Что такое численные методы
Численные методы
Смотреть что такое «Численные методы» в других словарях:
численные методы — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN numerical methods … Справочник технического переводчика
Численные методы — Вычислительная математика раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с производством вычислений и использованием компьютеров. В более узком понимании вычислительная математика теория численных методов решения типовых математических… … Википедия
Численные методы оптимизации — [numerical optimization technique] методы приближенного или точного решения математических задач оптимизации, сводящиеся к выполнению конечного числа элементарных операций над числами. (См. например, Градиентные методы). Численные методы предмет… … Экономико-математический словарь
численные методы оптимизации — Методы приближенного или точного решения математических задач оптимизации, сводящиеся к выполнению конечного числа элементарных операций над числами. (См. например, Градиентные методы). Численные методы предмет изучения вычислительной математики … Справочник технического переводчика
численные методы линейной алгебры — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN numerical linear algebra … Справочник технического переводчика
численные методы решения — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN numerical technique … Справочник технического переводчика
ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ — методы решения задач газовой динамики на основе вычислительных алгоритмов. Рассмотрим основные аспекты теории численных методов решения задач газовой динамики, записав газовой динамики уравнения в виде законов сохранения в инерциальной… … Математическая энциклопедия
Имитационные (численные) методы решения моделей — [numerical simulation methods] последовательное преобразование предварительно подготовленных численных значений исследуемых величин до получения искомого значения и его верификации. В частности, к ним относятся численные методы оптимизации. Ср.… … Экономико-математический словарь
имитационные (численные) методы решения моделей — Последовательное преобразование предварительно подготовленных численных значений исследуемых величин до получения искомого значения и его верификации. В частности, к ним относятся численные методы оптимизации. Ср. Аналитические методы решения… … Справочник технического переводчика
Введение
Численные методы представляют собой отдельную область математики и применяются в различных прикладных направлениях. В частности, с помощью численных методов решаются и проблемы прикладной оптики. В данном пособии приводится обзор основных численных методов, чаще всего используемых при решении задач прикладной оптики. Особенностью пособия является использование в качестве заданий не просто математических функций, а реальных задач из области прикладной оптики, на примере которых рассматриваются численные методы. Это дает не только хорошее понимание сути самих численных методов, но и особенности их применения на практике.
Процесс решения любой сложной задачи, моделирования какого-то оптического процесса, можно представить как последовательность этапов.
Физическая постановка задачи. На этом этапе необходимо грамотно сформулировать и поставить задачу с точки зрения физики процесса. Для этого необходимо изучить рассматриваемую проблему и обладать знаниями в соответствующей области.
Математическая постановка задачи. На этом этапе нужно переформулировать физическую проблему на математический язык, то есть описывать в виде интегралов, систем уравнений, и т.д. Математическая модель должна корректно описывать основные законы физического процесса. В некоторых случаях на этом этапе можно остановиться, так как если задача простая, то существуют стандартные методы, которые нужно применить для решения этой задачи.
Метод непрерывной математики. На этом этапе оперируют не конечными числами, а функциями, общими величинами, то есть ищут решение проблемы в общем виде, и описывают при помощи математических формул.
Численные методы. Решение проблемы представляют в виде конечных математических операций – сложение, умножение. Численные методы позволяют свести решение задачи к выполнению конечного количества арифметических действий над числами, при этом результаты получаются в виде числовых значений. Чаще всего возможно использование известных стандартных численных методов.
Алгоритмизация. Алгоритмизация служит для упорядочения производимых действий в виде точного формального описания процесса. Алгоритм можно изобразить в виде блок-схемы или описать другим способом.
Программирование. На этом этапе алгоритм реализуется на каком-нибудь языке программирования высокого уровня.
Отладка программы. На этом этапе выполняется поиск ошибок, которые могли появиться на предыдущих этапах. Программа испытывается на решении тестовых задач для получения уверенности в достоверности результатов. Вполне вероятно, что придется вернуться в самое начало, к изменению физической постановки задачи, или какому-то другому этапу.
Проведение расчетов. На этом этапе готовятся исходные данные для расчетов, и проводятся вычисления по отлаженной программе.
Анализ результатов. Результаты расчетов анализируются, оформляется научно-техническая документация.
Все численные методы обладают некоторым набором характеристик. Наиболее важной из них является точность. На всех этапах решения задачи могут возникать погрешности, искажающие результаты вычислений, которые и определяют точность. Причины возникновения вычислительных погрешностей и способы их устранения рассматриваются в Приложении А.
При анализе точности одним из важнейших критериев является сходимость численного метода. Для дискретных методов (методы, которые заключаются в замене задачи с непрерывными функциями на задачу, в которой значения функций заданы в фиксированных точках) сходимость – это стремление значений решения метода к соответствующим значениям решения исходной задачи при стремлении к нулю параметра дискретизации (например, шага интегрирования).
Задача называется поставленной корректно, если для любых значений исходных данных из некоторого класса ее решение существует, единственно и устойчиво. Применять для решения некорректно поставленных задач численные методы, не имеет смысла, поскольку возникающие в расчетах погрешности округления будут сильно возрастать в ходе вычислений, что приведет к значительному искажению результатов.
Устойчивость – это чувствительность метода к неточностям в исходных данных. Задача называется устойчивой, если малые погрешности в исходной величине приводят к малым погрешностям в решении. Отсутствие устойчивости означает, что даже незначительные погрешности в исходных данных приводят к большим погрешностям в решении или даже к неверному результату. О неустойчивых задачах также говорят, что они чувствительны к погрешностям исходных данных.
Таким образом, для получения решения задачи с необходимой точностью ее постановка должна быть корректной, а используемый численный метод должен обладать устойчивостью (корректностью) и сходимостью.
В большинстве случаев, кроме точности (сходимости, устойчивости, корректности) необходимо следить за минимизацией трудоемкости решения. Применительно к вычислительным задачам трудоемкость определяется объёмом памяти, используемым в процессе поиска решения, и временем, необходимым для выполнения вычислений. Время обычно измеряется в количестве элементарных операций (сложения, умножения, и т.д.), которые необходимо выполнить для решения задачи. Эти характеристики желательно уменьшать построением оптимальных алгоритмов вычисления, не потеряв при этом в точности. К сожалению, часто уменьшение трудоемкости и увеличение точности являются взаимоисключающими параметрами, и главной задачей является найти баланс между ними.
Для чего нужен предмет «Численные методы»?
Давайте, я попробую привести несколько примеров, которые сходу приходят на ум. Практически любое моделирование физических процессов заканчивается численными методами. Например моделлирование вихревых потоков в архитекруте или моделлирование воды в современных мультиках. Также в нескольки известных мне алгоритмах машинного зрения.
на этот вопрос сложно отвечать из-за его простоты. Примерно так же дети спрашивают для чего трава зеленая. Начинать им расказывать про фотосинтез?
Эти методы будут вами применяться во всех последующих дисцилинах. Например в оптимизации(неважно чего: процессов, движения или чего то еще, что можно описать уравнениями).
Примерно так же дети спрашивают для чего трава зеленая. Начинать им расказывать про фотосинтез?
думаю, полезно, когда у тебя есть какой-то дискретный сигнал и нужно его так или иначе обработать математически (не знаю как правильно выразиться)
вот однажды я пришел на собеседование и была такая задача
представим, что у нас есть некий девайс с акселерометром-гироскопами и наша задача как-нибудь примерно рассчитать изменение его координат в пространстве.
я не знаю правильного ответа, не уверен что он существует, но я думал так: у нас есть дискретные данные гироскопа/акселерометра, с каким-то шагом по времени, раз так, то мы можем проинтегрировать численно чтобы получить уравнение координаты. или можно построить полином какой-нибудь степени и проинтегрировать аналитически. вот тут как раз вступают в дело численные методы.
можно провести много параллелей с весьма полезными вещами 🙂
без вас бы я второстепенно относился бы к этому предмету.
Численные методы
Вычислительная математика — раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с производством вычислений и использованием компьютеров. В более узком понимании вычислительная математика — теория численных методов решения типовых математических задач.
К задачам вычислительной математики относят:
Основное отличие вычислительной математики заключается в том, что при решении вычислительных задач человек оперирует машинными числами, которые являются дискретной проекцией вещественных чисел на конкретную архитектуру компьютера. Так например если взять машинное число длиной в 8 байт, то в нём можно запомнить только 2 64 разных чисел, поэтому важную роль в вычислительной математике играют оценки точности алгоритмов и их устойчивость к представлениям машинных чисел в компьютере. Именно поэтому, например, для решения линейной системы алгебраических уравнений очень редко используется вычисление обратной матрицы, так как этот метод может привести к ошибочному решению в случае с сингулярной матрицей, а очень распространённый в линейной алгебре метод, основанный на вычислении определителя матрицы и её дополнения требует гораздо больше арифметических операций, чем любой устойчивый метод решения линейной системы уравнений.
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Численные методы» в других словарях:
численные методы — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN numerical methods … Справочник технического переводчика
Численные методы — в математике, методы приближённого решения математических задач, сводящиеся к выполнению конечного числа элементарных операций над числами. В качестве элементарных операций фигурируют арифметические действия, выполняемые обычно… … Большая советская энциклопедия
Численные методы оптимизации — [numerical optimization technique] методы приближенного или точного решения математических задач оптимизации, сводящиеся к выполнению конечного числа элементарных операций над числами. (См. например, Градиентные методы). Численные методы предмет… … Экономико-математический словарь
численные методы оптимизации — Методы приближенного или точного решения математических задач оптимизации, сводящиеся к выполнению конечного числа элементарных операций над числами. (См. например, Градиентные методы). Численные методы предмет изучения вычислительной математики … Справочник технического переводчика
численные методы линейной алгебры — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN numerical linear algebra … Справочник технического переводчика
численные методы решения — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN numerical technique … Справочник технического переводчика
ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ — методы решения задач газовой динамики на основе вычислительных алгоритмов. Рассмотрим основные аспекты теории численных методов решения задач газовой динамики, записав газовой динамики уравнения в виде законов сохранения в инерциальной… … Математическая энциклопедия
Имитационные (численные) методы решения моделей — [numerical simulation methods] последовательное преобразование предварительно подготовленных численных значений исследуемых величин до получения искомого значения и его верификации. В частности, к ним относятся численные методы оптимизации. Ср.… … Экономико-математический словарь
имитационные (численные) методы решения моделей — Последовательное преобразование предварительно подготовленных численных значений исследуемых величин до получения искомого значения и его верификации. В частности, к ним относятся численные методы оптимизации. Ср. Аналитические методы решения… … Справочник технического переводчика
Обзор численных методов
Численные методы это увлекательное и чрезвычайно важное направление современной математики, связанное с вычислениями на компьютере и решением сложных задач.
Ответ на это дают численные методы, математика, соединенная с силой компьютера, позволяет заглянуть вглубь реального мира, промоделировать сложнейшие физические, технические и биологические процессы.
Наблюдая процессы реального мира, мы вначале описываем их вербально, пытаясь понять суть явлений, далее строим математические модели.
Однако, мы не хотим ограничиваться построением формальных моделей, а хотим получить качественное и количественное представление об изучаемых процессах, увидеть их на графиках.
Именно здесь нам на помощь приходят компьютеры и численные методы.
Представьте, нам требуется исследовать какой-либо сложный физический или биологический процесс, например, понять законы кровообращения или движения газа в жидкостях.
Мы можем вербально описать эти процессы, выделить главные закономерности, сформулировать основные законы, которым подчиняется данный процесс. Это вербальная или словесная, логическая модель.
Затем мы пытаемся выразить эти законы в виде математических уравнений, например, дифференциальных или интегральных уравнений, но чтобы познать процесс, мы должны идти дальше и решить эти уравнения.
Что понимается под словом решить? Здесь начинается волшебство. Компьютер позволит нам увидеть тот же процесс, но в виде чисел. Этот удивительный момент требует серьезного рассмотрения.
Большинство реальных процессов описывается нелинейными уравнениями, которые лишь в первом приближении можно заменить линейными.
Возникает вопрос: как решать эти уравнения, какова точность решения, вот здесь и вступают в свои права численные методы.
Только в исключительных случаях математические уравнения, описывающие реальные процессы, можно решить в явном виде. Иногда говорят, что доказано существование и единственность решения, но где это решение в явном виде, каковы его свойства, что мы можем сказать о поведении этого процесса через определенное время и в определенных условиях.
Нам нужно получить это решение в явном виде, если это молекулярный процесс, то вплоть до поведения отдельных молекул.
Именно это и есть передовые рубежи современного естествознания.
В известном смысле удивительно, что странные манипуляции компьютера приводят к потрясающим выводам, позволяют заглянуть вглубь природы, именно здесь проявляется сила компьютеров, творящих новую действительность и моделирующих природу.
Замечательно, что есть математические принципы нахождения компьютерных решений с заданной точностью.
Под численными методами в широком смысле можно понимать интерпретацию математической модели на языке, доступном компьютеру.
Например, если математическая модель представлены в виде дифференциального уравнения, то численным методом может быть разностное уравнение, приближающее исходное дифференциальное.
Для того чтобы использовать компьютер, мы должны составить программу, реализующую данный численный метод.
Самое замечательное то, что используя компьютер, мы находим свойства процесса, о которых ранее могли только догадываться.
Итак, основу вычислительного эксперимента составляет триада: математическая модель – метод и алгоритм решения – компьютерная программа.
Каждый член этой триады важен и без него нельзя провести по-настоящему глубокого исследования.
В чем состоит искусство?
Одной и той же модели можно сопоставить множество разнообразных дискретных моделей, однако не все они подходят для практического использования.
Вычислительные алгоритмы должны удовлетворять определенным требованиям. Дискретная модель должна быть комплементарна компьютеру.
Можно выделить две группы требований к вычислительным алгоритмам: адекватность исходной задаче и эффективная компьютерная реализуемость.
Адекватность включает в себя сходимость метода, выполнение математических аналогов законов сохранения, качественно правильное поведение метода, его соответствие модели.
Численный метод сходится, если при увеличении числа уравнений решение дискретной задачи стремится к решению исходной задачи.
Заметим, что компьютер оперирует лишь с конечным числом уравнений, поэтому необходимо оценивать погрешность дискретной модели в зависимости от числа уравнений.
Искусство состоит в том, чтобы построить дискретную модель небольшой размерности, вполне адекватную исходной задаче.
Предположим, мы имеем обыкновенные дифференциальные уравнения или уравнения в частных производных.
Вначале мы дискретизируем задачу, заменяя область изменения аргумента дискретным множеством точек или сеткой, непрерывное время также заменяется дискретными моментами, далее мы аппроксимируем производные и переходим к конечно-разностным отношениям.
В результате мы получаем приближенное описание реального процесса системой алгебраических уравнений. Известно, что дифференциальные уравнения, описывающие физические процессы, являются следствиями законов сохранения, поэтому разумно требовать, чтобы для разностных схем также выполнялись законы сохранения.
Такие схемы называются консервативными, именно они наиболее адекватно отражают поведение решения исходной задачи.
Корректность численного метода должна соответствовать корректности исходной задачи, иными словами, однозначной разрешимости и непрерывной зависимости от исходных данных.
Компьютерная реализация метода включает требования по памяти и времени, метод должен быть реализуем за определенное время на данном компьютере с учетом его быстродействия и памяти.
Материал данного раздела располагается в такой последовательности: решение систем линейных уравнений, решение нелинейных уравнений, решение систем нелинейных уравнений, решение дифференциальных уравнений, методы интерполяции.
Мы стараемся максимально популярно изложить материал и надеемся, что он будет с интересом воспринят физиками, биологами, инженерами, врачами, всеми людьми, интересующимися современной компьютерной аналитикой.