что такое три плоскости

Научная электронная библиотека

Пиралова О. Ф., Ведякин Ф. Ф.,

1.6. Система трех плоскостей проекций. Эпюр Монжа

Эти координатные плоскости обозначаются:

Линии пересечения этих плоскостей образуют координатные оси: ось абсцисс – Х; ось ординат – Y; ось аппликат – Z. Точка О пересечения координатных осей принимается за начало координат и обозначается буквой О. Положительными направлениями осей считают: для оси x − влево от начала координат, для оси Y − в сторону зрителя от плоскости π₂, для оси z – вверх от плоскости π₁; противоположные направления считают отрицательными.

Рис. 1.12. Изображение системы трех плоскостей проекций

Для упрощения дальнейших рассуждений будем рассматривать только часть пространства, расположенную влево от профильной плоскости проекций π₃.

При таком допущении три координатные плоскости проекций образуют четыре пространственных угла – октанта ( в общем случае – 8 октантов).

Оси ординат Y и аппликат Z делят профильную плоскость проекций π₃ на четыре части:

Для того, чтобы получить плоскую (двухмерную) модель пространственных координатных плоскостей проекций, горизонтальную π₁ и профильную π₃ плоскости совмещают с фронтальной π₂ в том порядке как это показано стрелками на рис. 1.12.

Рис. 1.13. Пространственная модель точки А

При этом горизонтальная плоскость проекций π₁ вращается вокруг оси Х на 90°, а профильная плоскость проекций π₃ вращается вокруг оси Z также на 90° (направление вращения показано на рис. 1.12).

Полученное таким образом совмещение трех плоскостей проекций (рис. 1.13) является плоской моделью системы трех пространственных координатных плоскостей

Для построения плоской модели пространственной геометрической фигуры каждая ее точка проецируется ортогонально на плоскости проекций π₁, π₂ и π₃, которые затем совмещаются в одну плоскость. Полученная таким образом плоская модель пространственной геометрической фигуры называется эпюром Монжа.

Порядок построения эпюры точки, расположенной в первом октанте.

На рис. 1.13 изображена пространственная точка А, координаты которой (x, y, z) показывают величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций.

Для того чтобы получить ортогональные проекции точки А, необходимо из этой точки опустить перпендикуляры на плоскости проекций.

Точки пересечения этих перпендикуляров с плоскостями проекций образуют проекции точки А:

А₁ – горизонтальную проекцию точки;

А₂ – фронтальную проекцию точки;

А₃ – профильную проекцию точки.

Рис. 1.14. Эпюр точки А

На рис. 1.14 плоскости проекций π₁ и π₃ совмещены с плоскостью чертежа ( с плоскостью проекции π₂), а вместе с ними совмещены с плоскостью чертежа и проекции точки А (А₁, А₂, А₃) и таким образом получена плоскостная модель координатных плоскостей проекций и плоскостная модель пространственной точки А – ее эпюра.

Положение проекций точки А на эпюре однозначно определяется ее тремя координатами (рис. 1.14).

На рис. 1.13 и рис. 1.14 также видно, что на эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на одном перпендикуляре к оси Х, а также фронтальная и профильная проекции – на одном перпендикуляре к оси Z:

А₁А₂ Х, А₂А₃ Z.

Из рис 1.12 видно, что точки, расположенные в различных октантах, имеют определенные знаки координат.

В таблице приведены знаки координат точек, расположенных в различных октантах

Источник

77. Взаимное расположение трех плоскостей

Пусть a, b и g три плоскости, заданные своими общими уравнениями в аффинной системе координат:

A12 + B12+ C12 ≠ 0, A22 + B22+ C22 ≠ 0, A32 + B32+ C32 ≠ 0. Рассмотрим систему трех уравнений

(5)

Заметим, что rang A £ rang A¢ и ранги матриц A и A¢ могут отличаться только на единицу. Тогда возможны следующие случаи:

1. Rang A = Rang A¢ = 3. Тогда система (5) имеет единственное решение и плоскости a, b, g пересекаются в одной точке (см. Рис. 10).

2. Rang A = Rang A¢ = 2. Тогда система (5) имеет бесконечно много решений и плоскости a, b, g пересекаются по прямой. При этом, если строки матрицы непропорциональны, то среди плоскостей a, b, g нет совпадающих (см. рис 11). Если две строки матрицы пропорциональны, то соответствующие плоскости совпадают (см. Рис. 12).

3. Rang A = Rang A¢ = 1. Тогда система (5) имеет бесконечно много решений и плоскости a, b, g совпадают (см. рис 14).

4. Rang A =2, Rang A¢ = 3. Тогда система (5) не имеет решений. Если среди строк матрицы A нет пропорциональных, то все три плоскости пересекаются друг с другом и не пересекаются вместе (см. рис 15). Если две из строк матрицы A пропорциональны, то две из плоскостей параллельны и третья их пересекает (см. рис 16).

5. Rang A =1, Rang A¢ = 2. Тогда система (5) не имеет решений. Если среди строк матрицы A¢ есть пропорциональных, то все две плоскости совпадают друг с другом, а третья им параллельна (см. рис. 17). Если среди строк матрицы A¢ нет пропорциональных строк, то все три параллельны друг с другу (см. рис. 18).

Источник

Взаимное расположение трех плоскостей в пространстве

Три плоскости в пространстве могут располагаться так и только так, как показано в следующей таблице.

Плоскости попарно не пересекаются.

Прямые, по которым третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, параллельны.

Прямые, по которым пересекаются каждые две плоскости, параллельны.

Все три плоскости имеют общую прямую

Плоскости попарно не пересекаются.

Прямые, по которым третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, параллельны.

Прямые, по которым пересекаются каждые две плоскости, параллельны.

Все три плоскости имеют общую прямую

Источник

Взаимное расположение плоскостей: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке

Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Пусть две плоскости и заданы общими уравнениями и .

Вопрос об определении угла между ними сводится к определению угла между векторами нормалей к ним

и .

Из определения скалярного произведения и из выражения в координатах длин векторов и и их скалярного произведения получим

Условие параллельности плоскостей и эквивалентно условию коллинеарности векторов и и заключается в пропорциональности координат этих векторов:

Условие перпендикулярности плоскостей и может быть выражено равенством нулю скалярного произведения векторов нормалей к ним и :

Решение. Составим уравнения коэффициентов уравнений плоскостей:

Так как , то коэффициенты пропорциональны, следовательно данные две плоскости параллельны.

Пример 2. Установить, перпендикулярны ли плоскости, заданные уравнениями и .

Решение. Плоскости перпендикулярны в том случае, когда векторы и нормалей к ним перпендикулярны и удовлетворяют условию равенства нулю их скалярного произведения. Так как , то указанное условие выполнено и, значит, данные плоскости перпендикулярны.

Условие пересечения трёх плоскостей в одной точке, точка пересечения

Необходимым и достаточным условием того, что три плоскости имеют только одну общую точку (то есть, пересекаются в этой точке), является условие неравенства нулю определителя, составленного из коэффициентов уравнений:

Это условие совпадает с условием того, что система линейных уравнений имеет одно единственное решение (пройдя по ссылке можно увидеть иллюстрацию как раз на примере плоскостей).

Решение системы общих уравнений плоскостей (если оно существует и единственное) и даёт точку пересечения трёх плоскостей.

Пример 3. Установить, пересекаются ли три плоскости в одной точке, если пересекаются, найти точку пересечения. Плоскости заданы уравнениями:

Решение. Сначала проверим, выполняется ли условие пересечения плоскостей в одной точке. Для этого установим, отличен ли от нуля определитель системы:

Определитель отличен от нуля, следовательно система уравнений имеет единственное решение, а, значит, три плоскости пересекаются в одной точке.

Для нахождения этой точки продолжим решать систему уравнений методом Крамера. Перенесём свободные члены в правые части уравнений:

Найдём определители при неизвестных:

Нетрудно заметить, что по формулам Крамера (определитель при неизвестной делить на определитель системы) все неизвестные оказались равными единице. Таким образом, получили точку пересечения трёх плоскостей:

Для проверки решения подобных задач целесообразно воспользоваться калькулятором, решающим системы уравнений методом Крамера.

Пример 4. Установить, пересекаются ли три плоскости в одной точке, если пересекаются, найти точку пересечения. Плоскости заданы уравнениями:

Решение. Проверим, пересекаются ли плоскости в одной точке. Для этого вычислим определитель системы:

Определитель равен нулю, следовательно, данные три плоскости не пересекаются в одной точке.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной данной плоскости

Пусть даны точка и плоскость . Тогда уравнение плоскости, проходящей через данную точку, и параллельной данной плоскости, имеет вид

Решение. Подставляем в формулу, данную в теоретической сравке к этой главе, данные точки и другой плоскости. Получаем:

Последнее и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через данную точку, и параллельной данной плоскости.

Источник

Плоскость в пространстве – необходимые сведения

Плоскость – это одна из наиболее важных фигур в планиметрии, поэтому нужно хорошо понимать, что она из себя представляет. В рамках этого материала мы сформулируем само понятие плоскости, покажем, как ее обозначают на письме, и введем необходимые обозначения. Затем мы рассмотрим это понятие в сравнении с точкой, прямой или другой плоскостью и разберем варианты их взаимного расположения. Все определения будут проиллюстрированы графически, а нужные аксиомы сформулированы отдельно. В последнем пункте мы укажем, как правильно задать плоскость в пространстве несколькими способами.

Понятие плоскости и ее обозначения

Плоскость представляет собой одну из простейших фигур в геометрии наравне с прямой и точкой. Ранее мы уже объясняли, что точка и прямая размещаются на плоскости. Если эту плоскость разместить в трехмерном пространстве, то мы получим точки и прямые в пространстве.

В жизни представление о том, что такое плоскость, нам могут дать такие объекты, как поверхность пола, стола или стены. Но нужно учитывать, что в жизни их размеры ограничены, а здесь понятие плоскости связано с бесконечностью.

Если нам нужно графическое отображение плоскости, то обычно для этого используется замкнутое пространство произвольной формы или параллелограмм.

Плоскость принято рассматривать вместе с прямыми, точками, другими плоскостями. Задачи с этим понятием обычно содержат некоторые варианты их расположения друг относительно друга. Рассмотрим отдельные случаи.

Как могут располагаться плоскость и точка друг относительно друга

Первый способ взаимного расположения заключается в том, что точка расположена на плоскости, т.е. принадлежит ей. Можно сформулировать аксиому:

В любой плоскости есть точки.

Если некая плоскость задана в пространстве, то число точек, принадлежащих ей, является бесконечным. А какого минимального количества точек будет достаточно для определения плоскости? Ответом на этот вопрос будет следующая аксиома.

Через три точки, которые не расположены на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Другой способ взаимного расположения точки и плоскости можно выразить с помощью третьей аксиомы:

Можно выделить как минимум 4 точки, которые не будут находиться в одной плоскости.

Графически последнюю аксиому можно представить так:

Варианты взаимного расположения прямой и плоскости

Самый простой вариант – прямая находится в плоскости. Тогда в ней будут расположены как минимум две точки этой прямой. Сформулируем аксиому:

Если хотя бы две точки заданной прямой находятся в некоторой плоскости, это значит, что все точки этой прямой расположены в данной плоскости.

Графически этот вариант расположения выглядит так:

Если мы решаем задачу, в которой есть плоскость, нам необходимо знать, что из себя представляет нормальный вектор плоскости.

Нормальный вектор плоскости – это такой вектор, который лежит на перпендикулярной прямой по отношению к плоскости и не равен при этом нулю.

Примеры нормальных векторов плоскости показаны на рисунке:

Если прямая расположена внутри плоскости, то она делит ее на две равные или неравные части (полуплоскости). Тогда такая прямая будет называться границей полуплоскостей.

Любые 2 точки, расположенные в одной полуплоскости, лежат по одной сторону от границы, а две точки, принадлежащие разным полуплоскостям, лежат по разную сторону от границы.

Варианты расположения двух плоскостей друг относительно друга

1. Наиболее простой вариант – две плоскости совпадают друг с другом. Тогда они будут иметь минимум три общие точки.

2. Одна плоскость может пересекать другую. При этом образуется прямая. Выведем аксиому:

Если две плоскости пересекаются, то между ними образуется общая прямая, на которой лежат все возможные точки пересечения.

На графике это будет выглядеть так:

В таком случае между плоскостями образуется угол. Если он будет равен 90 градусам, то плоскости будут перпендикулярны друг другу.

3. Две плоскости могут быть параллельными друг другу, то есть не иметь ни одной точки пересечения.

Если у нас есть не две, а три и больше пересекающихся плоскостей, то такую комбинацию принято называть пучком или связкой плоскостей. Подробнее об этом мы напишем в отдельном материале.

Как задать плоскость в пространстве

В этом пункте мы посмотрим, какие существуют способы задания плоскости в пространстве.

1. Первый способ основан на одной из аксиом: единственная плоскость проходит через 3 точки, не лежащие на одной прямой. Следовательно, мы можем задать плоскость, просто указав три таких точки.

Если у нас есть прямоугольная система координат в трехмерном пространстве, в которой задана плоскость с помощью этого способа, то мы можем составить уравнение этой плоскости (подробнее см, соответствующую статью). Изобразим данный способ на рисунке:

2. Второй способ – задание плоскости с помощью прямой и точки, не лежащей на этой прямой. Это следует из аксиомы о плоскости, проходящей через 3 точки. См. рисунок:

3. Третий способ заключается в задании плоскости, которая проходит через две пересекающиеся прямые (как мы помним, в таком случае тоже есть только одна плоскость.) Проиллюстрируем способ так:

4. Четвертый способ основан на параллельных прямых. Вспомним, какие прямые называются параллельными: они должны лежать в одной плоскости и не иметь ни одной точки пересечения. Получается, что если мы укажем в пространстве две такие прямые, то мы тем самым сможем определить для них ту самую единственную плоскость. Если у нас есть прямоугольная система координат в пространстве, в которой уже задана плоскость этим способом, то мы можем вывести уравнение такой плоскости.

На рисунке этот способ будет выглядеть так:

Если мы вспомним, что такое признак параллельности, то сможем вывести еще один способ задания плоскости:

Если у нас есть две пересекающиеся прямые, которые лежат в некоторой плоскости, которые параллельны двум прямым в другой плоскости, то и сами эти плоскости будут параллельны.

Таким образом, если мы зададим точку, то мы сможем задать плоскость, которая проходит через нее, и ту плоскость, которой она будет параллельна. В таком случае мы тоже можем вывести уравнение плоскости (об этом у нас есть отдельный материал).

Вспомним одну теорему, изученную в рамках курса по геометрии:

Через определенную точку пространства может проходить только одна плоскость, которая будет параллельна заданной прямой.

Это значит, что можно задать плоскость путем указания конкретной точки, через которую она будет проходить, и прямой, которая будет перпендикулярна по отношению к ней. Если плоскость задана этим способом в прямоугольной системе координат, то мы можем составить уравнение плоскости для нее.

Также мы можем указать не прямую, а нормальный вектор плоскости. Тогда можно будет сформулировать общее уравнение.

Мы рассмотрели основные способы, с помощью которых можно задать плоскость в пространстве.

Источник

Фигура	Рисунок	Свойство
Три параллельные плоскости
Две параллельные плоскости, пересечённые третьей плоскостью
Третья плоскость параллельна линии пересечения первых двух плоскостей
Третья плоскость пересекает линию пересечения первых двух плоскостей
Третья плоскость проходит через линию пересечения первых двух плоскостей
Третья плоскость проходит через линию пересечения первых двух плоскостей