегчения определения необходимых габаритов сечения, позволяющих наметить необходимые размеры уголков, в таблице “Приблеженные значения радиусов” инерций сечений элементов из уголков приведены приближенные значения радиусов инерции для различных сечений элементов из уголков.

Ползучесть материалов

Ударная вязкость

Ударная вязкость — способность материала поглощать механическую энергию в процессе деформации и разрушения под действием ударной нагрузки. Основным отличием ударных нагрузок от испытаний на растяжение-сжатие или изгиб является гораздо более высокая скорость выделения энергии. Таким образом, ударная вязкость характеризует способность материала к быстрому поглощению энергии. Обычно оценивается работа до разрушения или разрыва испытываемого образца при ударной нагрузке, отнесённой к площади его сечения в месте приложения нагрузки. Выражается в Дж/см2 или в кДж/м2. Определяется отношением работы W, затраченной на разрушение образца, к площади поперечного сечения А в месте излома: а_К=W/A.

Расчёт кислородных баллонов

Баллоны являются разновидностью сосудов, но к ним предъявляются дополнительные требования. Расчет баллонов проводится при условии, чтобы напряжения в их стенках при гидравлическом испытании не превышали 90% предела текучести для данной марки стали. Толщина стенки (м) цилиндрической части баллона: ,

Где P-рабочее давление, Па; D_B –внутренний диаметр баллона, см; R_P— допускаемое напряжение на разрыв, Па; — коэффициент прочности (применяют для бесшовных баллонов =1, а для сварных =0,7); С- прибавка на минусовые допуски, см.

Ядро сечения

Статисеские неопределимая. Основная, эквивалентная система.

Конструкции, в которых число неизвестных связей превышает число уравнений равновесия, получаемых для плоской или пространственной системы. Такие системы называются статически неопределимыми. Система, полученая из заданной неопределимой системы. Путем отбрасывания лишних связей, называется основной системой. Если к основной системе приложить все заданные нагрузки и неизвестные, то получим эквивалентную систему.

Источник