Что такое эквипотенциальная поверхность в общем случае

Эквипотенциальные поверхности. Потенциал электростатического поля

Работа по перемещению заряда из точки А в точку В зависит только от положения точек А и В и не зависит от формы пути, по которому движется пробный заряд. Исходя из этого работа, по перемещению заряда, будет равна убыли потенциальной энергии W данного заряда:

Если работа зависит только от положения начала и конца пути в электростатическом поле, то она может быть выражена как разница двух чисел.

Возьмем производную точку М и обозначим работу по перемещению пробного заряда q_пр от М к А через φ(А), а от М к В через φ(В). После чего будет осуществлено перемещение данного заряда от А к В по пути А- М – В.

Так как работу перехода М – А мы обозначили как φ(А), то обратный переход А – М также будет φ(А), из чего следует формула:

Положение точки М по сути безразлично, так как в данном случае играет роль только разность значений функций φ. Однако, задав координаты точки М мы однозначно определим величины функций φ(А) и φ(В), хотя на величину разности φ(А) — φ(В) положение точки М никак не влияет. Как только координаты точки М выбраны, число φ определяется в любой точке пространства.

Отсюда следует важный вывод – величина φ является функцией координат x, y, z и скаляром электростатического поля. Данная скалярная функция φ называется потенциалом электростатического поля. Точка отсчета М для удобства расчетов помещается в бесконечность. Потенциал бесконечно удаленной точки принимают равным нулю φ = 0.

Физическая величина, которая равна отношению потенциальной энергии, приобретаемой положительным зарядом q_пр, при его переносе из бесконечности в данную точку пространства к этому заряду, то есть:

Потенциал – это энергетическая характеристика поля. Численно он равен работе, которую нужно совершить при перенесении единичного заряда из бесконечности, где потенциальная энергия считается равной нулю, в данную точку поля.

Из формул (2) и (формулы 3 приведенной по следующей ссылке) получим выражения потенциала поля, которое создано точечным зарядом:

Когда поле образуется несколькими расположенными произвольно зарядами q₁, q₂,… q_n, его потенциал φ в данной точке будет равен алгебраической сумме потенциалов φ₁, φ₂, … φ_n, которые создает каждый заряд в отдельности:

Если заряды q₁, q₂,… q_n можно считать точечными, то суммарный потенциал можно посчитать по формуле:

Где r₁, r₂, … r_n расстояние от зарядов q₁, q₂, … q_n до данной точки поля.

В случае если поле образовано электрическим диполем, то потенциал в какой-либо точке поля, находящейся от центра диполя на расстоянии r можно определить по формуле:

Где р = q·l – электрический момент диполя (где l – это плечо диполя), а α – угол между плечом диполя l и радиус вектором r.

В случае, когда точка лежит на оси диполя α = 0, потенциал в этой точке будет равен:

Где φ₁ и φ₂ потенциалы в точках А и В или

Отсюда следует, что совершаемая полем работа по перемещению заряда измеряется произведением заряда q / , переносимого в электростатическом поле, на разность потенциалов конечной (φ₂) и начальной (φ₁) точек пути и никак не зависит от формы пути.

Совокупность точек с одинаковым потенциалом образуют эквипотенциальную поверхность или поверхность равного потенциала (φ = const). С помощью данных точек эквипотенциальную поверхность можно изобразить графически.

На рисунке ниже изображено электрическое поле равномерно заряженного диска, где пунктирные линии – эквипотенциальные поверхности, а сплошные – линии напряженности.

Данный рисунок иллюстрирует общее свойство эквипотенциальных поверхностей и силовых линий – эквипотенциальная поверхность и силовая линия, проведенная через любую точку, в данной точке взаимно перпендикулярны. Поскольку все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал (φ₁ – φ₂ = 0), то работа не совершается при перемещении заряда вдоль нее. Из этого следует, что действующий на заряд вектор силы, а значит и вектор напряженности все время перпендикулярен к перемещению.

Если заряд перемещается по эквипотенциальной поверхности (φ = const), то работа поля будет равна нулю:

В общем случае совершаемая полем работа по перемещению заряда q / будет равна:

Где dS – элементарное перемещение, а Е – проекция вектора напряженности Е на направление перемещения.

В результате интегрирования выражения (11) для однородного поля получим:

Где S – путь, а α – угол между направлением вектора Е и перемещения.

Источник

Эквипотенциальные поверхности — справочник студента

Возьмем производную точку М и обозначим работу по перемещению пробного заряда qпр от М к А через φ(А), а от М к В через φ(В). После чего будет осуществлено перемещение данного заряда от А к В по пути А- М – В.

Так как работу перехода М – А мы обозначили как φ(А), то обратный переход А – М также будет φ(А), из чего следует формула:

Положение точки М по сути безразлично, так как в данном случае играет роль только разность значений функций φ. Однако, задав координаты точки М мы однозначно определим величины функций φ(А) и φ(В), хотя на величину разности φ(А) — φ(В) положение точки М никак не влияет. Как только координаты точки М выбраны, число φ определяется в любой точке пространства.

Отсюда следует важный вывод – величина φ является функцией координат x, y, z и скаляром электростатического поля. Данная скалярная функция φ называется потенциалом электростатического поля. Точка отсчета М для удобства расчетов помещается в бесконечность. Потенциал бесконечно удаленной точки принимают равным нулю φ = 0.

Физическая величина, которая равна отношению потенциальной энергии, приобретаемой положительным зарядом qпр, при его переносе из бесконечности в данную точку пространства к этому заряду, то есть:

Потенциал – это энергетическая характеристика поля. Численно он равен работе, которую нужно совершить при перенесении единичного заряда из бесконечности, где потенциальная энергия считается равной нулю, в данную точку поля.

Совокупность точек с одинаковым потенциалом образуют эквипотенциальную поверхность или поверхность равного потенциала (φ = const). С помощью данных точек эквипотенциальную поверхность можно изобразить графически.

На рисунке ниже изображено электрическое поле равномерно заряженного диска, где пунктирные линии – эквипотенциальные поверхности, а сплошные – линии напряженности.

Данный рисунок иллюстрирует общее свойство эквипотенциальных поверхностей и силовых линий – эквипотенциальная поверхность и силовая линия, проведенная через любую точку, в данной точке взаимно перпендикулярны.

Поскольку все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал (φ1 – φ2 = 0), то работа не совершается при перемещении заряда вдоль нее.

Из этого следует, что действующий на заряд вектор силы, а значит и вектор напряженности все время перпендикулярен к перемещению.

Связь между напряжённостью электростатического поля и разностью потенциалов. Эквипотенциальные поверхности — Класс!ная физика

«Физика — 10 класс»

Какие две характеристики электростатического поля вы уже знаете? Как они определяются? Для чего электрическое поле изображают силовыми линиями?

Каждой точке электрического поля соответствуют определённые значения потенциала и напряжённости. Найдём связь напряжённости электрического поля с разностью потенциалов.

Пусть заряд q перемещается в направлении вектора напряжённости однородного электрического поля Е из точки 1 в точку 2, находящуюся на расстоянии Δd от точки 1 (рис. 14.33). Электрическое поле совершает работу

Эту работу согласно формуле (14.19) можно выразить через разность потенциалов между точками 1 и 2:

Приравнивая выражения для работы, найдём модуль вектора напряжённости поля:

В этой формуле U — разность потенциалов между точками 1 и 2, лежащими на одной силовой линии поля (см. рис. 14.33).

Формула (14.21) показывает: чем меньше меняется потенциал на расстоянии Δd, тем меньше напряжённость электростатического поля. Если потенциал не меняется совсем, то напряжённость поля равна нулю.

Формула (14.21) справедлива для произвольного электростатического поля, если только расстояние Δd настолько мало, что изменением напряжённости поля на этом расстоянии можно пренебречь.

Сравним поле силы тяжести и однородное электростатическое поле.

Единица напряжённости электрического поля. Единицу напряжённости электрического поля в СИ устанавливают, используя формулу (14.21).

Эквипотенциальные поверхности.

При перемещении заряда под углом 90° к силовым линиям электрическое поле не совершает работу, так как электростатическая сила перпендикулярна перемещению.

Значит, если провести поверхность, перпендикулярную в каждой её точке силовым линиям, то при перемещении заряда вдоль этой поверхности работа не совершается.

А это означает, что все точки поверхности, перпендикулярной силовым линиям, имеют один и тот же потенциал.

Поверхности равного потенциала называют эквипотенциальными.

Эквипотенциальные поверхности однородного поля представляют собой плоскости (рис. 14.34, а), а поля точечного заряда — концентрические сферы (рис. 14.34, б).

Эквипотенциальные поверхности качественно характеризуют распределение поля в пространстве подобно тому, как линии уровня отражают рельеф поверхности на географических картах. Вектор напряжённости перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и направлен в сторону уменьшения потенциала.

Эквипотенциальные поверхности строятся обычно так, что разность потенциалов между двумя соседними поверхностями постоянна. Поэтому согласно формуле (14.21) расстояния между соседними эквипотенциальными поверхностями увеличиваются по мере удаления от точечного заряда, так как напряжённость поля уменьшается.

Эквипотенциальные поверхности однородного поля расположены на равных расстояниях друг от друга.

Эквипотенциальной является поверхность любого проводника в электростатическом поле. Ведь силовые линии перпендикулярны поверхности проводника. Причём не только поверхность, но и все точки внутри проводника имеют один и тот же потенциал. Напряжённость поля внутри проводника равна нулю, значит, равна нулю и разность потенциалов между любыми точками проводника.

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Назад в раздел «Физика — 10 класс, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский»

Электростатика — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

Что такое электродинамика — Электрический заряд и элементарные частицы. Закон сохранения заряд — Закон Кулона. Единица электрического заряда — Примеры решения задач по теме «Закон Кулона» — Близкодействие и действие на расстоянии — Электрическое поле — Напряжённость электрического поля. Силовые линии — Поле точечного заряда и заряженного шара.

Принцип суперпозиции полей — Примеры решения задач по теме «Напряжённость электрического поля.

Принцип суперпозиции полей» — Проводники в электростатическом поле — Диэлектрики в электростатическом поле — Потенциальная энергия заряженного тела в однородном электростатическом поле — Потенциал электростатического поля и разность потенциалов — Связь между напряжённостью электростатического поля и разностью потенциалов.

Эквипотенциальные поверхности — Примеры решения задач по теме «Потенциальная энергия электростатического поля. Разность потенциалов» — Электроёмкость. Единицы электроёмкости. Конденсатор — Энергия заряженного конденсатора. Применение конденсаторов — Примеры решения задач по теме «Электроёмкость. Энергия заряженного конденсатора»

Эквипотенциальная поверхность (№1)

ВНИМАНИЕ! У этого текста есть несколько вариантов. Ссылки находятся после текста

Вокруг точечного заряжен­ного тела существует бесконечно большое множество точек, в которых потенциалы будут одинаковы. Все они будут лежать на сферической поверхности радиуса r с цент­ром в источнике поля. Такую поверхность называют эквипотенциальной.

Эквипотенциальная поверхность — это гео­метрическое место точек равных потенциа­лов.

Если силовые линии создают силовой «образ» поля, то эквипотенциальные поверх­ности позволяют средствами графики изоб­разить энергетическую структуру электри­ческого поля.

Для поля точечного заряженного тела эквипотенциальные поверхности являются концентрическими сферами (рис. 4.56). Ли­нии напряженности электрического поля, направленные вдоль радиусов этих сфер, перпендикулярны эквипотенциальным по­верхностям. И это — общее правило при гра­фическом изображении эквипотенциальных поверхностей.

Линии напряженности электрического по­ля перпендикулярны эквипотенциальным по­верхностям.

Рис. 4.56. Эквипотенциальные поверх­ности заряженного поля

Рис. 4.57. Эквипотенциальные поверхнос­ти однородного электростатического поля

Эквипотенциальные поверхности одно­родного поля параллельных пластин па­раллельны этим пластинам (рис. 4.57). Да и сами заряженные пластины являются экви­потенциальными поверхностями.

Для более сложных полей эквипотен­циальные поверхности имеют более слож­ную форму (рис. 4.58 и 4.59).

Линии напряженности поля показывают и направление уменьшения потенциала. Он уменьшается в направлении линий напря­женности поля.

Отдельным примером эквипотенциальной поверхности является поверхность заряжен­ного проводника. Доказательством этого яв­ляется тот факт, что линии напряженности электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Материал с сайта http://worldofschool.ru

Рис. 4.58. Эквипотенциальные поверхнос­ти неоднородного электростатического поля

Рис. 4.59. Эквипотенциальные поверхности электростатического поля сложной струк­туры

Эквипотенциальные поверхности — это не просто геометрические построения.

Они отображают тот факт, что при перемещении заряженного тела по эквипотенциальной по­верхности работа равна нулю, поскольку потенциальная энергия тела при этом не изменяется.

Универсальным примером экви­потенциальной поверхности является поверх­ность проводника. Таким образом, заряжен­ный проводник имеет определенный потен­циал, одинаковый во всех точках его по­верхности.

На этой странице материал по темам: Вопросы по этому материалу:

Эквипотенциальные линии

Задача обучения

Основные пункты

Термины

Эквипотенциальные линии отображают одномерные участки, где электрический потенциал остается неизменным.

То есть, для такого заряда (где бы он ни находился на эквипотенциальной линии) не нужно осуществлять работу, чтобы сдвинуться с одной точки на другую в пределах конкретной линии.

Линии эквипотенциальной поверхности бывают прямыми, изогнутыми или неправильными. Все это основывается на распределении зарядов. Они располагаются радиально вокруг заряженного тела, поэтому остаются перпендикулярными к линиям электрического поля.

Одиночный точечный заряд

Для одиночного точечного заряда формула потенциала:

Здесь наблюдается радиальная зависимость, то есть, независимо от дистанции к точечному заряду потенциал остается неизменным. Поэтому эквипотенциальные линии принимают круглую форму с точечным зарядом в центре.

Изолированный точечный заряд с линиями электрического поля (синий) и эквипотенциальными (зеленый)

Множественные заряды

Если контактирует несколько дискретных зарядов, то мы видим, как перекрываются их поля. Это перекрытие заставляет потенциал объединяться, а эквипотенциальные линии перекашиваться.

Если присутствует несколько зарядов, то эквипотенциальные линии формируются нерегулярно. В точке между зарядами контрольный способен ощущать эффекты от обоих зарядов

Непрерывный заряд

Если заряды расположены на двух проводящих пластинах в условиях статического баланса, где заряды не прерываются и находятся на прямой, то и эквипотенциальные линии выпрямляются. Дело в том, что непрерывность зарядов вызывает непрерывные действия в любой точке.

Если заряды вытягиваются в линию и лишены прерывания, то эквипотенциальные линии идут прямо перед ними. В качестве исключения можно вспомнить только изгиб возле краев проводящих пластин

Непрерывность нарушается ближе к концам пластин, из-за чего на этих участках создается кривизна – краевой эффект.

Читайте нас на Яндекс.Дзен

Линии поля; эквипотенциальные поверхности

Теперь мы собираемся дать геометрическое описание электростатического поля. Два закона электростатики: один — о пропорциональности потока и внутреннего заряда и другой — о том, что электрическое поле есть градиент потенциала, могут также быть изображены геометрически. Мы проиллюстрируем это двумя примерами.

Первый пример: возьмем поле точечного заряда. Проведем линии в направлении поля, которые повсюду касательны к векторам поля (фиг. 4.12). Их называют линиями поля. Линии поля всюду показывают направление электрического вектора. Но, кроме этого, мы хотим изобразить и абсолютную величину вектора.

Можно ввести такое правило: пусть напряженность электрического поля представляется «плотностью» линий. Под этим мы подразумеваем число линий на единицу площади, перпендикулярной линиям. С помощью этих двух правил мы можем начертить картину электрического поля.

Для точечного заряда плотность линий должна убывать как 1/r2.

Но площадь сферической поверхности, перпендикулярной к линиям на всех радиусах r, возрастает как r2, так что если мы сохраним всюду, на всех расстояниях от центра, одно и то же число линий, то их плотность останется пропорциональной величине поля.

Мы можем гарантировать неизменность числа линий на всех расстояниях, если обеспечим непрерывность линий, т. е. если уж линия вышла из заряда, то она никогда не кончится. На языке линий поля закон Гаусса утверждает, что линии могут начинаться только в плюс-зарядах и кончаться только в минус-зарядах. А число линий, покидающих заряд q, должно быть равно q/ε0.

Сходную геометрическую картину можно отыскать и для потенциала φ. Проще всего изображать его, рисуя поверхности, на которых φ постоянно. Их называют эквипотенциальными, т. е. поверхностями одинакового потенциала.

Какова геометрическая связь эквипотенциальных поверхностей и линий поля? Электрическое поле является градиентом потенциала. Градиент направлен по самому быстрому изменению потенциала, поэтому он перпендикулярен к эквипотенциальной поверхности.

Если бы Е не было перпендикулярно к поверхности, у него существовала бы составляющая вдоль поверхности и потенциал изменялся бы вдоль поверхности и тогда нельзя было бы считать ее эквипотенциальной. Эквипотенциальные поверхности должны поэтому непременно всюду проходить поперек линий электрического поля.

У отдельно взятого точечного заряда эквипотенциальные поверхности — это сферы с зарядом в центре. На фиг. 4.12 показано пересечение этих сфер с плоскостью, проведенной через заряд.

В качестве второго примера рассмотрим поле близ двух одинаковых зарядов, одного положительного, а другого отрицательного. Это поле получить легко. Это суперпозиция (наложение) полей каждого из зарядов. Значит, мы можем взять две картинки, похожие на фиг. 4.12, и наложить их…

нет, это невозможно! Тогда получились бы пересекающиеся линии поля, а этого быть не может, потому что Е не может иметь в одной точке двух направлений. Неудобство картины линий поля теперь становится очевидным. С помощью геометрических рассуждений невозможно в простой форме проанализировать, куда пойдут новые линии. Из двух независимых картин нельзя получить их сочетание.

Принцип наложения, столь простой и глубокий принцип теории электрических полей, в картине полевых линий не имеет простого соответствия.

Картина полевых линий все же имеет свою область применимости, так. что мы можем все же захотеть начертить эту картину для пары равных (и противоположных) зарядов. Если мы вычислим поля из уравнения (4.13), а потенциалы из (4.23), то сумеем начертить и линии поля и эквипотенциали. Фиг. 4.13 демонстрирует этот результат. Но сперва пришлось решить задачу аналитически!

Источник