что такое условная вероятность события

Условная вероятность. Формула Байеса

Условная вероятность. Формула Байеса

Условная вероятность является одним из важнейших понятий теории вероятностей.

Условная вероятность — вероятность наступления события А при условии, что событие В произошло.

Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В уже произошло, обозначается что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события.

Прежде чем привести формулу, позволяющую вычислить условную вероятность, проиллюстрируем это понятие с помощью кругов Эйлера:

что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события

Пусть для некоторого эксперимента красный круг обозначает множество всех возможных исходов. Зеленый круг обозначает множество исходов, благоприятствующих событию что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, синий круг обозначает множество исходов, благоприятствующих событию что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, область, лежащая в пересечении этих кругов обозначает множество исходов, благоприятствующих обоим событиям что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияи что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, обозначим его что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события.

Как мы знаем, вероятностью события называется отношение числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов.

что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события

То есть вероятность события показывает, какую часть благоприятные исходы составляют от всех возможных исходов.

Если мы вычисляем вероятность события что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияв предположении, что событие что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияуже произошло (то есть условную вероятность), то в этом случае для нас множество исходов, благоприятствующих событию событию что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияокажется множеством всех возможных исходов, а благоприятными исходами будут те исходы, которые при этом еще благоприятствуют событию что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события. То есть нам нужно найти, какую часть число исходов, благоприятствующих событиям что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияи что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событиясоставляет от числа исходов, благоприятствующих событию что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события.

Пусть что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, где что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события— число исходов, благоприятствующих событию что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события— число всех возможных исходов. ( В нашей иллюстрации что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события— число элементов множества что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события)

Пусть что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, где что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события— число исходов, благоприятствующих событию что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события— число всех возможных исходов. ( В нашей иллюстрации что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события— число элементов множества что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события)

Пусть что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, где что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события— число исходов, благоприятствующих событиям что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияи что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события— число всех возможных исходов. ( В нашей иллюстрации что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события— число элементов множества что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, которое является пересечением множеств что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияи что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события).

Тогда что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события

Но по определению условной вероятности что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, следовательно

что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события(1)

Заметим, что аналогично получим формулу для нахождения вероятности наступления события что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияпри условии, что событие что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияпроизошло:

что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события(2)

Очевидно, что что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события

Формулы (1) и (2) для нахождения условной вероятности по сути одна и та же формула, это и есть формула Байеса.

Рассмотрим примеры задач на условную вероятность.

Пример 1. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

В задаче описана следующая ситуация: при производстве посуды часть тарелок имеют дефект. Но контроль качества отбраковывает не все дефектные тарелки, а только 80% из них, остальные (20%) поступают в продажу.

Нам нужно найти вероятность того, что что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. То есть нас интересует какая часть из всех тарелок, которые поступили в продажу, не имеют дефекта.

Нарисуем дерево вероятностей:

что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события

Красными веточками обозначены тарелки, которые поступили в продажу. Это тарелки без дефектов (они составляют 0,9 от всех тарелок) и тарелки с дефектами, которые пропустила система контроля. Их что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияот всех тарелок.

Таким образом, вероятность того, что тарелка поступила в продажу равна что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события. При этом вероятность того, что тарелка не имеет дефектов равна что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события.

Следовательно, вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов равна что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события

40% пакетов с молоком производят на молочном комбинате в Л., а остальные на молокозаводе в С. Известно, что в среднем 3% пакетов, поступивших в продажу протекают, а среди пакетов, изготовленных в Л. протекают в среднем 5%.

а) Найдите вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С.

б) Найдите вероятность того, что пакет, изготовленный на заводе в С протекает.

Решение. Нам нужно найти вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С. То есть нам нужно найти, какая часть из всех протекающих пакетов изготовлена на заводе в С. По условию задачи всего протекает 3%, то есть 0,03 часть всех пакетов. Пусть среди пакетов, изготовленных на заводе в С. протекает что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события%.

Нарисуем дерево вероятностей:

что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события

Красными веточками обозначены пакеты, которые протекают. При этом на заводе в Л. изготовлено что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событиявсех протекающих пакетов. На заводе в С. изготовлено что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияот всех протекающих пакетов.

Получаем что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, отсюда что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события. То есть вероятность того, что пакет, изготовленный на заводе в С. протекает, равна что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события. Получим, что на заводе в С. изготовлено что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияот всех протекающих пакетов. Это число мы могли бы получить, если бы из части всех протекающих пакетов (0,03) вычли бы часть протекающих пакетов, изготовленных на заводе в Л. (0,02). (Мы бы так и поступили, если бы нужно было бы ответить только на п. а) задачи)

Тогда вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С. равна что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события.

Ответ: а) что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, б) что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №34. Условная вероятность. Независимость событий.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— Совместные и несовместные события

— Схема решения задач на вычисление условной вероятности события;

— Задачи на определение независимости событий.

Совместные события – события, одновременное появление которых возможно.

Несовместные события – события, одновременное появление которых невозможно.

События являются независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от появления остальных событий рассматриваемого множества событий.

Событие В называется зависимым, если вероятность P(B) зависит от появления или непоявления события А. Вероятность события В, вычисленная в предположении того, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью наступления события В и обозначается PA(B).

Условная вероятность – вероятность наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014. с. 186-194.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Иногда нам требуется выяснить вероятность совместного появления зависимых событий. Самый простой пример – найти вероятность получить выигрышную комбинацию в азартной карточной игре, где вероятность выпадения каждой новой карты зависит от того, какие карты уже лежат на столе.

Рассмотрим примерную задачу:

Из колоды карт извлекают четыре карты. Первые две оказались семёрками. Какова вероятность, что одна или обе оставшиеся карты окажутся семёрками? (колода содержит 36 карт)

События называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример совместных событий: выпадение чётного числа и выпадение числа, кратного трём, при броске игрального кубика. Когда выпадает шесть, реализуются сразу оба события.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример несовместных событий: выпадение чётного числа и выпадение нечётного числа при броске игрального кубика.

Теорема о сумме двух событий:

Вероятность суммы любых двух событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления: Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

В лотерее выпущено 10 000 билетов, из них: 10 выигрышей по 200 рублей, 100 выигрышей по 100 рублей, 500 выигрышей по 50 рублей и 1000 выигрышей по 10 рублей. Какова вероятность того, что человек, купивший билет, выиграет не менее 50 рублей?

Воспользуемся теоремой: Р(М)=Р(А)+Р(В)+Р(С)=0,061.

Дана вероятность исходного события. Чему равна вероятность противоположного события?

Вероятность исходного события А обозначим Р(А). Вероятность противоположного события Р(Ᾱ).

События А и Ᾱ образуют полную группу событий, вероятность которой равна 1.

Тогда вероятность противоположного события находится по формуле:

Например, монета брошена два раза.

Вероятность появления «Орла» во втором испытании не зависит от результата первого испытания.

Теорема умножения вероятностей независимых событий: вероятность совместного появления независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий:

Подбрасываются две монеты. Найдите вероятность выпадения двух орлов.

Введем обозначение событий:

A1– на 1-й монете выпадет орёл;

A2– на 2-й монете выпадет орёл.

Событие “выпадение двух орлов” заключается в том, что на 1-й монете появится орёл и на 2-й монете появится орёл, следовательно, это произведение событий A1A2. Вероятность выпадения орла на одной монете не зависит от результата броска другой монеты, следовательно, события A1 и A2 независимы. По теореме умножения вероятностей независимых событий получим:

Отыскать вероятность совместного появления зависимых событий помогает теорема умножения вероятностей зависимых событий: вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло: P(AB) = P(A)·PA(B).

Связь теории вероятностей с теорией множеств.

В математике принято устанавливать связи между различными разделами. Связь между теорией вероятностей и теорией множеств устанавливается следующим образом: события отождествляются с множествами. В таком случае понятию исход будет эквивалентно понятие элемент множества. При таком подходе выберите из списка, какому понятию из теории множеств соответствует данное понятие из теории вероятностей:

— Невозможное событие (подмножество, бесконечное множество, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств, декартово произведение множеств)

— Сумма событий (подмножество, бесконечное множество, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств, декартово произведение множеств)

— Произведение событий (подмножество, бесконечное множество, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств, декартово произведение множеств)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. В урне 6 черных, 5 красных и 4 белых шара. Последовательно извлекают три шара без возврата. Найдите вероятность того, что первый шар окажется черным, второй – красным и третий – белым.

А – первый шар окажется черным

что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события.

2. Колю отпускают гулять при условии сделанных уроков с вероятностью 0,8. Папа выдает ему деньги на мороженое с вероятностью 0,6. С какой вероятностью Коля пойдет гулять без мороженого?

A – папа выдал Коле денег на мороженое

B – Колю отпустили гулять

Вероятность того, что Коля пойдёт гулять, есть в условии задачи P(B) = 0,8. Вероятность, что папа не выдаст ему деньги на мороженое, равна P(Ᾱ) = 1 – P(A) = 1 – 0,6 = 0,4. Вероятность одновременного осуществления двух независимых событий – произведение их вероятностей P(ᾹB) = P(Ᾱ)·P(B) = 0,8·0,4 = 0,32.

Источник

Зависимые события и условная вероятность

На предыдущем уроке мы ознакомились с основными теоремами сложения и умножения вероятностей, а также научились решать типовые задачи с независимыми событиями, и сейчас последует гораздо более интересное продолжение, которое позволит не только освоить новый материал, но и, возможно, окажет практическую житейскую помощь.

Кратко повторим, что такое независимость событий: события что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияи что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияявляются НЕзависимыми, если вероятность любого из них не зависит от появления либо непоявления другого события. Простейший пример – подбрасывание двух монет. Вероятность выпадения орла либо решки на одной монете никак не зависит от результата броска другой монеты.

Понятие зависимости событий вам тоже знакомо и настал черёд заняться ими вплотную.

Сначала рассмотрим традиционный набор, состоящий из двух событий: событие что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияявляется зависимым, если помимо случайных факторов его вероятность зависит от появления либо непоявления события что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события. Вероятность события что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, вычисленная в предположении того, что событие что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияуже произошло, называется условной вероятностью наступления события что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияи обозначается через что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события. При этом события что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияи что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияназывают зависимыми событиями (хотя, строго говоря, зависимо только одно из них).

Из колоды в 36 карт последовательно извлекаются 2 карты. Найти вероятность того, что вторая карта окажется червой, если до этого:

а) была извлечена черва;
б) была извлечена карта другой масти.

Решение: рассмотрим событие: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вторая карта будет червой. Совершенно понятно, что вероятность этого события зависит от того, черву или не черву вытянули ранее.

а) Если сначала была извлечена черва (событие что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события), то в колоде осталось 35 карт, среди которых теперь находится 8 карт червовой масти. По классическому определению:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что вторая карта окажется червой при условии, что до этого тоже была извлечена черва.

б) Если же сначала была извлечена карта другой масти (событие что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события), то все 9 черв остались в колоде. По классическому определению:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что вторая карта окажется червой при условии, что до этого была извлечена карта другой масти.

Всё логично – если вероятность извлечения червы из полной колоды составляет что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, то при извлечении следующей карты аналогичная вероятность изменится: в первом случае – уменьшится что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события(т.к. черв стало меньше), а во втором – возрастёт: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события(т.к. все червы остались в колоде).

Ответ: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события

Зависимых событий, разумеется, может быть и больше. Пока задача не остыла, добавим ещё одно: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– третьей картой будет извлечена черва. Предположим, что произошло событие что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, а затем событие что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события; тогда в колоде осталось 34 карты, среди которых 7 черв. По классическому определению:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность наступления события что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияпри условии, что до этого были извлечены две червы.

Для самостоятельной тренировки:

В конверте находится 10 лотерейных билетов, среди которых 3 выигрышных. Из конверта последовательно извлекаются билеты. Найти вероятности того, что:

а) 2-й извлечённый билет будет выигрышным, если 1-й был выигрышным;
б) 3-й будет выигрышным, если предыдущие два билета были выигрышными;
в) 4-й будет выигрышным, если предыдущие билеты были выигрышными.

Краткое решение с комментариями в конце урока.

А теперь обратим внимание на один принципиально важный момент: в рассмотренных примерах требовалось найти лишь условные вероятности, при этом предыдущие события считались достоверно состоявшимися. Но ведь в действительности и они являются случайными! Так, в «разогретой» задаче извлечение червы из полной колоды – есть событие случайное, вероятность которого равна что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события.

На практике гораздо чаще требуется отыскать вероятность совместного появления зависимых событий. Как, например, найти вероятность события что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, состоящего в том, что из полной колоды будет извлечена черва и затем ещё одна черва? Ответ на этот вопрос даёт

теорема умножения вероятностей зависимых событий: вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события

В нашем случае:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что из полной колоды будут извлечены 2 червы подряд.

Аналогично:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что сначала будет извлечена карта другой масти и затем черва.

Вероятность события что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияполучилась заметно больше вероятности события что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, что, в общем-то, было очевидно безо всяких вычислений.

И, само собой, не нужно питать особых надежд, что из конверта с десятью лотерейными билетами (Задача 2) вы вытяните 3 выигрышных билета подряд:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, впрочем, это ещё щедрый шанс.

Да, совершенно верно – теорема умножения вероятностей зависимых событий естественным образом распространяется и на бОльшее их количество.

Закрепим материал несколькими типовыми примерами:

В урне 4 белых и 7 черных шаров. Из урны наудачу один за другим извлекают два шара, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что:

а) оба шара будут белыми;
б) оба шара будут чёрными;
в) сначала будет извлечён белый шар, а затем – чёрный.

Обратите внимание на уточнение «не возвращая их обратно». Этот комментарий дополнительно подчёркивает тот факт, что события зависимы. Действительно, а вдруг извлечённые шары возвращают обратно? В случае возвратной выборки вероятности извлечения чёрного и белого шара меняться не будут, а в такой задаче уже следует руководствоваться теоремой умножения вероятностей НЕзависимых событий.

Решение: всего в урне: 4 + 7 = 11 шаров. Поехали:

а) Рассмотрим события что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– первый шар будет белым, что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– второй шар будет белым и найдём вероятность события что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, состоящего в том, что 1-й шар будет белым и 2-й белым.

По классическому определению вероятности: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события. Предположим, что белый шар извлечён, тогда в урне останется 10 шаров, среди которых 3 белых, поэтому:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность извлечения белого шара во 2-м испытании при условии, что до этого был извлечён белый шар.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что оба шара будут белыми.

б) Найдём вероятность события что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, состоящего в том, что 1-й шар будет чёрным и 2-й чёрным

По классическому определению: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что в 1-м испытании будет извлечён чёрный шар. Пусть извлечён чёрный шар, тогда в урне останется 10 шаров, среди которых 6 чёрных, следовательно: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что во 2-м испытании будет извлечён чёрный шар при условии, что до этого был извлечен чёрный шар.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что оба шара будут чёрными.

в) Найдём вероятность события что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события(сначала будет извлечён белый шар и затем чёрный)

После извлечения белого шара (с вероятностью что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события) в урне останется 10 шаров, среди которых 3 белых и 7 чёрных, таким образом: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что во 2-м испытании будет извлечён чёрный шар при условии, что до этого был извлечен белый шар.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– искомая вероятность.

Ответ: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события

Данную задачу нетрудно проверить через теорему сложения вероятностей событий, образующих полную группу. Для этого найдём вероятность 4-го недостающего события: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– того, что сначала будет извлечён чёрный шар и затем белый.

События что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияобразуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей должна равняться единице:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события,что и требовалось проверить.

И сразу же предлагаю проверить, насколько хорошо вы усвоили изложенный материал:

Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут извлечены два туза подряд?

В урне 6 черных, 5 красных и 4 белых шара. Последовательно извлекают три шара. Найти вероятность того, что

а) третий шар окажется белым, если до этого был извлечён черный и красный шар;
б) первый шар окажется черным, второй – красным и третий – белым.

Решения и ответы в конце урока.

Надо сказать, что многие из рассматриваемых задач разрешимы и другим способом, но чтобы не возникло путаницы, пожалуй, вообще о нём умолчу.

Наверное, все заметили, что зависимые события возникают в тех случаях, когда осуществляется некоторая цепочка действий. Однако сама по себе последовательность действий ещё не гарантируют зависимость событий. Пусть, например, студент наугад отвечает на вопросы какого-нибудь теста – данные события хоть и происходят одно за другим, но незнание ответа на один вопрос никак не зависит от незнания других ответов =) Хотя, закономерности тут, конечно, есть =) Тогда совсем простой пример с неоднократным подбрасыванием монеты – сей увлекательный процесс даже так и называется: повторные НЕзависимые испытания.

Я как мог, старался отсрочить этот момент и подбирать разнообразные примеры, но если в задачах на теорему умножения независимых событий хозяйничают стрелки, то здесь происходит самое настоящее нашествие урн с шарами =) Поэтому никуда не деться – снова урна:

Из урны, в которой находится 6 белых и 4 черных шара, извлекаются наудачу один за другим три шара. Найти вероятность того, что:

а) все три шара будут черными;
б) будет не меньше двух шаров черного цвета.

Решение: всего: 6 + 4 = 10 шаров в урне.

Событий в данной задаче будет многовато, и в этой связи целесообразнее использовать смешанный стиль оформления, обозначая прописными латинскими буквами только основные события. Надеюсь, вы уже поняли, по какому принципу подсчитываются условные вероятности.

а) Рассмотрим событие: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– все три шара будут черными.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события

б) Второй пункт интереснее, рассмотрим событие: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– будет не меньше двух шаров черного цвета. Данное событие состоит в 2 несовместных исходах: либо все шары будут чёрными (событие что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события) либо 2 шара будут чёрным и 1 белым – обозначим последнее событие буквой что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события.

Событие что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событиявключается в себя 3 несовместных исхода:

в 1-м испытании извлечён белый и во 2-м и в 3-м испытаниях – чёрные шары
или
в 1-м испытании извлечён ЧШ и во 2-м – БШ и в 3-м – ЧШ
или
в 1-м испытании извлечён ЧШ и во 2-м – ЧШ и в 3-м – БШ.

По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей зависимых событий:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что среди трёх последовательно извлеченных шаров будет 2 чёрных и 1 белый шар.

На всякий случай озвучу примерный ход рассуждений при конструировании, например, произведения что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события:
«в 1-м испытании с вероятностью что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияизвлекается ЧШ, после чего в урне останется 9 шаров, среди которых 6 белых и 3 чёрных. И во 2-м испытании с вероятностью что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияизвлекается БШ, после чего в урне останется 8 шаров, среди которых 5 белых и 3 чёрных. И, наконец, в 3-м испытании с вероятностью что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событиябудет снова извлечён ЧШ»

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что среди трёх последовательно извлеченных шаров будет не менее двух черных.

Ответ: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события

Вы просто не сможете от этого отказаться =):

Из 20 экзаменационных билетов 3 содержат простые вопросы. Пять студентов по очереди берут билеты. Найти вероятность того, что хотя бы одному из них достанется билет с простыми вопросами

А почему бы и нет? Ситуация более чем реалистичная: представьте, начался экзамен, в аудиторию пригласили 5 человек. Проведите самостоятельное исследование – какова вероятность того, что хоть кому-то из этих пяти добровольцев повезёт с билетом?

К вопросу о тактике и стратегии сдачи экзамена мы вернёмся в конце статьи, а пока рассмотрим ещё одну стандартную задачу о перекладывании шаров из урны в урну:

В первой урне содержится 12 шаров, из них 7 белых, во второй – 6 шаров, из них 3 белых. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают один шар, а затем из второй урны наудачу извлекают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.

Решение: по условию, из первой урны во вторую наудачу перекладывают один шар, и, очевидно, он может быть как белым, так и не белым. В этой связи необходимо рассмотреть 2 несовместные гипотезы:

что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– из 1-й урны во 2-ю будет переложен белый шар;
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– из 1-й урны во 2-ю будет переложен не белый шар.

Обозначим через что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событиязависимое событие – из 2-й урны будет извлечён белый шар.

Несовместные исходы удобно расписать по пунктам:

1) По классическому определению: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что из 1-й урны во вторую будет переложен белый шар. Пусть гипотеза что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияосуществилась, тогда во второй урне стало 7 шаров, среди которых теперь 4 белых шара. Таким образом: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар при условии, что туда был переложен белый шар.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что во 2-ю урну будет переложен белый шар и после этого из 2-й урны будет извлечён белый шар.

2) По классическому определению: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что из 1-й урны во вторую будет переложен не белый шар. Пусть гипотеза что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияосуществилась, тогда во второй урне стало 7 шаров, среди которых по-прежнему 3 белых. Таким образом: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар при условии, что туда был переложен не белый шар.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю будет переложен не белый шар и после этого из 2-й урны будет извлечён белый шар.

Подводим итог. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что из 2-й урны будет извлечён белый шар.

Ответ: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события

Более интересная вариация по теме:

В первой урне находится 3 белых и 2 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 2 шара. Найти вероятность того, что из второй урны будет извлечён белый шар.

Для решения задания нужно рассмотреть 3 несовместные гипотезы, привлечь на помощь комбинаторику и воспользоваться типовой задачей на классическое определение вероятности.

Желающие могут ознакомиться с более трудными примерами из сборника Чудесенко, в которых перекладываются несколько шаров. Особым любителям предлагаю задачи повышенной комбинационной сложности – с двумя последовательными перемещениями шаров из 1-й во 2-ю урну, из 2-й в 3-ю и финальным извлечением шара из последней урны – смотрите последние задачи файла Дополнительные задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей. Кстати, там немало и других интересных заданий.

А в заключение этой статьи мы разберём прелюбопытнейшую задачу, которой я вас заманивал на самом первом уроке =) Даже не разберём, а проведём небольшое практическое исследование. Выкладки в общем виде будут слишком громоздкие, поэтому рассмотрим конкретный пример:

Петя сдаёт экзамен по теории вероятностей, при этом 20 билетов он знает хорошо, а 10 плохо. Предположим, в первый день экзамен сдаёт часть группы, например, 16 человек, включая нашего героя. В общем, ситуация до боли знакома: студенты один за другим заходят в аудиторию и тянут билеты.

Очевидно, что последовательное извлечение билетов представляет собой цепь зависимых событий, и возникает насущный вопрос: в каком случае Пете с бОльшей вероятностью достанется «хороший» билет – если он пойдёт «в первых рядах», или если зайдёт «посерединке», или если будет тянуть билет в числе последних? Когда лучше заходить?

Сначала рассмотрим «экспериментально чистую» ситуацию, в которой Петя сохраняет свои шансы постоянными – он не получает информацию о том, какие вопросы уже достались однокурсникам, ничего не учит в коридоре, ожидая своей очереди, и т.д.

Рассмотрим событие: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– Петя зайдёт в аудиторию самым первым и вытянет «хороший» билет. По классическому определению вероятности: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события.

Как изменится вероятность извлечения удачного билета, если пропустить вперёд отличницу Настю? В этом случае возможны две несовместные гипотезы:

что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– Настя вытянет «хороший» (для Пети) билет;
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– Настя вытянет «плохой» билет, т.е. увеличит шансы Пети.

Событие же что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события(Петя зайдёт вторым и вытянет «хороший» билет) становится зависимым.

1) Предположим, что Настя с вероятностью что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события«увела» у Пети один удачный билет. Тогда на столе останутся 29 билетов, среди которых 19 «хороших». По классическому определению вероятности: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события

2) Теперь предположим, что Настя с вероятностью что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события«избавила» Петю от 1-го «плохого» билета. Тогда на столе останутся 29 билетов, среди которых по-прежнему 20 «хороших». По классическому определению: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события

Используя теоремы сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей зависимых событий, вычислим вероятность того, что Петя вытянет «хороший» билет, будучи вторым в очереди:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события

Вероятность… осталось той же! Хорошо, рассмотрим событие: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– Петя пойдёт третьим, пропустив вперёд Настю и Лену, и вытащит «хороший» билет.

Здесь гипотез будет побольше: дамы могут «обокрасть» джентльмена на 2 удачных билета, либо наоборот – избавить его от 2 неудачных, либо извлечь 1 «хороший» и 1 «плохой» билет. Если провести аналогичные рассуждения, воспользоваться теми же теоремами, то… получится такое же значение вероятности что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события!

Таким образом, чисто с математической точки зрения, без разницы, когда идти – первоначальные вероятности останутся неизменными. НО. Это только усреднённая теоретическая оценка, так, например, если Петя пойдёт последним, то это вовсе не значит, что ему останутся на выбор 10 «хороших» и 5 «плохих» билетов в соответствии с его изначальными шансами. Данное соотношение может варьироваться в лучшую или худшую сторону, однако всё же маловероятно, что среди билетов останется «одна халява», или наоборот – «сплошной ужас». Хотя «уникальные» случаи не исключены – всё-таки тут не 3 миллиона лотерейных билетов с практически нулевой вероятностью крупного выигрыша. Поэтому «невероятное везение» или «злой рок» будут слишком уж преувеличенными высказываниями. Даже если Петя знает всего лишь 3 билета из 30, то его шансы составляют 10%, что заметно выше нуля. И из личного опыта расскажу обратный случай: на экзамене по аналитической геометрии я хорошо знал 24 вопроса из 28, так вот – в билете мне попались два «плохих» вопроса; вероятность сего события подсчитайте самостоятельно 🙂

Математика и «чистый эксперимент» – это хорошо, но какой стратегии и тактики всё же выгоднее придерживаться в реальных условиях? Безусловно, следует принять во внимание субъективные факторы, например, «скидку» преподавателя для «храбрецов» или его усталость к концу экзамена. Зачастую эти факторы могут быть даже решающими, но в заключительных рассуждениях я постараюсь не сбрасывать со счетов и дополнительные вероятностные аспекты:

Если Вы готовы к экзамену хорошо, то, наверное, лучше идти «в первых рядах». Пока билетов полный комплект, постулат «маловозможные события не происходят» работает на Вас гораздо в бОльшей степени. Согласитесь, что намного приятнее иметь соотношение «30 билетов, среди которых 2 плохих», чем «15 билетов, среди которых 2 плохих». А то, что два неудачных билета на отдельно взятом экзамене (а не по средней теоретической оценке!) так и останутся на столе – вполне и вполне возможно.

Теперь рассмотрим «ситуацию Пети» – когда студент готов к экзамену достаточно хорошо, но с другой стороны, и «плавает» тоже неплохо. Иными словам, «больше знает, чем не знает». В этом случае целесообразно пропустить вперёд 5-6 человек, и ожидать подходящего момента вне аудитории. Действуйте по ситуации. Довольно скоро начнёт поступать информация, какие билеты вытянули однокурсники (снова зависимые события!), и на «заигранные» вопросы можно больше не тратить силы – учите и повторяйте другие билеты, повышая тем самым первоначальную вероятность своего успеха. Если «первая партия» экзаменующихся «избавила» вас сразу от 3-4 трудных (лично для Вас) билетов, то выгоднее как можно быстрее попасть на экзамен – именно сейчас шансы значительно возросли. Постарайтесь не упускать момент – всего несколько пропущенных вперёд человек, и преимущество, скорее всего, растает. Если же наоборот, «плохих» билетов вытянули мало – ждите. Через несколько человек эта «аномалия» опять же с большой вероятностью, если не исчезнет, то сгладится в лучшую сторону. В «обычном» и самом распространённом случае выгода тоже есть: расклад «24 билета/8 плохих» будет лучше соотношения «30 билетов/10 плохих». Почему? Трудных билетов теперь не десять, а восемь! С удвоенной энергией штудируем материал!

Если Вы готовы неважно или плохо, то само собой, лучше идти в «последних рядах» (хотя возможны и оригинальные решения, особенно, если нечего терять). Существует небольшая, но всё же ненулевая вероятность, что Вам останутся относительно простые вопросы + дополнительная зубрёжка + шпоры, которые отдадут отстрелявшиеся сокурсники =) И, да – в совсем критической ситуации есть ещё следующий день, когда экзамен сдаёт вторая часть группы 😉

Какой можно сделать вывод? Субъективный оценочный принцип «кто идёт раньше, тот готов лучше» находит внятное вероятностное обоснование!

Ну, а если на экзамене произойдёт «несчастный случай», не расстраивайтесь и вспомните моё пожелание:

Задача 2: Решение: рассмотрим события: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– при 1-й, 2-й, 3-й и 4-й попытках соответственно будет извлечён выигрышный билет.

а) Пусть событие что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событиясостоялось. Тогда в конверте осталось 9 билетов, среди которых 2 выигрышных. По классическому определению:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что 2-й выбранный билет будет выигрышным при условии, что до этого извлечён выигрышный билет.

б) Если произошли события что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, то в конверте осталось 8 билетов, среди которых 1 выигрышный. По классическому определению:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что 3-й выбранный билет будет выигрышным при условии, что до этого было извлечено два выигрышных билета.

в) Если произошли события что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события, то в конверте не осталось выигрышных билетов. По классическому определению:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что 4-й выбранный билет будет выигрышным при условии, что до этого были извлечены три выигрышных билета.

Ответ: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события

Задача 4: Решение: всего: 4 туза в колоде. Рассмотрим события что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– первой картой будет извлечён туз, что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– 2-й картой будет извлечён туз. По классическому определению вероятности: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события. В случае осуществления события что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияв колоде останется 35 карт, среди которых 3 туза, поэтому: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что 2-й картой будет извлечён туз, при условии, что до этого был извлечен туз.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что из колоды в 36 карт будут извлечены два туза подряд.
Ответ: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события

Задача 5: Решение: всего: 6 + 5 + 4 = 15 шаров в урне. Рассмотрим следующие события:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– 1-й шар будет черным;
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– 2-й шар будет красным;
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– 3-й шар будет белым.

а) По условию, события что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияи что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияуже произошли, а значит, в урне осталось 13 шаров, среди которых 4 белых. По классическому определению: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что 3-й шар будет белым при условии, что до этого был извлечён черный и красный шар.

б) По классическому определению: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события. Предположим, что событие что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияпроизошло, тогда в урне осталось 14 шаров, среди которых 5 красных. По классическому определению: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что 2-й шар будет красным при условии, что 1-й был чёрным.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что первый шар окажется черным и второй – красным и третий – белым

Ответ: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события

Задача 7: Решение: рассмотрим события:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– хотя бы одному из пяти студентов достанется билет с простыми вопросами;
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– всем пятерым достанутся непростые билеты.
Данные события являются противоположными, поэтому что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события
Таким образом: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– искомая вероятность
Ответ: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события

Задача 9: Решение: рассмотрим зависимое событие что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события(после перемещения двух шаров из 2-й урны будет извлечён белый шар) и предшествующие ему несовместные гипотезы:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– из 1-й урны во 2-ю будут переложены два белых шара;
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– будет переложен белый и чёрный шар;
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– будут переложены два чёрных шара.
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияспособами можно извлечь два шара из первой урны.

1) что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияспособами можно извлечь два белых шара из 1-й урны. По классическому определению: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что из первой урны будут извлечены и переложены 2 белых шара. При осуществлении данной гипотезы во 2-й урне станет 6 белых и 4 чёрных шара. По классическому определению: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что из 2-й урны будет извлечен белый шар при условии, что туда переложены 2 белых шара.

2) что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияспособами можно извлечь белый и черный шар из 1-й урны. По классическому определению: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что из первой урны будут извлечены и переложены белый и черный шар. При осуществлении данной гипотезы во второй урне станет 5 белых и 5 черных шаров. Таким образом: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар при условии, что туда переложены белый и чёрный шар.

3) что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность событияспособом можно извлечь два черных шара из 1-й урны. По классическому определению: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность того, что из первой урны будут извлечены и переложены 2 черных шара. При осуществлении данной гипотезы во второй урне станет 4 белых и 6 черных шаров. Таким образом: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события– вероятность извлечения белого шара из второй урны при условии, что туда переложено два черных шара.

По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей зависимых событий:
что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события
– вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар.

Ответ: что такое условная вероятность события. Смотреть фото что такое условная вероятность события. Смотреть картинку что такое условная вероятность события. Картинка про что такое условная вероятность события. Фото что такое условная вероятность события

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *