к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Правило Крамера. Метод обратной матрицы

Представляю Вашему вниманию вторую часть урока Как решить систему линейных уравнений? В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Настоятельно рекомендую скачать программу для автоматизированного решения систем по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Всегда приятно знать правильный ответ заранее, более того, программа позволит сразу обнаружить ошибку по ходу решения задачи, что значительно сэкономит время!

Решение системы по формулам Крамера

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

На первом шаге вычислим определитель к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление, его называют главным определителем системы.

Если к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление, то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление, то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставлениеи к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление.

Корни уравнения находим по формулам:
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление, к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Решить систему линейных уравнений
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Решение: Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление, значит, система имеет единственное решение.

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление;
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление;
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Ответ: к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление, к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление, значит, система имеет единственное решение». В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставлениев левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Решить систему по формулам Крамера. Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Находим главный определитель системы:
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Если к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление, то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление, то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление, к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление, к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставлениепоследовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Решить систему по формулам Крамера.
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Решение: Решим систему по формулам Крамера.
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление, значит, система имеет единственное решение.

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Ответ: к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление.

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление.
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие. Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление
Здесь в первом уравнении отсутствует переменная к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление, во втором – переменная к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Решить систему по формулам Крамера.
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Решить систему с матричным методом
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Решение: Запишем систему в матричной форме:
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление, где к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставлениенужно было бы поставить нули.

Решение системы найдем по формуле к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление(её подробный вывод можно посмотреть в статье Матричные уравнения).

Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставлениеи выполнить матричное умножение к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Алгоритм нахождения обратной матрицы подробно разобран на уроке Как найти обратную матрицу?

Обратную матрицу найдем по формуле:
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление, где к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление.

Сначала разбираемся с определителем:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление, то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление
То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставлениенаходится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставлениенаходится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее).

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление– матрица миноров соответствующих элементов матрицы к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление.

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление– матрица алгебраических дополнений.

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Повторюсь, выполненные шаги мы подробно разбирали на уроке Как найти обратную матрицу?

Теперь записываем обратную матрицу:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Ни в коем случае не вносим к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставлениев матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления. Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления.

Осталось провести матричное умножение. Умножать матрицы можно научиться на уроке Действия с матрицами. Кстати, там разобран точно такой же пример.

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь.
Иногда может и не разделиться нацело, т.е. могут получиться «плохие» дроби. Что в таких случаях делать, я уже рассказал, когда мы разбирали правило Крамера.

Ответ: к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Решить систему с помощью обратной матрицы.
к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Наиболее универсальным способом решения системы является метод исключения неизвестных (метод Гаусса). Доступно объяснить алгоритм не так-то просто, но я старался!.

Пример 3: к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Пример 6: к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Пример 8: к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление, к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Вы можете посмотреть или скачать образец решения данного примера (ссылка ниже).

Примеры 10, 12: к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление «Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник

Разбираемся в решении линейных уравнениях раз и навсегда

Одной из наиболее важных тем курса алгебры является решение систем линейных уравнений. Давайте узнаем, как научиться с ними расправляться разными методами.

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется объединение n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Отметим, что не всегда количество неизвестных будет совпадать с количеством уравнений в системе, но системы такого уровня рассматриваются в старшей школе. В данной статье речь пойдёт о системах двух уравнений с двумя переменными, за исключением пункта «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса», где мы рассмотрим систему с тремя переменными. Вот несколько методов решения систем линейных уравнений.

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Решение системы линейных уравнений методом подстановки («школьный метод»)

Метод подстановки знаком из курса школьной математики, его изучают в 7 классе. Это самый лёгкий способ решения систем линейных уравнений. Его алгоритм достаточно прост и заключается в следующем:

Для примера применим данный метод решения к следующей системе уравнений:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Согласно первому пункту алгоритма решения СЛАУ нужно выразить одну переменную через другую. В данном случае удобно из второго уравнения системы выразить переменную y через переменную x:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Далее подставим переменную y, выраженную через x, в первое уравнение системы. Получим:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Тогда можно записать систему уравнений, равносильную первой:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Раскроем скобки и приведём первое уравнение системы к следующему виду:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Теперь найдём значение y, подставив значение переменной x в выражение для второй переменной:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Применив данный метод к рассматриваемой системе линейных уравнений, мы нашли пару чисел (7;3), являющуюся её решением.

Изучайте математику вместе с преподавателями домашней онлайн-школы «Фоксфорда». Выберите класс и получите неделю бесплатного доступа к курсу алгебры по промокоду ALGEBRA2021: 7 класс, 8 класс, 9 класс, 10 класс.

Решение системы линейных уравнений методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы

Суть данного метода состоит в избавлении от одной из переменных в системе уравнений, алгоритм метода достаточно простой:

В качестве примера решим систему уравнений:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

методом почленного сложения (вычитания). Здесь будет достаточно просто «избавиться» от переменной y. Для этого почленно умножим обе части первого уравнения системы на 2:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

получим равносильную систему уравнений:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Теперь прибавим к левой части первого уравнения левую часть второго уравнения, а к правой части первого уравнения — правую часть второго. В итоге получим уравнение вида:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Решим это уравнение относительно единственной переменной:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Подставим найденное значение в первое уравнение исходной системы и найдём значение y:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Итак, пара чисел (4;3) является решением системы линейных уравнений с двумя переменными. Данное решение было получено методом сложения.

Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера

Чтобы решить систему линейных уравнений методом Крамера, нужно познакомиться с понятием определителя.

Определение

Определителем системы называют запись чисел в квадратной таблице, в соответствие которой ставится число по некоторому правилу.

Давайте познакомимся с этим правилом. Пусть даны четыре числа a, b, c, d. Пусть они имеют следующее расположение в квадратной таблице:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Значение определителя системы в этом случае находится по формуле:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Определитель, составленный из коэффициентов при переменных в линейной системе уравнений, называется главным определителем системы. Будем обозначать его Δ. Например, у рассмотренной выше системы уравнений:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

главный определитель будет иметь вид:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Найдём его значение:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Для решения системы линейных уравнений методом Крамера нам понадобятся ещё два определителя, которые называются вспомогательными:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Отметим, что в данные определители уже входят правые части каждого уравнения системы. Так, в определитель Δₓ первым столбцом записываем правые части уравнений (так называемые свободные члены уравнений), второй столбец оставляем таким же, как в главном определителе системы. В определитель Δу вторым столбцом записываем правые части уравнений, а первый столбец оставляем таким же, как в главном определителе системы.

Итак, формулы Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Отметим, что данный метод решения СЛАУ можно применять лишь в тех случаях, когда Δ ≠ 0.

Убедимся в том, что данные формулы работают, подставив в них ранее найденные значения определителей:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Пара чисел (4;3) действительно является решением данной системы уравнений.

Обобщим алгоритм нахождения решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом Крамера. Пусть дана система линейных уравнений:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Матрицей системы линейных уравнений называется таблица, составленная из коэффициентов при переменных. Так, для системы вида:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

матрицей A является:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Столбцом свободных коэффициентов будем называть

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

а столбцом переменных —

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Тогда систему уравнений можно переписать в виде:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Поясним, как происходит умножение матрицы на столбец. В матрице A есть строки: (а₁₁, а₁₂) и (а₂₁, а₂₂) а также столбцы (а₁₁, а₂₁) и (а₁₂, а₂₂).

При умножении матрицы на столбец X получается столбец, а само умножение происходит по следующему правилу:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Рассмотрим алгоритм поиска обратной матрицы:

1) вычислить определитель матрицы A:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

2) записать матрицу миноров M. Для этого нужно просто переставить числа в матрице A следующим образом:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

3) записать матрицу алгебраических дополнений А ͙. Для этого необходимо лишь поменять знаки коэффициентов а₁₂ и а₂₁ в матрице миноров M, в результате чего получим:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

записать матрицу, транспонированную к матрице алгебраических дополнений:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

найти обратную матрицу А⁻¹, разделив каждый элемент матрицы Аᵀ ͙ на значение определителя матрицы A, то есть

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Для нахождения неизвестных нужно полученную обратную матрицу А⁻¹ умножить на столбец свободных коэффициентов:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Поясним всё на примере решения системы линейных уравнений с двумя переменными:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

столбец свободных коэффициентов:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Следуя алгоритму решения СЛАУ, найдём обратную матрицу А⁻¹:

1) определитель матрицы A равен

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

3) матрица алгебраических дополнений:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

4) матрица, транспонированная к матрице алгебраических дополнений:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

5) обратная матрица:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Теперь умножим найденную обратную матрицу на столбец свободных коэффициентов:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Пара чисел (1;2) является решением данной системы уравнений.

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Этот метод позволяет достаточно легко находить решения систем линейных уравнений, в которых более двух уравнений и неизвестных. По сути, этот метод является обобщением метода подстановки. Итак, как можно решить систему линейных уравнений? Рассмотрим этот способ на примере системы трёх уравнений с тремя неизвестными.

На первом этапе решения систему уравнений необходимо привести к трапециевидной форме, которая выглядит следующим образом:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Для этого нужно провести несложные линейные преобразования с коэффициентами расширенной матрицы системы. Расширенная матрица системы отличается от матрицы системы лишь тем, что она содержит ещё и столбец правых частей уравнений, который записывается справа. Преобразования включают в себя сложение или вычитание строк матрицы, а также умножение элементов строки на число.

Применим данный метод к системе линейных уравнений с тремя переменными:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Расширенная матрица A данной системы принимает вид:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Проводя преобразования строк, нужно добиться того, чтобы в третьей строке расширенной матрицы на первом и втором местах были нули, а во второй строке — нуль на первом месте (возможно, при этом во второй строке будет ещё нуль и на третьем месте).

Вначале вычтем из второй строки матрицы первую строку, умноженную на два, в результате во второй строке окажется два нуля. Затем вычтем из третьей строки первую строку, умноженную на три, в результате чего в третьей строке окажется только один ноль:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

С одной стороны, можно остановиться на данном этапе, поменять вторую и третью строку местами, решить систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

С другой стороны, следуя алгоритму решения системы уравнений, необходимо вычесть из третьей строки расширенной матрицы вторую строку и получить два нуля в последней строке матрицы:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Это позволит перейти к решению ещё более простой системы линейных уравнений:

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Итак, решение системы линейных уравнений методом Гаусса: x = 1, y = 2, z = 3.

Заключение

В этой статье мы разобрали следующие основные способы решения систем линейных уравнений:

Надеемся, что теперь вы сможете без труда справиться с любым линейным уравнением.

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

У нас вы сможете учиться в удобном темпе, делать упор на любимые предметы и общаться со сверстниками по всему миру.

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставлениек каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставлениеПопробовать бесплатно

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Интересное по рубрике

Найдите необходимую статью по тегам

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Подпишитесь на нашу рассылку

Мы в инстаграм

Домашняя онлайн-школа
Помогаем ученикам 5–11 классов получать качественные знания в любой точке мира, совмещать учёбу со спортом и творчеством

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставлениеПосмотреть

Рекомендуем прочитать

Реальный опыт семейного обучения

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Звонок по России бесплатный

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Смотреть картинку к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Картинка про к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление. Фото к каким слау применим метод обратной матрицы и метод крамера сопоставление

Посмотреть на карте

Если вы не нашли ответ на свой вопрос на нашем сайте, включая раздел «Вопросы и ответы», закажите обратный звонок. Мы скоро свяжемся с вами.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *