как понять на какие числа делится число
Признаки делимости чисел
Что такое «признак делимости»
Признак делимости числа — это такая особенность числа, которая еще до выполнения деления позволяет определить, кратно ли число делителю.
Истинный путь джедая, чтобы зря не пыхтеть над числами, которые в конечном итоге не делятся.
Однозначные, двузначные и трехзначные числа
Однозначное число — это такое число, в составе которого один знак (одна цифра). Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Двузначные числа — такие, в составе которых два знака (две цифры). Цифры могут повторяться или быть различными.
Трехзначные числа — числа, в составе которых три знака (три цифры).
Чётные и нечётные числа
Число называют четным тогда, когда оно делится на два без остатка. А нечетные числа — те, что на два без остатка не делятся. Все просто!
Признаки делимости чисел
Признак делимости на 2. Сразу можно сказать, что число делится на 2, если последняя цифра четная.
Признак делимости на 3. Сумма цифр числа должна делиться на 3.
Признаки делимости на 4. Число делится на 4, если две последние цифры — 0 или если они образуют цифру, которая делится на 4.
Признаки делимости на 5. Число делится на 5, если заканчивается на 0 или 5.
Признак делимости на 6. На 6 делятся те числа, которые могут одновременно делится на 2 и на 3.
Признаки делимости на 8. Число делится на 8, если три последних цифры — 0 или если они образуют число, которое делится на 8.
Признак делимости на 9. Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.
Признаки делимости на 10, 100. Числа, которые заканчиваются на 0, 00, 000 делятся на 10, 100, 1000 и так далее.
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Записаться на марафон
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Признаки делимости чисел
В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.
Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).
Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.
Примеры:
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.
Примеры:
Признак делимости на 4
Двузначное число
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.
Число разрядов больше 2
Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.
Примечание:
Число делится на 4 без остатка, если:
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.
Примеры:
Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).
Примеры:
Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.
Признак делимости на 8
Трехзначное число
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.
Число разрядов больше 3
Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.
Примеры:
Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.
Примеры:
Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.
Примеры:
Признаки делимости
Признаки делимости чисел — это особенности чисел, позволяющие определить, не выполняя деления, кратно число делителю или нет.
Чётные и нечётные числа
Чётные числа — это числа которые делятся на 2. Нечётные числа — это числа, которые на два не делятся.
Число нуль относится к чётным числам.
Признаки делимости чисел
Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра чётная. Например, число 4376 делится на 2, так как последняя цифра (6) — чётная.
Признак делимости на 3. На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3. Например, число 10815 делится на 3, так как сумма его цифр 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 делится на 3.
Признаки делимости на 4. Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, которое делится на 4. Например, число 244500 делится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями. Числа 14708 и 7524 делятся на 4, так как две последние цифры этих чисел (08 и 24) делятся на 4.
Признаки делимости на 5. На 5 делятся те числа, которые оканчиваются на 0 или 5. Например, число 320 делится на 5, так как последняя цифра 0.
Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. Например, число 912 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3.
Признаки делимости на 8. На 8 делятся те числа, у которых три последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 8. Например, число 27000 делится на 8, так как оно оканчивается тремя нулями. Число 63128 делится на 8, так как три последние цифры образуют число (128), которое делится на 8.
Признак делимости на 9. На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9. Например, число 2637 делится на 9, так как сумма его цифр 2 + 6 + 3 + 7 = 18 делится на 9.
Признаки делимости на 10, 100, 1000 и т. д. На 10, 100, 1000 и так далее делятся те числа, которые оканчиваются соответственно одним нулём, двумя нулями, тремя нулями и так далее. Например, число 3800 делится на 10 и на 100.
Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11
Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.
2, 8, 16, 24, 66, 150 — делятся на 2, так как последняя цифра этих чисел четная;
3, 7, 19, 35, 77, 453 — не делятся на 2, так как последняя цифра этих чисел нечетная.
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
75 — делится на 3, так как 7+5=12, и число 12 делится на 3 (12:3=4);
471 — делится на 3, так как 4+7+1=12, и число 12 делится на 3 (12:3=4);
532 — не делится на 3, так как 5+3+2=10, а число 10 не делится на 3 (10:3=3 1 3 ).
Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4. Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 4.
4576 — делится на 4, так как число 76 делится на 4 (7·2+6=20, 20:4=5);
9634 — не делится на 4, так как число 34 не делится на 4 (3·2+4=10, 10:4=2 1 2 ).
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда, когда последняя цифра делится на 5, т.е. если она 0 или 5.
375, 5680, 233575 — делятся на 5, так как их последняя цифра равна 0 или 5;
9634, 452, 389753 — не делятся на 5, так как их последняя цифра не равна 0 или 5.
Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3.
462 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 2 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 4+6+2=12, 12:3=4);
3456 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 6 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 3+4+5+6=18, 18:3=6);
24642 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 2 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 2+4+6+4+2=18, 18:3=6);
861 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 2;
3458 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 3;
34681 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 2.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
468, 4788, 69759 — делятся на 9, так как сумма их цифр делится на девять (4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);
861, 3458, 34681 — не делятся на 9, так как сумма их цифр не делится на девять (8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).
Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нoль.
460, 24000, 1245464570 — делятся на 10, так как последняя цифра этих чисел равна нулю;
234, 25048, 1230000003 — не делятся на 10, так как последняя цифра этих чисел не равна нулю.
Признак делимости на 11
Число делится на 11 если сумма цифр стоящих на четных местах равна сумме цифр стоящих на нечетных местах или отличается от нее на число кратное 11.
Делимость чисел. Признак делимости
Определение 1. Пусть число a 1 ) есть произведение двух чисел b и q так, что a=bq. Тогда a называется кратным b.
1 ) В данной статье под словом число будем понимать целое число.
Можно сказать также a делится на b, или b есть делитель a, или b делит a, или b входит множителем в a.
Из определения 1 вытекают следующие утверждения:
Действительно. Так как
где m и n какие то числа, то
Следовательно a делится на c.
Если в ряду чисел, каждое делится на следующее за ним, то каждое число есть кратное всех последующих чисел.
Действительно. Так как
Признаки делимости
Выведем общую формулу для определения признака делимости чисел на некоторое натуральное число m, которое называется признаком делимости Паскаля.
Найдем остатки деления на m следующей последовательностью. Пусть остаток от деления 10 на m будет r1, 10·r1 на m будет r2, и т.д. Тогда можно записать:
 | (1) |
Так как при делении любого числа на m остатки могут быть 0,1. m-1, то через m шагов остатки от деления на m будут повторяться (следовательно пересчитать их не нужно).
Любое натуральное число A в десятичной системе счисления можно представить в виде
  | (2) |
Докажем, что остаток деления числа A на m равна остатку деления числа
 | (3) |
Как известно, если два числа при делении на какое то число m дают одинаковый остаток, то из разность делится на m без остатка.
Рассмотрим разность A−A’
     | (4) |
Покажем, что 10 i −ri делиться на m при всех i=1,2. m−1.
10−ri=mk1 делится на m (т.к. mk1 кратно m),
   | (5) |
   | (6) |
   | (7) |
Исходя из выражения (3), можно получить признаки делимости для конкретных чисел.
Признаки делимости чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Признак делимости на 2.
Следуя процедуре (1) для m=2, получим:
| 10=2·5+0, 10·0=2·5+0, и т.д. |
Все остатки от деления на 2 равняются нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем
 |
Следовательно число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делиться на 2 (т.е. когда число является четным).
Признак делимости на 3.
Следуя процедуре (1) для m=3, получим:
 |
Все остатки от деления на 3 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем
 |
Следовательно число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 3.
Признак делимости на 4.
Следуя процедуре (1) для m=4, получим:
 |
Все остатки от деления на 4 кроме первого равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем
  |
Следовательно число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков сложенное с числом единиц делится на 4. Число делится на 4, если последние две цифры составляют число, делящееся на 4.
Признак делимости на 5.
Следуя процедуре (1) для m=5, получим:
 |
Все остатки равны нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем
|
Следовательно число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра этого числа делится на 5, т.е. число оканчивается на 0 или 5.
Признак делимости на 6.
Следуя процедуре (1) для m=6, получим:
 |
Все остатки равны 4. Тогда, из уравнения (3) имеем
 |
Следовательно число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 6. То есть из числа отбрасываем правую цифру, далее суммируем полученное число с 4 и добавляем отброшенное число. Если данное число делится на 6, то исходное число делится на 6.
Пример. 2742 делится на 6, т.к. 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 делится на 6.
Более простой признак делимости. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 (т.е. если оно четное число и если сумма цифр делится на 3). Число 2742 делится на 6, т.к. число четное и 2+7+4+2=15 делится на 3.
Признак делимости на 7.
Следуя процедуре (1) для m=7, получим:
 |
Все остатки разные и повторяются через 7 шагов. Тогда, из уравнения (3) имеем
| (8) |
Следовательно число делится на 7 тогда и только тогда, когда (8) делится на 7.
Пример. 3801 делится на 7, т.к. 1+0*3+8*2+3*6=1+16+18=35 делится на 7.
Другой признак делимости. Для определения, делится ли число на 7, из числа отбрасываем последнюю с права цифру, далее умножаем полученное число на 3 и добавляем и добавляет отброшенное число. Если данное число делится на 7, то исходное число делится на 6. 380*3+1=1141, 114*3+1=343, 34*3+3=105, 10*3+5=35 делится на 7, следовательно 3801 делится на 7.
Признак делимости на 8.
Следуя процедуре (1) для m=8, получим:
 |
Все остатки все остатки нулевые, кроме первых двух. Тогда, из уравнения (3) имеем
  | (9) |
Следовательно число делится на 8 тогда и только тогда, когда (9) делится на 8.
Пример. 4328 делится на 8, т.к. 8+2*2+4*3=24 делится на 8.
Признак делимости на 9.
Следуя процедуре (1) для m=9, получим:
 |
Все остатки от деления на 9 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем
|
Следовательно число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 9.
Признак делимости на 10.
Следуя процедуре (1) для m=10, получим:
 |
Все остатки от деления на 10 равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем
  |
Следовательно число делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 10 (то есть последняя цифра нулевая).