Что такое число обусловленности матрицы
Число обусловленности матрицы
Рассмотрим систему линейных уравнений
Если матрица A вырожденная, то для некоторых b решение x не существует, а для других b оно будет неединственным. Следовательно, если A почти вырожденная, то можно ожидать, что малые изменения в A и b вызовут очень большие изменения в x. Если же взять в качестве A единичную матрицу, то решение системы (1) будет x=b. Следовательно, если A близка к единичной матрице, то малые изменения в A и b должны влеч за собой малые изменения в x.
Рассмотрим это на численном примере
Для оченки обусловленности матрицы вычисляют число обусловленности матрицы (обозначается символом «cond»). Для вычисления числа обусловленности введем понятия нормы для векторов x. В качестве нормы возмем l-норму вектора:
Умножая вектор х на матрицу A приводит к новому вектору Ax, норма которого может слишком отличаться от нормы вектора x. Эта чувствительность матрицы A мы хотим измерять. Максимальное и минимальное изменение Ax при изменении можно задать следующими числами:
Отношение Q/q называется числом обусловленности матрицы A:
В системе (1) изменим b на Δb. Тогда имеем:
Из (1) и (7) следует A·Δx=Δb. Тогда, учитывая (4) и (5) получим следующие неравенства:
Следовательно при q≠0 имеем:
При относительном изменении правой части 
, относительная ошибка 
может составить 
.
Свойства числа обусловленности матрицы:
Следующий пример иллюстрирует понятие числа обусловленности матрицы. Рассмотрим систему линейных уравнений (1), где
Тогда решением системы линейных уравнений будет 
. Если же правую заменить на 
, решением системы будет 
. Обозначим Δb=b-b1 и Δx=x-x1. Тогда
Из (13) видно, что очень малое изменение в b, совершенно изменил решение x. Так как
Неравенство (15) показывает что матрица A плохо обусловлена, т.е. близка к вырожденности. С помощью экспериментальных вычислений мы обнаружили плохую обусловленность матрицы A. А как, на самом деле, вычислить число обусловленности матрицы. В выражении (4) Q называется нормой матрицы и ее можно вычислить с помощью следующего вырaжения:
