Что такое числовая прямая
Числовая прямая
Числовая ось, или числовая прямая — это бесконечная прямая, на которой выбраны:
Между вещественными числами и числовой осью устанавливается взаимно однозначное соответствие: начало координат соответствует нулю, числовое значение произвольной точки соответствует расстоянию её до начала координат — в положительном направлении со знаком плюс, иначе — со знаком минус. [1] Таким образом, числовая ось состоит из точки начала координат и двух расходящихся от неё лучей, один из которых соответствует положительным, а другой — отрицательным числам. Естественный порядок точек на прямой при таком соответствии согласуется с упорядоченностью чисел.
Числовая прямая часто используется как наглядный образ множества вещественных чисел 
(например, для построения графиков). Отрезки прямой при этом изображают числовые интервалы.
Примечания
Литература
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Числовая прямая» в других словарях:
ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ — (числовая ось, координатная прямая, координатная ось) прямая, на которой изображают действительные числа и задают: точку О начало отсчёта, положительное направление (от О к А) и единичный отрезок (масштаб) ОА … Большая политехническая энциклопедия
Числовая ось — Числовая ось, или числовая прямая это прямая, на которой выбраны: некоторая точка O начало отсчёта; положительное направление, указанное стрелкой; масштаб для измерения длин. Между вещественными числами и числовой осью устанавливается … Википедия
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КОНТИНУУМ — числовая прямая … Математическая энциклопедия
Вещественное число — Вещественное, или действительное число [1] математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение… … Википедия
МАТЕМАТИКА — наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально – о математических множествах и величинах; напр., элементарная математика – наука о числовых величинах (арифметика) и величинах пространственных (геометрия) и о… … Философская энциклопедия
Нейтральный элемент — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка… … Википедия
Единичный элемент — Нейтральный элемент бинарной операции элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам. Содержание 1 Определение 2 Замечания 3 Примеры 4 См. также … Википедия
Нулевой элемент — Нейтральный элемент бинарной операции элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам. Содержание 1 Определение 2 Замечания 3 Примеры 4 См. также … Википедия
Одномерное пространство — геометрическая модель материального мира, в которой положение точки возможно охарактеризовать всего одним числом.[1] Также одномерным пространством считается n мерное пространство, где n=1. Геометрия одномерного пространства Единственным… … Википедия
Исследовательская работа «Удивительная числовая прямая»
Лариса Булкина
Исследовательская работа «Удивительная числовая прямая»
ГБОУ города Москвы «Школа № 2088»,
по адресу Грайвороново квартал 90А, корп 15.
Исследовательская работа
Удивительная числовая прямая
Воспитатель Булкина Лариса Михайловна
Понятие «числовая прямая» 5
Больше, меньше и равно 6
Математические действия: «вычитание и сложение» 7
Экспериментальные задачи 8
Анализ полученных результатов 10
Актуальность исследования и обоснование темы исследования.
Умение считать – это очень важный навык в жизни ребенка. Умение считать помогает не ошибиться при обмене игрушками (две дал свои и две взял у друга, понимание порядка чисел дает понять, какое число больше, а какое меньше.Счет помогает правильно выполнять поручение мамы:например: «доча, принеси мне 2 яйца, 3 ложки, пожалуйста!»— и т. п.
Однако всем детям нравится играть в игры и не очень нравится скучно заниматься чем-либо. Поэтому нужно искать легкие и интересные варианты изучения математики и других наук.
Тема проекта связана с изучением возможностей числовой прямой в математике. Простота и легкость ее использования помогает нам освоить математические основы без скуки и труда.
Объект исследования— поиск ответа на вопрос: «как помочь дошкольнику с интересом и легкостью освоить математику?»
Предмет исследования – Удивительная числовая прямая и ее некоторые возможности.
Цель исследовательской работы – показать легкость и увлекательность изучения математики.
Гипотеза исследования:
1. Числовая прямая помогает ребенку увидеть наглядно порядок чисел;
2. Числовая прямая помогает в решении примеров на сложение, вычитание и неравенства;
3. При помощи числовой прямой легко решаются интересные задачи.
Задачи исследовательской работы:
1. дать понятие числовой прямой;
2. понятие «больше, меньше, равно» и числовая прямая;
3. действия «вычитание и сложение» и числовая прямая;
4. экспериментальные задачи и числовая прямая.
Методом исследования проекта является изучение материала, системный анализ, наблюдение, эксперимент.
Результаты исследования – после изучения материала по теме «числовая прямая» мы с легкостью справляемся с задачами по числовой прямой, на сложение, вычитание, решение неравенств, а также имеем представление о порядке цифр в пределах десяти, и владеем прямым и обратным счетом от любого и до любого числа в пределах 10.
Анализ результатов исследования – числовая прямая – это помощь детям для интересных и нескучных занятий по математике.
Список использованной литературы состоит из пособий для детей дошкольного возраста.
Понятие «числовая прямая»
Давайте посмотрим, перед нами прямая (см. рис. 1). Просто линяя, на которой будут появляться числа, с которыми мы познакомимся. Эту линию мы будем называть «ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ».Все просто: прямая, на которой числа, значит – прямая какая? числовая. Числовая прямая.
Эта прямая волшебная.На ней мы можем увидеть: в каком порядке идут цифры, кто чей сосед, посмотреть предыдущее и последующее число, и она даже наш мини-калькулятор, с которым можно решать примеры. Самые настоящие, взрослые.
Числовая прямая очень похожа на линейку. При необходимости, можно применять и ее как нашу прямую.
Итак, давайте вместе посчитаем от 0 до 9 и обратно. А теперь от 2 до 7. А теперь от 8 до 4. С числовой прямой это легко и наглядно.
Кстати, о числах. Вы знаете, почему числа стоят именно в таком порядке? почему 4 – это четыре, а не 6? Оказывается, арабские цифры были придуманы по количеству углов. Сколько в цифре углов, такая и цифра. Сейчас, конечно цифры округлились. А раньше они выглядели так (рис. 2)
Больше, меньше и равно
Вернемся к числовой прямой. Числа, которые стоят на прямой имеют соседей.посмотрите: число 2 – имеет соседей 1 и 3; число 8 имеет соседей – 7 и 9.
Соседи чисел стоят с разных сторон, и нам стало интересно, кто из них главный?
Вот возьмем число 5, у него соседи 4 и 6. Кто главней? для того, чтобы ответить на этот вопрос позовем нашего друга Пеликана. Посмотрите, какой он красивый (рис. 3). У него большой клюв. Пеликан очень любит кушать рыбку. Его клюв всегда широко открыт в ту сторону где Больше всего рыбки. А от маленькой части рыбок он отворачивается. Пеликан привереда! А если же кучки с рыбой одинаковые, то пеликан долго думает, закрыв рот, чтобы съесть (рис. 4).
Итак, пеликан помоги нам, кто главней, кто из соседей числа 5 старше, число 4 или число 6. Конечно, 6 больше. Мы можем сделать вывод, что из соседей, кто стоит дальше на числовой прямой, правее, тот и старше, больше. А кто ближе к началу числовой прямой, левее, тот меньше.
Вывод: Если мы движемся вправо по числовой прямой числа увеличиваются, а если влево, то они уменьшаются.
Математические действия: «вычитание и сложение»
Числовая прямая приходит к нам на помощь и когда нам нужно решить пример на сложение или вычитание. Мы уже знаем порядок цифр, знаем что, если число правее – оно больше, если левее – оно меньше. Постараемся все эти знания использовать и решая примеры.
Зайчик стоит на цифре 1, ему нужно сделать один шаг ВПЕРЕД (вправо, чтобы увидеть свою подругу лису. Нам нужно узнать «на каком числе» он увидит подругу. Если мы делаем шаг вправо, значит число становиться больше, значит мы ПРИБАВЛЯЕМ (это знак +, а если мы делаем один шаг, то значит нам нужно следующее после 1 число – это 2.
Прибавляя 1, мы двигаемся вправо и называем следующее по счету число.
Вычитая 1,мы двигаемся влево и называем предыдущее по счету число.
Вывод: Если к числу прибавить один, то мы получаем следующее число на числовой прямой (движемся вправо, а если из числа нужно вычесть один, то мы получаем предыдущее число на числовой прямой (движемся влево).
Чтобы сдать экзамен, школьнику Мите нужно вытащить билет и ответить на вопросы. Митя вытянул билет с номером, который находится между номерами 3 и 5. Какой билет вытянул Митя на экзамене? (Ответ: 4)
Дедушка Сережа посадил весной саженцы груши, яблони и вишни в своём саду. Он пронумеровал их табличками, но после дождя номер на одной табличке смылся. Какой номер нужно написать, если этот саженец растет слева от четвёртого?
Футболисты выстроились перед матчем. Какой номер написан на майке футболиста, который стоит справа от футболиста с номером 4? (Ответ:5)
Дорогие гости, поднимите руку, кто хочет поучаствовать в эксперименте?
Загадайте любое число в пределах 10. Запомните его. К этому прибавьте 5, отнимите 3, прибавьте 7, отнимите и вычтите 10. Скажите нам получившееся число!
А теперь мы с помощью числовой прямой, скажем число, которое Вы загадали.
(Ответ: по числовой прямой смотрим число, названное гостем и прибавляем к нему 1, называем число, которое загадал гость).
Анализ полученных результатов
Благодаря нашему проекту удалость подтвердить все выдвинутые нами гипотезы:
1. Числовая прямая помогает ребенку увидеть наглядно порядок чисел;
2. Числовая прямая помогает в решении примеров на сложение, вычитание и неравенства;
3. При помощи числовой прямой легко решаются интересные задачи.
Проект помог легко и интересно представить математику в глазах наших друзей.
«Наши имена». Исследовательская работа Введение Имя человека – самый сладостный и самый важный для него звук на любом языке. (Дейл Карнеги). Как и когда возникла идея этого.
Исследовательская работа «Я рисую иллюстрации» Автор:Кобзев Роман. Руководитель:Абдулова Д. С. I. ВВЕДЕНИЕ…3 II. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ….…4 1. Научная.
Исследовательская работа «Мир бумаги» С самого раннего детства мы знакомимся с бумагой. Это происходит тогда, когда ребёнок тянется к красивой книжке или к белому альбомному.
Исследовательская работа «Небесные странники» Всероссийский конкурс исследовательских работ и творческих проектов дошкольников и младших школьников «Я – исследователь 2017» Исследовательская.
Исследовательская работа «Одуванчик» Введение Цель работы: «Вызвать эмоции и желание любоваться красотой природы, поддержать любопытство при встрече с одуванчиком и его необычайными.
Исследовательская работа с малышами. Работу по познавательно-исследовательской деятельности рекомендуется начать уже с младшего дошкольного возраста. Так как для малышей характерен.
Исследовательская работа «Свойства магнита» «Свойства магнита»Образовательная область «Познание» Исследовательская работа детей Руководитель: Захарова Н. Н. Цели исследования: 1. Найти.
Исследовательская работа «Волшебный пластилинчик» Исследовательская работа: «Волшебный пластилинчик» Мбдоу детский сад «Колокольчик» Воспитатель: Чернова Анна Петровна Исследовательская.
Кристаллы из сахара Исследовательская работа СОДЕРЖАНИЕ 1. ВВЕДЕНИЕ 2. ИНТЕРЕСНЫЕ ФАКТЫ О КРИСТАЛЛАХ 3. ЭКСПЕРИМЕНТ 4. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. ВВЕДЕНИЕ Моя мама каждый вечер перед сном.
Познавательно-исследовательская деятельность в старшей группе «Эта удивительная вода» В дошкольном возрасте дети еще не могут оперировать знаниями в вербальной форме, без опоры на наглядность, поэтому они в подавляющем большинстве.
Числовая прямая (или, что то же самое, числовая ось) — понятие нехитрое. Более того, числовая прямая — главный помощник в решении любых заданий с неравенствами! Любых. От примитивных линейных неравенств до сложных показательных или логарифмических неравенств, систем неравенств и метода интервалов. Освоим темку, пока всё просто?)
Что такое числовая прямая? Что такое координатная прямая?
С понятием числовой прямой вы все уже сталкивались, когда изучали такие темы как координаты точек (5-й класс), страшное понятие модуля числа (6-й класс), и особенно когда рисовали графики функций (7-й класс). Вспомним ещё разок?)
Всё то же самое, ничего нового! Первым делом возьмём и нарисуем в тетрадке самую обычную прямую и дополнительно укажем на ней:
1) Начало отсчёта или начало координат (точку О);
2) Положительное направление (стрелочкой);
3) Масштаб или единицу измерения длины (например, одна тетрадная клетка).
Вот и всё. Про устройство числовой прямой вы тоже давно в курсе (надеюсь). Но на всякий случай напоминаю. Начало координат всегда соответствует числу 0. Все положительные числа изображаются на положительной полуоси справа от нуля, в направлении стрелочки. А все отрицательные — слева от нуля, на отрицательной полуоси. Большее число всегда располагается правее меньшего, а меньшее — левее большего. Элементарно, Ватсон!)
Ну хорошо, прямая и прямая. Но почему — числовая? Ответ очевиден. Каждой точке на прямой соответствует какое-то число. Положительное, отрицательное, целое, дробное, иррациональное — какое угодно. Но — число! Поэтому и прямая — числовая. Это число имеет специальное и вполне научное название — координата точки. Отсюда следует, что числовая прямая — и координатная прямая тоже. Вот так. Два термина в одном флаконе.)
А вот теперь мы с вами колоссально расширяем наши возможности. Начинаем работать с числовой прямой на полную катушку! Готовы?)
Что такое числовой промежуток? Виды числовых промежутков.
В уравнениях было всё просто. Нашли икс, да и записали в ответ. Например, х=2. В неравенствах же ответом обычно служит не одно-два числа, а промежуток. Числовой промежуток. Или даже несколько числовых промежутков. Это и смущает поначалу…) Что это за зверь такой — числовой промежуток?
Числовой промежуток — это просто какой-то кусочек числовой прямой. И всё!
Сейчас начинается самое весёлое. Сейчас мы нашу числовую прямую будем пилить.) Пилить не на дрова, а на… числовые промежутки.)
Вот прям берём числовую прямую и вырезаем из неё какой-то кусочек какими-то точками. Которые, напоминаю, соответствуют каким-то числам. Вот и получаем — числовой промежуток. Разумеется, вырезать конкретный кусочек числовой прямой можно по-разному, да…)
Соответственно, и числовые промежутки в математике бывают разных видов.
Вот они, эти виды (подкрашены красным цветом):
Смотрим на табличку и… мама родная! Какие-то непонятные кружочки (пустые внутри и закрашенные), какой-то странный иероглиф «∞», да ещё и со знаками плюс/минус, круглые и квадратные скобочки.
Вам и вправду страшно? Возможно… Но сейчас вы увидите, насколько всё просто! Читаем дальше.)
Граничные точки
Я разгадала знак бесконечность… (Земфира)
А может ли числовой промежуток в каком-то направлении быть неограниченным?
А почему — нет? Запросто! Можно распилить числовую прямую не в двух точках, а в какой-то одной точке. И забрать себе одну часть — левую или правую. Бесконечную… Или — луч. Только для обозначения этой бесконечной границы буквы или числа не годятся. Зато есть специальный значок «∞«. Значок этот так и называется — «бесконечность». Очевидно, бесконечность бывает двух видов (точнее, двух знаков) — плюс (+∞) или минус (-∞). В зависимости от того, какой именно луч, какая часть прямой, правая или левая, берётся на дальнейшее рассмотрение.
Кружочки и скобочки…
Граничная точка — это, как и намекает название, точка, задающая границу числового промежутка. Слева или справа. Естественно, у думающих тут же возникает вполне логичный и важный вопрос: А куда относить саму граничную точку? Включать её в состав промежутка или нет?
Именно для ответа на этот вопрос нам и служат всякие кружочки и скобочки в обозначениях и на рисунках!
Запоминаем:
Если граничная точка в числовой промежуток НЕ ВХОДИТ, то на числовой прямой она рисуется НЕЗАКРАШЕННОЙ. Т.е. пустой внутри. В математике такие точки называются выколотыми точками. В обозначениях выколотые точки всегда соседствуют с круглыми скобками «(» или «)».
Если же граничная точка в числовой промежуток ВХОДИТ, то на числовой прямой она рисуется ЗАКРАШЕННОЙ, а в записи обозначается квадратной скобкой «[» или «]».
Вот и вся расшифровка.) Кстати говоря, специальные названия промежутков (луч, отрезок, интервал, полуинтервал) запоминать пока не обязательно. Всё равно поначалу будете путаться. Это для общей эрудиции сделано.) На практике обычно не заморачиваются и говорят «числовой промежуток такой-то…», без уточнения вида — луч, отрезок и т.д. А иногда и совсем кратко — просто «промежуток». Если и вы путаетесь — говорите так же. Не ошибётесь! А спецназвания оставим для старших классов. Но если запомнили (и поняли!) названия промежутков — что ж, только респект!)
Теперь можно потренироваться в записи и чтении числовых промежутков. Чтобы не мычать… Ну что, потренируемся?
Читаем числовые промежутки и рисуем их на оси!
С чтением и рисованием числовых промежутков обычно никаких проблем нет. Нужно только чётко понимать, что означают все эти скобочки и кружочки, что разбирались в предыдущем параграфе.
Например, задан числовой промежуток (0; 5].
Словами эта запись звучит так: числовой промежуток от нуля до пяти, не включая ноль и включая пять.
Читаем (и пишем) именно в таком порядке — от левой границы до правой.
Левая граница (т.е. число 0) соседствует с круглой скобкой «(«, о чём нам и говорят слова «не включая». Этот факт означает, что число 0 в наш промежуток не входит. Например, число 0,1 входит, и даже 0,000001 — ещё входит. Хоть чуть-чуть, да больше нуля. А вот ровно ноль — уже нет…
Пятёрка же — напротив, соседствует с квадратной скобкой «]», что говорит нам о том, что сама она также входит в наш промежуток. И отражено словом «включая» в словесной расшифровке.
А теперь нарисуем наш промежуток на оси. Для этого рисуем числовую прямую и отмечаем на ней граничные точки 0 и 5.
Заметили разницу между нулём и пятёркой? Ну да, трудно не заметить! 😉 Точка 0 изображена белой, т.е. незакрашенной. Пустой внутри. Или, по-математически, выколотой точкой. Это, как мы с вами уже выяснили, означает, что ноль — не входит в наш промежуток. В отличие от пятёрки, которая входит в промежуток. И на рисунке, соответственно, нарисованной чёрной. Закрашенной.) Я специально точки такими здоровыми изобразил. Чтобы хорошенько врезались в память…
Итак, мы отметили на оси границы промежутка. Осталось лишь отметить все остальные числа, которые входят в этот промежуток. Вы спросите: Как? Ведь между нулём и пятёркой находится бесконечно много чисел! Это и 1, и 2,5, и 3,14, и 4,9999 и так далее… И что? Все-все отмечать)?
Нет, конечно. Всё гораздо проще!) Сейчас мы с вами отметим на прямой все интересующие нас числа одним махом! Тут есть два варианта. Вариант первый — штриховка. Просто берём и подштриховываем весь кусочек прямой между 0 и 5.
Вариант второй рассмотрим на следующем примере.
В этот раз дан промежуток такой: [-3; +∞).
Для начала читаем словами название промежутка с гордо поднятой головой: Числовой промежуток от минус трёх до плюс бесконечности, включая минус три!
Вот так. А теперь вопрос на засыпку: почему я оборвал чтение на словах «включая минус три…» и не продолжил мысль гениальными словами «…и не включая плюс бесконечность»?
Всё очень просто. Бесконечность (что плюс, что минус) не может включаться никогда. Это не число, это — символ. Поэтому в подобных записях бесконечность всегда соседствует с круглой скобкой, а в расшифровке говорится просто: «до плюс бесконечности». Или «до минус бесконечности». И всё.
А теперь всё как обычно, рисуем прямую, отмечаем на ней одну единственную точку минус три. Закрашенную, естественно, раз уж скобочка перед минус тройкой — квадратная. Вот так:
И отмечаем все остальные числа, входящие в промежуток от минус тройки до плюс бесконечности. На этот раз я отмечу нужный кусок оси дужкой (от слова дуга) вместо штриховки. Вот так:
Особой разницы между штриховкой и дужками нет. Рисуйте как удобнее. Но в сложных заданиях с неравенствами, где надо постоянно пересекать и объединять много промежутков, дужки предпочтительнее, ибо штриховка куда менее наглядна. Запутаться можно.
Я предпочитаю совмещать оба способа. Получается красиво и наглядно! В следующем уроке, на примерах, сами увидите.)
Вот так рисуются числовые промежутки на оси.
Входит и выходит… ))
А какая нам разница, входит число в указанный промежуток или не входит?
Вопрос смешной. Огромная! Ответ на этот вопрос (входит/не входит) — это ключевой этап в работе с промежутками и с неравенствами вообще! Даже значки специальные придуманы для этого. Вот такие:
За этими странными значками скрываются безобидные слова «принадлежит» и «не принадлежит».
Возьмём, к примеру, промежуток (1; 3].
Входит в этот промежуток, допустим, двойка? Конечно! Раз уж она посерёдке между единичкой и тройкой… А единичка? Э-э-э… Скобка перед ней — круглая! Не входит единичка в наш промежуток. Тройка входит? Попадает на границу, но скобочка — квадратная. Значит, входит! А вот три с половиной — снова не входит. 3,5 строго больше, чем тройка. Выпадает 3,5 из нашего промежутка…
Математически, с помощью значков принадлежности, эти факты можно записать вот так:
А словами можно прочитать вот так:
Два принадлежит промежутку от одного (не включая) до трёх (включая).
Один не принадлежит промежутку от одного (не включая) до трёх (включая).
В этом уроке было простое чтение и рисование промежутков на оси. Пока — цветочки. Переходим к ягодкам. К операциям над числовыми промежутками. Те ещё грабли, да…) Об этом — в следующем уроке.