Что такое числовая окружность

Единичная окружность

Единичная окружность в тригонометрии

Все процессы тригонометрии изучают на единичной окружности. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице.

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.

Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.

Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.

Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией.

В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности.

Угол поворота — это угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA.

Величины углов поворота не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании. Вот и все объяснение полезности единичной тригонометрической окружности.

Все углы, которые принадлежат одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:

Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так:

Радиан — одна из мер для определения величины угла.

Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса.

Число радиан для полной окружности — 360 градусов.

Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза.

Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.

Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:

Кстати, определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии дается через координаты точек на единичной окружности. Эти определения дают возможность раскрыть свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Уравнение единичной окружности

При помощи этого уравнения, вместе с определениями синуса и косинуса, можно записать основное тригонометрическое тождество:

Источник

Числовая окружность

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(t\);

4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(–t\).

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен \(1\). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках \(1\) и \(-1\).

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы \(l=2πR\) мы получим:

Длина числовой окружности равна \(2π\) или примерно \(6,28\).

Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте \(1\) на оси \(x\) и \(0\) на окружности – это точки на разных объектах.

Какие точки соответствуют числам \(1\), \(2\) и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен \(1\)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу \(2\), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы \(3\) – расстояние равное трем радиусам и т.д.

При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: \(2π\). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа \(π\) : \( \frac<π><2>\),\(-\frac<π><2>\),\(\frac<3π><2>\), \(2π\). Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с \(π\). Обозначать такие числа гораздо проще (как это делается можете прочитать в этой статье ).

Главное свойство числовой окружности

Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел.

Такая вот математическая полигамия.

И следствие из этого правила:

Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:

Что надо запомнить про числовую окружность:

Источник

1. Конспект для учителя по теме «Числовая окружность»

Что такое числовая окружность? Для чего она нужна?

Очень часто термины тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность плохо понимаются. И совершенно зря. Эти понятия – мощный и универсальный помощник во всех разделах тригонометрии. Фактически, это легальная шпаргалка! Нарисовал тригонометрический круг – и сразу увидел ответы! Заманчиво? Сегодня мы будем учиться использовать единичную окружность.

Для успешной работы с единичной окружностью нужно знать всего три вещи.

Первое. Надо знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс в применении к прямоугольному треугольнику.

Второе. Надо знать, что такое тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность.

Третье. Надо знать, как отсчитывать углы на тригонометрическом круге, и что такое градусная и радианная меры углов.

Угол поворота – это угол, полученный вращением луча около его начала О от начального положения ОА до конечного положения ОВ.

Угол в 1— это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна части окружности.

В зависимости от того в какой координатной четверти окажется начальный радиус, угол α называют углом этой четверти:

Источник

Единичная числовая окружность на координатной плоскости

п.1. Понятие тригонометрии

Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.

Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.

п.2. Числовая окружность

Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.

Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90&deg, –120°, –180°.

п.3. Градусная и радианная мера угла

Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).

В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.

п.4. Свойства точки на числовой окружности

Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие \(\frac<\pi><6>,\ \frac<13\pi><6>,\ \frac<25\pi><6>\), и \(-\frac<11\pi><6>\). Все четыре точки совпадают, т.к. \begin M\left(\frac<\pi><6>\right)=M\left(\frac<\pi><6>+2\pi k\right)\\ \frac<\pi><6>-2\pi=-\frac<11\pi><6>\\ \frac<\pi><6>+2\pi=\frac<13\pi><6>\\ \frac<\pi><6>+4\pi=\frac<25\pi> <6>\end

п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.

п.6. Примеры

Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?

Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: \begin BE=30^<\circ>=\frac<\pi><6>.\\ EC=60^<\circ>=\frac<\pi><3>.\\ AE=EC+CD=90^<\circ>+30^<\circ>=120^<\circ>=\frac<2\pi><3>.\\ ED=EC+CD=60^<\circ>+90^<\circ>=150^<\circ>=\frac<5\pi><6>. \end

Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: \(-\frac<\pi><2>;\ \frac<3\pi><4>;\ \frac<7\pi><6>;\ \frac<7\pi><4>\).

Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. \begin -\frac<\pi><2>=-90^<\circ>,\ \ \frac<3\pi><4>=135^<\circ>\\ \frac<7\pi><6>=210^<\circ>,\ \ \frac<7\pi><4>=315^ <\circ>\end

Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: \(-\frac<11\pi><2>;\ 5\pi;\ \frac<17\pi><6>;\ \frac<27\pi><4>\).

Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

Сравниваем каждое число с границами четвертей: \begin 0,\ \ \frac\pi2\approx\frac<3,14><2>=1,57,\ \ \pi\approx 3,14\\ 3\pi\ \ 3\cdot 3,14\\ \frac<3\pi><2>\approx \frac<3\cdot 3,14><2>=4,71,\ \ 2\pi\approx 6,28 \end

\(\frac\pi2\lt 2\lt \pi \Rightarrow \) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
\(\pi\lt 4\lt \frac<3\pi> <2>\Rightarrow \) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
\(\frac<3\pi><2>\lt 5\lt 2\pi \Rightarrow \) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
\(7\gt 2\pi\), отнимаем полный оборот: \(0\lt 7-2\pi\lt \frac\pi2\Rightarrow\) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек \((k\in\mathbb)\), запишите количество полученных базовых точек.

Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.

Источник

Урок «Числовая окружность»

Краткое описание документа:

Видеоуроки относятся к наиболее эффективным средствам обучения, особенно таких школьных дисциплин, как математика. Поэтому автор данного материала собрал в единое целое только полезную, важную и грамотную информацию.

Данный урок рассчитан на 11:52 минут. Практически столько же времени требуется учителю на уроке для объяснения нового материала по данной теме. Хотя главным достоинством видеоурока будет тот факт, что обучающиеся будут внимательно слушать то, о чем говорит автор, не отвлекаясь на посторонние темы и разговоры. Ведь если обучающиеся будут слушать не внимательно, то упустят важный момент урока. А если материал будет объяснять учитель сам, то его обучающиеся смогут легко отвлечь от главного своими разговорами на отвлеченные темы. И, конечно, становится понятно, какой способ будет боле рационален.

Начало урока автор посвящает повторению тех функций, с которыми обучающиеся знакомились ранее в курсе алгебры. И первыми предлагается начать изучать – тригонометрические функции. Чтобы их рассматривать и изучать требуется новая математическая модель. И этой моделью становится числовая окружность, которая, как раз, и заявлена в теме урока. Для этого вводится понятие единичной окружности, задается ее определение. Далее на рисунке автор показывает все компоненты такой окружности, и что пригодится обучающимся для дальнейшего обучения. Дугами обозначаются четверти.

Затем автор предлагает рассмотреть числовую окружность. Здесь же он делает замечание, что удобнее использовать единичную окружность. На этой окружности показано, как получается точка M, если t>0, t 0(тэ больше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины t. Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).

Источник