значение какой суммы меньше 1

Значение какой суммы меньше 1

Какое из следующих чисел является наименьшим?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Числа здесь представлены в стандартном виде. Поэтому из них наименьшим будет то, которое имеет наименьший показатель степени десяти. Если показатели равны, то наименьшим будет число, имеющее наименьшую мантиссу. Таким образом, среди представленных чисел наименьшее —

Правильный ответ указан под номером: 2.

Какое из следующих чисел является наибольшим?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Числа здесь представлены в стандартном виде. Поэтому из них наибольшим будет то, которое имеет наибольший показатель степени десяти. Если показатели равны, то наибольшим будет число, имеющее наибольшую мантиссу. Таким образом, получаем, что среди представленных чисел наибольшее —

Правильный ответ указан под номером: 4.

Известно, что . Выберите наименьшее из чисел.

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)

2)

3)

4)

Правильный ответ указан под номером 3.

Приведем решение данной задачи с помощью числового моделирования. По условию a положительно и находится в интервале от 0 до 1, пусть a = 0,5. Тогда a 2 = 0,25, a 3 = 0,125, −a = − 0,5. Наименьшим из этих чисел является −a = − 0,5. Правильный ответ указан под номером 3.

Заметим, что в условии указано, что положительным является число a, тогда число −a будет отрицательным.

В каком случае числа и 6 расположены в порядке возрастания?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)

2)

3)

4)

Числа положительны, возведём их в квадрат и сравним квадраты этих чисел:

Поскольку имеем:

Числа расположены в порядке возрастания во втором варианте ответа.

Какому из следующих чисел соответствует точка, отмеченная на координатной прямой?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)

2)

3)

4)

Приведём числа, указанные в задании, и числа, между которыми заключена искомая точка, к общему знаменателю:

Заметим, что Искомая точка лежит между числами 0,5 и 0,6, ближе к числу 0,6, следовательно, это число

Правильный ответ указан под номером: 3.

Приведём другой способ решения.

Переведём обыкновенные дроби в десятичные с точностью до второго знака после запятой и сравним с числами 0,5 и 0,6:

Поскольку искомая точка лежит между числами 0,5 и 0,6, ближе к числу 0,6, получаем, что это число

Какое из данных чисел принадлежит промежутку [6; 7]?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)

2)

3)

4)

Возведём все числа в квадрат:

Заметим, что следовательно, Таким образом, число принадлежит промежутку [6; 7].

Правильный ответ указан под номером: 4.

Укажите наименьшее из следующих чисел:

1)

2)

3)

4)

Число больше 1. Числа 0,7; меньше, чем 1. Сравним эти дроби: по правилу сравнения дробей и

Таким образом, верный ответ указан под номером 1.

Известно, что Выберите наименьшее из чисел.

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)

2)

3)

4)

По условию оба числа отрицательны, причём .

Поэтому числа и положительны, а числа и — отрицательны.

Рассмотрим предложенные варианты ответа и выберем наименьшее число:

1) Заметим, что числа и больше нуля, а числа и меньше нуля, так как числа и по условию отрицательны.

2) Верно неравенство .

3) Так как по условию Поэтому — наименьшее из заданных чисел.

Источник

Значение какой суммы меньше 1

Даны n ≥ 3 натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию.

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.

б) Наибольшее натуральное число, меньшее 1000, — 999. Такую сумму имеет арифметическая прогрессия, все 999 членов которой равны 1. Очевидно, что большему количеству членов прогрессии будет соответствовать сумма, большая 999.

в) Заметим, что 129 = 1 · 3 · 43. Поэтому прогрессии, состоящие из 129 единиц, или 43 троек, или трех чисел 43 подходят, а другие постоянные арифметические прогрессии — нет. Рассмотрим случай, когда прогрессия непостоянная. Без ограничения общности будем считать, что она возрастающая. Пусть a — ее первый член, а d — разность. Тогда для суммы членов арифметической прогрессии имеем:

Таким образом, число n является делителем числа 258 = 2 · 3 · 43. Если то следовательно, Поскольку получаем, что или Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 129 существуют: например, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23, 24.

Ответ: а) да; б) 999; в) 3, 6, 43, 129.

Это же задание для различных чисел, образующих арифметическую прогрессию, было предложено в 2013 году на досрочном ЕГЭ по математике (см. задание 502119). Приводим решение ниже.

Без ограничения общности можно считать, что числа составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть a — первый член этой прогрессии, d её разность. Тогда сумма её членов

а) Да, может. Числа 1, 2, 3, 4 составляют арифметическую прогрессию, и их сумма равна 10.

б) Для суммы членов арифметической прогрессии верно неравенство

Значит, откуда находим Сумма арифметической прогрессии 1, 2, …, 44 равна 990

Таким образом, число является делителем числа 258. Если то следовательно, Поскольку получаем, что или Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 129 существуют: например, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23, 24.

Источник

Значение какой суммы меньше 1

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Пусть данное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно k, то выполнено

а) Если частное равно то что верно, например, при — частное числа и суммы его цифр равно

б) Если частное равно то Так как a

Учитывая, что получаем:

откуда

Частное числа и суммы его цифр равно Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа, не кратного и суммы его цифр равно

Ответ : а) да; б) нет; в) 91.

В пункте а) можно решить без подбора, точной методикой:

100a+10b+c=90a+90b+90c, тогда 10a-80b=89c и 10(a-8b)=89c.

Число 89*с не делится нацело на 10, так как с натуральное число от 1 до 9 или 0, число a-8b является целым, так как числа a и b натуральные. Значит, a-8b=c=0, откуда a-8b=0. Тогда так как a

За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за проигрыш ─ 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.

а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m = 3, d = 2?

б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10.

в) Каковы все возможные значения d, если m = 7d и известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?

а) Каждая из двух девочек могла выиграть оба раза у всех троих мальчиков, получив в сумме 6 очков. Сыграв две партии друг с другом, девочки распределили между собой ещё 2 очка. Всего очков.

б) Играя по две партии каждый с каждым, десять детей играют всего партий. В каждой партии вне зависимости от её исхода разыгрывается одно очко. Поэтому всего набрано 90 очков.

в) Всего детей было играя по две партии каждый с каждым они сыграли между собой партий и разыграли очков. Из них у мальчиков три четверти очков, а у девочек — одна четверть, то есть у девочек очков. Заметим, что если каждая девочка выиграла у всех мальчиков, то вместе девочки набрали максимум очков, а играя между собой, девочки распределили очков. Поэтому наибольшее количество очков, которое могли набрать девочки, равно Тем самым, имеем: Следовательно, девочек не могло быть больше одной.

Если девочка была одна, то мальчиков было семеро. Они сыграли 56 партий и разыграли 56 очков. Девочка набрала 14 очков, выиграв у каждого из мальчиков по две партии. Играя между собой, мальчики разыграли оставшиеся 42 очка.

Ответ: а) 14; б) 90; в) 1.

Приведём похожее решение.

а) Всего девочки играют 2 партии между собой и 12 партий против мальчиков (по 6 каждая). Поэтому максимальное суммарное число очков, которые они могут набрать, равно 2+12=14.

б) Если участников всего 10, то каждый играет с 9-ю другими участниками по два раза, значит, всего происходит 18 туров по 5 партий в каждом. В 90 партиях разыгрывается 90 очков, поэтому ответ 90.

в) Пусть девочек а мальчиков В партиях между собой девочки набрали очков, а мальчики в партиях между собой набрали очков. Всего состоялось партий. Значит, партий между мальчиками и девочками состоялось Пусть девочки набрали в них x очков. Тогда получаем уравнение: откуда или Ясно, что отсюда то есть или Понятно, что 0 — посторонний корень. Если девочка была одна, то мальчиков было 7, в случае, когда девочка выиграла у всех мальчиков по два раза, она набрала 14 очков. При этом мальчики сыграли между собой 42 партии и набрали 42 очка, например, сыграли все эти партии вничью или любым другим образом.

Источник