что такое теорема синусов

Теорема синусов. Доказательство теоремы синусов.

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Есть 2 подвида теоремы: обычная и расширенная теорема синусов.

Обычная теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны sin противоположных углов.

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Расширенная теорема синусов для произвольного треугольника:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

где a, b, c — стороны треугольника, что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов, β, γ — противолежащие этим сторонам углы, а R — радиус окружности, которая описана вокруг треугольника.

Доказательство теоремы синусов.

Пусть есть треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC.

Что бы доказать всю теорему, так как треугольник имеет произвольные размеры, можно доказать только то, что соотношение 1-ной произвольной стороны к противолежащему углу соответствует 2R. Допустим, это будет 2R = a/sin что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов, т.е. если смотреть по чертежу 2R = BC / sin A.

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Проведем диаметр |BG| для описанной окружности. Из свойства углов, которые вписаны в окружность, угол GCB будет прямым, а угол CGB равен либо что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов, когда точки A и G находятся по одну сторону от прямой BC, или что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусовчто такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов в противоположном варианте. Так как sin(что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусовчто такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов)=sinчто такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов, в обоих случаях получаем:

a=2R sin что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Повторяем это же рассуждение для оставшихся сторон треугольника:

Источник

Теорема синусов

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Формула теоремы синусов:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Из этой формулы мы получаем два соотношения:

Из этих двух соотношений получаем:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Теорема синусов для треугольника доказана.

Эта теорема пригодится, чтобы найти:

Доказательство следствия из теоремы синусов

У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

где R — радиус описанной около треугольника окружности.

Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

BA1 = 2R, где R — радиус окружности

Следовательно: R = α/2 sinα

Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

Следовательно: R = α/2 sinα

Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Часто используемые тупые углы:

3. Угол ∠А = 90°.

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Теорема о вписанном в окружность угле

Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

Формула теоремы о вписанном угле:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

Следовательно: α + γ = 180°.

Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

Примеры решения задач

Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

Запоминаем

Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

>
что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

Источник

Теорема синусов. Доказательство

Теорема 1 (теорема синусов). Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

Доказательство. Пусть задан треугольник ABC. Проведем высоту hb из вершины B на сторону b (Рис.1).

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Из определения синуса (см. страницу Синус и косинус. Онлайн калькулятор) следует, что синус угла α равен hb если предполагать, что c=1. Но поскольку c может иметь любое значение, то имеем

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Аналогично можем записать:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов
что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Далее, для высоты hc, опущенной из вершины C на сторону c, имеем:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов, что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов.
что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Теорема 2 (расширенная теорема синусов). Для произвольного треугольника справедливо следующее равенство:

где a, b, c стороны треугольника, а α, β, γ противолежащие им углы, соответственно, R− радиус описанной около треугольника окружности.

Доказательство. Пусть задан треугольник ABC и описанная окружность с радиусом R, проходящей через вершины треугольника.

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

В теореме 1 мы доказали справедливость равенства (a). Для доказательства (b) достаточно показать, что

Проведем через вершину C диаметр CD описанной окружности и соединим точки D и B.

1. Пусть точки D и A лежат по одну сторону от BC (Рис.2). Полученный треугольник BCD являестся прямоугольным треугольником с прямым углом B, поскольку его одна сторона совпадает с диаметром окружности. А для этого прямоугольного треугольника справедливо равенство:

Но что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусовпоскольку обе эти углы опираются на дугу BC. Отсюда следует справедливость равенства (3).

2. Пусть точки D и A лежат в разные стороны от BC (Рис.3).

Поскольку BCD прямоугольный треугольник, то справедливо следующее равенство:

Покажем, что что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов. Действительно. Так как вписанный угол измеряется половиной дуги, на которой он упирается, то имеем:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов, что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов.(5)

Тогда из (5) и (6) получим:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусовчто такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов.
что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусовчто такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов.(7)

Учитывая (7), уравнение (4) можно записать так:

Но что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов. Тогда из (8) получим равенство (3).

Примеры и решения

Задание 1. В треугольнике ABC a=8, c=10, угол α=30°. Найти сторону b (Рис.4).

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Решение. Из теоремы синусов, имеем:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов
что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусовчто такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, то β=180°−30°−36.68°=113.32°.

Далее, из теоремы синусов:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусовчто такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Задание 2. В треугольнике ABC c=16, α=30°, β=45°. Найти стороны a, b (Рис.5).

Источник

Теорема синусов (ЕГЭ 2022)

Существуют две теоремы, свзанные с тригонометрией, которые могут оказать тебе огромную услугу в решении задач — теорема синусов и теорема косинусов.

Особенно в решении задач продвинутого уровня, за которые можно получит неплохие баллы на экзамене!

О теореме косинусов можешь прочитать пройдя по ссылке, а здесь мы поговорим про теорему синусов. Легкую и полезную.

Теорема синусов — коротко о главном

Для любого \( \displaystyle \Delta ABC\):

(здесь \( \displaystyle R\) – радиус описанной окружности)

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Теорема синусов — подробнее

Что же нам сообщает теорема синусов? Вероятнее всего, что-нибудь о синусах, не правда ли? Давай сформулируем.

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Первый вопрос, который возникает при взгляде на эту формулу: «Но при чём же здесь вообще \( \displaystyle R\)?».

Вот давай именно с него и начнём.

Теорема синусов. Доказательство

Тебе уже известно, что около каждого треугольника можно описать окружность. Мы это и сделаем. А потом проведём диаметр \( \displaystyle BO\).

Пусть этот диаметр пересекает окружность в точке \( \displaystyle K\). Давай рассмотрим \( \displaystyle \Delta BKC\).

Что же это за треугольник?

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Ну, конечно же, прямоугольный, ведь в \( \displaystyle \Delta BKC\) угол \( \displaystyle C\) опирается на диаметр \( \displaystyle BK\quad\Rightarrow \quad\angle C=90<>^\circ \) (вспоминаем тему «Вписанный и центральный угол окружности»).

Но и кроме того, \( \displaystyle \angle K\) в \( \displaystyle \Delta BKC\) равен \( \displaystyle \angle A\) в \( \displaystyle \Delta ABC\), потому что эти углы опираются на одну дугу \( \displaystyle BC\) (опять вспоминаем ту же тему).

А теперь просто запишем выражение для синуса \( \displaystyle \angle K\) в прямоугольном \( \displaystyle \Delta BKC\) \( \displaystyle \sin \angle K=\frac\).

Но ведь \( \displaystyle BK\) – диаметр \( \displaystyle \quad\Rightarrow\quad BK=2R\), и \( \displaystyle \sin \angle K=\frac<2R>\).

Вспомним, что \( \displaystyle \angle K=\angle A\) и получим \( \displaystyle \sin \angle A=\frac<2R>\quad\Rightarrow\quad \frac<\sin \angle A>=2R\).

Вот и всё! Провели одну линию, рассмотрели один прямоугольный треугольник – и доказательство готово.

Но как же быть с углами \( \displaystyle B\) и \( \displaystyle C\)? – спросишь ты.

Да, точно также. Давай рассмотрим \( \displaystyle \angle B\).

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Теперь проведём диаметр \( \displaystyle AO\) и соединим точки \( \displaystyle K\) и \( \displaystyle C\).

Как-то тут немного по-другому получается, ты заметил? \( \displaystyle \Delta AKC\), конечно, прямоугольный, так как \( \displaystyle \angle C\) опирается на диаметр \( \displaystyle AK\).

Но теперь \( \displaystyle \angle K+\angle B=180<>^\circ \), потому что четырехугольник \( \displaystyle ABCK\) – вписанный. (Надеюсь, ты ещё помнишь, что для угла \( \displaystyle A\) у нас было \( \displaystyle \angle A=\angle K\).) В чём же дело?

Ну, просто \( \displaystyle \angle B\) – тупой, поэтому и получилось такое различие. Но, к счастью, для теоремы синусов это различие не играет роли. Сейчас мы в этом убедимся.

Итак, запишем выражение для синуса \( \displaystyle \angle K\) в прямоугольном \( \displaystyle \Delta AKC\).

\( \displaystyle \sin \angle K=\frac\); то есть \( \displaystyle \sin \angle K=\frac<2R>\)

Значит, \( \displaystyle \sin \angle B=\frac<2R>\quad\Rightarrow\quad \frac<\sin \angle B>=2R\).

Ну вот, мы рассмотрели и острый, и тупой угол. Если ты все ещё беспокоишься об угле \( \displaystyle C\), то проделай все те же действия самостоятельно и убедись, что все получается.

Обрати внимание, что мы доказали «четверное равенство».

в такой последовательности:

А теперь внимание! Обсудим пользу этой теоремы

Понимаешь, теорема синусов – единственный разумный способ для нахождения радиуса описанной окружности.

Почему я так говорю? А ты вспомни сам: ну где ещё в формулах участвует \( \displaystyle R\)?! Возможно, правда, ты знаком с формулой \( \displaystyle S=\frac<4R>\), то есть \( \displaystyle R=\frac<4S>\quad\), но!

Из теоремы синусов: \( \displaystyle R=\frac<2\sin \angle A>\)

Из формулы площади: \( \displaystyle R=\frac<4S>\).

Чувствуешь разницу? В первой формуле нужно знать только одну сторону и один угол, а во второй формуле – все стороны, да ещё и площадь! Ну и какую формулу легче применить?

А кроме того, открою тебе маленький секрет: формула \( \displaystyle S=\frac<4R>\) как раз и доказывается именно с применением теоремы синусов.

Итак, теорема синусов бывает полезна и для нахождения синуса какого – то угла, если известны две стороны и один угол.

Но в основном теорема синусов – главный инструмент для нахождения радиуса описанной окружности.

Запомни это очень хорошо!

Бонус: Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ

ЕГЭ 6, 14, 16. Теорема косинусов и синусов

Универсальный инструмент при решении треугольников — это теоремы косинусов и синусов.

А как мы уже знаем, почти любая задача в планиметрии сводится именно к треугольникам.

На этом уроке мы выучим сами теоремы и научимся применять их при решении задач первой части.

Источник

Теорема косинусов и синусов

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

К полученному выражению прибавим и отнимем квадрат второго катета:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов
что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Но так как b = c * cos α, то

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Эту формулу мы получили для катетов в прямоугольном треугольнике, но аналогичная связь между стороной а и косинусом противолежащего угла справедлива и для произвольного треугольника.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

cos 2 α + sin 2 α = 1основное тригонометрическое тождество.

Что и требовалось доказать.

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.

Следствие из теоремы косинусов: теорему косинусов также можно использовать для определения косинуса угла треугольника:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

Приравниваем правые части уравнений:

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Таким образом, теорема косинусов обобщает теорему Пифагора. Закон косинуса может быть использован для любого вида треугольника.

Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

что такое теорема синусов. Смотреть фото что такое теорема синусов. Смотреть картинку что такое теорема синусов. Картинка про что такое теорема синусов. Фото что такое теорема синусов

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *