Топология времени
Вспомним следующую таблицу:
Мерность
М, градация
Фигура
, направленность восприятия
Точки, углы
Линии, ребра
Квадраты, Грани
Кубы
3. Личность
6. Двойник
9. Сущность
Формула
2Nт
2Nл+Nт
2Nг+Nл
2Nк+Nг
И т.д.
И т.д.
И т.д.
И т.д.
Nт,л,г,к – количество соответственно углов, ребер, граней, кубов предыдущей (М-1) фигуры
Пространство не существует без Времени, поэтому мы должны определить соотношение Времени и Пространства. При этом, как всегда оговоримся, что речь идет о Восприятии Пространства-Времени. Начнем рассуждение с того, что там, где нет Времени, нет и Пространства, отсюда следует, что всякое отсутствие Пространства связано с отсутствием Времени.
Можно, конечно, антропоморфизировать и заявить, что одно измерение Времени набирается за три пространственных, потому то и существует качественный скачок – градация. Такое соотношение показывает, что три пространственых измерения необходимы для протекания Времени (в том виде в каком мы его знаем), которое является м данного конкретного уровня Восприятия.
Топология – наука, изучающая пространственные свойства объемных поверхностей, их свойства, не изменяющиеся при любых деформациях: симметрии, размерность, фрактальность и т.д.
Топография – наука, изучающая методы и способы познания топологических поверхностей, их отображение геометрией, математикой, кристаллографией и т.д.
Топология Времени раскрывается в структуре Пространства. Структура Пространства есть “покадровая”, “поадресная” фиксация сознанием состояния информации в циклическом наращивании (развитии) последовательного объединения Лучей Сознаний в системы с дальнейшим развитием систем, образуя постоянно развивающийся процесс их агрегатного калибровочного структурирования в “постоянном настоящем”. Пример: водород есть бинарная система калибровки двух кодонов движения (протон – нейтрон), а гелий – четыре кодона (два протона и два нейтрона) и т.д.
Пространственные архетипы систем топологии Времени.
Форма архетипов структуры КОСМОСА:
молекулы: неорганические вещества – органические вещества;
структура систем планетного уровня – Мир;
структура Солнечной системы:
+1 = 13 Интегральное целое – Форма КОСМОСа.
Содержание архетипов Пространства:
линия (ребро – кривая);
грань (плоскость – круг);
ядро фуркации (триплет);
12. шар – шедевровые алгоритмы разума.
Состояние архетипов Пространства.
волна: длина волны; собственная космическая частота (СКЧ);
Пять видов взаимодействия:
Сильное – магнитное (ВЧС);
Слабое – электрическое (НЧС);
Электромагнитное (ВЧС – НЧС),
Межсистемное внутри системы;
Межсистемное по вертикали внешних связей (подобные – большие);
+1 = 13 Интегральное целое – Состояние КОСМОСа.
Сознание архетипов Пространства.
сознание элементов: формы, содержания и состояния;
сознание систем элементов: формы, содержания и состояния;
сознание структур системы: формы, содержания и состояния;
сознание структурированной системы: формы, содержания и состояния;
сознание структурированных систем: формы, содержания и состояния;
сознание процессов системных взаимодействий: формы, содержания и состояния;
сознание процесса взаимодействия структурированных системных сознаний: форм, содержаний и состояний элементов;
интегральное сознание процессов взаимодействия сознаний элементов: форм, содержаний и состояний;
интегральное сознание процессов взаимодействия сознаний структур: форм, содержаний и состояний;
интегральное сознание процессов взаимодействия сознаний системных структур: форм, содержаний и состояний;
интегральное сознание процессов взаимодействия сознаний структурированных систем: форм, содержаний и состояний;
интегральное сознание сознаний систем, структур систем и сознаний процессов взаимодействия структурированных систем: форм, содержаний и состояний.
+1 = 13 Струящийся Суперразум.
Вернадский сказал: “Время есть одно из основных проявлений вещества, неотделимое от него его содержание”.
Мы бы сказали так: Материя есть одно из основных проявлений времени. Вещество представляет собой форму времени, а содержание и состояние времени определяет параметры движения и взаимодействия веществ как физических тел.
Каждый модуль архетипов систем Пространства –Времени, например, структура Планета – Звезда, имеет 12 блоков – подсистем (Миров) данной системы: камней, воды, воздуха, вирусов, растений, животных, людей и пять систем взаимодействия, в свою очередь раскрывается в 12 подсистем, которые раскрываются в 12 подсистем и так до бесконечности. В других рубриках Вы познакомитесь в расширенном объеме с данными подсистемами и теорией строения систем.
Общая картина построения времени выглядит следующим образом:
Сознание ЕДИНОГО Всевышнего Вседержителя рождает (эманирует) сознания систем. Сознания систем рождает ВРЕМЯ. Время рождает Пространство, содержание пространства, затем состояние пространства и новое состояние Сознания Систем. Это новое обогащенное Сознание в Уме, Рассудке и Разуме эманирует развитие Мироздания по двум ветвям: инволюции и эволюции. В герметических знаниях предков это обозначено как “покров” и “сеть”.
Находясь в Мирах: Огненном, Тонком и Плотном в состоянии “второго”, Дух обретает в опытах Бытия Жизни бесценный опыт накопления знаний построения формы, содержания, состояния и обогащенного сознания, своей неповторимой индивидуальности и разума в параметрах милосердия, мудрости и любви для последующего творчества, созидания аналогов себя и учительства в них в состоянии “первого”. УСТА – Учитель, Создатель, Творец – Аналогов. УСТА есть КНИГА ЖИЗНИ.
Вслушайтесь. КНИГА ЖИЗНИ – космические начала истины гармонизации аналогов жизнетворящим истоком знаний наследия интеграции. Космические начала созданы интеграцией опытов систем бытия жизни. Книга жизни есть начала гармонизации Аналогов, в том числе человеческих по истине.
“Печать уст” у масонов вовсе не обозначало молчание перед “профанами” для возвеличивания своей значимости и способов управления ими. Печать, как всякая технология, имеет двойное применение: печать в смысле распечатывания и, второе, запечатывания чего-либо. Печать – персмутация единой чистотой алгоритмов творчества адрогинов. Персмутация понимается как изменение свойств положительного направления развития чего-либо. В этом смысле печать начал геометрии природы Мироздания есть распечать тех герметических знаний для всеобщего познания, которыми кичатся некоторые общества. Не то время, господа, покров снят. Пора эзотерику перевести в экзотерику и ветвь инволюции повернется на эволюционную траекторию. В любом случае эволюция неизбежна. Мы уже в девятой пещере, дальше идти некуда. Пора открывать СЛОВО.
Топология времени
Топология – один из разделов математики, который исследует явление непрерывности различных поверхностей с учетом вероятных деформаций последних. Наука абстрактная и умозрительная – предполагает переход от привычного представления и восприятия привычного нам, окружающего Мира, от его геометрических частностей к представлениям о форме объектов материального Мира в целом.
Предполагается, что пространственные образы фигур эластичны и остаются неизменными при их различных преобразованиях посредством мысленных деформаций, их форма и размеры могут меняться, но при условиях, что такие деформации не приводят к образованию складок и разрывов поверхностей.
Последние ограничения очень важны, запомним их.
Начнём с того, что не будем мелочиться и замахиваться на пространство Вселенной, а возьмём гипотетическую бесконечно большую его часть, такую, где бы мы смогли без ущерба для психики поразмышлять о некоторых особенностях заключённых в нём вещества и времени.
Развитие математики привело к тому, что в дополнение к привычно воспринимаемому прямолинейному (нулевой кривизны) пространству Эвклидовой геометрии, добавились геометрия Лобачевского и геометрия Римана, учитывающие соответственно отрицательную и положительную кривизну пространства. Само же пространство, предположительно
искривляется под действием гравитации или тяготения, вызываемых взаимным влиянием массивных тел, а там, кто его знает, от чего.
Теперь вспомним Лобачевского с его параллельными прямыми, пересекающимися в бесконечности. Кто нам мешает представить, бесконечную прямую на некой бесконечной поверхности. Если теперь без разрывов и складок, мысленно деформировать эту поверхность, как бы воссоздавая силы гравитации и искривить, например, до цилиндрической тогда наша линия замкнется в окружность. Возможно ли такое искривление под действием гравитации или тяготения – большой вопрос. Однако, если это возможно, то в бесконечном масштабе таких свёрнутых в трубку локальных областей может оказаться много.
Если мы теперь заменим нашу бесконечную линию на бесконечной поверхности, вектором времени (доступной для наблюдателя составляющей частью времени), мы получим локальную петлю времени по типу неких кривых второго порядка, таких, как например, Декартов лист, строфонда и др.
Вот где порадуются исследователи, особенно, если узловая точка окажется определяемой инструментальными методами и доступной.
Ранее было сказано, что таких локальных, свёрнутых в трубку областей пространства в бесконечном масштабе может оказаться много, равно, как и узловых точек.
Не секрет, что на нашей планете существуют различные аномальные зоны, в данном случае нас бы интересовали гравитационные аномалии характерного профиля, повторяющего элементы кривых второго порядка, о которых я упомянул выше. При этом может оказаться, что Вам даже не придётся уезжать из своего города. Если Вы найдёте прибором гравитационную аномалию требуемой конфигурации, попробуйте вблизи неё осмотреться и поискать теперь уже временную аномалию визуально. Наверняка, там будет что-то не так, что-то такое, к чему мы не привыкли в обыденной жизни, например: тень не туда, непонятные буквы в объявлении о потерявшейся собачке, поднимающиеся с земли в воздух соринки в безветрие или чахлое деревце с крученым стволом, поменявшее знак своего геотропизма. Я не удивлюсь, что искомая зона окажется в Вашем дворе, между детской площадкой и автомобильной ракушкой соседа – инвалида.
А дальше, в недалёком будущем, появится «Музей времени», а там…
Внутри большого, ангара был организован затемнённый прямой
широкий коридор, с поперечными ответвлениями в виде высоких арок слева и справа, забранных стеклянными переплётами начиная с метровой высоты до самого верха.
Каждое такое ответвление имело ограждение на уровне полу метра от земли в виде цепочки, забранной в чехол бордового бархата. Сразу после входа в ангар, перед поворотом в центральный коридор, под транспарантом, говорящем о том, что «Сила вашего времени в сознательности масс!», в стене можно было заметить небольшую, давно не крашенную дверь зелёного цвета.
— Гражданин, гражданин! Вы куда? Вернитесь немедленно!
А гражданин тем временем, пробежав вперёд метров пять, нырнул под «бархатную» цепочку и зайцем бросился под фрамугу, в пролет, обозначенный табличкой Развитой Социализм.
Очень неожиданно в руке дамы экскурсовода появился элегантный Вальтер ППК, из которого пожилая женщина, весьма умело, на рефлексах, как в хорошем кино, выцеливала беглеца, однако, через секунду оставила это занятие, очевидно пожалев стеклянные переплёты.
— Вот, гнида казематная, ушёл! Пятнадцатый уже за месяц, без премии останемся, б..дь!
— Что же Вы ничего не делаете?
— Как не делаем? Делаем – ловим и расстреливаем, как английских, немецких и японских шпионов…
— Как это?
— Да вот так! Всё равно все в 1937 –й год попадают падлы!
Справа со стороны прошлого звезды Альфы Центавра и слева со стороны будущего звезды Сириус слышался приближающийся разноголосый лай караульных собак… В темном коридоре экскурсанты настороженно озирались по сторонам и пугливо жались друг к другу.
Введение в топологию (для чайников и гуманитариев)
Не помню, когда я впервые узнал про топологию, но меня эта наука сразу заинтересовала. Чайник превращается в бублик, сфера выворачивается наизнанку. Многие слышали про это. Но у тех, кто хочет углубиться в эту тему на более серьёзном уровне, часто возникают трудности. Особенно это относится к освоению самых начальных понятий, которые по своей сути очень абстрактны. Более того, многие источники, как будто специально стремятся запутать читателя. Скажем русская вики даёт весьма туманную формулировку того, чем занимается топология. Там говорится, что это наука изучающая топологические пространства. В статье про топологические пространства читатель может узнать, что топологические пространства — это пространства снабжённые топологией. Такие объяснения в стиле лемовских сепулек не очень проясняют суть предмета. Я попробую далее изложить основные базовые понятия в более ясной форме. В моей заметке не будет превращающихся чайников и бубликов, но будут сделаны первые шаги, которые позволят в конце концов научиться этой магии.
Впрочем, так как я не математик, а стопроцентный гуманитарий, то вполне возможно, что написанное ниже — враньё! Ну, или по крайней мере часть.
Впервые я написал эту заметку, как начало цикла статей о топологии, для своих гуманитарных друзей, но никто из них читать ее не стал. Исправленную и расширенную версию я решил выложить на хабр. Мне показалось, что здесь существует определенный интерес к этой теме и статей как раз такого рода еще не было. Заранее благодарен за все комментарии об ошибках и неточностях. Предупреждаю, что я использую много картинок.
Начнем с краткого повторения теории множеств. Думаю, большинство читателей хорошо с ней знакомы, но тем не менее напомню основы.
Итак, считается, что определения у множества нет и, что мы интуитивно понимаем, что это такое. Кантор говорил так: «Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M)». Конечно, это просто иносказательное описание, а не математическое определение.
Теория множеств известна (прошу простить за каламбур) множеством удивительных парадоксов. Например. С ней также связан кризис математики в начале XX-го века.
Теория множеств существует в нескольких вариантах, таких как ZFC или NBG и других. Вариантом теории являетсятеория типов, которая весьма важна для программистов. Наконец, некоторые математики предлагает вместо теории множеств в качестве фундамента математики использовать теорию категорий, о которой много написано на Хабре. Теория типов и теория множеств описывают математические объекты как бы «изнутри», а теория категорий не интересуется их внутренним строением, а только как они взаимодействуют, т.е. даёт их «внешнюю» характеристику.
Для нас важны только самые начальные основы теории множеств.
Множества бывают конечными.
Бывают бесконечными. Например, множество целых чисел, которое обозначается буквой ℤ (или просто Z, если у вас на клавиатуре нет фигурных букв).
Наконец, есть пустое множество. Оно ровно одно во всей Вселенной. Имеется простое доказательство этого факта, но я не буду его здесь приводить.
Если множество бесконечно, оно бывает счетным. Счетные — те множества, элементы которых можно перенумеровать натуральными числами. Само множество натуральных чисел, как вы догадались, тоже счетно. А вот как можно пронумеровать целые числа.
С рациональными числами сложнее, но и они поддаются нумерации. Этот способ называется диагональным процессом и выглядит, как на картинке внизу.
Обобщением понятия размера для множеств является мощность. Мощность конечных множеств равна числу их элементов. Мощность бесконечных множеств обозначается еврейской буквой алеф с индексом. Самая маленькая бесконечная мощность—это мощность ℵ0. Она равна мощности счетных множеств. Как видим, таким образом, натуральных чисел, так же много, как и целых или рациональных. Странно, но факт. Следующая — мощность континуума. Она обозначается маленькой готической буквой с. Это мощность множества вещественных чисел ℝ, например. Существует гипотеза о том, что мощность континуума равна мощности ℵ1. Т.е., что это следующая после мощности счетных множеств мощность, и нет никакой промежуточной мощности между счетными множествами и континуумом.
Над множествами можно проводить различные операции и получать новые множества.
1. Множества можно объединять.
2. Множества можно «вычитать». Эта операция называется дополнением.
3. Можно искать пересечение множеств.
Собственно это все о множествах, что нужно знать для целей этой заметки. Теперь мы можем приступить к самой топологии.
Топология — это наука, которая изучает множества с определенной структурой. Эта структура также называется топологией.
Пусть у нас есть некоторое непустое множество S.
Пусть же у этого множества будет некоторая структура, которая описывается с помощью множества, которое мы назовем Т. Т представляет собой множество подмножеств множества S такое, что:
1. Само S и ∅ принадлежат T.
2. Любое объединение произвольных семейств элементов T принадлежит T.
3. Пересечение произвольного конечного семейства элементов T принадлежит T.
Если эти три пункта выполняются, то наша структура является топологией T на множестве S. Элементы множества T называются открытыми множествами на S в топологии T. Дополнением к открытым множествам являются замкнутые множества. Важно отметить, что если множество открыто, это еще не означает, что оно не замкнуто и наоборот. Кроме того в данном множестве относительно некоторой топологии могут быть подмножества, которые не являются ни открытыми, ни замкнутыми.
Приведем пример. Пусть у нас есть множество, состоящее из трех цветных треугольников.
Самая простая топология на нем называется антидискретной топологией. Вот она.
Эту топологию, также называют топологией слипшихся точек. Она состоит из самого множества и из пустого множества. Это действительно удовлетворяет аксиомам топологии.
На одном множестве можно задать несколько топологий. Вот еще одна очень примитивная топология, которая бывает. Она называется дискретной. Это топология, которая состоит из всех подмножеств данного множества.
А вот еще топология. Она задана на множестве из 7 разноцветных звезд S, которые я обозначил буквами. Убедитесь, что это топология. Я в этом не уверен, вдруг я пропустил, какое-то объединение или пересечение. На этой картинке должно быть само множество S, пустое множество, пересечения и объединения всех остальных элементов топологии также должны быть на картинке.
Пара из топологии и множества на котором она задана называется топологическим пространством.
Если в множестве много точек (не говоря уже о том, что их может быть бесконечно много ), то перечислить все открытые множества может быть проблематично. Например, для дискретной топологии на множестве из трех элементов, надо составить список из 8 множеств. А для 4-элементного множества дискретная топология будет насчитывать уже 16, для 5 — 32, для 6 —64 и так далее. Для того, чтобы не перечислять все открытые множества используется как бы сокращенная запись — выписываются те элементы, объединения которых могут дать, все открытые множества. Это называется базой топологии. Например, для дискретной топологии пространства из трех треугольников — это будут три треугольника взятые в отдельности, потому, что объединяя их, можно получить все остальные открытые множества в данной топологии. Говорят, что база генерирует топологию. Множества, элементы которого генерируют базу, называют предбазой.
Ниже пример базы для дискретной топологии на множестве из пяти звезд. Как видите, в данном случае база состоит всего из пяти элементов, в то время как в топологии целых 32 подмножества. Согласитесь, использовать базу для описания топологии — гораздо удобнее.
Для чего нужны открытые множества? В каком-то смысле они дают представление о «близости» между точками и о различии между ними. Если точки принадлежат двум разным открытым множествам или если одна точка находится в открытом множестве, в котором не находится вторая, то они топологически различаются. В антидискретной топологии все точки в этом смысле неразличимы, они как бы слиплись. Наоборот, в дискретной топологии все точки имеют различие.
С понятием открытого множества неразрывно связано понятие окрестности. Некоторые авторы дают определение топологии не через открытые множества, а через окрестности. Окрестность точки p — это множество, которое содержит открытый шар с центром в этой точке. Например, на рисунке ниже показаны окрестности и не окрестности точек. Множество S1 является окрестностью точки p, а множество S2 нет.
Связь между открытым множеством и октестностью можно сформулировать так. Открытое множество — такое множество, каждый элемент которого имеет некоторую окрестность, лежащую в данном множестве. Или наоборот можно сказать, что множество открыто, если оно является окрестностью любой своей точки.
Все это самые базовые понятия топологии. Отсюда еще не ясно как выворачивать сферы наизнанку. Возможно в будущем, я смогу добраться и до такого рода тем (если сам разберусь).
UPD. Из-за неаккуратности моей речи, возникло некоторое недоумение относительно мощностей множеств. Я несколько исправил свой текст и здесь хочу дать пояснение. Кантор, создавая свою теорию множеств, ввел понятие мощности, которое позволяло сравнивать бесконечные множества. Кантор установил, что мощности счетных множеств (например, рациональных чисел) и континуума (например, вещественных чисел) различны. Он предположил, что мощность континуума является следующей после мощности счетных множеств т.е. равна алеф-один. Кантор пытался доказать эту гипотезу, но безуспешно. Позже стало ясно, что эту гипотезу нельзя ни опровергнуть, ни доказать.
Введение в топологические пространства. Программирование конечных топологий на Java
Я долго думал о том, чтобы выбрать какой-либо математический объект, интересный не только с точки зрения дискретной математики, но и функционального анализа, и попытаться запрограммировать его.
Этим объектом стали так называемые топологические пространства. Естественно, конечный объём представления объектов в памяти компьютера не позволяет с абсолютной точностью смоделировать имеющиеся в математике топологические пространства, а значит, остаётся довольствоваться конечными топологиями.
К счастью, это один из тех объектов, для которых конечность не только позволяет оперировать стандартными математическими понятиями, но и упрощает некоторые из них. Тем более довольно интересно исследовать объекты, для которых у нас нет никакой возможности померить расстояние между точками. Да, да, вы не ослышались. В общей топологии такой возможности у нас нет.
Но обо всём по порядку.
Определение
Сперва дадим классическое определение топологического пространства.
Произвольное число множеств в данном случае означает, что мы можем брать также объединения счётного или даже несчётного числа множеств. Естественно, это имеет смысл только в случае бесконечных множеств.
Как я уже говорил, в компьютере всё конечно. Как изменится наше определение топологии, если мы предположим, что X — конечное множество.
Слово «конечная» в дальнейшем для удобства будем опускать. Заметим, что топология представляет собой множество множеств. К сожалению, стандартные классы для множества, представленные в языке Java, меня не устроили, главным образом тем, что операции объединения и пересечения в интерфейсе Set меняют объект множества, а мне необходимо. чтобы объект менялся только тогда, когда к нему добавляют элементы.
Поэтому я создал следующий класс для представления множеств на основе связного списка.
Этот класс является основным кирпичом для построения конечной топологии. Теперь перейдём к самой топологии. До сих пор я говорил только о ней, но не сказал, что такое топологическое пространство. Это пара (X,τ) множества и его топологии.
Поэтому задаток класса выглядит следующим образом (Я хочу, чтобы множество состояло из целых чисел, но благодаря использованию родовых классов вы легко подправите код под произвольный тип).
Теперь возникает вопрос, как должен выглядеть конструктор топологии. Заметим, что топология — это всегда система подмножеств множества X.
Итак, а вот и первое самостоятельное задание Вам, уважаемый читатель. Докажите следующее утверждение:
Пусть X — произвольное множество. Тогда система τ, состоящая из пустого множества и множества X образует топологию.
Это было несложно, верно? Данная топология называется тривиальной. Так что давайте всегда создавать тривиальную топологию в начале использования, добавляя нужные множества позднее с помощью метода add суперкласса.
Но это ещё не всё. Добавили мы какой-то элемент в топологию. А осталась ли она топологией от добавления элемента или нет? Проверку на выполнение второго и третьего свойств написать несложно, но вопрос состоит в том, где её написать. Мы не можем вызывать её при добавлении элемента, поскольку тогда мы не сможем получить хорошую топологию из-за вывода ошибки «Ай-ай, это не топология». Значит, на этапе создания надо на время «простить» эту ошибку, а уже потом устроить ей хороший пинок: добавим в класс флажок и метод проверки
Но это была всего лишь разминка. Теперь дадим ещё несколько определений.
Множества, входящие в топологию τ называются открытыми.
Множества, дополнительные к открытым, называются замкнутым.
Большинство студентов на этом путаются. Вот вам следующее задание:
Естественно, проверка этих двух свойств осуществляется следующими методами:
Исключения выбрасываются, если система не образует топологию, либо переданное множество не является подмножеством X топологического пространства.
Если вы проскочили через прошлую задачу, не попытавшись её решить, то вы удивитесь, почему второй метод не вызывается через первый. А если решили, то поймёте.
Далее, надо ввести понятие окрестности.
Окрестностью точки x называется любое открытое множество, содержащее x
Окрестностью множества M называется любое открытое множество G, содержащее M
Задача 3. Пусть дано топологическое пространство из предыдущей задачи. Найти все окрестности точек множества X, а также окрестности множества
Заметим, что окрестностей как у точки, так и у множества может быть несколько. Здесь я уже нашёл удовлетворяющий меня класс: ArrayList. Соответственно, я просто вывожу список найденных окрестностей.
В топологическом пространстве, где отсутствуют такие привычные для нас термины как расстояние, метрика или норма, окрестность представляет собой базовый фундамент для построения геометрии в таких пространствах.
Итак, ещё немного определений.
Точка x из множества X называется точкой прикосновения множества M, лежащего в X, если каждая окрестность точки x содержит хотя бы одну точку из M
Точка x из множества X называется предельной точкой множества M, лежащего в X, если каждая окрестность точки x содержит хотя бы одну точку из M, отличную от X
Итак, как всегда, пока знания свежи, я предлагаю вам простые задачи после определения, за ними последует код, а далее решение.
Код для соответствующих точек:
Теперь у нас есть всё для того, чтобы определить важное в математике понятие: замыкание множества.
Замыкание множества M — это множество всех его точек прикосновения. Обычно оно обозначается как [M].
Опять продолжая работу с нашим топологическим пространством, мы можем увидеть, что [<2,3>]=<2,3,4>, при этом мы получили замкнутое множество.
Ещё одним важным понятием является понятие изолированной точки.
Точка x называется изолированной точкой множества M, если существует её окрестность, не содержащая других точек из M.
Задача 5. Доказать, что x=2 является изолированной точкой множества M=
Далее, надо понимать, что на одном и том же множестве можно ввести разные топологии, получив тем самым разные пространства. Но между топологиями можно установить частичный порядок.
Говорят, что топология т1 слабее топологии т2, если т1 целиком содержится в т2, и сильнее в противном случае.
Очевидно, что самая слабая топология — это тривиальная топология.
Задача 6. Пусть дано произвольное множество X. Ввести на нём самую сильную топологию. Указать все открытые и замкнутые множества.
И последнее понятие, о котором я хочу рассказать в этой статье, это след топологии.
Следом топологии т на множестве A, лежащем в X, называется топология тA, состоящая из всех множеств вида B ∩ A, где B принадлежит топологии.
Задача 7. Доказать, что след топологии т на множестве A, образует топологию на множестве A
Заключение
На этом подходит к концу первая часть моего цикла статей о топологических пространствах и программировании их подкласса: конечных топологий — на языке Java. В следующей части я планирую немного рассказать о базе топологии, однако в случае конечных топологий это понятие довольно сильно упрощается, поскольку конечные топологические пространства по умолчанию обладают счётной базой, а что будет дальше, ещё увидим. Вполне вероятно, что мы поговорим о непрерывных отображениях одного топологического пространства в другое. Было бы неплохо попытаться запрограммировать такой объект, не так ли?