что такое трехмерная сфера
Что доказал Григорий Перельман? для чайников
— Вчера рассказал сыну теорию струн. Пусть лучше от меня узнает, чем во дворе.
Эта статья оскорбляет чувства гуманитариев по религиозному и гендерному признакам, поэтому, когда вы поймете, что ваш мир не будет прежним, вернитесь и не читайте статью. (статья – компиляция разных авторов, ибо очень сложно, прошу их простить меня)
Начнем с топологии. Вообще, топологию определяют как «резиновую геометрию», как науку о свойствах геометрических образов. Для понимания, чем топология занимается покажем видео –
( это не имеет отношения к распутыванию наушников, и выворачиванию наволочек, хоть и похожеJ)
Великим достижением чистой математики называют доказательство Григорием Перельманом гипотезы Пуанкаре, высказанной в 1904 году и гласящей: «всякое связное, односвязное, компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно сфере S 3 ». (В переводе на общедоступный язык, это означает, что любой трёхмерный объект, например, стакан можно преобразовать в шар путём одной только деформации, то есть его не нужно будет ни разрезать, ни склеивать.
и наручниками
кружка гомеоморфна бублику, причем этот факт верен как для их поверхностей (двумерных многообразий, называемых тором), так и для заполненных тел (трехмерных многообразий с краем).
Но это, опять-таки, минимальная оценка. Астрономы считают, что скопления пыли в межгалактическом пространстве отбирают у нас 90% наблюдаемых объектов — 7 триллионов легко превращается в 73 триллиона.
Тут человеки меряются чем то, пытаются представить себя чем то, или себе. а там, за окном вон чего происходит.)
«Но по факту, может оказаться (из за этих математиков), вся эта бесконечная для нас Вселенная занимает место в миллиарды раз меньше, чем кончик иглы»
Как так? Обычная сфера, которая есть поверхность обычного шара, двумерна (а сам шар — тот трёхмерен). Двумерная сфера состоит из всех точек трёхмерного пространства, равноудалённых от некоторой выделенной точки, называемой центром и сфере не принадлежащей. Трёхмерная сфера состоит из всех точек четырёхмерного пространства, равноудалённых от своего центра (сфере не принадлежащего). В отличие от двумерных сфер трёхмерные сферы недоступны нашему непосредственному наблюдению, и нам представить себе их так же трудно.( В этой фразе имеется непонятное, которые надо объяснить так, чтобы их общий смысл стал понятен. Добавляем видеоряд –
Не исключено, однако, что все мы как раз в трёхмерной сфере и находимся, то есть что наша Вселенная является трёхмерной сферой. В этом состоит значение результата Перельмана для физики и астрономии.
Если мыльный пузырь двумерная сфера, то третье измерение можно представить как интерференционную картину (Распределение интенсивности света, получающееся в результате интерференции, в месте ее наблюдения). на его поверхности, например, ну это всем просто и понятно.
Но если быть честным и пройти этот путь до конца, то нужно понимать, что пространство (или чего там) может быть совсем иным и не представляемым.
Читатель! Если ты еще здесь, дальше будет легче, потерпи.
Шарику в колее, катящемуся под уклон, тоже может казаться что движения в других направлениях невозможны. И в его понимании свойства системы координат не будут отличаться от свойств времени. Ну или как вариант какой либо астероид между галактиками. Траектория его движения близка к прямой. Понять что это не прямая можно только после очень долгих наблюдений. Потому как галактики далеко, и их воздействие почти неощутимо. Как понять это находясь на астероиде — тот еще вопросик. И для этого астероида по сути есть только одно измерение пространства и одно времени. Хотя вселенная та же что и у нас.
Так что то, что мы так воспринимаем время, может быть простым субъективным заблуждением. Саму природу времени и все его свойства мы не понимаем и не факт что когда либо поймем. Т.е. в данном случае нужно говорить что «с точки зрения такой то теории, мы считаем что пространство и время обладают разными свойствами».
Надеюсь, ты читатель разобрался в этом. Но не расстраивайся, если так же как и я. После опубликования доказательства Перельмана прошло четыре года прежде чем некоторые (во всем мире) смогли проверить и подтвердить истинность доказательства.
Когда то, думающие люди разделили Мир на Познаваемый и НЕПОЗНАВАЕМЫЙ (в принципе непознаваемый).
И в Непознаваемый мир поместили ВЕРУ.
«БОГ» смог бы доказать людям что это именно «ОН БОГ»?.
Разница в возможностях огромна и бесконечна!
ТОЛЬКО ВЕРИТЬ в непознаваемое.
Если сосредоточиться на Главном – «БОГ» это Доказуемо и Познаваемо, или Опровергаемо. Слово «Бог», это попытка описать неописуемое, пожалуйста не придирайтесь.
Кто может обладать знанием и умением различать, «Бог» это или просто «материя+сознание»? Реальное и объективное, или личное впечатление?
Зы: не сомневаюсь, что есть люди, понявшие и видящие многомерность пространства до 7 измерения, и даже есть люди, понявшие и видящие многомерность «Бога», но заканчиваются ли многомерности и познания на этом? Может их 42?
Трехмерный мир, в котором мы не живем
Еще древние греки превратили математику из эмпирической науки в дедуктивную, потребовав вывода доказательств ее утверждений из основных понятий и исключив ссылку на опыт в качестве аргумента.
Чистая математика исследует формы и отношения в отвлечении от материального содержания. Ее непосредственным предметом оказываются, например, не те или иные тела шарообразной формы, а «идеальный шар», не те или иные совокупности предметов и даже не отдельные числа, а целые числа вообще и т. п.
Однако при всей абстрактности этой науки никто из математиков, по-видимому, не сомневался в том, что все их понятия, теоремы и формулы выражают реальные количественные и пространственные отношения. Математическая геометрия была теорией реального пространства, как позже механика явилась теорией движения
Математика — наука, изучающая
количественные и пространственные
формы и отношения действительности
Академик А. Д. Александров
Окружающий нас мир трехмерен. Мы привыкли к этой мысли с рождения — каждый человек знает, что такое высота, длина и ширина, три основных измерения окружающего нас пространства. В зависимости от традиций, принятых в разных странах, размеры предметов измеряют в метрах, футах, ли, лье и других эталонных единицах длины. Для наших дальнейших рассуждений выберем немного необычную единицу длины. Ею будет служить один световой год (1 св. г.), т. е. расстояние, проходимое лучом света за один календарный год. В традиционных мерах длины это составляет невообразимую величину — примерно 9,46•10 12 километров.
Если из окружающего нас пространства мысленно вырезать куб с ребром, равным 1 св. году, то внутри благополучно разместится дом, в котором мы живем, земной шар, Солнечная система… В общем, все, что необходимо для нормальной жизни человека. Для удобства назовем рассмотренный нами куб единичным кубом. А теперь отметим следующий очевидный факт. Несмотря на громадные размеры, наш единичный куб — лишь мельчайшая частица окружающего мира.
Кстати сказать, в этом определении размеры самого куба не задаются — вовсе не обязательно использовать кубы больших размеров. С таким же успехом можно утверждать, что каждая точка содержится в кубе, ребро которого не превосходит по длине, скажем, один микрон (10 —6 см).
Все сказанное выше кратко можно выразить следующими словами: окружающий нас мир является трехмерным евклидовым многообразием. А теперь попробуем ответить на следующий вопрос: как устроен мир за пределами единичного куба, в котором находится наш дом — наша Солнечная система?
Трехмерный тор и другие
Если на минуту вообразить, что окружающее нас пространство бесконечно по всем направлениям, то ответ на вопрос о строении окружающего нас мира даст следующая теорема Адамара:
«Бесконечно протяженное по всем направлениям трехмерное евклидово многообразие М 3 совпадает с евклидовым пространством E 3 ».
Евклидово пространство Е 3 с прямоугольной системой координат всем хорошо известно, поэтому не будем подробно останавливаться на изучении его свойств.
Для того же, чтобы сделать наши рассуждения более содержательными и интересными, предположим другой вариант: окружающий нас мир замкнут, т. е. имеет конечные размеры и не имеет края. Другими словами, зададимся вопросом, как устроены замкнутые трехмерные евклидовы многообразия, или, другими словами, евклидовы формы. Полный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Дж. Вольфом (1982):
Существует ровно десять трехмерных евклидовых форм. Причем шесть из них представляют собой ориентируемые, а остальные четыре — неориентируемые многообразия.
Все евклидовые формы строятся схожим образом, единственное — для построения некоторых из них нужно использовать куб, а для других — правильную шестиугольную призму.
Для этого в центре грани А трехмерного тора поместим космический корабль, летящий со скоростью света, и заставим его стартовать в вертикальном направлении. Ровно через год космический корабль, продолжая двигаться по прямой, вернется в исходную точку. Теперь эта точка будет находиться в центре грани А’, которая, по условию, отождествлена с гранью А. В результате эксперимента обнаружим, что в трехмерном торе Т 3 существует замкнутая прямая линия l длиной в один световой год.
Поставим еще один аналогичный эксперимент. Заставим космический корабль стартовать из точки у, лежащей в грани А на расстоянии 1 км от ее центра. Через год корабль благополучно вернется в точку у. Вывод из второго эксперимента — через точку у проходит замкнутая прямая длиной 1 световой год, параллельная прямой l.
Многообразные многообразия
Как уже было замечено, все рассмотренные выше многообразия обладают евклидовой геометрией. Что это означает и какие еще геометрии существуют?
Наиболее известными и употребимыми в общечеловеческой практике являются евклидова, сферическая и гиперболическая геометрии. Напомним, что сферическую геометрию иногда называют геометрией Римана, а гиперболическую — геометрией Лобачевского. В трехмерном пространстве, кроме трех указанных, существует еще пять так называемых синтетических геометрий.
В соответствии с тем, какие геометрические законы действуют на трехмерном многообразии, будем называть его соответственно евклидовым, сферическим, гиперболическим или синтетическим.
Евклидовы многообразия мы уже рассмотрели выше. Что до остальных, то более двадцати лет назад У. Терстон (1978) доказал замечательную теорему: почти все трехмерные многообразия являются гиперболическими, то есть подчиняются законам геометрии Лобачевского. За этот результат в 1983 году он был удостоен Филдсовской премии — самой престижной награды для математиков.
Сферические многообразия бывают как трехмерные, так и многомерные (Вольф, 1982). В пространстве любой размерности существует конечное число типов таких многообразий. Синтетических многообразий очень мало (Thurston, 1978; Dunbar, 1981; Терстон, 2001) в отличие от оставшегося класса гиперболических многообразий. Последний неисчерпаемо широк и классификация его к настоящему времени не завершена.
Сферические многообразия
Все трехмерные сферические многообразия — ориентируемы. Это означает, что по какой бы замкнутой траектории не летал космический корабль с непрерывно вращающимся пропеллером, по возвращении в точку старта его пропеллер вращается в ту же сторону, что и в момент старта.
Третий, и пожалуй, самый нетривиальный пример сферического многообразия — сферическое пространство додекаэдра Пуанкаре или, для краткости, сфера Пуанкаре.
Сфера Пуанкаре удивительным образом связана с самыми различными разделами математики — геометрией, топологией, теорией групп, теорией катастроф, теорией узлов и другими (Кирби, Шарлеман, 1982).
Все остальные сферические многообразия, получаемые по единой схеме, представляют собой так называемые линзовые и призматические пространства.
Гиперболические многообразия
Первое трехмерное замкнутое гиперболическое многообразие было построено немецким математиком Ф. Лебеллем в 1931 г. Однако построение его было достаточно сложным, поэтому двумя годами позже Х. Зейферт и К. Вебер предложили элегантную конструкцию гиперболического пространства додекаэдра.
С точки зрения математики наиболее сложная часть проблемы построения состоит в доказательстве существования этого гиперболического додекаэдра в пространстве Лобачевского. Положительный ответ на этот вопрос дает фундаментальная теорема Е. М. Андреева (1970), в которой сформулированы необходимые и достаточные условия для существования выпуклых гиперболических многогранников. Эта теорема служит одним из краеугольных камней современной теории гиперболических многообразий, созданной У. Терстоном.
Конструируем многообразия из многогранников
Рассмотрим прямоугольный многогранник Р, все двугранные (и плоские) углы которого равны 90°. В евклидовом пространстве в качестве такого многогранника можно взять куб, в сферическом — тетраэдр, а в гиперболическом — шестиугольную призму Лебелля, боковая поверхность которой состоит из 12-ти пятиугольников.
Из теоремы Андреева следует, что любой многогранник, у которого нет треугольных и четырехугольных граней, а в каждой вершине сходится ровно по три ребра, может быть реализован как прямоугольный многогранник в пространстве Лобачевского. Шестиугольная призма Лебелля, очевидно, удовлетворяет этим условиям.
Для построения гиперболических многообразий используется способ, заключающийся в окраске смежных граней многогранника в разные цвета и последующего отождествления соответствующих граней, окрашенных в один цвет, у нескольких одинаковых экземпляров многогранников. Такой способ построения многообразий был впервые реализован Ф. Лебеллем (Loebell, 1931) для шестиугольной призмы, японским математиком М. Такахаши (Takahashi, 1985) — для правильного прямоугольного додекаэдра и А. Ю. Весниным (1987) — для произвольного прямоугольного многогранника Р.
При этом отметим, что все многообразия, построенные по окраске многогранника в четыре цвета, ориентируемы. Однако доказано, что окрашивая грани многогранника Р в пять, шесть или семь цветов, по аналогичной схеме можно построить и неориентируемые многообразия (Mednykh, 1992).
Остановимся еще на одном свойстве прямоугольных многогранников. Пусть D — правильный прямоугольный додекаэдр в пространстве Лобачевского. Испанский математик Х.-М. Монтезинос (Hilden et al., 1987) доказал следующую замечательную теорему:
«Любое замкнутое трехмерное многообразие может быть получено из конечного числа экземпляров многогранника D попарным отождествлением их граней».
Отметим, что в теореме Монтезиноса все грани склеенных многогранников — конгруэнтны, а все ребра имеют одинаковую длину. При этом каждое ребро окружено четырьмя, двумя или одним додекаэдром. Первую ситуацию легко представить: четыре прямоугольных додекаэдра склеены друг за другом вокруг общего ребра и образуют суммарный угол, равный 4•90° = 360°. Во втором случае пара смежных граней одного додекаэдра отождествляется с парой смежных граней другого додекаэдра. Суммарный двугранный угол вокруг ребра, принадлежащего двум додекаэдрам, в этом случае равен 2•90° = 180°. Третий вариант легко создать, отождествляя смежные грани одного додекаэдра поворотом на угол 90°.
Наличие ребер второго и третьего типа превращает многообразие в многообразие с особенностями, или орбифолд. В этом случае указанные ребра образуют сингулярное множество орбифолда. Заметим, что всюду, кроме сингулярных ребер, многообразие обладает геометрией Лобачевского.
Трехмерные орбифолды
Евклидовы орбифолды
Для всякого трехмерного евклидова орбифолда существует фундаментальное множество — криволинейный многогранник, из которого заданный орбифолд можно получить, попарно отождествляя (склеивая) определенные его грани.
Примерами евклидовых орбифолдов могут служить так называемые Борромеевы кольца или трехмерная сфера с сингулярным множеством узел «восьмерка».
Всего существует 230 замкнутых трехмерных евклидовых орбифолдов — по числу кристаллографических групп, открытых в конце прошлого века русским ученым Е. С. Федоровым. Строение евклидовых орбифолдов было полностью описано в докторской диссертации У. Данбара, защищенной в 1981 г. в Принстонском университете — крупнейшем математическом центре мира.
Сферические орбифолды
Сингулярным множеством сферических орбифолдов может служить так называемый рациональный узел или зацепление. Им может оказаться также заузленный граф, из каждой вершины которого выходит по три ребра. В частности, сингулярным множеством сферического орбифолда будет являться скелет тетраэдра (ребра + вершины), расположенный в трехмерной сфере.
q > l. В сферическом пространстве S ³ рассмотрим линзу с углом, равным π/р и поделим ее ребро точками 1,2. 2р на 2р равных частей. Соединим пары точек <р, 2р>и
При этом следует иметь ввиду, что сильные заузливания тетраэдра могут испортить сферическую геометрию и заставить орбифолд обладать евклидовой, гиперболической или одной из синтетических геометрий.
Недавно австралийцами профессором К. Ходжсоном и его учеником Д. Хеардом создана компьютерная программа, позволяющая вычислять объемы заузленных графов, вложенных в трехмерную сферу (Hodgson and Heard, 2005). Полная классификация трехмерных орбифолдов во всех геометриях, кроме гиперболической, сделана в работах У. Данбара. Как и в случае многообразий, гиперболическая геометрия является наиболее богатой, и полное описание орбифолдов в ней до сих пор не получено.
Гиперболические орбифолды
Из теоремы Монтезиноса следует, что каждое трехмерное многообразие может быть превращено в гиперболический орбифолд, если внутрь его поместить подходящее сингулярное множество. Поскольку существует бесконечно много различных многообразий, отсюда следует, что существует также бесконечно много гиперболических орбифолдов.
Один из простейших гиперболических орбифолдов — трехмерная сфера с сингулярным множеством Борромеевы кольца с индексом сингулярности 4. Другой пример — сильно заузленный тетраэдр, все ребра которого имеют индекс сингулярности два. Доказательство таких фактов обычно достаточно сложно и может быть проведено с помощью теорем о геометризации, полученных У. Терстоном, его учениками и последователями. Общий принцип доказательства состоит в следующем: если орбифолд не является евклидовым, сферическим или синтетическим и удовлетворяет некоторым простым геометрическим условиям, то он — гиперболический.
Изменения, произошедшие в математике за последние более чем полтора века, не только необозримо расширили ее содержание, но и изменили его принципиально. В предмет математики сейчас входит любая структура, которую можно исследовать путем логического рассуждения с достаточной строгостью и богатством выводов. Найдет ли она применение и прообраз в действительности — это уже вопрос не к математике.
Понятно, что фактически наибольшее развитие получают те теории, которые находят существенные применения в самой математике и тем более за ее пределами. Хотя опыт развития науки уже достаточное число раз показал, как самые отвлеченные теории находили потом чрезвычайно существенные приложения. Но для самой чистой математики это в принципе безразлично. Лучше всего творческое кредо новой математики выразил создатель теории множеств Г. Кантор, гордо зявив: «Сущность математики. в ее свободе».
Винберг Э. Б. О неевлидовой геометрии, Соросовский образовательный журнал, № 3, 1996, С. 104—109.
Тёрстон У. Трехмерная геометрия и топология, М: МЦНМО, 2001 (Перевод с англ. под ред. О. В. Шварцмана).
Hodgson C., Heard D. Computer program “Orb”, August 2005, http://www.ms.unimelb.edu.au/
Работа поддержана грантом РФФИ (№ 06-01-00153) и INTAS (№ 03-01-3663)
Автор и редакция выражает искреннюю благодарность Н. В. Абросимову (вед. инженеру Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, студенту 6-го курса НГУ), оказавшему неоценимую помощь при подготовке публикации
Что такое трехмерная сфера
Оглянитесь вокруг. Окружающие вас предметы, как и вы сами, представляют собой набор частиц, перемещающихся в трехмерном пространстве (3-многообразии), которое простирается во всех направлениях на многие миллиарды световых лет.
Многообразия – это математические построения. Со времен Галилея и Кеплера ученые успешно описывают действительность в терминах той или иной ветви математики. Физики считают, что все на свете происходит в трехмерном пространстве и положение любой частицы можно задать тремя числами, например, широтой, долготой и высотой (оставим пока в стороне высказанное в теории струн предположение о том, что помимо трех наблюдаемых нами измерений существуют еще несколько дополнительных).
Согласно классической и традиционной квантовой физике, пространство фиксировано и неизменно. В то же время общая теория относительности рассматривает его как активного участника событий: расстояние между двумя точками зависит от проходящих гравитационных волн и от того, сколько вещества и энергии расположено вблизи. Но и в ньютоновской, и в эйнштейновской физике пространство – бесконечное или конечное – в любом случае представляет собой 3-многообразие. Поэтому для полного понимания основ, на которые опирается почти вся современная наука, необходимо разобраться в свойствах 3-многообразий (не меньший интерес вызывают 4-многообразия, так как пространство и время вместе образуют одно из них).
Раздел математики, в котором изучаются многообразия, называется топологией. Топологи прежде всего задались фундаментальными вопросами: каков самый простой (т.е. характеризующийся наименее сложной структурой) тип 3-многообразия? Есть ли у него столь же простые собратья или же он уникален? Какие вообще бывают 3-многообразия?
Ответ на первый вопрос известен давно: самым простым компактным 3-многообразием является пространство, называемое 3-сферой (Некомпактные многообразия бесконечны или имеют края. Далее рассматриваются только компактные многообразия). Два других вопроса оставались открытыми на протяжении столетия. Лишь в 2002 г. на них ответил российский математик Григорий Перельман, который, судя по всему, сумел доказать гипотезу Пуанкаре.
Ровно сто лет назад французский математик Анри Пуанкаре предположил, что 3-сфера уникальна и никакое другое компактное 3-многообразие не обладает теми свойствами, которые делают ее столь простой. У более сложных 3-многообразий есть границы, встающие как кирпичная стена, или множественные связи между некоторыми областями, похожие на лесную тропинку, которая то разветвляется, то снова соединяется. Любой трехмерный объект со свойствами 3-сферы можно преобразовать в нее саму, поэтому для топологов он представляется просто ее копией. Доказательство Перельмана также позволяет ответить на третий вопрос и провести классификацию всех существующих 3-многообразий.
Вам потребуется изрядное воображение, чтобы представить себе 3-сферу (см. МНОГОМЕРНАЯ МУЗЫКА СФЕР). К счастью, у нее много общего с 2-сферой, типичный пример которой – резина круглого воздушного шарика: она двухмерна, поскольку любая точка на ней задается всего двумя координатами – широтой и долготой. Если рассмотреть достаточно маленький ее участок под мощной лупой, то он покажется кусочком плоского листа. Крошечному насекомому, ползающему по воздушному шарику, он будет казаться плоской поверхностью. Но если козявка будет достаточно долго двигаться по прямой, то в конечном счете вернется в точку отправления. Точно так же 3-сферу размером с нашу Вселенную мы бы воспринимали как «обычное» трехмерное пространство. Пролетев достаточно далеко в любом направлении, мы бы в конце концов совершили «кругосветное путешествие» по ней и оказались бы в исходной точке.
Как вы уже догадались, n-мерная сфера называется n-сферой. Например, 1-сфера всем знакома: это просто окружность.
Григорий Перельман излагает свое доказательство гипотезы Пуанкаре и завершение программы Терстона по геометризации на семинаре в Принстонском университете в апреле 2003 г.
Проверка гипотез
Прошла половина столетия, прежде чем дело о гипотезе Пуанкаре сдвинулось с мертвой точки. В 60-х гг. XX в. математики доказали аналогичные ей утверждения для сфер пяти и более измерений. В каждом случае n-сфера действительно является единственным и простейшим n-многообразием. Как ни странно, получить результат для многомерных сфер оказалось легче, чем для 3- и 4-сферы. Доказательство для четырех измерений появилось в 1982 г. И только исходная гипотеза Пуанкаре о 3-сфере оставалась неподтвержденной.
Решающий шаг был сделан в ноябре 2002 г., когда Григорий Перельман, математик из Санкт-Петербургского отделения математического института им. Стеклова, отправил статью на сайт www.arxiv.org, где физики и математики со всего мира обсуждают результаты своей научной деятельности. Топологи сразу уловили связь работы российского ученого с гипотезой Пуанкаре, хотя напрямую автор ее не упомянул. В марте 2003 г. Перельман опубликовал вторую статью и весной того же года посетил США и провел несколько семинаров в Массачусетском технологическом институте и в Университете штата Нью-Йорк в Стоуни-Брук. Несколько групп математиков в ведущих институтах тут же занялись детальным изучением представленных работ и поиском ошибок.
ОБЗОР: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ ПУАНКАРЕ
В Стоуни-Брук за две недели Перельман прочитал несколько лекций, выступая от трех до шести часов в день. Он очень четко изложил материал и ответил на все возникшие вопросы. До получения окончательного результата остался еще один незначительный шаг, но нет никаких сомнений в том, что он вот-вот будет сделан. Первая статья знакомит читателя с основополагающими идеями и считается полностью проверенной. Во второй статье освещаются прикладные вопросы и технические нюансы; она пока еще не вызывает такого же полного доверия, как ее предшественница.
Работа Перельмана расширяет и завершает программу исследований, проведенных в 90-х гг. прошлого века Ричардом Гамильтоном (Richard S. Hamilton) из Колумбийского университета. В конце 2003 г. труды американского математика были отмечены премией Института Клея. Перельману удалось блестяще преодолеть целый ряд препятствий, с которыми не смог справиться Гамильтон.
На самом деле доказательство Перельмана, правильность которого еще никому не удалось поставить под сомнение, решает гораздо более широкий круг вопросов, чем собственно гипотеза Пуанкаре. Предложенная Уильямом Терстоном (William P. Thurston) из Корнеллского университета процедура геометризации позволяет провести полную классификацию 3-многообразий, в основу которой положена 3-сфера, уникальная в своей возвышенной простоте. Если бы гипотеза Пуанкаре была ложной, т.е. существовало бы множество пространств столь же простых, как сфера, то классификация 3-многообразий превратилась бы в нечто бесконечно более сложное. Благодаря Перельману и Терстону у нас появился полный каталог всех допускаемых математикой форм трехмерного пространства, которые могла бы принять наша Вселенная (если рассматривать только пространство без времени).
Резиновые бублики
Чтобы глубже понять гипотезу Пуанкаре и доказательство Перельмана, следует поближе познакомиться с топологией. В этом разделе математики форма объекта не имеет значения, как будто он сделан из теста, которое можно как угодно растягивать, сжимать и изгибать. Зачем же нам задумываться о вещах или пространствах из воображаемого теста? Дело в том, что точная форма объекта – расстояние между всеми его точками – относится к структурному уровню, который называют геометрией. Рассматривая объект из теста, топологи выявляют его фундаментальные свойства, не зависящие от геометрической структуры. Изучение топологии похоже на поиск наиболее общих черт, присущих людям, методом рассмотрения «пластилинового человека», которого можно превратить в любого конкретного индивида.
В популярной литературе часто встречается избитое утверждение, что с точки зрения топологии чашка ничем не отличается от бублика. Дело в том, что чашку из теста можно превратить в бублик, просто сминая материал, т.е. ничего не слепляя и не проделывая отверстий (см. ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ). С другой стороны, чтобы сделать бублик из шара, в нем непременно нужно сделать дырку или раскатать его в цилиндр и слепить концы, поэтому шар – это совсем не бублик.
Топологов больше всего интересуют поверхности шара и бублика. Поэтому вместо сплошных тел следует представлять себе воздушные шарики. Их топология по-прежнему различна, поскольку сферический воздушный шарик невозможно преобразовать в кольцевой, который называется тором. Сначала ученые решили разобраться, сколько вообще существует объектов с различной топологией и как их можно охарактеризовать. Для 2-многообразий, которые мы привыкли называть поверхностями, ответ изящен и прост: все определяется количеством «дырок» или, что то же самое, количеством ручек (см. ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ).К концу XIX в. математики поняли, как классифицировать поверхности, и установили, что самая простая из них – сфера. Естественно, топологи начали задумываться о трехмерных многообразиях: уникальна ли 3-сфера в своей простоте? Вековая история поисков ответа полна неверных шагов и ошибочных доказательств.
Анри Пуанкаре вплотную занялся этим вопросом. Он был одним из двух сильнейших математиков начала XX в. (другим был Давид Гильберт). Его называли последним универсалом – он успешно работал во всех разделах как чистой, так и прикладной математики. Кроме того, Пуанкаре внес огромный вклад в развитие небесной механики, теорию электромагнетизма, а также в философию науки, о которой написал несколько популярных книг.
Пуанкаре стал основателем алгебраической топологии и, используя ее методы, в 1900 г. сформулировал топологическую характеристику объекта, названную гомотопией. Чтобы определить гомотопию многообразия, нужно мысленно погрузить в него замкнутую петлю (см. ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ). Затем следует выяснить, всегда ли можно стянуть петлю в точку, перемещая ее внутри многообразия. Для тора ответ будет отрицательным: если расположить петлю по окружности тора, то стянуть ее в точку не удастся, т.к. будет мешать «дырка» бублика. Гомотопия – это количество различных путей, которые могут воспрепятствовать стягиванию петли.
МНОГОМЕРНАЯ МУЗЫКА СФЕР
Не так-то просто представить себе 3-сферу. Математикам, доказывающим теоремы о многомерных пространствах, не приходится воображать себе объект изучения: они обращаются с абстрактными свойствами, руководствуясь интуитивными представлениями, основанными на аналогиях с меньшим числом измерений (к таким аналогиям нужно относиться с осторожностью и не принимать их буквально). Мы тоже будем рассматривать 3-сферу, исходя из свойств объектов с меньшим числом измерений.
1. Начнем с рассмотрения круга и ограничивающей его окружности. Для математиков круг – это двумерный шар, а окружность – одномерная сфера. Далее, шар любой размерности – это заполненный объект, напоминающий арбуз, а сфера – это его поверхность, больше похожая на воздушный шарик. Окружность одномерна, потому что положение точки на ней можно задать одним числом.
2. Из двух кругов мы можем построить двумерную сферу, превратив один из них в Северное полушарие, а другой – в Южное. Осталось склеить их, и 2-сфера готова.
3. Представим себе муравья, ползущего с Северного полюса по большому кругу, образованному нулевым и 180-м меридианом (слева). Если мы отобразим его путь на два исходных круга (справа), то увидим, что насекомое движется по прямой линии (1) к краю северного круга (а), затем пересекает границу, попадает в соответствующую точку на южном круге и продолжает следовать по прямой линии (2 и 3). Затем муравей снова достигает края (b), переходит его и снова оказывается на северном круге, устремляясь к исходной точке – Северному полюсу (4). Заметьте, что во время кругосветного путешествия по 2-сфере направление движения сменяется на противоположное при переходе с одного круга на другой.
4. Теперь рассмотрим нашу 2-сферу и содержащийся в ней объем (трехмерный шар) и сделаем с ними то же самое, что с окружностью и кругом: возьмем две копии шара и склеим их границы вместе. Наглядно показать, как шары искажаются в четырех измерениях и превращаются в аналог полушарий, невозможно, да и не нужно. Достаточно знать, что соответствующие точки на поверхностях, т.е. 2-сферах, соединены между собой так же, как в случае с окружностями. Результат соединения двух шаров представляет собой 3-сферу – поверхность четырехмерного шара. (В четырех измерениях, где существуют 3-сфера и 4-шар, поверхность объекта трехмерна.) Назовем один шар северным полушарием, а другой – южным. По аналогии с кругами, полюса теперь находятся в центрах шаров.
5. Вообразите, что рассмотренные шары – большие пустые области пространства. Допустим, из Северного полюса отправляется космонавт на ракете. Со временем он достигает экватора (1), которым теперь является сфера, окружающая северный шар. Пересекая ее, ракета попадает в южное полушарие и движется по прямой линии через его центр – Южный полюс – к противоположной стороне экватора (2 и 3). Там снова происходит переход в северное полушарие, и путешественник возвращается в Северный полюс, т.е. в исходную точку (4). Таков сценарий кругосветного путешествия по поверхности 4-мерного шара! Рассмотренная трехмерная сфера и есть то пространство, о котором идет речь в гипотезе Пуанкаре. Возможно, наша Вселенная представляет собой именно 3-сферу.
Рассуждения можно распространить на пять измерений и построить 4-сферу, но вообразить это чрезвычайно сложно. Если склеить два n-шара по окружающим их (n–1)-сферам, то получится n-сфера, ограничивающая (n+1)-шар.
На n-сфере любую, даже замысловато закрученную петлю всегда можно распутать и стянуть в точку. (Петле разрешается проходить через саму себя.) Пуанкаре предполагал, что 3-сфера – единственное 3-многообразие, на котором в точку можно стянуть любую петлю. К сожалению, он так и не смог доказать свое предположение, которое впоследствии стали называть гипотезой Пуанкаре. За прошедшие сто лет многие предлагали свой вариант доказательства, но лишь для того, чтобы убедиться в его ошибочности. (Для простоты изложения я пренебрегаю двумя особыми случаями: так называемыми неориентируемыми многообразиями и многообразиями с краями. Например, у сферы с вырезанным из нее сегментом есть край, а петля Мебиуса не только имеет края, но также является неориентируемой.)
Геометризация
Проведенный Перельманом анализ 3-многообразий тесно связан с процедурой геометризации. Геометрия имеет дело с фактической формой объектов и многообразий, сделанных уже не из теста, а из керамики. Например, чашка и бублик геометрически различны, поскольку их поверхности изогнуты по-разному. Говорят, что чашка и бублик – два примера топологического тора, которому приданы разные геометрические формы.
Чтобы понять, зачем Перельман использовал геометризацию, рассмотрим классификацию 2-многообразий. Каждой топологической поверхности назначена уникальная геометрия, искривление которой распределено по многообразию равномерно. Например, для сферы – это идеально сферическая поверхность. Другая возможная геометрия для топологической сферы – яйцо, но его кривизна не везде распределена равномерно: острый конец изогнут сильнее, чем тупой.
2-многообразия образуют три геометрических типа (см. ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ). Сфера характеризуется положительной кривизной. Геометризированный тор – плоский, ему свойственна нулевая кривизна. Все остальные 2-многообразия с двумя или более «дырками» имеют отрицательную кривизну. Им соответствует поверхность, похожая на седло, которое спереди и сзади изгибается вверх, а слева и справа –вниз. Такую геометрическую классификацию (геометризацию) 2-многообразий Пуанкаре разработал вместе с Паулем Кебе (Paul Koebe) и Феликсом Клейном (Felix Klein), именем которого названа бутылка Клейна.
Возникает естественное желание применить подобный метод к 3-многообразиям. Можно ли найти для каждого из них такую уникальную конфигурацию, у которой кривизна была бы распределена равномерно по всему многообразию?
Оказалось, что 3-многообразия гораздо сложнее своих двумерных собратьев и большинству из них нельзя поставить в соответствие однородную геометрию. Их следует разделять на части, которым соответствует одна из восьми канонических геометрий. Данная процедура напоминает разложение числа на простые множители.
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В ТОПОЛОГИИ точная форма, т.е. геометрия, не имеет значения: объекты рассматриваются так, как будто они сделаны из теста и их можно растягивать, сжимать и перекручивать. Однако резать и склеивать ничего нельзя. Таким образом, любой объект с одним отверстием, например, кофейная чашка (слева), эквивалентен бублику или тору (справа).
ЛЮБОЕ ДВУМЕРНОЕ многообразие или поверхность (ограничиваясь компактными ориентируемыми объектами) можно изготовить, добавляя к сфере (a) ручки. Прилепим одну – сделаем поверхность 1 рода, т.е. тор или бублик (вверху справа), добавим вторую – получим поверхность 2 рода (b) и т.д.
УНИКАЛЬНОСТЬ 2-сферы среди поверхностей заключается в том, что любую вложенную в нее замкнутую петлю можно стянуть в точку (a). На торе этому может препятствовать среднее отверстие (b). У любой поверхности, кроме 2-сферы, есть ручки, препятствующие стягиванию петли. Пуанкаре предположил, что 3-сфера уникальна среди трехмерных многообразий: только на ней любую петлю можно стянуть в точку.
Такая процедура классификации впервые была предложена Терстоном в конце 70-х гг. прошлого века. Вместе с коллегами он обосновал большую ее часть, но доказательство некоторых ключевых моментов (включая гипотезу Пуанкаре) оказалось им не под силу. Уникальна ли 3-сфера? Достоверный ответ на этот вопрос впервые появился в статьях Перельмана.
Каким же образом можно геометризировать многообразие и придать ему повсюду равномерное искривление? Нужно взять некую произвольную геометрию с различными выступами и углублениями, а затем сгладить все неровности. В начале 90-х гг. XX в. к анализу 3-многообразий приступил Гамильтон, который воспользовался уравнением потока Риччи, названным так в честь математика Грегорио Риччи-Курбастро (Gregorio Ricci-Curbastro). Оно в чем-то схоже с уравнением теплопроводности, которое описывает тепловые потоки, протекающие в неравномерно нагретом теле до тех пор, пока его температура не станет везде одинаковой. Точно так же уравнение потока Риччи задает такое изменение кривизны многообразия, которое ведет к выравниванию всех выступов и углублений. Например, если начать с яйца, то оно постепенно станет сферическим.
ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ
ДЛЯ КЛАССИФИКАЦИИ 2-многообразий можно воспользоваться униформизацией или геометризацией: поставить им в соответствие определенную геометрию, жесткую форму. В частности, каждое многообразие можно преобразовать так, что его кривизна будет распределена равномерно. Сфера (a) – уникальная форма с постоянной положительной кривизной: она всюду изогнута как вершина холма. Тор (b) можно сделать плоским, т.е. всюду имеющим нулевую кривизну. Для этого его нужно разрезать и выпрямить. Полученный цилиндр следует разрезать вдоль и развернуть, чтобы получилась прямоугольная плоскость. Иными словами, тор можно отобразить на плоскость. Поверхностям 2 рода и выше (c) можно придать постоянную отрицательную кривизну, при этом их геометрия будет зависеть от количества ручек. Ниже изображена седлообразная поверхность с постоянной отрицательной кривизной.
КЛАССИФИЦИРОВАТЬ 3-МНОГООБРАЗИЯ гораздо сложнее. 3-многообразие приходится разделять на части, каждую из которых можно преобразовать в одну из восьми канонических трехмерных геометрий. Приведенный ниже пример (для простоты изображенный в виде 2-многообразия синего цвета) составлен из 3-геометрий с постоянной положительной (a), нулевой (b) и постоянной отрицательной (c) кривизной, а также из «произведений» 2-сферы и окружности (d) и поверхности с отрицательной кривизной и окружности (e).
Однако Гамильтон столкнулся с определенными трудностями: в некоторых случаях поток Риччи приводит к пережиму многообразия и образованию бесконечно тонкой шейки. (В этом его отличие от теплового потока: в точках пережима температура была бы бесконечно большой.) Один из примеров – многообразие в форме гантели. Сферы растут, втягивая материал из перемычки, которая в середине сужается в точку (см. БОРЬБА С ОСОБЕННОСТЯМИ). В другом случае, когда из многообразия выступает тонкий стержень, поток Риччи вызывает появление так называемой сигарообразной особенности. В правильном 3-многообразии окрестность любой точки является кусочком обычного трехмерного пространства, чего нельзя сказать о сингулярных точках пережима. Преодолеть это затруднение помогли работы российского математика.
В 1992 г. после защиты кандидатской диссертации Перельман прибыл в США и провел несколько семестров в университете штата Нью-Йорк в Стоуни-Брук, а затем два года в Калифорнийском университете в Беркли. Он быстро заслужил репутацию восходящей звезды, получив несколько важных и глубоких результатов в одном из разделов геометрии. Перельман был удостоен премии Европейского математического общества (от которой он отказался) и получил престижное приглашение выступить на Международном конгрессе математиков (которое он принял).
Весной 1995 г. ему были предложены должности в нескольких знаменитых математических учреждениях, но он предпочел вернуться в родной Санкт-Петербург и по существу исчез из поля зрения. На протяжении многих лет единственным признаком его деятельности были письма прежним коллегам с указанием ошибок, допущенных в опубликованных ими статьях. Запросы о состоянии его собственных работ оставались без ответа. И вот в конце 2002 г. несколько человек получили от Перельмана электронное письмо, сообщавшее о статье, которую он отправил на математический сервер. Так началось его наступление на гипотезу Пуанкаре.
БОРЬБА С ОСОБЕННОСТЯМИ
ПЫТАЯСЬ ИСПОЛЬЗОВАТЬ уравнение потока Риччи для доказательства гипотезы Пуанкаре и геометризации 3-многообразий, ученые столкнулись с трудностями, которые сумел преодолеть Григорий Перельман. Применение потока Риччи для постепенного изменения формы 3-многообразия иногда приводит к возникновению особенностей. Например, когда часть объекта имеет форму гантели (a), трубка между сферами может оказаться пережатой до точечного сечения, нарушающего свойства многообразия (b). Также не исключено появление так называемой сигарообразной особенности.
ПЕРЕЛЬМАН ПОКАЗАЛ, что над особенностями можно проводить «хирургические операции». Когда многообразие начинает пережиматься, следует вырезать небольшие участки по обе стороны от точки сужения (c), места среза закрыть небольшими сферами, а затем снова использовать поток Риччи (d). Если пережим возникает снова, процедуру нужно повторить. Перельман также доказал, что сигарообразная особенность никогда не появляется.
Перельман добавил к уравнению потока Риччи новый член. Внесенное изменение не устранило проблему особенностей, но позволило провести гораздо более глубокий анализ. Российский ученый показал, что над многообразием в виде гантели можно провести «хирургическую» операцию: отрезать тонкую трубку по обе стороны от появляющегося пережима и заделать торчащие из шаров открытые трубки сферическими колпачками. Затем следует продолжать изменение «прооперированного» многообразия в соответствии с уравнением потока Риччи, а ко всем возникающим пережимам применять вышеописанную процедуру. Перельман также показал, что сигарообразные особенности появляться не могут. Таким образом, любое 3-многообразие можно свести к набору частей с однородной геометрией.
Когда поток Риччи и «хирургическую операцию» применяют ко всем возможным 3-многообразиям, любое из них, если оно столь же простое, как 3-сфера (иначе говоря, характеризуется такой же гомотопией), обязательно сводится к той же самой однородной геометрии, что и 3-сфера. Значит, с топологической точки зрения, рассматриваемое многообразие и есть 3-сфера. Таким образом, 3-сфера уникальна.
Ценность статей Перельмана заключается не только в доказательстве гипотезы Пуанкаре, но и в новых методах анализа. Ученые всего мира уже используют в своих работах результаты, полученные российским математиком, и применяют разработанные им методы в других областях. Оказалось, что поток Риччи связан с так называемой группой перенормировки, которая определяет, как изменяется сила взаимодействий в зависимости от энергии столкновения частиц. Например, при низких энергиях сила электромагнитного взаимодействия характеризуется числом 0,0073 (приблизительно 1/137). Однако когда два электрона сталкиваются лоб в лоб при скорости, почти равной скорости света, значение этой силы приближается к 0,0078. Математика, описывающая изменение физических сил, очень похожа на математику, описывающую геометризацию многообразия.
ОБ АВТОРЕ:
Кандидат физико-математических наук Грэхем Коллинз (Graham P. Collins) работает редактором журнала Scientific American. Дополнительная информация о теореме Пуанкаре доступна на www.sciam.com/ontheweb.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА: