Окружность пересекает стороны угла в четырех точках оказалось что
Окружность пересекает стороны угла в четырех точках оказалось что
Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды.
а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной и той же точке.
б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L так, что AK = 11, KL = 10, LB = 4.
a) Расстояние от центра окружности до хорд одинаковой длины равны. Следовательно, точка O равноудалена от прямых AB, BC, CD и AD. Значит, она лежит на биссектрисе каждого из углов трапеции.
б) Опустим из точки O перпендикуляры OU, OV и OW на стороны AD, AB и BC соответственно. Тогда UW — высота трапеции, а точка V — середина отрезка KL. Значит,
Пусть BH — высота трапеции. В прямоугольном треугольнике ABH имеем:
Приведем решение Максима Волкова.
Опустим из точки O перпендикуляры OU, OV и OW на стороны AD, AB и BC соответственно. Тогда
UW — высота трапеции, а точка V — середина отрезка KL. Тогда
Проведем отрезки АО и ОВ. Заметим, что треугольник AOB прямоугольный, так как АО и ВО — биссектрисы углов трапеции при боковой стороне. Тогда по свойству высоты прямоугольного треугольника находим:
Следовательно, для высоты трапеции получаем:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
---|---|
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Аналоги к заданию № 520805: 520917 520855 520881 Все
Окружность пересекает стороны угла в четырех точках оказалось что
При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.
Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.
В окружности проведены хорды АС и ВD, пересекающиеся в точке О, причем касательная к окружности, проходящая через точку С, параллельна ВD.
а) Докажите, что DC 2 = АС ∙ СО.
б) Найдите площадь треугольника СDО, если известно, что AB : ВО = 3 : 1, а площадь треугольника АСD равна 36.
В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB = 8 и CD = 5 биссектриса угла B пересекает биссектрисы углов A и C в точках M и N соответственно, а биссектриса угла D пересекает те же две биссектрисы в точках L и K, причем точка L лежит на основании BC.
а) Докажите, что прямая MK проходит через середину стороны AB.
б) Найти отношение KL : MN, если LM : KN = 4 : 7.
Дан прямоугольный треугольник АВС, с катетами АВ = 5 и ВС = 12. Точка I — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Прямая, проходящая через точку I, параллельна одной из сторон треугольника АВС и пересекает две другие стороны в точках К и Р. Найдите длину отрезка КР.
Диагонали трапеции равны 13 и а высота равна 5. Найдите площадь трапеции.
В параллелограмме ABCDдиагонали пересекаются в точке О, длина диагонали BD равна 12. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников AOD и COD, равно 16. Радиус окружности, описанной около треугольника AOB, равен 5. Найти площадь параллелограмма ABCD.
В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М.
а) Докажите, что ЕМ — медиана треугольника CЕD.
б) Найдите длину отрезка ЕМ, если АD = 8, АВ = 4 и угол CDВ равен 60°.
В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность ω, касающаяся гипотенузы AB в точке M. Точка О — центр описанной около треугольника ABC окружности. Касательная к окружности ω, проведенная из точки О, пересекает сторону АС в точке P.
а) Докажите, что площадь треугольника ABC равна произведению длин отрезков AM и BM.
б) Найдите площадь четырехугольника BCPO, если известно, что AM = 12, BM = 5.
На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC отложены соответственно отрезки
а) Докажите, что где
б) Найдите, какую часть от площади треугольника ABC составляет площадь треугольника MNK.
Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямая MN пересекает стороны OA и OD треугольника AOD в точках K и L соответственно.
а) Докажите, что MK = NL.
б) Найдите MN, если известно, что BC = 3, AD = 8 и MK : KL = 1 : 3.
К двум окружностям с центрами O1 и O2 и радиусами 6 и 3 проведены три общие касательные: одна внутренняя и две внешних. Пусть A и B — точки пересечения общей внутренней касательной с общими внешними.
а) Докажите, что около четырехугольника O1AO2B можно описать окружность.
б) Найдите расстояние между точками касания окружностей с их общей внутренней касательной, если известно, что O1O2 = 15.
Найти длины сторон AB и AC треугольника ABC, если BC = 8, а длины высот, проведенных к AC и BC, равны соответственно 6,4 и 4.
Окружность касается сторон AB и BC треугольника ABC соответственно в точках D и E, точки A, D, E, C лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите длину высоты треугольника ABC, опущенной из точки А, если стороны AB и АС равны соответственно 5 и 2.
В трапеции ABCD AD и BC — основания, O — точка пересечения диагоналей.
а) Докажите, что выполняется равенство
б) Найдите площадь трапеции ABCD, если
Две окружности касаются в точке O, причем радиус окружности с центром в точке O’ больше, чем радиус окружности с центром в точке O». Прямая O’O» пересекает меньшую окружность в точке K (K отлично от O). Отрезок O’K = a. Прямая t касается большей окружности в точке P так, что угол O»O’P — прямой. Отрезок PK = b. Найдите площадь треугольника OO’P.
Внутри равностороннего треугольника ABC в произвольном месте поставлена точка M.
а) Докажите, что сумма расстояний от точки M до сторон треугольника ABC равна высоте этого треугольника.
б) Найдите расстояние от точки M до стороны AB, если расстояние от точки M до сторон AC и BC соответственно равны и
а площадь треугольника ABC равна
В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, которая касается гипотенузы AB в точке K, а катетов — в точках P и M.
а) Докажите, что площадь треугольника ABC равна AK · BK.
б) Найдите площадь треугольника PKM, если известно, что AK = 12, BK = 5.
В четырехугольник ABCD биссектриса угла С пересекает сторону AD в точке M, а биссектриса угла А пересекает сторону BC в точке K. Известно, что AKCM — параллелограмм.
а) Докажите, что ABCD — параллелограмм.
б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BK = 3, AM = 2, а угол между диагоналями AC и BD равен 60°.
Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямой BC, а через вершины B и C — другая окружность, касающаяся прямой AB. Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает отрезок AC в точке E, а продолжение хорды AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F.
а) Доказать, что площади треугольников ABC и ABF равны.
б) Найти отношение AE : EC, если AB = 5 и BC = 9.
В треугольнике АВС AB = BC = 10, AC = 12. Биссектриса угла ВАС пересекает сторону BC в точке D и описанную около треугольника окружность в точке P.
а) Докажите, что ∠ABP = ∠BDP.
б) Найдите отношение площадей треугольников ADB и BDP.
В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Площади треугольников AOB и COD равны.
а) Докажите, что точки A и D одинаково удалены от прямой ВС.
б) Найдите площадь треугольника AOB, если известно, что AB = 13, BC = 10, CD = 15, DA = 24.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и CE, H — точка пересечения высот.
а) Докажите, что точки A, E, D и С лежат на одной окружности.
б) Известно, что радиус этой окружности равен 2, а радиус описанной окружности треугольника ABC равен 4. Найдите угол ABC.
Через вершины B и C треугольника ABC проходит окружность, пересекающая стороны AB и AC соответственно в точках K и M.
а) Доказать, что треугольники ABC и AMK подобны.
б) Найти MK и AM, если AB = 2, BC = 4, CA = 5, AK = 1.
В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M. Известно, что AD = 8, AB = 4, угол CDB равен 60 градусов.
а) Докажите, что EM — медиана треугольника CED.
б) Найдите длину EM.
Равносторонний треугольник ABC и три одинаковые окружности расположены таким образом, что каждая окружность касается двух сторон треугольника и двух других окружностей.
а) Докажите, что точки попарного касания окружностей являются вершинами равностороннего треугольника.
б) Найдите радиус окружностей, если известно, что AB = 4.
Дан прямоугольный треугольник MNK с катетами 5 и 12. Треугольник KNJ — равносторонний, причем точка J и точка M ледат по разные стороны от прямой NK. Найдите расстояние от центра вписанной окружности в MNK до центра вписанной в KNJ окружности.
Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 4 очка.
Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведены диаметры АС и АD этих окружностей.
а) Докажите, что точки D, В и С лежат на одной прямой.
б) Найдите произведение АD ∙ АС, если известно, что АВ = 8, а диаметр окружности, описанной около треугольника АDС, равен 10.
В треугольнике ABC угол В прямой, точка М лежит на стороне АС, причем Величина угла АВМ равна 60 градусам, BM = 8.
а) Найдите величину угла ВАС;
б) Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ВСМ и ВАМ.
Дан квадрат ABCD со стороной 7. На сторонах BC и CD даны точки M и N такие, что периметр треугольника CMN равен 14.
а) Докажите, что B и D — точки касания вневписанной окружности треугольника CMN, а ее центр находится в вершине A квадрата ABCD.
б) Найдите угол MAN.
Вокруг выпуклого четырехугольника со сторонами a, b, c, d описана окружность.
а) Докажите, что отношение его диагоналей выражается как
б) Найдите площадь четырехугольника, если a = 2, b = 8, c = 12, d = 4.
В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A равен На гипотенузе AB взята точка H, а на катете AC — точка K. Известно, что прямая KH перпендикулярна гипотенузе и делит треугольник ABC на две равновеликие части.
а) Докажите, что в четырехугольник KHBC можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если известно, что KH = 1.
Три окружности, две из которых одинакового радиуса, попарно касаются друг друга внешним образом в точках A, B и C.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите радиус круга, вписанного в четырёхугольник с вершинами в точках A, B, C, O, если известно, что радиусы окружностей 6; 6 и 4, а точка O — центр меньшей из них.
В выпуклом четырехугольнике ABCD заключены две окружности одинакового радиуса r, касающиеся друг друга внешним образом. Центр первой окружности находится на отрезке, соединяющем вершину A с серединой F стороны CD, а центр второй окружности находится на отрезке, соединяющем вершину C с серединой E стороны AB. Первая окружность касается сторон AB, AD и CD, вторая окружность касается сторон AB, BC и CD.
а) Докажите, что AB || CD;
б) Найдите АС, если r = 2.
На сторонах AD и BC параллелограмма AВCD взяты соответственно точки M и N, причем ВN : NC = 1 : 3. Оказалось, что прямые AN и АС разделили отрезок BM на три равные части.
а) Докажите, что точка M — середина стороны АD параллелограмма.
б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что площадь четырехугольника, ограниченного прямыми АN, AС, BM и BD равна 16.
В равнобедренном треугольнике ABC сторона AC — основание. На продолжении стороны CB за точку В отмечена точка D так, что угол CAD равен углу ABD.
а) Докажите, что AB биссектриса угла CAD.
б) Найдите длину отрезка AD, если боковая сторона треугольника АВС равна 5, а его основание равно 6.
В выпуклом четырехугольнике KLMN точки A, B, C, D — середины сторон KL, LM, MN, NK соответственно. Известно, что KL = 3. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O. Площади четырехугольников KAOD, LAOB и NDOC равны соответственно 6, 6 и 9.
а) Докажите, что площади четырехугольников MCOB и NDOC равны.
б) Найдите длину отрезка MN.
На сторонах прямоугольного треугольника ABC, как на диаметрах, построены полуокружности w, w1 и w2. (рис.).
а) Докажите, что площадь треугольника ABC равна сумме площадей двух луночек, ограниченных полуокружностями w и w1 и полуокружностями w и w2.
б) Пусть прямая l касается w1 в точке M, а w2 в точке P. Найдите длину отрезка MP, если известно, что сумма площадей двух луночек равна 49.
В равнобокой описанной трапеции ABCD, где угол B тупой, а BC и AD — основания, проведены: 1) биссектриса угла B; 2) высота из вершины С; 3) прямая, параллельная AB и проходящая через середину отрезка CD.
а) Докажите, что все они пересекаются в одной точке.
б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей трапеции ABCD, если известно, что BC = 8, AD = 18.
Дан треугольник АВС, в котором АС = СВ, а синус угла С равен 1. Треугольник ABD — равнобедренный, с боковой стороной равной 10. Найдите площадь треугольника АВС.
В треугольнике ABC проведена биссектриса CM, касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке P.
Б) Найдите длину CP, если известно, что AM = 5, BM = 4.
В треугольнике KLM угол L тупой, а длина стороны KM равна 6. На окружности, описанной около треугольника KLM, лежит центр окружности, проходящей через вершины K, M и точку пересечения высот треугольника KLM.
а) Докажите, что угол KLM равен 120 градусов.
б) Найдите радиус описанной около треугольника KLM окружности.
Точка D делит сторону AC в отношении AD : DC = 1 : 2.
а) Докажите, что в треугольнике ABD найдётся медиана, равная одной из медиан треугольника DBC.
б) Найдите длину этой медианы в случае, если AB = 7, BC = 8, и AC = 9.
В окружность радиуса вписана трапеция с основаниями 2 и 4. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции.
В равнобедренном треугольнике ABC на прямой BC отмечена точка D так, что угол CAD равен углу ABD. Найдите длину отрезка AD, если боковая сторона треугольника ABC равна 5, а его основание равно 6.
Точка O — середина отрезка AC. На отрезках AC и AO, как на диаметрах, построены две окружности. Хорда CK одной из них касается другой окружности в точке P.
а) Докажите, что
б) Найдите площадь треугольника AKC, если известно. что OC = 3.
Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Прямая, проходящая через точку A, пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C. Касательная к первой окружности, проходящая через точку B, пересекает вторую окружность в точках D и E (D лежит между B и E). Известно, что AB = 5, AC = 4. Точка O — центр окружности, касающейся отрезка AD и продолжений отрезков ED и EA за точки D и A соответственно.
а) Докажите, что
б) Найдите длину отрезка CE.
Трапеция ABCD с углами при одном основании и
описана около круга.
а) Докажите, что отношение площади трапеции к площади круга выражается формулой
б) Найдите площадь прямоугольной трапеции если
а площадь вписанного круга равна