Гармонические колебания

На хабре было несколько статей по преобразованию Фурье и о всяких красивостях типа Цифровой Обработки Сигналов (ЦОС), но неискушённому пользователю совершенно не понятно, зачем всё это нужно и где, а главное как это применить.

АЧХ шума.

Лично мне после прочтения этих статей (например, этой ) не стало понятно, что это и зачем оно нужно в реальной жизни, хотя было интересно и красиво.
Хочется не просто поглядеть красивые картинки, а так сказать, ощутить нутром, что и как работает. И я приведу конкретный пример с генерацией и обработкой звуковых файлов. Можно будет и послушать звук, и поглядеть его спектр, и понять, почему это так.
Статья не будет интересна тем, кто владеет теорией функций комплексной переменной, ЦОС и прочими страшными темами. Она скорее для любопытствующих, школьников, студентов и им сочувствующих :).

Сразу оговорюсь, я не математик, и многие вещи могу даже сказать неправильно (поправляйте личным сообщением), и данную статью пишу, опираясь на собственный опыт и собственное понимание текущих процессов. Если вы готовы, то поехали.

Пару слов о матчасти

Если мы вспомним школьный курс математики, то для построения графика синуса мы использовали круг. В общем-то так и получается, что вращательное движение можно превратить в синусоиду (как и любое гармоническое колебание). Самое лучшая иллюстрация этого процесса приведена в википедии

Гармонические колебания

Т.е. фактически график синуса получается из вращения вектора, который описывается формулой:

где A — длина вектора (амплитуда колебаний), φ — начальный угол (фаза) вектора в нулевой момент времени, ω — угловая скорость вращения, которая равна:

ω=2 πf, где f — частота в Герцах.

Как мы видим, что зная частоту сигнала, амплитуду и угол, мы можем построить гармонический сигнал.

Магия начинается тогда, когда оказывается, что представление абсолютно любого сигнала можно представить в виде суммы (зачастую бесконечной) различных синусоид. Иначе говоря, в виде ряда Фурье.
Я приведу пример из английской википедии. Для примера возьмём пилообразный сигнал.

Пилообразный сигнал

Его сумма будет представлена следующей формулой:

Если мы будем по очерёдно суммировать, брать сначала n=1, затем n=2 и т.д., то увидим, как у нас гармонический синусоидальный сигнал постепенно превращается в пилу:

Наверное красивее всего это иллюстрирует одна программа, найденная мной на просторах сети. Выше уже говорилось, что график синуса является проекцией вращающегося вектора, а как же быть в случае более сложных сигналов? Это, как ни странно, проекция множества вращающихся векторов, а точнее их суммы, и выглядит это всё так:

Вектора рисуют пилу.

Вообще рекомендую сходить самим по ссылке и попробовать самим поиграться с параметрами, и посмотреть как меняется сигнал. ИМХО более наглядной игрушки для понимания я ещё не встречал.

Ещё следует заметить, что есть обратная процедура, позволяющая получить из данного сигнала частоту, амплитуду и начальную фазу (угол), которое называется Преобразование Фурье.

Разложение в ряд Фурье некоторых известных периодических функций (отсюда)

Я детально на нём останавливаться не буду, но покажу, как это можно применить по жизни. В списке литературы порекомендую то, где можно почитать подробнее о матчасти.

Переходим к практическим упражнениям!

Мне кажется, что каждый студент задаётся вопросом, сидя на лекции, например по матану: зачем мне весь этот бред? И как правило, не найдя ответа в обозримом будущем, к сожалению, теряет интерес к предмету. Поэтому я сразу покажу практическое применение данных знаний, а вы эти знания уже будете осваивать сами :).

Всё дальнейшее я буду реализовывать на сях. Делал всё, конечно, под Linux, но никакой специфики не использовал, по идее программа будет компилироваться и работать под другими платформами.

Для начала напишем программу для формирования звукового файла. Был взят wav-файл, как самый простой. Прочитать про его структуру можно тут.
Если кратко, то структура wav-файла описывается так: заголовок, который описывает формат файла, и далее идёт (в нашем случае) массив 16-ти битных данных (остроконечник) длиной: частота_дискретизации*t секунд или 44100*t штук.

Для формирования звукового файла был взят пример здесь. Я его немного модифицировал, исправил ошибки, и окончательная версия с моими правками теперь лежит на гитхабе тут

Сгенерируем двухсекундный звуковой файл с чистым синусом частотой 100 Гц. Для этого модифицируем программу таким образом:

Обращаю внимание, что формула чистого синуса соответствует той, о которой мы говорили выше. Амплитуда 32000 (можно было взять 32767) соответствует значению, которое может принимать 16-ти битное число (от минус 32767 до плюс 32767).

В результате получаем следующий файл (можно его даже послушать любой звуковоспроизводящей программой). Откроем данный файл audacity и увидим, что график сигнала в действительности соответствует чистому синусу:

Чистый ламповый синус

Поглядим спектр этого синуса (Анализ->Построить график спектра)

График спектра

Виден чистый пик на 100 Гц (логарифмический масштаб). Что такое спектр? Это амплитудно-частотная характеристика. Существует ещё фазочастотная характеристика. Если помните, выше я говорил, что для построения сигнала надо знать его частоту, амплитуду и фазу? Так вот, можно из сигнала получить эти параметры. В данном случае у нас график соответствий частот амплитуде, при чём амплитуда у нас не в реальных единицах, а в Децибелах.

Величина, выраженная в децибелах, численно равна десятичному логарифму безразмерного отношения физической величины к одноимённой физической величине, принимаемой за исходную, умноженному на десять.

В данном случае просто логарифм амплитуды, умноженный на 10. Логарифмический масштаб удобно использовать при работе с сигналами.

Мне, честно говоря, не очень нравится анализатор спектра в этой программе, поэтому я решил написать свой с блекджеком и шлюхами, тем более, что это несложно.

Пишем свой анализатор спектра

Здесь может быть скучно, поэтому можете перейти сразу к следующей главе.

Поскольку я прекрасно понимаю, что тут портянки кода размещать нет смысла, те, кому реально интересно — сами найдут и поковыряют, а тем, кому это неинтересно, будут скучать, то я остановлюсь только на основных моментах написания анализатора спектра wav-файла.

Во-первых, нам wav-файл необходимо читать. Там необходимо прочитать заголовок, чтобы понять, что содержит данный файл. Я не стал реализовывать море вариантов чтения данного файла, а остановился только на одном. Пример чтения файла был взят отсюда практически без изменений, ИМХО — отличный пример. Там же есть реализация на питоне.

Следующее, что нам нужно, это быстрое преобразование Фурье. Это то самое преобразование, которое позволяет получить из конечного набора точек вектора исходных сигналов. Пусть вас пока это не пугает, дальше я объясню.
Опять же, велосипед изобретать не стал, а взял готовый пример отсюда.

Я понимаю, что чтобы объяснить, как работает программа, надо объяснить, что такое быстрое преобразование Фурье, а это как минимум ещё на одну некислую статью.

Для начала алокируем массивы:

Скажу лишь, что в программе мы читаем данные в массив длиной size_array (которое берём из заголовка wav-файла).

Массив для быстрого преобразования Фурье должен представлять собой последовательность , где fft_size=1

Источник

Гармонический сигнал

Гармонический сигнал — это гармонические колебания со временем распространяющиеся в пространстве, которые несут в себе информацию или какие-то данные и описываются уравнением:

— фаза гармонического сигнала; — время; — циклическая частота сигнала;

Модель гармонического сигнала используется при разложении сигналов в тригонометрический ряд Фурье.

Источники

Полезное

Смотреть что такое «Гармонический сигнал» в других словарях:

гармонический сигнал — ; А амплитуда гармоничного сигнала; w круговая частота; j начальная фаза Примечание Периодический сигнал может быть образован путем периодического повторения импульсов. Соответствующие термины и определения для такого сигнала вводятся так же, как … Справочник технического переводчика

Гармонический сигнал — 1. Гармонический сигнал А амплитуда гармоничного сигнала; w круговая частота; j начальная фаза Источник: ГОСТ 16465 70: Сигналы радиотехнические измерительные. Термины и определения … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Контрольный гармонический сигнал — Сигнал, по которому устанавливается оптимальная загрузка радиопередатчика. Его уровень должен быть выше среднего уровня группового сигнала УПС в зависимости от значения пик фактора сигнала Источник: ГОСТ 24695 81: Устройства прео … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Сигнал (техника) — Сигнал в теории информации и связи называется материальный носитель информации, используемый для передачи сообщений по системе связи. Сигналом может быть любой физический процесс, параметры которого изменяются в соответствии с передаваемым… … Википедия

Сигнал — У этого термина существуют и другие значения, см. Сигнал (значения). Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшит … Википедия

Гармонический анализатор — вычислительное устройство для нахождения амплитуд гармоник сложных периодических функций (См. Периодическая функция). Применяются при динамических исследованиях кривошипно шатунных механизмов двигателей, для предварительной оценки влияния … Большая советская энциклопедия

Электрический сигнал — Сигнал это физический процесс, содержащий в себе некоторую информацию. На практике чаще всего используются электрические сигналы. При этом носителем информации является изменяющиеся во времени ток или напряжение в электрической цепи.… … Википедия

модулированный сигнал — Сигнал, мгновенные значения которого пропорциональны произведению мгновенных значений двух или более сигналов, взятых в один и тот же момент времени. Сигнал, являющийся результатом взаимодействия двух или более сигналов, называемого модуляцией.… … Справочник технического переводчика

Случайный сигнал — Случайные сигналы сигналы, мгновенные значения которых (в отличие от детерминированных сигналов) не известны, а могут быть лишь предсказаны с некоторой вероятностью, меньшей единицы. Характеристики таких сигналов являются статистическими, то есть … Википедия

непрерывный сигнал — 06.01.20 непрерывный сигнал [ continuous wave]: Непрерывный гармонический сигнал заданной частоты, поступающий от устройства считывания/опроса и обеспечивающий электропитание пассивной радиочастотной метки, не подвергнутый амплитудной и/или… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Источник

Классификация сигналов

Рис. 1.1.4. Классификация сигналов.

Классификация детерминированных сигналов. Обычно выделяют два класса детерминированных сигналов: периодические и непериодические.

Гармонические сигналы (или синусоидальные), описываются следующими формулами:

s(t) = A Ч sin (2 p f о t+ f ) = A Ч sin ( w о t+ f ),

s(t) = A Ч cos( w о t+ j ), (1.1.1)

Полигармонические сигналы составляют наиболее широко распространенную группу периодических сигналов и описываются суммой гармонических колебаний:

s(t) =A n sin (2 p f n t+ j n ), (1.1.2)

В качестве примера на рис. 1.1.6 приведен отрезок периодической сигнальной функции, которая получена суммированием постоянной составляющей (частота постоянной составляющей равна 0) и трех гармонических колебаний с разными значениями частоты и начальной фазы колебаний. Математическое описание сигнала задается формулой:

s(t) =A k Ч cos(2 Ч pЧ f k Ч t+ j k ),

Частотное представление данного сигнала (спектр сигнала) приведено на рис. 1.1.7. Обратим внимание, что частотное представление периодического сигнала s(t), ограниченного по числу гармоник спектра, составляет всего восемь отсчетов и весьма компактно по сравнению с временным представлением.

s(t) = (a k cos 2 p k D ft + b k sin 2 p k D ft), (1.1.3)

a o = (1/T)s(t) dt, a k = (2/T)s(t) cos 2 p k D ft dt, (1.1.4)

b k = (2/T)s(t) sin 2 p k D ft dt. (1.1.5)

Одночастотные косинусные и синусные гармоники можно объединить и представить разложение в более компактной форме:

s(t) = S k cos (2 p k D ft- j k ), (1.1.3′)

S k =, j k = argtg (b k /a k ). (1.1.6)

Рис. 1.1.8. Прямоугольный периодический сигнал (меандр).

Пример представления прямоугольного периодического сигнала (меандра) в виде амплитудного ряда Фурье в частотной области приведен на рис. 1.1.8. Сигнал четный относительно t=0, не имеет синусных гармоник, все значения j k для данной модели сигнала равны нулю.

— Текущее среднее значение за определенное время, например, за время периода:

(1/Т) s(t) dt.

— Постоянная составляющая одного периода:

(1/Т) s(t) dt.

— Среднее выпрямленное значение:

(1/Т) |s(t)| dt.

— Среднее квадратичное значение:

.

К непериодическим сигналам относят почти периодические и апериодические сигналы. Основным инструментом их анализа также является частотное представление.

Апериодические сигналы составляют основную группу непериодических сигналов и задаются произвольными функциями времени. На рис. 1.1.10 показан пример апериодического сигнала, заданного формулой на интервале (0, Ґ ):

где a и b – константы, в данном случае a = 0.15, b = 0.17.

Рис. 1.1.10. Апериодический сигнал и модуль спектра. Рис. 1.1.11. Импульсный сигнал и модуль спектра.

К апериодическим сигналам относятся также импульсные сигналы, которые в радиотехнике и в отраслях, широко ее использующих, часто рассматривают в виде отдельного класса сигналов. Импульсы представляют собой сигналы, как правило, определенной и достаточно простой формы, существующие в пределах конечных временных интервалов. Сигнал, приведенный на рис. 1.1.11, относится к числу импульсных.

Частотный спектр апериодических сигналов непрерывен и может содержать любые гармоники в частотном интервале [0, Ґ ]. Для его вычисления используется интегральное преобразование Фурье, которое можно получить переходом в формулах (1.1.3) от суммирования к интегрированию при D f ® 0 и k D f ® f.

s(t) =(a(f) cos 2 p ft + b(f) sin 2 p ft) df =S(f) cos(2 p ft- j (f)) df. (1.1.7)

a(f) = s(t) cos 2 p ft dt, b(f) = s(t) sin 2 p ft dt, (1.1.8)

S(f) =, j (f) = argtg (b(f)/a(f)). (1.1.9)

Частотные функции a(f), b(f) и S(f) представляют собой не амплитудные значения соответствующих гармоник на определенных частотах, а распределения спектральной плотности амплитуд этих гармоник по частотной шкале. Формулы (1.1.8-1.1.9) обычно называют формулами прямого преобразования Фурье, формулы (1.1.7) – обратного преобразования.

Если нас не интересует поведение сигнала за пределами области его задания [0, Т], то эта область может восприниматься, как один период периодического сигнала, т.е. значение Т принимается за фундаментальную частоту периодический колебаний, при этом для частотной модели сигнала может применяться разложение в ряды Фурье по области его задания (1.1.3-1.1.6).

В классе импульсных сигналов выделяют подкласс радиоимпульсов. Пример радиоимпульса приведен на рис. 1.1.12.

Уравнение радиоимпульса имеет вид :

s(t) = u(t) cos(2 p f o t+ j o ).

С энергетических позиций сигналы разделяют на два класса: с ограниченной (конечной) энергией и с бесконечной энергией.

Для сигналов с ограниченной энергией (иначе – сигналов с интегрируемым квадратом ) должно выполняться соотношение:

|s(t)| 2 dt

Как правило, к этому классу сигналов относятся апериодические и импульсные сигналы, не имеющие разрывов 2-го рода при ограниченном количестве разрывов 1-го рода. Любые периодические, полигармонические и почти периодические сигналы, а также сигналы с разрывами и особыми точками 2-го рода, уходящими в бесконечность, относятся к сигналам с бесконечной энергией. Для их анализа применяются специальные методы.

Иногда в отдельный класс выделяют сигналы конечной длительности, отличные от нуля только на ограниченном интервале аргументов (независимых переменных). Такие сигналы обычно называют финитными.

Классификация случайных сигналов. Случайным сигналом называют функцию времени, значения которой заранее неизвестны, и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью. Случайный сигнал отображает случайное физическое явление или физический процесс, причем зарегистрированный в единичном наблюдении сигнал не воспроизводится при повторных наблюдениях и не может быть описан явной математической зависимостью. При регистрации случайного сигнала реализуется только один из возможных вариантов (исходов) случайного процесса, а достаточно полное и точное описание процесса в целом можно произвести только после многократного повторения наблюдений и вычисления определенных статистических характеристик ансамбля реализаций сигнала. В качестве основных статистических характеристик случайных сигналов принимают:

а) закон распределения вероятности нахождения величины сигнала в определенном интервале значений;

б) спектральное распределение мощности сигнала.

Случайные сигналы подразделяют на стационарные и нестационарные. Случайные стационарные сигналы сохраняют свои статистические характеристики в последовательных реализациях случайного процесса. Что касается случайных нестационарных сигналов, то их общепринятой классификации не существует. Как правило, из них выделяют различные группы сигналов по особенностям их нестационарности.

Источник

Сигналы и их классификация. Описание во временной области.

БИЛЕТ №1

Классификация сигналов осуществляется на основании существенных признаков соответствующих математических моделей сигналов.Все сигналы разделяют на две крупных группы: детерминированные и случайные. Классификация сигналов внутри групп приведена на рис. 1.1.4.

Рис. 1.1.4. Классификация сигналов.

С математических позиций группы сигналов обычно называют множествами, в которые объединяют сигналы по какому-либо общему свойству. Принадлежность сигнала s к множеству L_Р записывается в виде L_P = , где Р – определенное свойство данного множества сигналов.

Классификация детерминированных сигналов. Обычно выделяют два класса детерминированных сигналов: периодические и непериодические.

Полигармонические сигналы составляют наиболее широко распространенную группу периодических сигналов и описываются суммой гармонических колебаний:

s(t) = A_n sin (2pf_nt+j_n),

К непериодическим сигналам относят почти периодические и апериодические сигналы. Основным инструментом их анализа также является частотное представление.

Почти периодические сигналы близки по своей форме к полигармоническим. Они также представляют собой сумму двух и более гармонических сигналов (в пределе – до бесконечности), но не с кратными, а с произвольными частотами, отношения которых (хотя бы двух частот минимум) не относятся к рациональным числам, вследствие чего фундаментальный период суммарных колебаний бесконечно велик.

Апериодические сигналы составляют основную группу непериодических сигналов и задаются произвольными функциями времени.

С энергетических позиций сигналы разделяют на два типа: с ограниченной (конечной) энергией и с бесконечной энергией.

С позиций временной динамикисигналы подразделяются на стационарные и нестационарные. Стационарными называются сигналы, частотный спектр которых не изменяется во времени и не зависит от интервала задания сигналов. К ним относятся периодические и почти периодические сигналы. Большинство практических сигналов являются нестационарными на достаточно больших интервалах задания, но могут содержать в своем составе стационарные частотные составляющие. Так, модулированные сигналы радио и телевидения относятся к числу нестационарных, но имеют стационарные несущие частоты.

Классификация случайных сигналов. Случайным сигналом называют функцию времени, значения которой заранее неизвестны, и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью. Случайный сигнал отображает случайное физическое явление или физический процесс, причем, зарегистрированный в единичном наблюдении.

Случайные сигналы подразделяют на стационарные и нестационарные. Случайные стационарные сигналы сохраняют свои статистические характеристики в последовательных реализациях случайного процесса. Что касается случайных нестационарных сигналов, то их общепринятой классификации не существует. Как правило, из них выделяют различные группы сигналов по особенностям их нестационарности.

Источник