как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Возрастание и убывание функции

Общие понятия о поведении функций

Исследуя функции, заданные определенными уравнениями, особенно уделяют внимание их свойствам, а именно возрастанию или убыванию.

Монотонной функцией называется функция, меняющаяся в одном направлении.
На графиках представлены примеры монотонно возрастающей и монотонно убывающей функций.

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываеткак понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Соответственно, монотонная функция может быть возрастающая или убывающая.

Возрастающей называется такая функция, у которой при увеличении значения аргумента, значение функции увеличивается, иными словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.

Математическое выражение этого определения выглядит следующим образом:

Убывающей называется такая функция, у которой при увеличении значения аргумента, значение функции уменьшается, иными словами, чем больше значение аргумента, тем меньшее значение функции.

Математическое выражение этого определения выглядит следующим образом:

Разберем примеры решения задач на изучение характера поведения функции.

Поскольку значения функции увеличиваются, при увеличении значений аргумента, то данная функция на заданном отрезке будет возрастать.

Поскольку значения функции уменьшаются, при увеличении значений аргумента, то данная функция на данном отрезке будет убывать.

Не возрастающей называется такая функция, у которой при увеличении значения аргумента, значение функции увеличивается или остается на том же уровне, иными словами, большему значению аргумента соответствует большее или равное значение функции.

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

Не убывающей называется такая функция, у которой при увеличении значения аргумента, значение функции уменьшается или остается на том же уровне, иными словами, большему значению аргумента соответствует меньшее или равное значение функции.

Постоянной называется такая функция, которая не убывает и не возрастает, то есть при увеличении или при уменьшении значения аргумента, значение функции остается на одном и том же уровне. Пример такой функции можно наблюдать на рисунке.

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

То есть функция \(y=5\) будет постоянной.

Постоянная, не убывающая и не возрастающая функции не есть монотонные.

Свойства монотонных функций

К свойствам монотонных функций относятся такие характеристики:

Монотонность производной и заданной функций связаны между собой, и это описано в таких теоремах:

Источник

Свойства функции. Возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения, нули, промежутки знакопостоянства.

теория по математике 📈 функции

Каждый из нас встречался с разными графиками, как на уроках, так и в жизни. Например, рассматривали, как изменяется температура воздуха в определенный период времени.

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

На рисунке видно, что температура воздуха была отрицательной с 0 часов до 6 часов, а также с 20 до 24 часов. Еще можем сказать, что температура повышалась до 14 часов, а затем понижалась. То есть по данному графику мы смогли определить некоторые свойства зависимости температуры воздуха от времени суток.

Остановимся подробнее на свойствах функций.

Нули функции

Нули функции – это значение аргумента, при которых функция обращается в нуль. Если смотреть нули функции на графике, то берем точки, где график пересекает ось х.

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетНа рисунке он пересекает ось х при х=-1; х=4; х=6. Эти точки пересечения выделены красным цветом. Внимание!

Существует функция, которая не будет иметь нули функции. Это гипербола. Вспомним, что функция имеет

а) Для нахождения нулей функции необходимо в данную формулу вместо у подставить число 0, так как координаты точки пересечения графика с осью х (х;0). Нам нужно найти значение х. Получаем 0 = –11х +12. Решаем уравнение. Переносим слагаемое, содержащее переменную, в левую часть, меняя знак на противоположный: 11х=22

Находим х, разделив 22 на 11: х=22:11

Таким образом, мы нашли нуль функции: х=2

Пример №2. Найти нули функции у=f(x) по заданному графику.

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Находим точки пересечения графика с осью х и выписываем значения х в этих точках. Это (-4,9); (-1,2); 2,2 и 5,7. У нас на рисунке точки пересечения выделены красным цветом.

Промежутки знакопостоянства

Промежутки, где функция сохраняет знак (то есть значение y либо положительное на этом промежутке, либо отрицательное), называется промежутками знакопостоянства.

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Пример №3. Найдем промежутки знакопостоянства по заданному на промежутке [-2; 10] графику функции у=f(x).

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Функция принимает отрицательные значения в промежутках (-1; 3) и (8; 10]. Обратите внимание на линии синего цвета.

Возрастание и убывание функции

Значения функции могут уменьшаться или увеличиваться. Это зависит от того, как изменяются значения х. Рассмотрим это свойство по рисунку.

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Посмотрим на значения х, которые увеличиваются от 2 до 5. В этом случае значения у уменьшаются. На графике эта часть выделена зеленым цветом. Слева направо эта часть графика идет вниз. То есть в промежутке [2;5] функция у=f(x) является убывающей.

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №15. Возрастание и убывание функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение промежутков монотонности функции,

2) Определение алгоритма нахождения промежутков возрастания и убывания функции,

3) Решение задачи на нахождения промежутков возрастания и убывания функции

Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции y = f(x)

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется возрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х1 и х2 из этого промежутка из неравенства х1 f(x2)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Определите промежутки монотонности функции

1.Найдем область определения функции.

D(y) = как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

2.Найдем производную функции.

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

3.Определим, на каких промежутках производная положительна (на этих промежутках функция возрастает), на каких – отрицательна (на этих промежутках функция убывает).

Применим для этого метод интервалов. Для определения знака на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Так как на интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетпроизводная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как на интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетпроизводная функции положительна, то на этом интервале функция возрастает.

Так как на интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетпроизводная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как в точках как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетфункция непрерывна, то эти точки входят в промежутки возрастания и убывания данной функции.

Следовательно, функция возрастает на как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает; функция убывает на как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываети на как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.

Ответ: Функция возрастает на как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Функция убывает на как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываети на как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.

№2. Определите промежутки монотонности функции

у = х 5 –5х 4 +5х 3 – 4.

y =как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Ответ: Функция возрастает на как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает;

функция убывает на как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.

Источник

Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы

Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.

Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.

Возрастание и убывание функции на интервале

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Точки экстремума, экстремумы функции

Окрестностями точки х 0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Первое достаточное условие экстремума

Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:

Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.

Точка х = 5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:

После чего необходимо найти производную:

Точка х = 0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:

Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:

Изображение на прямой имеет вид

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что

Перейдем к вычислению минимумов:

Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Второй признак экстремума функции

Для начала находим область определения. Получаем, что

Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Третье достаточное условие экстремума

Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что

Из выше решенного делаем вывод, что x 3 = 3 является точкой минимума функции.

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Источник

Возрастание, убывание и экстремумы функции

А сегодня в воздухе витает дух редкого единодушия, и я прямо чувствую, что все присутствующие горят желанием научиться исследовать функцию с помощью производной. Поэтому на экранах ваших мониторов незамедлительно появляется разумная добрая вечная терминология.

Зачем? Одна из причин самая что ни на есть практическая: чтобы было понятно, что от вас вообще требуется в той или иной задаче!

Монотонность функции. Точки экстремума и экстремумы функции

Рассмотрим некоторую функцию как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Упрощённо полагаем, что она непрерывна на всей числовой прямой:

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

На всякий случай сразу избавимся от возможных иллюзий, особенно это касается тех читателей, кто недавно ознакомился с интервалами знакопостоянства функции. Сейчас нас НЕ ИНТЕРЕСУЕТ, как расположен график функции относительно оси как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает(выше, ниже, где пересекает ось). Для убедительности мысленно сотрите оси и оставьте один график. Потому что интерес именно в нём.

Функция возрастает на интервале, если для любых двух точек этого интервала, связанных отношением как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, справедливо неравенство как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. То есть, бОльшему значению аргумента соответствует бОльшее значение функции, и её график идёт «снизу вверх». Демонстрационная функция как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетрастёт на интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.

Аналогично, функция убывает на интервале, если для любых двух точек данного интервала, таких, что как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, справедливо неравенство как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. То есть, бОльшему значению аргумента соответствует мЕньшее значение функции, и её график идёт «сверху вниз». Наша функция как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетубывает на интервалах как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.

Если функция возрастает или убывает на интервале, то её называют строго монотонной на данном интервале. Что такое монотонность? Понимайте в буквальном смысле – однообразие.

Также можно определить неубывающую функцию (смягчённое условие как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетв первом определении) и невозрастающую функцию (смягчённое условие как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетво 2-м определении). Неубывающую или невозрастающую функцию на интервале называют монотонной функцией на данном интервале (строгая монотонность – частный случай «просто» монотонности).

Теория рассматривает и другие подходы к определению возрастания/убывания функции, в том числе на полуинтервалах, отрезках, но чтобы не выливать на вашу голову масло-масло-масляное, договоримся оперировать открытыми интервалами с категоричными определениями – это чётче, и для решения многих практических задач вполне достаточно.

Таким образом, в моих статьях за формулировкой «монотонность функции» почти всегда будут скрываться интервалы строгой монотонности (строгого возрастания или строгого убывания функции).

Окрестность точки. Слова, после которых студенты разбегаются, кто куда может, и в ужасе прячутся по углам. …Хотя после поста Пределы по Коши уже, наверное, не прячутся, а лишь слегка вздрагивают =) Не беспокойтесь, сейчас не будет доказательств теорем математического анализа – окрестности мне потребовались, чтобы строже сформулировать определения точек экстремума. Вспоминаем:

Окрестностью точки называют интервал, который содержит данную точку, при этом для удобства интервал часто полагают симметричным. Например, точка как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываети её стандартная как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает— окрестность:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает
Собственно, определения:

Точка как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетназывается точкой строгого максимума, если существует её как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает-окрестность, для всех значений как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываеткоторой за исключением самой точки как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетвыполнено неравенство как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. В нашем конкретном примере это точка как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.

Точка как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетназывается точкой строгого минимума, если существует её как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает-окрестность, для всех значений как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываеткоторой за исключением самой точки как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетвыполнено неравенство как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. На чертеже – точка «а».

Примечание: требование симметричности окрестности вовсе не обязательно. Кроме того, важен сам факт существования окрестности (хоть малюсенькой, хоть микроскопической), удовлетворяющей указанным условиям

Точки как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетназывают точками строго экстремума или просто точками экстремума функции. То есть это обобщенный термин точек максимума и точек минимума.

Как понимать слово «экстремум»? Да так же непосредственно, как и монотонность. Экстремальные точки американских горок.

Как и в случае с монотонностью, в теории имеют место и даже больше распространены нестрогие постулаты (под которые, естественно, подпадают рассмотренные строгие случаи!):

Точка как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетназывается точкой максимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетданной окрестности выполнено неравенство как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.
Точка как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетназывается точкой минимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетданной окрестности выполнено неравенство как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.

Заметьте, что согласно последним двум определениям, любая точка функции-константы (либо «ровного участка» какой-нибудь функции) считается как точкой максимума, так и точкой минимума! Функция как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, к слову, одновременно является и невозрастающей и неубывающей, то есть монотонной. Однако оставим сии рассуждения теоретикам, поскольку на практике мы почти всегда созерцаем традиционные «холмы» и «впадины» (см. чертёж) с уникальным «царём горы» как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетили «принцессой болота» как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Как разновидность, встречается остриё, направленное вверх либо вниз, например, минимум функции как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетв точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.

Да, кстати, о королевских особах:
– значение как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетназывают максимумом функции;
– значение как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетназывают минимумом функции.

Общее название – экстремумы функции.

Пожалуйста, будьте аккуратны в словах!

Точки экстремума – это «иксовые» значения.
Экстремумы – «игрековые» значения.

! Примечание: иногда перечисленными терминами называют точки «икс-игрек», лежащие непосредственно на САМОМ ГРАФИКЕ функции.

Сколько может быть экстремумов у функции?

Ни одного, 1, 2, 3, … и т.д. до бесконечности. Например, у синуса бесконечно много минимумов и максимумов.

ВАЖНО! Термин «максимум функции» не тождественен термину «максимальное значение функции». Легко заметить, что значение как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетмаксимально лишь в локальной окрестности, а слева вверху есть и «покруче товарищи». Аналогично, «минимум функции» – не то же самое, что «минимальное значение функции», и на чертеже мы видим, что значение как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетминимально только на определённом участке. В этой связи точки экстремума также называют точками локального экстремума, а экстремумы – локальными экстремумами. Ходят-бродят неподалёку и глобальные собратья. Так, любая парабола имеет в своей вершине глобальный минимум или глобальный максимум. Далее я не буду различать типы экстремумов, и пояснение озвучено больше в общеобразовательных целях – добавочные прилагательные «локальный»/«глобальный» не должны заставать врасплох.

Чайникам на первых порах рекомендую создать и осмыслить небольшой терминологический конспект, чтобы не путать Иран с Ираком.

Подытожим наш небольшой экскурс в теорию контрольным выстрелом: что подразумевает задание «найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции»?

Формулировка побуждает найти:

– интервалы возрастания/убывания функции (намного реже фигурирует неубывание, невозрастание);

– точки максимума и/или точки минимума (если таковые существуют). Ну и от незачёта подальше лучше найти сами минимумы/максимумы 😉

Как всё это определить? С помощью производной функции!

Как найти интервалы возрастания, убывания,
точки экстремума и экстремумы функции?

Многие правила, по сути, уже известны и понятны из урока о смысле производной.

Рассмотрим дифференцируемую на некотором интервале функцию как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Тогда:

– если производная как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетна интервале, то функция как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетвозрастает на данном интервале;

– если производная как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетна интервале, то функция как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетубывает на данном интервале.

Примечание: справедливы и обратные утверждения.

Пусть точка как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетпринадлежит области определения функции как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Данная точка называется критической, если в ней производная равна нулю: как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетлибо значения как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетне существует. Критическая точка может быть точкой экстремума. А может и не быть. Очень скоро мы рассмотрим необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Но сначала потренируемся на кошках разделаемся с простейшими примерами. Почин положен в конце теоретической статьи о производной, и на очереди другие жертвы анализа. Заодно есть возможность провести маленькое самотестирование – насколько хорошо вы запомнили, как выглядят графики жизненно важных функций? В тяжелом случае, конечно же, следует открыть первый урок на соседней вкладке и щёлкать туда-сюда по мере комментариев.

Производная кубической функции как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетнеотрицательна:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетдля любого «икс».
Действительно, кубическая парабола идёт «снизу вверх». Бесконечно близко около точки как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетскорость изменения функции равна нулю, о чём в рупор кричит производная: как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. И вот вам, кстати, сразу пример, когда в критической точке нет максимума или минимума функции.

Функция как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетобитает на промежутке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, а её производная неравенством как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетоднозначно показывает, что «корень из икс» строго растёт на интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетВ критической точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетфункция определена, но не дифференцируема.
С геометрических позиций тут нет общей касательной. Однако в теории рассматриваются так называемые односторонние производные, и в указанной точке существует правосторонняя производная с правосторонней касательной. Желающие разобраться в этом подробнее могут покурить первый том матана.

Примечание: согласно информации первого параграфа, точка как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетне является точкой минимума функции как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает(хотя «по понятиям» это вроде бы так). Дело в том, что определения точек максимума и минимума предполагают существование функции
и слева и справа от данных точек. Так же не считаются точками экстремума крайние значения области определения арксинуса и арккосинуса (см. ниже).

Стандартная гипербола как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетидёт «сверху вниз», то есть данная функция убывает на всей области определения. Что и показывает её производная:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетдля любого «икс» кроме нуля.
Здесь, к слову, точка как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетвообще не считается критической, так как функция как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетбанально в ней не определена.

Экспоненциальная функция как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетрастёт на всей числовой прямой (для любого значения «икс» справедливо строгое неравенство как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает). Исследуя же производную как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, легко сделать вывод, что функция как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетнаоборот – убывает на как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.

Что делает натуральный логарифм как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетсегодня вечером?
Растёт:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетна интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.

Начертите/распечатайте на соседних либо одном чертеже (иль просто представьте в уме) графики функции как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываети её производной как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Там, где график косинуса находится над осью как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, синус растёт. Обратно – где график как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетрасположен ниже оси абсцисс, синус убывает. А в тех точках, где косинус пересекает ось (как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает), синусоида как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетдостигает минимума или максимума.

Аналогичная история с косинусом как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываети его производной как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает(второй кадр запечатлён в статье Геометрические преобразования графиков).

Производная тангенса как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетнесёт бодрую весть о том, что функция как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетвозрастает на всей области определения.

С котангенсом и его производной как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетситуация ровно противоположная.

Арксинус на интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетрастёт – производная здесь положительна: как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.
При как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетфункция как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетопределена, но не дифференцируема. Однако в критической точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетсуществует правосторонняя производная и правостороння касательная, а на другом краю – их левосторонние визави.

Думаю, вам не составит особого труда провести похожие рассуждения для арккосинуса и его производной.

Все перечисленные случаи, многие из которых представляют собой табличные производные, напоминаю, следуют непосредственно из определения производной.

Зачем исследовать функцию с помощью производной?

Чтобы лучше узнать, как выглядит график этой функции: где он идёт «снизу вверх», где «сверху вниз», где достигает минимумов максимумов (если вообще достигает). Не все функции такие простые – в большинстве случаев у нас вообще нет ни малейшего представления о графике той или иной функции.

Настала пора перейти к более содержательным примерам и рассмотреть алгоритм нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции:

Найти интервалы возрастания/убывания и экстремумы функции

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Решение:

1) На первом шаге нужно найти область определения функции, а также взять на заметку точки разрыва (если они существуют). В данном случае функция непрерывна на всей числовой прямой, и данное действие в известной степени формально. Но в ряде случаев здесь разгораются нешуточные страсти, поэтому отнесёмся к абзацу без пренебрежения.

2) Второй пункт алгоритма обусловлен

необходимым условием экстремума:

Если в точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетесть экстремум, то как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетлибо значения как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетне существует.

Смущает концовка? Экстремум функции «модуль икс».

Условие необходимо, но не достаточно, и обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Так, из равенства как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетещё не следует, что функция достигает максимума или минимума в точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Классический пример уже засветился выше – это кубическая парабола как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываети её критическая точка как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.

Но как бы там ни было, необходимое условие экстремума диктует надобность в отыскании подозрительных точек. Для этого следует найти производную и решить уравнение как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает:

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Получилось обычное квадратное уравнение:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Положительный дискриминант доставляет две критические точки:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Примечание: корни можно традиционно обозначить через как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, однако в ходе полного исследования функции удобнее обойтись без подстрочных индексов, так как они вносят лишние оговорки и путаницу

Итак, как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает– критические точки

Но экстремумов в них может и не оказаться, поэтому нужно продолжить решение.

первое достаточное условие экстремума,

которое вкратце формулируется следующим образом: пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Тогда:

если при переходе через точку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетпроизводная меняет знак с «плюса» на «минус», то в данной точке функция достигает максимума;

если при переходе через точку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетпроизводная меняет знак с «минуса» на «плюс», то в данной точке функция достигает минимума.

Тут всё очень и очень наглядно, представьте – функция росла-росла-росла, и после прохождения некоторого рубежа вдруг стала убывать. Максимум. Во втором случае график шёл-шёл-шёл «сверху вниз», а при переходе через точку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетразвернулся в противоположную сторону. Минимум.

Исходя из вышесказанного, вытекает логичное решение: на числовой прямой нужно отложить точки разрыва функции, критические точки и определить знаки производной на интервалах, которые входят в область определения функции.

В рассматриваемом примере с непрерывностью на как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетвсё тип-топ, поэтому работаем только с найдёнными критическими точками.

Напрашивается метод интервалов, который уже применялся для определения интервалов знакопостоянства функции. Так почему бы его не использовать для производной? Ведь производная тоже простая смертная функция, найдёшь её – и делай всё, что хочешь.

Внимание! Сейчас мы работаем с ПРОИЗВОДНОЙ, а не с самой функцией!

Перед нами парабола как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, ветви которой направлены вниз, и многим читателям уже понятны знаки производной, но ради повторения снова пройдёмся по всем этапам метода интервалов. Отложим на числовой прямой найденные критические точки:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает
I) Берём какую-нибудь точку интервала как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываети находим значение производной в данной точке. Удобнее всего выбрать как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, значит, производная отрицательна на всём интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.

II) Выбираем точку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, принадлежащую интервалу как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, и проводим аналогичное действие:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, следовательно, как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетна всём интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.

III) Вычислим значение производной в наиболее удобной точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетпоследнего интервала:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, поэтому как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетв любой точке интервала как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.

В результате получены следующие знаки производной:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает
Время собирать урожай!

На интервалах как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетпроизводная отрицательна, значит, САМА ФУНКЦИЯ как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетна данных интервалах убывает, и её график идёт «сверху вниз». На среднем интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, значит, функция возрастает на как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, и её график идёт «снизу вверх».

При переходе через точку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетпроизводная меняет знак с «–» на «+», следовательно, в этой точке функция достигает минимума:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

При переходе же через точку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетпроизводная меняет знак с «+» на «–», и функция достигает максимума в данной точке:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Ответ: функции возрастает на интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываети убывает на интервалах как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. В точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетфункция достигает минимума: как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, а в точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает– максимума: как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Остерегайтесь сокращенной записи как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Под значками как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетобычно понимают минимальное и максимальное значение, а это, как пояснялось выше, далеко не то же самое, что минимум и максимум.

Пример так тщательно провёрнут через мясорубку, что грех не привести графическое изображение всех событий. Незнакомец теоретической части статьи снимает шляпу:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает
Что произошло? На первом этапе мы нашли производную как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываети критические точки как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает(в которых парабола пересекает ось абсцисс). Затем методом интервалов было установлено, где как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает(парабола ниже оси) и как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает(парабола выше оси). Таким образом, с помощью производной мы узнали интервалы возрастания/убывания и экстремумы «синей» функции.

Помимо 1-го достаточного условия экстремума существует и 2-е достаточное условие, однако для исследования функций оно малоинформативно и больше используется в экстремальных задачах.

В начале первой статьи о графиках функции я рассказывал, как быстро построить параболу на примере как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает: «…берём первую производную и приравниваем ее к нулю: как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает…Итак, решение нашего уравнения: как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает– именно в этой точке и находится вершина параболы…». Теперь, думаю, всем понятно, почему вершина параболы находится именно в этой точке =) Вообще, следовало бы начать с похожего примера и здесь, но он уж слишком прост (даже для чайника). К тому же, аналог есть в самом конце урока о производной функции. Поэтому повысим степень:

Найти промежутки монотонности и экстремумы функции
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и примерный чистовой образец оформления задачи в конце урока.

Наступил долгожданный момент встречи с дробно-рациональными функциями:

Исследовать функцию с помощью первой производной
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Обратите внимание, как вариативно можно переформулировать фактически одно и то же задание.

Решение:

1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.

2) Детектируем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Решим уравнение как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Таким образом, получаем три критические точки:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

3) Откладываем на числовой прямой ВСЕ обнаруженные точки и методом интервалов определяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает
Напоминаю, что необходимо взять какую-нибудь точку интервала, вычислить в ней значение производной как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываети определить её знак. Выгоднее даже не считать, а «прикинуть» устно. Возьмём, например, точку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, принадлежащую интервалу как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, и выполним подстановку: как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает
Два «плюса» и один «минус» дают «минус», поэтому как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, а значит, производная отрицательна и на всём интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.

Действие, как вы понимаете, нужно провести для каждого из шести интервалов. Кстати, обратите внимание, что множитель числителя как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываети знаменатель как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетстрого положительны для любой точки любого интервала, что существенно облегчает задачу.

Итак, производная сообщила нам, что САМА ФУНКЦИЯ как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетвозрастает на как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываети убывает на как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Однотипные интервалы удобно скреплять значком объединения как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.

В точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетфункция достигает максимума: как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает
В точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетфункция достигает минимума: как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Подумайте, почему можно заново не пересчитывать второе значение 😉

При переходе через точку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетпроизводная не меняет знак, поэтому у функции там НЕТ ЭКСТРЕМУМА – она как убывала, так и осталась убывающей.

! Повторим важный момент: точки как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетне считаются критическими – в них функция не определена. Соответственно, здесь экстремумов не может быть в принципе (даже если производная меняет знак).

Ответ: функция возрастает на как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываети убывает на как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетВ точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетдостигается максимум функции: как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, а в точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает– минимум: как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.

Знание интервалов монотонности и экстремумов вкупе с установленными асимптотами даёт уже очень хорошее представление о внешнем виде графика функции. Человек среднего уровня подготовки способен устно определить, что у графика функции как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетесть две вертикальные асимптоты как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываети наклонная асимптота как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Вот наш герой:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает
Постарайтесь ещё раз соотнести результаты исследования с графиком данной функции.
В критической точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетэкстремума нет, но существует перегиб графика (что, как правило, и бывает в похожих случаях).

Найти экстремумы функции
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Найти интервалы монотонности, максимумы и минимумы функции
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

…прямо какой-то Праздник «икса в кубе» сегодня получается.
Тааак, кто там на галёрке предложил за это выпить? =)

В каждой задаче есть свои содержательные нюансы и технические тонкости, которые закомментированы в конце урока.

Как отмечалось, в ходе выполнения задания всегда нужно внимательно следить за точками разрыва и интервалами, которые не входят в область определения функции. Казус состоит в том, что иногда производная может существовать на таких участках! Простейший пример: производная натурального логарифма как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетопределена на интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, но сам логарифм – нет. Интервалы, которые не входят в область определения функции, НЕЛЬЗЯ рассматривать и у производной!

Типичный барьерный риф:

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Приближаю оформление к боевым условиям и прекращаю нумерацию пунктов алгоритма.

Решение: в Примере 11 статьи об интервалах знакопостоянства была найдена область определения данной функции: как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, знание которой КРИТИЧЕСКИ ВАЖНО учитывать в нашей задаче:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Вроде бы всё хорошо: у нас есть корень как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываети крайние точки области определения:как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.

Но производная проявила своеволие – она в отличие от свого родителя определена и на интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Более того, точка как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает(не критическая. ;)) вошла в этот нехороший интервал! Что делать? Мама всегда права, поэтому определяем знаки производной только на интервалах области определения функции:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает
Функция убывает на интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываети возрастает на интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Точки экстремума (и, понятно, экстремумы) ОТСУТСТВУЮТ. Значение как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетосталось не при делах, так как на интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетпопросту нет графика функции как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.

Ответ: функция убывает на интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываети возрастает накак понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, экстремумы отсутствуют.

Будьте очень внимательны, если вам встретится логарифм или корень – в подобных примерах просто необходимо увАжить область определения функции!

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Это приятный разгрузочный пример для самостоятельного решения.

И заключительный пример посвящен другому приключению непослушной дочери:

Найти точки экстремума функции
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Решение: функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
Найдём критические точки:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

На всякий случай детализирую преобразования знаменателя:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, затем сокращаем числитель и знаменатель на «икс».

Таким образом, как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает– критические точки. Почему значения как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, обращающие знаменатель производной в ноль, следует отнести к критическим точкам? А дело в том, что САМА-ТО ФУНКЦИЯ в них определена! Ситуация необычна, но клубок распутывается по стандартной схеме.

Определим знаки производной на полученных интервалах:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает
Функция возрастает на интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываети убывает на как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.

В точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетфункция достигает минимума: как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.
В точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетфункция достигает максимума: как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.
В точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетнет экстремума.

Ответ: как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает– точка минимума, как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает– точка максимума

По условию требовалось найти точки экстремума и что-то добавлять излишне. Но в решении как бы невзначай вычислены и сами экстремумы 😉

Давайте посмотрим на на эту оригинальную картину:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает
В точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает– классическое остриё, направленное вниз, при как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает– «нормальный» максимум. В точках как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетфункция не дифференцируема, однако в них существуют бесконечные производные и вертикальные касательные (см. теорию производной).

. да, родители и дети бывают разными. Но мама права в 95% случаев с погрешностью как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Я проводил статистическое исследование.

Пример 2: Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
2) Найдём критические точки:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает– критическая точка.
3) Методом интервалов определим знаки производной:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает
Ответ: функция убывает на интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываети возрастает на интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. В точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетфункция достигает минимума: как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Пример 4: Решение:

1) Функция терпит бесконечный разрыв в точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.
2) Найдём критические точки:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает, как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает– критические точки.
3) Методом интервалов определим знаки производной:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает
В точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетфункция достигает минимума: как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.
В точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетэкстремум отсутствует.

Ответ: в точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетфункция достигает минимума: как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает
Примечание: обратите внимание, что информацию об интервалах монотонности раскрывать не обязательно, так как по условию требовалось найти только экстремумы функции

Пример 5: Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.

2) Найдём критические точки:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает
Примечание: в данном случае перед дифференцированием выгодно почленно разделить числитель на знаменатель
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает– критическая точка.
3) Определим знаки производной:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает
Ответ: функция возрастает на как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываети убывает на как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. В точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетона достигает максимума: как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Пример 7: Решение:

Область определения: как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает.
Найдём критические точки:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает– критическая точка.
Определим знаки производной:
как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает
Ответ: функция убывает на интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываети возрастает на интервале как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетВ точке как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убываетфункция достигает минимума: как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Смотреть картинку как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Картинка про как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает. Фото как понять на каком промежутке функция возрастает а на каком убывает «Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *