как найти какой нибудь базис системы векторов

2. Линейная зависимость. Базис системы векторов

Система векторов как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовназывается линейно зависимой, если существует ее линейная комбинация, равнаякак найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, в которой есть хотя бы один ненулевой коэффициент.

Система векторов как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовназывается линейно независимой, если в любой ее линейной комбинации, равнойкак найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, все коэффициенты нулевые.

Базисом системы векторов как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовназывается ее непустая линейно независимая подсистема, через которую можно выразить любой вектор системы.

Р е ш е н и е. Строим матрицу, в которой координаты данных векторов располагаем по столбцам. Приводим ее к ступенчатому виду.

как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовкак найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов.

Базис данной системы образуют векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов,как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов,как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, которым соответствуют ведущие элементы строк, выделенные кружками. Для выражения векторакак найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы вектороврешаем уравнениеx1как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов+x2как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов+ x4как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов=как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Оно сводится к системе линейных уравнений, матрица которой получается из исходной перестановкой столбца, соответствующегокак найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, на место столбца свободных членов. Поэтому для решения системы используем полученную матрицу в ступенчатом виде, сделав в ней необходимые перестановки.

как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Замечание 1. Если требуется выразить через базис несколько векторов, то для каждого из них строится соответствующая система линейных уравнений. Эти системы будут отличаться только столбцами свободных членов. Поэтому для их решения можно составить одну матрицу, в которой будет несколько столбцов свободных членов. При этом каждая система решается независимо от остальных.

Замечание 2. Для выражения любого вектора достаточно использовать только базисные векторы системы, стоящие перед ним. При этом нет необходимости переформировывать матрицу, достаточно поставить вертикальную черту в нужном месте.

У п р а ж н е н и е 2. Найти базис системы векторов и выразить остальные векторы через базис:

3. Фундаментальная система решений

Система линейных уравнений называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю.

Фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений называется базис множества ее решений.

Пусть дана неоднородная система линейных уравнений. Однородной системой, ассоциированной с данной, называется система, полученная из данной заменой всех свободных членов на нули.

П р и м е р 3. Найти частное решение неоднородной системы из примера 1 и фундаментальную систему решений ассоциированной однородной системы.

Р е ш е н и е. Запишем решение, полученное в примере 1, в векторном виде и разложим получившийся вектор в сумму по свободным параметрам, имеющимся в нем, и фиксированным числовым значениям:

Замечание. Аналогично решается задача нахождения фундаментальной системы решений однородной системы.

У п р а ж н е н и е 3.1 Найти фундаментальную систему решений однородной системы:

а) как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

б) как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

У п р а ж н е н и е 3.2. Найти частное решение неоднородной системы и фундаментальную систему решений ассоциированной однородной системы:

а) как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

б) как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Источник

Векторное пространство: размерность и базис, разложение вектора по базису

Введем некоторые определения.

Размерность векторного пространства – число, соответствующее максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Базис векторного пространства – совокупность линейно независимых векторов, упорядоченная и в своей численности равная размерности пространства.

Переставив местами в исходной системе другие векторы, получим еще один базис.

Плоскость является двумерным пространством – ее базисом будут два любых неколлинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства послужат три любых некомпланарных вектора.

Рассмотрим применение данной теории на конкретных примерах.

Исходные данные: векторы

Необходимо определить, являются ли указанные векторы базисом трехмерного векторного пространства.

Решение

Для решения поставленной задачи исследуем заданную систему векторов на линейную зависимость. Составим матрицу, где строки – координаты векторов. Определим ранг матрицы.

Следовательно, заданные условием задачи векторы линейно независимы, и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом векторного пространства.

Ответ: указанные векторы являются базисом векторного пространства.

Исходные данные: векторы

Необходимо определить, может ли указанная система векторов являться базисом трехмерного пространства.

Решение

Ответ: указанная система векторов не является базисом.

Исходные данные: векторы

Могут ли они являться базисом четырехмерного пространства?

Решение

Cоставим матрицу, используя в качестве строк координаты заданных векторов

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

По методу Гаусса определим ранг матрицы:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Следовательно, система заданных векторов линейно независима и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом четырехмерного векторного пространства.

Ответ: заданные векторы являются базисом четырехмерного пространства.

Исходные данные: векторы

Составляют ли они базис пространства размерностью 4?

Решение

Исходная система векторов линейно независима, но численность векторов в ней недостаточна, чтобы стать базисом четырехмерного пространства.

Ответ: нет, не составляют.

Разложение вектора по базису

Таким образом, мы пришли к формулировке важнейшей теоремы:

Докажем эту теорему:

Теперь докажем, что такое разложение является единственным. Предположим, что это не так и существует еще одно подобное разложение:

Вектор x → будет представлен следующим образом:

Запишем это выражение в координатной форме:

Полученное равенство равносильно системе из n линейных алгебраических выражений с n неизвестными линейными переменными x

Матрица этой системы будет иметь следующий вид:

e 1 ( 1 ) e 1 ( 2 ) ⋯ e 1 ( n ) e 2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e 2 ( n ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n ( 1 ) e n ( 2 ) ⋯ e n ( n )

Применим рассмотренную теорию на конкретном примере.

Исходные данные: в базисе трехмерного пространства заданы векторы

Решение

Используем метод Гаусса:

Пусть в базисе вектор x → имеет координаты x

Применим значения согласно условиям задачи:

Решим систему уравнений методом Крамера:

Связь между базисами

Предположим, что в некотором базисе n-мерного векторного пространства даны две линейно независимые системы векторов:

Указанные системы являются также базисами заданного пространства.

n ( 1 ) e 1 ( n ) с 2 ( 1 ) = c

n ( 1 ) e 2 ( n ) ⋮ с n ( 1 ) = c

В виде матрицы систему можно отобразить так:

n ( 1 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Сделаем по аналогии такую же запись для вектора c ( 2 ) :

n ( 2 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

И, далее действуя по тому же принципу, получаем:

n ( n ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Матричные равенства объединим в одно выражение:

c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n ) = c

n ( n ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n )

Оно и будет определять связь векторов двух различных базисов.

e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n ) = e

n ( n ) · c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n )

Дадим следующие определения:

Источник

Базис системы векторов

как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Определение. Максимальная линейно независимая подсистема S’ системы векторов S называется базисом системы S.

Ранее было доказано, что всякая максимально линейно независимая подсистема n-мерного пространства состоит из n векторов. Отсюда можно сделать выводы:

1) базис любой системы векторов пространства Rn всегда содержит не более чем n векторов;

2) в любой системе векторов может содержаться несколько базисов, однако число векторов в каждом базисе одно и тоже;

3) любой базис пространства Rn содержит n векторов;

4) любая линейно независимая система из n векторов является базисом пространства Rn.

Примером базиса пространства Rn могут служить векторы

Для нахождения базиса системы векторов удобно использовать полученные ранее результаты:

составляем из координатных строк данных векторов матрицу (не нарушая общности доказательства, можем считать, что координатные строки векторов являются строками матрицы); приводим матрицу к диагональному виду и вычисляем ее ранг. Ранг матрицы равен числу векторов базиса. Если в ходе преобразований матрицы не менять местами строки и не производить действий над столбцами, тогда те векторы, в координатных строках которых после приведения матрицы к диагональному виду остались ненулевые элементы, и составляют один из базисов системы векторов-строк.

Пример. Найти базис системы векторов

Составляем из векторов-строк матрицу А и приводим ее к диагональному виду

как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов,

rang A=3, базис образуют векторы a1, a2, a4.

Источник

Линейная зависимость и линейная независимость векторов.
Базис векторов. Аффинная система координат

В аудитории находится тележка с шоколадками, и каждому посетителю сегодня достанется сладкая парочка – аналитическая геометрия с линейной алгеброй. В данной статье будут затронуты сразу два раздела высшей математики, и мы посмотрим, как они уживаются в одной обёртке. Сделай паузу, скушай «Твикс»! …блин, ну и чушь спорол. Хотя ладно, забивать не буду, в конце концов, на учёбу должен быть позитивный настрой.

Линейная зависимость векторов, линейная независимость векторов, базис векторов и др. термины имеют не только геометрическую интерпретацию, но, прежде всего, алгебраический смысл. Само понятие «вектор» с точки зрения линейной алгебры – это далеко не всегда тот «обычный» вектор, который мы можем изобразить на плоскости или в пространстве. За доказательством далеко ходить не нужно, попробуйте нарисовать вектор пятимерного пространства как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Или вектор погоды, за которым я только что сходил на Гисметео: как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов– температура и атмосферное давление соответственно. Пример, конечно, некорректен с точки зрения свойств векторного пространства, но, тем не менее, никто не запрещает формализовать данные параметры вектором. Дыхание осени….

Нет, я не собираюсь грузить вас теорией, линейными векторными пространствами, задача состоит в том, чтобы понять определения и теоремы. Новые термины (линейная зависимость, независимость, линейная комбинация, базис и т.д.) приложимы ко всем векторам с алгебраической точки зрения, но примеры будут даны геометрические. Таким образом, всё просто, доступно и наглядно. Помимо задач аналитической геометрии мы рассмотрим и некоторые типовые задания алгебры. Для освоения материала желательно ознакомиться с уроками Векторы для чайников и Как вычислить определитель?

Линейная зависимость и независимость векторов плоскости.
Базис плоскости и аффинная система координат

Рассмотрим плоскость вашего компьютерного стола (просто стола, тумбочки, пола, потолка, кому что нравится). Задача будет состоять в следующих действиях:

1) Выбрать базис плоскости. Грубо говоря, у столешницы есть длина и ширина, поэтому интуитивно понятно, что для построения базиса потребуется два вектора. Одного вектора явно мало, три вектора – лишка.

2) На основе выбранного базиса задать систему координат (координатную сетку), чтобы присвоить координаты всем находящимся на столе предметам.

Не удивляйтесь, сначала объяснения будут на пальцах. Причём, на ваших. Пожалуйста, поместите указательный палец левой руки на край столешницы так, чтобы он смотрел в монитор. Это будет вектор как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Теперь поместите мизинец правой руки на край стола точно так же – чтобы он был направлен на экран монитора. Это будет вектор как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Улыбнитесь, вы замечательно выглядите! Что можно сказать о векторах как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов? Данные векторы коллинеарны, а значит, линейно выражаются друг через друга:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, ну, или наоборот: как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, где как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов– некоторое число, отличное от нуля.

Картинку сего действа можно посмотреть на уроке Векторы для чайников, где я объяснял правило умножения вектора на число.

Будут ли ваши пальчики как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовзадавать базис на плоскости компьютерного стола? Очевидно, что нет. Коллинеарные векторы путешествуют туда-сюда по одному направлению, а у плоскости есть длина и ширина.

Такие векторы называют линейно зависимыми.

Справка: Слова «линейный», «линейно» обозначают тот факт, что в математических уравнениях, выражениях нет квадратов, кубов, других степеней, логарифмов, синусов и т.д. Есть только линейные (1-й степени) выражения и зависимости.

Два вектора плоскости линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Скрестите пальцы на столе, чтобы между ними был любой угол, кроме 0 или 180 градусов. Два вектора плоскости как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовлинейно независимы в том и только том случае, если они не коллинеарны. Итак, базис как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовполучен. Не нужно смущаться, что базис получился «косым» с неперпендикулярными векторами различной длины. Очень скоро мы увидим, что для его построения пригоден не только угол в 90 градусов, и не только единичные, равные по длине векторы

Любой вектор плоскости как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовединственным образом раскладывается по базису как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, где как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов– действительные числа. Числа как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовназывают координатами вектора в данном базисе.

Также говорят, что вектор как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. То есть, выражение как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовназывают разложением вектора как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовпо базису как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовили линейной комбинацией базисных векторов.

Например, можно сказать, что вектор как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовразложен по ортонормированному базису плоскости как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, а можно сказать, что он представлен в виде линейной комбинации векторов как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов.

Сформулируем определение базиса формально: Базисом плоскости называется пара линейно независимых (неколлинеарных) векторов как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, взятых в определённом порядке, при этом любой вектор плоскости является линейной комбинацией базисных векторов.

Существенным моментом определения является тот факт, что векторы взяты в определённом порядке. Базисы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов– это два совершенно разных базиса! Как говорится, мизинец левой руки не переставишь на место мизинца правой руки.

С базисом разобрались, но его недостаточно, чтобы задать координатную сетку и присвоить координаты каждому предмету вашего компьютерного стола. Почему недостаточно? Векторы являются свободными и блуждают по всей плоскости. Так как же присвоить координаты тем маленьким грязным точкам стола, которые остались после бурных выходных? Необходим отправной ориентир. И таким ориентиром является знакомая всем точка – начало координат. Разбираемся с системой координат:

Начну со «школьной» системы. Уже на вступительном уроке Векторы для чайников я выделял некоторые различия между прямоугольной системой координат и ортонормированным базисом как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Вот стандартная картина:

как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Когда говорят о прямоугольной системе координат, то чаще всего имеют в виду начало координат, координатные оси и масштаб по осям. Попробуйте набрать в поисковике «прямоугольная система координат», и вы увидите, что многие источники вам будут рассказывать про знакомые с 5-6-го класса координатные оси и о том, как откладывать точки на плоскости.

С другой стороны, создается впечатление, что прямоугольную систему координат вполне можно определить через ортонормированный базис как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов. И это почти так. Формулировка звучит следующим образом:

Точка как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовплоскости, которая называется началом координат, и ортонормированный базис как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовзадают декартову прямоугольную систему координат плоскости. То есть, прямоугольная система координат однозначно определяется единственной точкой и двумя единичными ортогональными векторами как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Именно поэтому, вы видите чертёж, который я привёл выше – в геометрических задачах часто (но далеко не всегда) рисуют и векторы, и координатные оси.

Думаю, всем понятно, что с помощью точки как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов(начала координат) и ортонормированного базиса как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовЛЮБОЙ ТОЧКЕ плоскости и ЛЮБОМУ ВЕКТОРУ плоскости можно присвоить координаты. Образно говоря, «на плоскости всё можно пронумеровать».

Обязаны ли координатные векторы быть единичными? Нет, они могут иметь произвольную ненулевую длину. Рассмотрим точку как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторови два ортогональных вектора как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовпроизвольной ненулевой длины:

как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов
Такой базис называется ортогональным. Начало координат с векторами как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовзадают координатную сетку, и любая точка плоскости, любой вектор имеют свои координаты в данном базисе. Например, как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовили как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Очевидное неудобство состоит в том, что координатные векторы в общем случае имеют различные длины, отличные от единицы. Если длины равняются единице, то получается привычный ортонормированный базис.

! Примечание: в ортогональном базисе, а также ниже в аффинных базисах плоскости и пространства единицы по осям считаются УСЛОВНЫМИ. Например, в одной единице по оси абсцисс содержится 4 см, в одной единице по оси ординат 2 см. Данной информации достаточно, чтобы при необходимости перевести «нестандартные» координаты в «наши обычные сантиметры».

И второй вопрос, на который уже на самом деле дан ответ – обязательно ли угол между базисными векторами должен равняться 90 градусам? Нет! Как гласит определение, базисные векторы должны быть лишь неколлинеарными. Соответственно угол может быть любым, кроме 0 и 180 градусов.

Точка как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовплоскости, которая называется началом координат, и неколлинеарные векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, взятые в определённом порядке, задают аффинную систему координат плоскости:

как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов
Иногда такую систему координат называют косоугольной системой. В качестве примеров на чертеже изображены точки как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторови векторы:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Как понимаете, аффинная система координат ещё менее удобна, в ней не работают формулы длин векторов и отрезков, которые мы рассматривали во второй части урока Векторы для чайников, многие вкусные формулы, связанные со скалярным произведением векторов. Зато справедливы правила сложения векторов и умножения вектора на число, формулы деления отрезка в данном отношении, а также ещё некоторые типы задач, которые мы скоро рассмотрим.

А вывод таков, что наиболее удобным частным случаем аффинной системы координат является декартова прямоугольная система. Поэтому её, родную, чаще всего и приходится лицезреть. …Впрочем, всё в этой жизни относительно – существует немало ситуаций, в которых уместна именно косоугольная (или какая-набудь другая, например, полярная) система координат. Да и гуманоидам такие системы могут прийтись по вкусу =)

Переходим к практической части. Все задачи данного урока справедливы как для прямоугольной системы координат, так и для общего аффинного случая. Сложного здесь ничего нет, весь материал доступен даже школьнику.

Как определить коллинеарность векторов плоскости?

Типовая вещь. Для того чтобы два вектора плоскости как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовбыли коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов. По существу, это покоординатная детализация очевидного соотношения как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов.

а) Проверить, коллинеарны ли векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов.
б) Образуют ли базис векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов?

Решение:
а) Выясним, существует ли для векторов как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовкоэффициент пропорциональности как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, такой, чтобы выполнялись равенства как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, значит, данные векторы коллинеарны.

Обязательно расскажу о «пижонской» разновидности применения данного правила, которая вполне прокатывает на практике. Идея состоит в том, чтобы сразу составить пропорцию как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторови посмотреть, будет ли она верной:

Составим пропорцию из отношений соответствующих координат векторов:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Сокращаем:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, таким образом, соответствующие координаты пропорциональны, следовательно, как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Отношение можно было составить и наоборот, это равноценный вариант:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Для самопроверки можно использовать то обстоятельство, что коллинеарные векторы линейно выражаются друг через друга. В данном случае имеют место равенства как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Их справедливость легко проверяется через элементарные действия с векторами:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

б) Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Исследуем на коллинеарность векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Составим систему:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Из первого уравнения следует, что как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, из второго уравнения следует, что как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, соответствующие координаты векторов не пропорциональны.

Вывод: векторы линейно независимы и образуют базис.

Упрощённая версия решения выглядит так:

Составим пропорцию из соответствующих координат векторов как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, значит, данные векторы линейно независимы и образуют базис.

Обычно такой вариант не бракуют рецензенты, но возникает проблема в тех случаях, когда некоторые координаты равны нулю. Вот так: как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Или так: как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Или так: как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Как тут действовать через пропорцию? (действительно, на ноль же делить нельзя). Именно по этой причине я и назвал упрощенное решение «пижонским».

Ответ: а) как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, б) образуют.

Небольшой творческий пример для самостоятельного решения:

При каком значении параметра как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы вектороввекторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовбудут коллинеарны?

В образце решения параметр найден через пропорцию как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов.

Существует изящный алгебраический способ проверки векторов на коллинеарность., систематизируем наши знания и пятым пунктом как раз добавим его:

Для двух векторов плоскости эквивалентны следующие утверждения:
1) векторы линейно независимы;
2) векторы образуют базис;
3) векторы не коллинеарны;
4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга;
+ 5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.

Соответственно, эквивалентны следующие противоположные утверждения:
1) векторы линейно зависимы;
2) векторы не образуют базиса;
3) векторы коллинеарны;
4) векторы можно линейно выразить друг через друга;
+ 5) определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю.

Я очень и очень надеюсь, что на данный момент вам уже понятны все встретившиеся термины и утверждения.

Рассмотрим более подробно новый, пятый пункт: два вектора плоскости как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовколлинеарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю: как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Для применения данного признака, естественно, нужно уметь находить определители.

Решим Пример 1 вторым способом:

а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, значит, данные векторы коллинеарны.

б) Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Вычислим определитель, составленный из координат векторов как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, значит, векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовлинейно независимы и образуют базис.

Ответ: а) как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, б) образуют.

Выглядит значительно компактнее и симпатичнее, чем решение с пропорциями.

Проверка векторов на коллинеарность – простая и очень распространенная задача аналитической геометрии. Нередко в условии заодно требуется проверить векторы и на ортогональность (базис в таких случаях, как правило, ортонормированный). Данное задание подробно рассмотрено на уроке Скалярное произведение векторов.

С помощью рассмотренного материала можно устанавливать не только коллинеарность векторов, но и доказывать параллельность отрезков, прямых. Рассмотрим пару задач с конкретными геометрическими фигурами.

Даны вершины четырёхугольника как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Доказать, что четырёхугольник как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовявляется параллелограммом.

Доказательство: Чертежа в задаче строить не нужно, поскольку решение будет чисто аналитическим. Вспоминаем определение параллелограмма:
Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Таким образом, нужно доказать:
1) параллельность противоположных сторон как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторови как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов;
2) параллельность противоположных сторон как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторови как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов.

1) Найдём векторы:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Вычислим определитель, составленный из координат векторов как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, значит, данные векторы коллинеарны, и как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов.

2) Найдём векторы:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Получился один и тот же вектор («по школьному» – равные векторы). Коллинеарность совсем очевидна, но решение таки лучше оформить с толком, с расстановкой. Вычислим определитель, составленный из координат векторов как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, значит, данные векторы коллинеарны, и как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов.

Вывод: Противоположные стороны четырёхугольника как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовпопарно параллельны, значит, он является параллелограммом по определению. Что и требовалось доказать.

Больше фигур хороших и разных:

Даны вершины четырёхугольника как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Доказать, что четырёхугольник как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовявляется трапецией.

Для более строгой формулировки доказательства лучше, конечно, раздобыть определение трапеции, но достаточно и просто вспомнить, как она выглядит.

Это задание для самостоятельного решения. Полное решение в конце урока.

А теперь пора потихонечку перебираться из плоскости в пространство:

Как определить коллинеарность векторов пространства?

Правило очень похоже. Для того чтобы два вектора пространства как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовбыли коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов.

Выяснить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:

а) как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов;
б) как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов
в) как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Решение:
а) Проверим, существует ли коэффициент пропорциональности для соответствующих координат векторов:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Система не имеет решения, значит, векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовне коллинеарны.

«Упрощёнка» оформляется проверкой пропорции как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов. В данном случае:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов– соответствующие координаты не пропорциональны, значит, векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовне коллинеарны.

Ответ: векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовне коллинеарны.

б-в) Это пункты для самостоятельного решения. Попробуйте его оформить двумя способами.

Существует метод проверки пространственных векторов на коллинеарность и через определитель третьего порядка, данный способ освещен в статье Векторное произведение векторов.

Аналогично плоскому случаю, рассмотренный инструментарий может применяться в целях исследования параллельности пространственных отрезков и прямых.

Добро пожаловать во второй раздел:

Линейная зависимость и независимость векторов трехмерного пространства.
Пространственный базис и аффинная система координат

Многие закономерности, которые мы рассмотрели на плоскости, будут справедливыми и для пространства. Я постарался минимизировать конспект по теории, поскольку львиная доля информации уже разжёвана. Тем не менее, рекомендую внимательно прочитать вводную часть, так как появятся новые термины и понятия.

Теперь вместо плоскости компьютерного стола исследуем трёхмерное пространство. Сначала создадим его базис. Кто-то сейчас находится в помещении, кто-то на улице, но в любом случае нам никуда не деться от трёх измерений: ширины, длины и высоты. Поэтому для построения базиса потребуется три пространственных вектора. Одного-двух векторов мало, четвёртый – лишний.

И снова разминаемся на пальцах. Пожалуйста, поднимите руку вверх и растопырьте в разные стороны большой, указательный и средний палец. Это будут векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, они смотрят в разные стороны, имеют разную длину и имеют разные углы между собой. Поздравляю, базис трёхмерного пространства готов! Кстати, не нужно демонстрировать такое преподавателям, как ни крути пальцами, а от определений никуда не деться =)

Далее зададимся важным вопросом, любые ли три вектора образуют базис трехмерного пространства? Пожалуйста, плотно прижмите три пальца к столешнице компьютерного стола. Что произошло? Три вектора расположились в одной плоскости, и, грубо говоря, у нас пропало одно из измерений – высота. Такие векторы являются компланарными и, совершенно очевидно, что базиса трёхмерного пространства не создают.

Следует отметить, что компланарные векторы не обязаны лежать в одной плоскости, они могут находиться в параллельных плоскостях (только не делайте этого с пальцами, так отрывался только Сальвадор Дали =)).

Определение: векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Здесь логично добавить, что если такой плоскости не существует, то и векторы будут не компланарны.

Три компланарных вектора всегда линейно зависимы, то есть линейно выражаются друг через друга. Для простоты снова представим, что они лежат в одной плоскости. Во-первых, векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовмало того, что компланарны, могут быть вдобавок ещё и коллинеарны, тогда любой вектор можно выразить через любой вектор. Во втором случае, если, например, векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовне коллинеарны, то третий вектор выражается через них единственным образом: как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов(а почему – легко догадаться по материалам предыдущего раздела).

Справедливо и противоположное утверждение: три некомпланарных вектора всегда линейно независимы, то есть никоим образом не выражаются друг через друга. И, очевидно, только такие векторы могут образовать базис трёхмерного пространства.

Определение: Базисом трёхмерного пространства называется тройка линейно независимых (некомпланарных) векторов как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, взятых в определённом порядке, при этом любой вектор пространства единственным образом раскладывается по данному базису как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, где как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов– координаты вектора как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовв данном базисе

Напоминаю, также можно сказать, что вектор как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовпредставлен в виде линейной комбинации базисных векторов.

Понятие системы координат вводится точно так же, как и для плоского случая, достаточно одной точки и любых трёх линейно независимых векторов:

Точка как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовпространства, которая называется началом координат, и некомпланарные векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, взятые в определённом порядке, задают аффинную систему координат трёхмерного пространства:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Конечно, координатная сетка «косая» и малоудобная, но, тем не менее, построенная система координат позволяет нам однозначно определить координаты любого вектора и координаты любой точки пространства. Аналогично плоскости, в аффинной системе координат пространства не будут работать некоторые формулы, о которых я уже упоминал.

Наиболее привычным и удобным частным случаем аффинной системы координат, как все догадываются, является прямоугольная система координат пространства:

Точка как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовпространства, которая называется началом координат, и ортонормированный базис как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовзадают декартову прямоугольную систему координат пространства. Знакомая картинка:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Перед тем, как перейти к практическим заданиям, вновь систематизируем информацию:

Для трёх векторов пространства эквивалентны следующие утверждения:
1) векторы линейно независимы;
2) векторы образуют базис;
3) векторы не компланарны;
4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга;
5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.

Противоположные высказывания, думаю, понятны.

Три вектора пространства как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю: как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов.

Обращаю внимание на небольшой технический нюанс: координаты векторов можно записывать не только в столбцы, но и в строки (значение определителя от этого не изменится – см. свойства определителей). Но гораздо лучше в столбцы, поскольку это выгоднее для решения некоторых практических задач.

Тем читателям, которые немножко позабыли методы расчета определителей, а может и вообще слабо в них ориентируются, рекомендую один из моих самых старых уроков: Как вычислить определитель?

Проверить, образуют ли базис трёхмерного пространства следующие векторы:

а) как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов
б) как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Решение: Фактически всё решение сводится к вычислению определителя.

а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов(определитель раскрыт по первой строке):
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, значит, векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовлинейно независимы (не компланарны) и образуют базис трёхмерного пространства.

Ответ: данные векторы образуют базис

б) Это пункт для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Встречаются и творческие задачи:

При каком значении параметра как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы вектороввекторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовбудут компланарны?

Решение: Векторы компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов равен нулю:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

По существу, требуется решить уравнение с определителем. Налетаем на нули как коршуны на тушканчиков – определитель выгоднее всего раскрыть по второй строке и сразу же избавиться от минусов:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Проводим дальнейшие упрощения и сводим дело к простейшему линейному уравнению:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Ответ: при как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Здесь легко выполнить проверку, для этого нужно подставить полученное значение как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовв исходный определитель и убедиться, что как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, раскрыв его заново.

В заключение рассмотрим ещё одну типовую задачу, которая носит больше алгебраический характер и традиционно включается в курс линейной алгебры. Она настолько распространена, что заслуживает отдельного топика:

Доказать, что 3 вектора образуют базис трёхмерного пространства
и найти координаты 4-го вектора в данном базисе

Даны векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Показать, что векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовобразуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовв этом базисе.

Решение: Сначала разбираемся с условием. По условию даны четыре вектора, и, как видите, у них уже есть координаты в некотором базисе. Какой это базис – нас не интересует. А интересует следующая вещь: три вектора как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы вектороввполне могут образовывать новый базис. И первый этап полностью совпадает с решением Примера 6, необходимо проверить, действительно ли векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовлинейно независимы:

Вычислим определитель, составленный из координат векторов как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, значит, векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовлинейно независимы и образуют базис трехмерного пространства.

! Важно: координаты векторов как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовобязательно записываем в столбцы определителя, а не в строки. Иначе будет путаница в дальнейшем алгоритме решения.

Теперь вспомним теоретическую часть: если векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовобразуют базис, то любой вектор как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовможно единственным способом разложить по данному базису: как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, где как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов– координаты вектора в базисе как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов.

Поскольку наши векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовобразуют базис трёхмерного пространства (это уже доказано), то вектор как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовможно единственным образом разложить по данному базису:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, где как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов– координаты вектора как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовв базисе как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов.

По условию и требуется найти координаты как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов.

Для удобства объяснения поменяю части местами: как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов. В целях нахождения как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовследует расписать данное равенство покоординатно:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

По какому принципу расставлены коэффициенты? Все коэффициенты левой части в точности перенесены из определителя как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, в правую часть записаны координаты вектора как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов.

Получилась система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Обычно её решают по формулам Крамера, часто даже в условии задачи есть такое требование.

Главный определитель системы уже найден:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, значит, система имеет единственное решение.

Дальнейшее – дело техники:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Таким образом:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов– разложение вектора как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовпо базису как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов.

Ответ: как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Более подготовленные читатели могут ознакомиться с уроком Переход к новому базису, и окончательно уяснить смысл прорешанной задачи. Кстати, с содержательной точки зрения использовать метод Крамера здесь – совсем не айс 😉

И, как я уже отмечал, задание носит алгебраический характер. Векторы, которые были рассмотрены – это не обязательно те векторы, которые можно нарисовать в пространстве, а, в первую очередь, произвольные векторы курса линейной алгебры. Для случая двумерных векторов можно сформулировать и решить аналогичную задачу – решение будет технически намного проще, и поэтому я прошёл мимо него в предыдущем параграфе.

Такая же задача с трёхмерными векторами для самостоятельного решения:

Даны векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Показать, что векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовобразуют базис и найти координаты вектора как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовв этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера.

Полное решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.

Аналогично можно рассмотреть четырёхмерное, пятимерное и т.д. векторные пространства, где у векторов соответственно 4, 5 и более координат. Для данных векторных пространств тоже существует понятие линейной зависимости, линейной независимости векторов, существует базис, в том числе, ортонормированный, разложение вектора по базису. Да, такие пространства невозможно нарисовать геометрически, но в них работают все правила, свойства и теоремы двух и трех мерных случаев – чистая алгебра.…Хотя, кто его знает, может быть и не чистая…, однако закругляемся – о философских вопросах меня уже пробивало поговорить в статье Частные производные функции трёх переменных, которая появилась раньше данного урока.

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Пример 2: Решение: составим пропорцию из соответствующих координат векторов:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов
Ответ: при как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Пример 4: Доказательство: трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
1) Проверим параллельность противоположных сторон как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторови как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов.
Найдём векторы:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов
Вычислим определитель, составленный из координат векторов как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, значит, данные векторы не коллинеарны и стороны как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовне параллельны.
2) Проверим параллельность противоположных сторон как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторови как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов.
Найдём векторы:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов
Вычислим определитель, составленный из координат векторов как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, значит, данные векторы коллинеарны и как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов.
Вывод: Две стороны четырёхугольника как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовпараллельны, а две другие стороны не параллельны, значит, он является трапецией по определению. Что и требовалось доказать.

Пример 5: Решение:
б) Проверим, существует ли коэффициент пропорциональности для соответствующих координат векторов:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов
Система не имеет решения, значит, векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовне коллинеарны.
Более простое оформление:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов– вторая и третья координаты не пропорциональны, значит, векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовне коллинеарны.
Ответ: векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовне коллинеарны.
в) Исследуем на коллинеарность векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Составим систему:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов
Соответствующие координаты векторов пропорциональны, значит как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов
Вот здесь как раз не проходит «пижонский» метод оформления.
Ответ: как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Пример 6: Решение: б) Вычислим определитель, составленный из координат векторов как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов(определитель раскрыт по первой строке):
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, значит, векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовлинейно зависимы и не образуют базиса трёхмерного пространства.
Ответ: данные векторы не образуют базиса

Пример 9: Решение: Вычислим определитель, составленный из координат векторов как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов
Таким образом, векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовлинейно независимы и образуют базис.
Представим вектор как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовв виде линейной комбинации базисных векторов:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов
Покоординатно:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов
Систему решим по формулам Крамера:
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов, значит, система имеет единственное решение.
как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Ответ: Векторы как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторовобразуют базис, как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть фото как найти какой нибудь базис системы векторов. Смотреть картинку как найти какой нибудь базис системы векторов. Картинка про как найти какой нибудь базис системы векторов. Фото как найти какой нибудь базис системы векторов «Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *